EJERCICIOS DE VECTORES VECTORES EN 2D1. Si a=(x, 2x) ; a-b= (2x, -z) y la norma de a-b es 20. Hallar la norma de b.Por dato:

Por dato a-b=(2x, z):

Por dato

Reemplazamos el valor de z:

Reemplazando los datos para hallar la norma de b:

2. Normalizar el vector cuya norma es 5, si su segunda componente es 4

Por dato:

Entonces:

Nuestro vector ser:

Normalizando:

3. Sean A=(a,-2), B= (2,4), C= (8,-3) y D=(x, y), tal que y=2x+1. Si AB=CD. Hallar el valor de a-xPor dato AB=CD:

Por lo tanto:

4. Si ; ; a es perpendicular a b. hallar V, si v=

Por dato:

Igualamos:

Hallaremos V:

Reemplazando valor de m:

5. Si a=(m,5)+(3,3) y b=4(-m,-3)-2(1,2) y a es paralelo a b. Determinar el valor de m

Por dato:

Reemplazando el valor de R:

6. Si a=(1,-1) b=(x,5) c=(-x, , adems W=a+b. Determinar IWI, si se cumple que w es perpendicular a c .Por dato:W = (1, -1) + (x,5)W = (1+x, -1+5)W = (x+1,4)

Por propiedad:

(1)

Reemplazamos (1) en W:W = ((1/3)+1,4)W = (4/3,4)Entonces calculamos :

7. Dado el vector , determinar dos vectores equipolentes a , sabiendo que

8. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: . Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB. Entonces:

9. Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros hacia el sur, despus 8,2 metros en un ngulo de 30 al Nor-este y finalmente 15 metros al oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante del perro utilizando tcnicas grficas y analtica.

Ahora:

10. Si son de la siguiente forma . Hallar

Su producto vectorial se determina as:

11. Si Hallar x para que sea paralelo a

Solucin:

por dato // =>

Si

Se cumple que:

=>

(-2;14)=(-2;14)12. Determinar para que valores de los vectores ; son perpendiculares entre s, sabiendo que ;

Solucin:

=>

=> => Los valores son:

13. Calcular: sabiendo que ; y

Solucin:

Si:

14. Los vectores y forman entre si un ngulo de y el mdulo de es 3. Hallar el mdulo de de modo que sea perpendicular a .

Solucin:

Si ; adems Adems el ngulo Como

15. Los vectores y forman entre si un ngulo de y el mdulo de . Hallar el mdulo de para que forme con un ngulo de Solucin:Por hiptesis el ngulo y Luego el ngulo Como

Si:

Entonces: y

16. Supongamos que el viento sopla con una fuerza de 5 000N sobre la vela de un barco en la direccin NO. Halle el trabajo realizado al desplazar el barco 50m hacia el norte.

Solucin:

Si: Donde:

17. Se fija el pivote de una palanca en el origen de tal manera que gire en el plano yz, como muestra el dibujo. Se aplica una fuerza vertical de 200N al extremo de la palanca. Halle el momento de la palanca respecto a su pivote cuando forma un ngulo de con el plano xy.

Solucin:

18. Hallar rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos ; y .

19. Formar los vectores , y que se muestran en la figura.

Solucin:

Si:

20. Un slido de 100N depende del centro de una cuerda (como se observa en la figura).

Solucin:

21. - Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y = 240. Cules son las coordenadas cartesianas de este punto?

cos 240 = Xr = 5,5X

X0

= 240

r = 5,5

X = 5,5 cos 240

X = 5,5 * (-0,5)

X = - 2,75 metros

sen 240 = Yr = 5,5Y

Y = 5,5 sen 240

Y = 5,5 * (-0,866)

Y = - 4,76 metros

22. Si las coordenadas rectangulares y polares de un punto son (2,Y) y (r,300) respectivamente. Determine Y y r.

Coordenadas cartesianas (2, Y)Coordenadas polares (r, 300)

YY(2 , Y)

tg30 ==Yr

X2

Y = 2* tg 30 = 300

Y = 2* (0,5773)X = 2

Y = 1,15 metros

Cos 30 = Xr = 2r

r = cos230 = 0,8662 =2,3 metros r =2,3metros

23.

