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10. Perpendicularidad entre rectas y planos (rectas perpendiculares a planos y viceversa) - Ejercicios de comprobación o de condicionamiento (a y b) - Ejercicios de trazado (c, d, e y f) a) Dada la recta R[A(-3, 5, 3); B(2, y, 7)] y el plano P(-4, 2, -5), hallar el valor de y para que la recta y el plano sean perpendiculares. Solución y = -5. b) El plano P contiene a la línea de tierra y al punto A(0, y, z). Hallar un par de coordenadas (y,z) para que el plano P y la recta de perfil R[Hr(2, 6, 0); Vr(2, 0, 3)] sean perpendiculares. Solución: (2, 3) ó (4, 6) ó (6, 9).......... c) Trazar por el punto A(0, -4, 3) una recta R perpendicular al plano P. El plano P es perpendi- cular al segundo plano bisector, tiene su vértice en (-4, 0, 0) y contiene a la recta definida por los puntos B(-3, 2, 3) y C(3, -4, 3). d) Trazar por el extremo A del segmento AB[A(0, -1, 2); B(0, 3, -2) un plano P perpendicular al segmento. e) Trazar por el punto A(-5, 5, 6) una recta R perpendicular al plano definido por las rectas que se cortan S[B(-4, 0, 2); C(1, 3, 1)] y T[C; D(2, 4, 0)]. f) La recta frontal R tiene su traza horizontal en Hr(-2, 4, 0) y pasa por el punto A(2, 4, 6). Trazar un plano P perpendicular a R por un punto B(-5, 2, 2). 11. Perpendicularidad entre rectas (cuando no se cumple el teorema de las 3 perpendiculares - Ejercicios de comprobación (a) o Comprobar si R y S se cortan perpendicularmente: para empezar R y S tienen que tener un punto común (punto A). Si R y S son perpendiculares, un plano P perpendi- cular a una de las rectas (por ejemplo a R) por A debe contener a la otra recta (S en el ejemplo). o Comprobar si R y S se cruzan perpendicularmente: ahora no hay punto común. Se elige arbitrariamente un punto A de R; se traza por A una recta S1 paralela a S. Si S1 y R se cortan perpendicularmente puede afirmarse que R y S se cruzan perpendicularmente - Ejercicios de trazado (b) a) ¿Son perpendiculares las rectas R[A(6, -3, 9);B(0, 3, 3)] y S[B; C(6, 6, 0)]. Obtenga la respuesta mediante los oportunos trazados diédricos. Solución: son perpendiculares. b) Trazar por el punto A(-4, -4, -4) una recta S perpendicular a la recta R[A(-2, 0, 0); B(4, 6, 4)].

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  • 10. Perpendicularidad entre rectas y planos (rectas perpendiculares a planos y viceversa)

    - Ejercicios de comprobacin o de condicionamiento (a y b)

    - Ejercicios de trazado (c, d, e y f)

    a) Dada la recta R[A(-3, 5, 3); B(2, y, 7)] y el plano P(-4, 2, -5), hallar el valor de y para que la

    recta y el plano sean perpendiculares. Solucin y = -5.

    b) El plano P contiene a la lnea de tierra y al punto A(0, y, z). Hallar un par de coordenadas (y,z)

    para que el plano P y la recta de perfil R[Hr(2, 6, 0); Vr(2, 0, 3)] sean perpendiculares.

    Solucin: (2, 3) (4, 6) (6, 9)..........

    c) Trazar por el punto A(0, -4, 3) una recta R perpendicular al plano P. El plano P es perpendi-

    cular al segundo plano bisector, tiene su vrtice en (-4, 0, 0) y contiene a la recta definida por

    los puntos B(-3, 2, 3) y C(3, -4, 3).

    d) Trazar por el extremo A del segmento AB[A(0, -1, 2); B(0, 3, -2) un plano P perpendicular al

    segmento.

    e) Trazar por el punto A(-5, 5, 6) una recta R perpendicular al plano definido por las rectas que

    se cortan S[B(-4, 0, 2); C(1, 3, 1)] y T[C; D(2, 4, 0)].

    f) La recta frontal R tiene su traza horizontal en Hr(-2, 4, 0) y pasa por el punto A(2, 4, 6). Trazar

    un plano P perpendicular a R por un punto B(-5, 2, 2).

