Recopilación de ejercicios de números complejos

Estos ejercicios complementan el módulo 4. Los ejercicios o apartados que hay que hacer con Wiris ya se indican en el enunciado, si no se dice nada se entiende que hay que hacerlos a mano.

EJ 1: Considerad el número complejo

a) Encontrad todas las soluciones de la ecuación , representadlas gráficamente en el plano complejo y razonad, a la vista del gráfico, que su suma es 0. ¿Qué relación hay entre el módulo de cada una de estas soluciones y el módulo de A? ¿Y entre los argumentos?b) Pasad, sin la ayuda de WIRIS, las soluciones del apartado a) a la forma binómica y comprobad que, efectivamente, su suma es 0.d) Resolved la ecuación . Nota: si en algún momento de este apartado usáis WIRIS, debéis razonar cómo lo haríais a mano.

SOLUCIÓN EJ 1:a) Las soluciones de este apartado son los números . Para hacerlo manualmente es conveniente pasar A a su forma polar:

Hemos tenido que sumar radianes al ángulo que hemos obtenido inicialmente porque el número A era del segundo cuadrante y la función arcotangente no detecta esta particularidad. De este resultado llegamos a:

Sabemos pues que el módulo de cada una de las raíces es la raíz cuarta de 8: ; también que el argumento de cada una de las raíces es una cuarta parte de

para k=0,1,2,3, o sea, que son , , y .

Con Wiris:

Ahora bien, en la actividad 5 del material-web de la asignatura disponemos de un enlace a una actividad-Wiris que calcula las raíces de un número complejo que allá se denomina genéricamente Z (donde deberemos poner el número A del enunciado) y las representa gráficamente. En este caso obtenemos:

En este gráfico podemos observar claramente que los puntos y tienen la

misma parte real e imaginaria pero cambiadas de signo, por lo tanto, ; lo mismo pasa con los otros dos puntos, con lo que . Con estas dos propiedades, llegamos a la conclusión que se cumple que .

Que el módulo de cada una de las raíces es la raíz cuarta de 8 lo podréis constatar si elimináis la línea del programa donde pone Z = Z+0., que tiene la finalidad que las soluciones se escriban como números decimales. Si lo hacéis, obtendréis:

b) Si pasáis los valores obtenidos anteriormente a su forma binómica obtendréis:

donde claramente se observa que la suma es 0. Si lo hubieseis hecho con Wiris:

Podría parecer que la suma no es exactamente 0, pero esto es debido a un problema de redondeo cuando se escriben los decimales. Si utilizamos los valores exactos que se han indicado, obtendremos:

y ahora se comprueba que la suma es, exactamente, 0.

c)

EJ 2: Un campo eléctrico de una onda electromagnética viene dado por:

a) Calculad la transformada de Fourier de . Indicación: recordad que la función seno podéis expresarla como la suma de dos exponenciales.b) Calculad el módulo y la fase de esta onda.Nota: este ejercicio debéis resolverlo sin la ayuda de WIRIS.

SOLUCIÓN EJ 2:

a) Según la definición de función transformada de Fourier de la página 45:

b) El módulo y la fase corresponden a la parte real y a la parte imaginaria de la función que acabamos de calcular en el apartado anterior, por lo tanto, sólo hace falta hacer los cálculos adecuados para obtenerlas:

Así pues,

Podemos dejarlo así, o si lo queremos simplificar al máximo, tendremos que realizar algún cálculo más:

EJ 3: Considera los números complejos , , y

a)

Calcula con WIRIS la forma polar los números complejos y

comprueba que sus argumentos están en el intervalo .

Ahora, calcula a mano la forma polar de estos complejos de manera que sus argumentos estén en el intervalo

b) Escoge la forma más conveniente de para calcular

indicando claramente todos los pasos. Comprueba que tu resultado coincide con el de WIRIS

SOLUCIÓN EJ 3:

a) Con Wiris

Todos los argumentos están en el intervalo .