Dados los siguientes vectores: ; y . Determinar:a) b) c) d)

e) El ngulo que forma el vector con cada uno de los ejes coordenados.f)

El ngulo entre los vectores: y

Solucin:a)

b)

c)

d)

=

e) ngulos que forma con los ejes coordenados

Con el eje X :

Con el eje Y :

Con el eje Z :

f) Angulo entre los vectores

24. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la direccin 30 respecto al semieje positivo de las x.

Solucin:Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cada uno de los semieje

de donde

de donde

25. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura

Solucin:

Se aplica el teorema de Pitgoras

VECTORES EN 3D1. Dados los vectores , y , demostrar que dichos vectores forman una base y calcular las coordenadas del vector respecto a dicha base. El sistema homogneo solo admite la solucin trivial:a=0b=0c=0Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman una base. Las coordenadas del vector respecto a la base son:

2. Determinar el valor del parmetro K para que los vectores sean: ORTOGONALESPara que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene que ser igual a cero: PARALELOSPara que dos vectores sean paralelos sus componentes tienes que ser proporcionales:

3. Hallar dos vectores de modulo la unidad y ortogonales a . =

4. Hallar un vector perpendicular a , y que sea unitario. =

5. Dados los vectores

Hallar los vectores Calcula a y b tales que Solucin: a=2, b=-7, es decir:

6. Halla en cada caso los valores de m, n y p tales que

a) b)

a) Como A}, la nica solucion del sistema es: Luego son linealmente independientesb) Resolvemos el sistema: Soluciones:

7. Dados los vectores: y , halla m para que los vectores sean:a) Paralelos b) 8. Calcula las coordenadas de un vector que sea ortogonal a y y tal que . Un vector ortogonal a es de la forma = = Por tanto:

9. Comprueba que los vectores y son los de una base ortonormal de , siendo Por tanto es una base ortonormal.10. Dados los vectores y , calcula la suma de los productos escalares Por tanto:

11. Determinar para que valores de my n los vectores y . Son colineales

Solucin:

y son colineales => son paralelos, es decir //

; ; ; ; ; ;

Luego: y

12. Para que valores de a los vectores y . Son ortogonales.Solucin:Si: =>

13. Dados los vectores y . Son paralelos estos vectores?

Solucin:

// , no son paralelos

y no son paralelos

14. Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los vectores ; y

Solucin:

15. Calcular los cosenos directores del vector:

; ;

; ;

16. Obtener la forma de los vectores y que se muestran en la figura en donde M es el punto medio del segmento BG.Solucin:

17. Un vector que va de S(x,y,z) a T (5,-4,2) es dos veces el vector que va de R(2,-1,5) a S(x,y,z). Calcular el valor de x+y+z

18. Sean A (2, 3,-2) y B (6,-3,2). Hallar el punto P que est en el segmento de recta que une A con B y a de distancia de A a B

19. Demostrar que los puntos A(3,5,2) , B(2,3,-1) y C( 6,1,-1) son vrtices de un tringulo rectnguloCBA

Se cumple el Teorema de Pitgoras, por tanto, el tringulo ABC es recto en B

20. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30 al Sur-Este y F3 = 7N 45 al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la direccin a donde se mueve.

Solucin:Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces

Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitgoras

Calcular la direccin

Grafica de la solucin

21. Un avin vuela 200 km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad B y despus 300 km en la direccin de 30 grados al noroeste de la ciudad B hasta la ciudad C.a) En lnea recta, que tan lejos est la ciudad C de la ciudad A. b) Respecto de la ciudad A en qu direccin est la ciudad C?

cos 30 = B300X

BXB= 300 cos 30

BXB= 300 * (0,866)

B= 259,8 metros

BX

RX = BX + 200 RX = 259,8 + 200RX = 459,8 metros

sen 30 = C300Y

CY = 300 sen 30CY = 300 * 0,5CY =150 metros

POR PITAGORAS R2 = (CY)2 + (RX)2

R2 = (150)2 + (459,8)2 R2 = 22500 + 211416,04 R2 = 233916,04R = 483,64 metros

22. Determinar las componentes, el mdulo y los cosenos directores de un vector en el plano cuyo origen es el punto (1, 2) y su extremo el punto (-3, 3).Indicamoscon P1 (x1, y1)alpunto(1,2)yconP2 (x2 , y2 ) alpunto (-3,3). Las

son ax x2 x1 a y y2 y1 3 - 2

componentes del vector P1P2-3 - 1 -4 ,1. Luego,

Sumduloesa2a2 ( 4)2 12 17. Loscosenos

P P ( 4,1) .PP

1 212xy

directoressoncos ax - 4; cos a y1. A partir de los cosenos se puede

a

a1717

calcular cadaunodelosngulos que forma el vector con los ejes coordenados:

arcos 4 166.0 , arcos176.0 .