    11. Perpendicularidad entre rectas (cuando no se cumple el teorema de las 3 perpendiculares

    - Ejercicios de comprobacin (a)

    o Comprobar si R y S se cortan perpendicularmente: para empezar R y S tienen que

    tener un punto comn (punto A). Si R y S son perpendiculares, un plano P perpendi-

    cular a una de las rectas (por ejemplo a R) por A debe contener a la otra recta (S en el

    ejemplo).

    o Comprobar si R y S se cruzan perpendicularmente: ahora no hay punto comn. Se

    elige arbitrariamente un punto A de R; se traza por A una recta S1 paralela a S. Si S1

    y R se cortan perpendicularmente puede afirmarse que R y S se cruzan

    perpendicularmente

    - Ejercicios de trazado (b)

    a) Son perpendiculares las rectas R[A(6, -3, 9);B(0, 3, 3)] y S[B; C(6, 6, 0)]. Obtenga la

    respuesta mediante los oportunos trazados didricos. Solucin: son perpendiculares.

    b) Trazar por el punto A(-4, -4, -4) una recta S perpendicular a la recta R[A(-2, 0, 0); B(4, 6, 4)].

  • 12. Perpendicularidad entre planos

    - Ejercicios de comprobacin (a): para comprobar si dos planos P y Q son perpendiculares

    pueden seguirse las siguientes etapas.

    o Elegir un punto cualquiera A de uno de ellos, por ejemplo de P.

    o Trazar por A una recta R perpendicular al plano Q.

    o Comprobar si la recta R pertenece a P; en caso afirmativo P y Q son perpendiculares.

    - Ejercicios de trazado (b)

    a) Son perpendiculares los planos P(4, 2, 4) y Q (6, 6, -2)? Obtenga la respuesta mediante los oportunos trazados didricos. Solucin: son perpendiculares

    b) Trazar por el punto A (-5, 3, 3) un plano P que sea perpendicular al plano Q(-3, 4, -2) y que

    contenga al punto B(2, 0, 6). 13. Distancia entre dos puntos

    Se aplica en dos posibilidades:

    - Medir la distancia entre dos puntos A y B (ejemplos a) y b)).

    - Condicionar la posicin de un punto B (a lo largo de una recta) para que se encuentre a una

    distancia dada de un punto dado A. (ejemplos c) y d))

    a) Obtener la distancia entre los puntos A(-2, 1, 4) y B(2, 4, 4). Solucin: los puntos A y B

    definen un segmento horizontal, que por lo tanto se proyecta horizontalmente en verdadera

    magnitud. La distancia AB es la longitud de la proyeccin horizontal ab (5 cm).

    b) Obtener la distancia entre los puntos A(-3, -3, 4) y B(3, 2, 5). Solucin: aprox. 7.9 cm.

    c) Hallar un punto C sobre el segmento de extremos A(-4, -1, -2) y B(4, 4, 3) de modo que se

    cumpla que: Longitud de AB/Longitud de AC = 1,25. Solucin aproximada C(2.4, 3, 2).

    d) En la recta R definida por los puntos A(-3, 4, 4) y Vr(4, 0, 7), hallar un punto B situado a la

    derecha de A y cuya distancia a A sea de 8 cm. Solcucin aprox. B(3.6, 0.3, 6.8)

    14. Distancia de un punto A a una recta R.

    La solucin se simplifica cuando la recta R es paralela a alguno de los planos de proyeccin (ejemplo

    a)) o cuando la recta S (perpendicular a R por A) es paralela a alguno de los planos de proyeccin

    (ejemplo b)). El caso ms general es el ejemplo c).

    a) Encontrar la distancia entre el punto A(0, -2, 2) y la recta frontal R[B(2, 4, 1); C(6, 4, 6)].