A mano, con los argumentos en , hay que tener en cuenta el cuadrante donde se encuentran los complejos

b) .Operamos primero el denominador

Para operar con potencias es mejor la forma polar. Así

Finalmente

Comprobamos con Wiris:

EJ 4:

a) Calcula a mano la transformada de Fourier, , de la función

y comprueba si tu resultado coincide con el que da WIRIS.

b) Utiliza WIRIS para calcular el módulo y la fase de la señal dada por . Para ello, comprueba que WIRIS no hace nada si le pides que calcule la parte real y la parte imaginaria de . Para resolverlo, y no tener que hacer a mano los numerosos cálculos que eso supondría, haremos lo siguiente. Si

Calcula a mano la parte real y la parte imaginaria de (Verás que WIRIS no lo hace)

Aplica que y

y calcula con WIRIS estas dos integrales.

(Verás que estas sí las hace).

NOTA: A veces es necesario forzar a las máquinas para que hagan lo que nosotros queremos.

SOLUCIÓN EJ 4:

a) A mano

Con Wiris

dt

Preguntemos a Wiris si su resultado coincide con el nuestro:

b) El módulo de la señal es la parte real de y la fase la parte imaginaria. Si lo

calculamos con Wiris

vemos que no lo hace. Y si le pedimos que lo haga con el resultado que nos ha dado antes para

tampoco nos lo hace. Llegados a este punto, parece que Wiris no nos puede ayudar a resolver este ejercicio. Pero nos dicen que

y

y para ello, necesitamos calcular previamente la parte real y la parte imaginaria de . Si se lo pedimos a Wiris

tampoco nos lo hace, por lo que lo haremos a mano,

,

Por tanto,

y estas integrales, afortunadamente, sí las hace Wiris,

la primera es el módulo de la señal y la segunda la fase de la señal.

EJ 5: Considerad los números complejos ,

a) Indicad en qué cuadrante se encuentran y dad su forma polar con el argumento en el intervalo y también en ,

b) Calculad y las tres raíces cúbicas de .

c) Calculad justificando todos los pasos. Comprobad que

vuestro resultado coincide con el de WIRIS.

d) Si con WIRIS calculáis , veréis que sólo os da una solución. Exactamente,

¿con cual de las tres raíces del apartado b) coincide esta solución de Wiris?

SOLUCIÓN EJ 5:

a) Como y , resulta que se encuentra en el cuarto cuadrante y

Si expresamos el argumento de en el intervalo , tenemos

.

En el caso de , y , por tanto, se encuentra en el segundo cuadrante y

Este argumento y también .

Nota: La función tangente es periódica de periodo , por tanto

corresponde a dos ángulos, uno en el segundo cuadrante y el otro en el cuarto. Si con

la calculadora calculamos , obtenemos sólo una solución

(*)

pues las les calculadoras sólo dan una solución, la que está en el intervalo .

Concretamente, dan como a solución un ángulo que está en el primer cuadrante si y en el cuarto si . Si a nosotros lo que nos interesa es un ángulo

que esté en el segundo o ten el tercer cuadrante, sólo tenemos que sumar a la solución de la calculadora (*). En nuestro caso, como que se encuentra en el cuarto cuadrante la solución de la calculadora nos da ya su argumento.

En cambio, como se encuentra en el segundo cuadrante tenemos que sumar a la solución de la calculadora (*)

b) . Y como este argumento, , queda

fuera del intervalo , podemos buscar uno que esté en este intervalo de la

siguiente manera:

y

c)

Con Wiris

d) Con Wiris

y como el argumento de este complejo y el de todas las raíces del

apartado b) están en el intervalo , si sumamos a obtendremos

el argumento de la solución de Wiris en

Por tanto, la solución de Wiris coincide con la raíz

EJ 6: Considerad la función compleja con

a) Determinad los valores de y si y . Comprobad que

.

b) Si , calculad

c) Encontrad los puntos fijos de . Nota: Un punto se dice que es s un punto fijo de la función si

.

SOLUCIÓN EJ 6:

a)

b)

c)

EJ 7: a) Encontrad la transformada de Fourier de la función

y comprobad que vuestro resultado coincide con el de WIRIS

b) Encontrad el módulo y la fase de la señal dada por .