1717

23. Efectuar el producto vectorial entre los vectores a) A (1, -2, 0 ) y B (-3, 1, 4) A B =ijk i 2 0j1 0k1 2 8i 4j 5k

1 - 2 0

- 3141 43 4 31

b) A (2, -1 ) y B (-3, 5)

Si bien estos vectores pertenecen a R2, para efectuar el producto vectorial debemos escribirlos como vectores de R3. La componente z es nula.

A B =ijk i 10j20k2 17k

2-10(0,0,7)

24. Encontrar la interseccin entre la recta L : (x, y, z) t(1,2, 1) (1,0,3) y el plano

: 2x y 3z 1.25. 26.

Efectuamos elproductoescalar entre los vectores V=(1,2,-1) y N= (2, 1,3) :

(1,2, 1) (2, 1,3) 2 2 3 3 0 . Concluimos que la recta y el plano no son paralelos

pues los vectores V y N no son perpendiculares. Por lo tanto, existe un punto de interseccin.

Para hallarlo, escribimos a partir de la ecuacin de larecta: x t 1; y 2t ; z t 3 y

sustituimosenlaecuacindelplano:2(t 1) 2t 3( t 3) 1 dedonde

2t 2 2t 3t 9 1 o sea 3t 1 2 9 y finalmente t=4. Las coordenadas del punto

de interseccin son x=4+1; y 2 4 ;z 4 3 . El punto es (5,8,-1). Se puede comprobar

que este punto cumple tambin con la ecuacin del plano: 2 5 8 3 ( 1) 127. Calcular la distancia entre el punto (2,-1,3) y el plano 2x 3y 4z 2 .

En primer lugar, comprobemos que el punto dado no pertenece al plano. En efecto, al

reemplazarlascoordenadasdelpuntoenlaecuacindelplanoobtenemos

2 2 3 ( 1) 4 3 11 2 . Elegimos ahora algn punto del plano, por ejemplo el (1,4,3) y

construimos el vectorP (2, 1,3) (1,4,3) (1, 5,0) . Su producto escalar con la

PQ Q

normal al plano,N (2,3,-4)es(1, 5,0) (2,3, 4) 13 . Adems,N 4 9 16 29 .

Luego, la distancia esd 13.

29

28. Siendo a= (-4,3) b= (4,-1) .Calcular un vector unitario en la direccin y sentido de v=2a+3b.

v=2(-4,3)+3(4,-1)

v=(-8,6)+(12,-3)

v=(4,3) Hallamos su vector unitario:= =

Hallamos el modulo |v|= |v|= |v|= |v|= Reemplazamos al vector unitario:= = = 1. Si IaI=8 , IbI=6 y a.b=-24 , entonces el valor del Angulo que forman los vectores a y b es

Entonces tenemos la formulaa.b=|a|.|b|.cosReemplazando:-24= 8.6.cos-24=48.cos- = cos - =cos

29. Hallar la norma de la suma de A normalizado con B normalizado Si A=(3,4) y B=(0,-5)Normalizando A

Normalizando B:

30. Hallar el vector: ma + nb rc en R s: m=3, n=1, r=4; a= (1,-5,0) b= (-1/2,0,3/2) c= (1,1,1).

31. 9. Sean los vectores: A= (-2,4) B= (3,-2) C= (4,-2) D= (5,-3)Hallar analtica y grficamente: A-B; A+D; A-CNormalizar la suma de A con BHallar analtica y grficamente:A-B

A+D

A-C

Normalizar la suma A+BNormalizando A+B:

Normalizar la diferencia de C-DNormalizando C-D:

32. Hallar el rea y permetro de la figura cuyos lados son vectores, si sus vrtices son:a) (2,3), (-2,3), (-5,-2), (5,-2)

Hallando la longitud de los vectores:

Hallando el rea:

b) A