    Solucin: en la perpendicular a R desde A se cumple el teorema de las 3 perpendiculares; el

    punto de interseccin entre S y R es aprox. el (1.7, 4, 0.7); la distancia aprox. es de 6.3 cm.

    b) Encontrar la distancia entre el punto A(0, -2, -2) y la recta vertical R que pasa por el punto B

    de coordenadas (3, 3, 1). Solucin: al ser R vertical, la recta S, perpendicular a R por el punto

    A es horizontal; por tanto las distancias en S se proyectan horizontalmente en verdadera

    magnitud; distancia = 5.9 cm aprox.

  • c) Encontrar la distancia entre el punto A(-4, 4, 2) y la recta que corta a la lnea de tierra R,

    definida por los puntos B(2, 0, 0) y C(5, 1, 5).

    15. Distancia entre un punto A y un plano P.

    Dado que se trata de trazar por A una recta R perpendicular al plano P y hallar el punto B de

    interseccin entre R y P y, finalmente, hallar la distancia entre A y B, estos problemas se simplifican

    cuando esa recta R resulta paralela a alguno de los planos de proyeccin, puesto que sobre ese

    plano la distancia AB se proyectar en verdadera magnitud (ejemplo a)). El caso general es el

    ejemplo b).

    a) Hallar la distancia entre el punto A (-3, 4, 2) y el plano P, de canto, con el vrtice en (2, 0, 0) y

    la traza vertical subiendo hacia la derecha y formando 45 con la lnea de tierra. Solucin

    aproximada: 4,9 cm.

    b) Hallar la distancia entre el punto A(-3, -4, 2) y el plano P, perpendicular al segundo bisector.

    Una forma de definir P es mediante dos puntos de ese plano: B(2.2, 2, 3) y C(3.6, 2, 5).

    Solucin aprox. 6.3 cm

    16. Distancia entre una recta R y un plano P

    Puesto que slo tiene sentido hablar de distancia desde una recta a un plano cuando la recta es

    paralela al plano, en el ejemplo a) que sigue se pide que se compruebe previamente esa condicin.

    a) Comprueba grficamente si la recta R[Vr(2, 0, 2); Hr(5, 5, 0) y el plano P(-4, 4, 4) son

    paralelos y, en caso afirmativo, encuentra la distancia entre R y P. Solucin aprox. 2.2 cm

    17. Distancia entre dos planos P y Q

    Nuevamente el concepto de distancia entre planos slo tiene sentido cuando ambos planos son

    paralelos.

    a) Comprueba si son paralelos los planos P y Q y, en caso afirmativo, encuentra la distancia

    entre P y Q. P es el plano (-3, 3, -6). Q es un plano cuyo vrtice es el punto (3, 0, 0) y que

    contiene una recta horizontal definida por los puntos A(3.5, 2, 3) y B (6.5, 5, 3). Solucin

    aproximada 4.1 cm.

    18. Distancia entre dos rectas R y S

    El concepto slo tiene sentido si las rectas son paralelas (ejemplo a)) o si se cruzan en el espacio

    (ejemplo b)).

    a) Comprobar si las rectas R y S son paralelas y, en caso afirmativo, hallar la distancia entre

    ellas. R[A(-2, 1.5, 1);B(-4, 0.5, 3)]. S[Hr(6, 2, 0); Vr(2, 0, 4). Solucin aproximada: 5.3 cm.

    b) Hallar la distancia entre las rectas R y S y la posicin del segmento que, con esa distancia,

    une a ambas rectas de forma que resulta perpendicular a ambas. R es una recta horizontal

    que pasa por los puntos A(-3, 2, 4) y B(3, 6, 4). S es una recta frontal que pasa por los puntos

    C(-3, 3, 1) y D(3, 3, 5). Solucin aproximada: la distancia entre las rectas es de 1.3 cm; el

    segmento que une ambas rectas tiene uno de sus extremos en el punto (-0.3, 3.8, 4) sobre la

    recta R y el otro extremo en el punto (0.3, 3, 3.2) sobre la recta S.