SOLUCIÓN EJ 7:

a)

Con Wiris

Veamos si este resultado coincide con el nuestro

b) El módulo y la fase corresponden a la parte real y a la parte imaginaria de la transformada de Fourier

Así pues,

y (*)

Nota: Estos cálculos no los hace Wiris, pero si tenemos en cuenta que

y

en nuestro caso

y como

resulta que

y

y estas integrales sí que las hace Wiris

resultados que coinciden con los obtenidos en (*).

EJ 8: Considérense los números complejos ,

a) Indicar en que cuadrante se encuentran y dar su forma polar con argumento en el intervalo y también en .

b) Calcular .

c) Comprobar que vuestros resultados de los apartados a y b coinciden con los de WIRIS.

SOLUCIÓN EJ 8:

a) Recordemos que inicialmente, con la función arcotangente solo podemos obtener

ángulos de , es decir, del primer y cuarto cuadrante. Si nuestro punto no

está en uno de estos cuadrantes, tendremos que sumarle media vuelta.

Dado que y , es un punto del cuarto cuadrante y, por lo

tanto, obtenemos directamente el ángulo en .

.

Puesto que también nos piden el argumento en el intervalo , le sumaremos una vuelta entera:

.

Por otro lado, puesto que y , es un punto del tercer cuadrante, o sea, que tendremos que sumar media vuelta al ángulo que obtenemos inicialmente:

.

El ángulo obtenido es del intervalo ; si también queremos el correspondiente

en el intervalo , le restaremos una vuelta entera:

.

b) Primero calculamos las potencies que aparecen en el numerador:

Para la otra potencia del numerador, solo cambia el signo del ángulo, porque :

.

La potencia que hay en el denominador es más fácil: .

Ahora hacemos el cálculo final:

c)

EJ 9: a) Encontrar todas las soluciones complejas de la ecuación: .

Indicación: usar el cambio y resolver primero la ecuación en la variable , después deberéis deshacer el cambio.

b) Calcular .

SOLUCIÓN EJ 9:

a) Puesto que es una ecuación polinómica de grado 6, ya sabemos que tiene 6 soluciones. Hacemos primero el cambio para transformar la ecuación en una de grado 2:

.

.

El paso final a coordenadas polares se ha hecho de la misma forma que en el ejercicio 1 y en previsión del siguiente paso, que es deshacer el cambio de variables:

.

Dando los valores 0, 1 y 2 al parámetro k obtendremos las seis soluciones de la ecuación:

b) Usando la definición del seno de un número complejo de la página 31 del módulo 4:

.

Usamos ahora la fórmula de Euler también de la página 31 para calcular las exponenciales de un complejo:

.

Finalmente,

EJ 10: a) Calcular la transformada de Fourier de la función

b) Comprobar que vuestro resultado coincide con el de Wiris.

SOLUCIÓN EJ 10:

a) La integral que nos dará la transformada de Fourier debe separarse en dos trozos según la definición que tenemos de la función : en el intervalo [-3/2,0] la función vale t+3/2 y en el intervalo (0,3/2] vale t-3/2.

Cada una de estas dos integrales puede resolverse con la técnica de integración por partes:

,

.

Finalmente, sumando los dos resultados:

.

b)

EJ 11:

(a) La impedancia de un circuito eléctrico (por ejemplo una placa base de un ordenador) es la magnitud que establece la correspondencia entre la tensión y la intensidad de corriente y viene representada por un número complejo. Si tenemos dos componentes colocados en paralelo (con impedancias ), la impedancia resultante viene dada por la expresión

(a.1) Calcular la impedancia resultante de un circuito si tenemos dos componentes colocados en paralelo cuyas impedancias son .

Solución

Para calcular ahora la impedancia resultante, hay que invertir la última expression y expresarla en forma binómica.

(a.2) Expresar la impedancia resultante y las impedancias en forma polar con

ángulos en el intervalo y también en el intervalo . Para ello, identificar claramente en qué cuadrante se encuentra cada una de estas tres impedancias.

Solución

La impedancia resultante, , al tener parte real positiva y parte imaginaria

negativa, es un número complejo que pertenece al cuarto cuadrante. Su módulo es:

Y su ángulo o argumento:

El mismo ángulo pero en el intervalo sería

La impedancia también está en el cuarto cuadrante, al tener parte real positiva y parte imaginaria negativa. En este caso, su módulo es:

Y su argumento: El mismo ángulo pero en el intervalo sería

Por último, la impedancia se encuentra en el segundo cuadrante, al tener parte real negativa y parte imaginaria positiva. Su módulo es:

Para el cálculo del argumento, procedemos como antes, pero esta vez hemos de tener cuidado ya que las calculadoras (o por ejemplo Wiris), nos dará inicialmente un ángulo del cuarto cuadrante. En efecto,

El ángulo obtenido correspondería al número complejo , que está en el cuarto cuadrante, pero no es el ángulo correcto para . La forma de conseguir el ángulo correcto se basa en sumar simplemente . De este modo, obtenemos:

En este caso, el ángulo obtenido es el mismo en las dos representaciones, ya que este valor también pertenece al intervalo (esto siempre pasa para números complejos situados en el primer o segundo cuadrante).

En resumen,

(a.3) Comprobar los dos apartados anteriores con Wiris.

(b) Recordando la definición del seno y del coseno de un ángulo en función de la exponencial compleja

,

comprobar la expresión trigonométrica

Solución

EJ 12:

(a) La suma de dos números complejos y es . La

parte real de es -1 y el cociente es un número imaginario puro. Encontrar

y .

Solución

La información que nos da el enunciado del problema se puede representar mediante diversas ecuaciones. La primera indicación es que la suma de los dos números complejos es , es decir,

,

o, de forma equivalente,

Por otro lado, sabemos que la parte real de es -1, con lo que podemos decir directamente que .

La última indicación señala que el cociente es un número imaginario puro.

Calculemos este cociente (sabiendo ya que ):

Si este cociente corresponde a un número complejo imaginario puro, la parte real ha de ser cero, con lo que tenemos la ecuación

Recopilando las ecuaciones, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

De la primera ecuación podemos deducir que . De las otras dos, observamos que las variables y juegan un papel intercambiable, con lo que tendremos dos posibles soluciones. En efecto, si manipulamos las dos últimas ecuaciones, obtenemos

Las soluciones de esta última ecuación son

,

lo que implica a su vez que y son solución. Como resumen, los dos números complejos que buscábamos son:

(b) Encontrar las ocho soluciones complejas de la ecuación: .

Solución

Haciendo el cambio nos queda la ecuación , que tiene como

soluciones los valores y . El siguiente paso es resolver las ecuaciones

y , es decir, encontrar las raíces cuartas de 1 y también las

raíces cuartas de 2. Expresando 1 y 2 en forma polar (recordemos que son números reales positivos y eso hará que su ángulo sea 0), tenemos que:

De forma más detallada, las ocho soluciones son

(c) Expresar las soluciones del apartado anterior en forma binómica y sumarlas.

Solución

Para expresar las ocho soluciones en forma binómica utilizaremos la siguiente igualdad:

En efecto,

La suma de estas ocho cantidades es cero.

EJ 13:

(a) Calcular la transformada de Fourier de la función

Solución:

Esta última integral se resuelve por partes, utilizando las partes

Por lo tanto, la integral definida se calcula como:

(b) Calcular la parte real y la parte imaginaria de la expresión compleja ,

utilizando la función del apartado anterior.

Solución:

Utilizando que , podemos escribir

Es decir,

(c) Con Wiris, calcular las integrales y ,

utilizando la parte real y la parte imaginaria obtenida en el apartado anterior. La primera integral corresponde al módulo y la segunda a la fase de la señal dada por la función .

EJ 14:

(a) Determina los números complejos que satisfacen la ecuación .

(b) Expresa las soluciones de la ecuación anterior en forma binómica y en forma polar (con los ángulos dentro del intervalo ).

Solución:

(a) Consideremos la representación en forma polar del número complejo , es decir, . De este modo, la ecuación se puede expresar como

Sabemos que dos números complejos expresados en forma polar son iguales si: (a) sus módulos son iguales y (b) sus argumentos son iguales (sumando o restando las vueltas necesarias). Entonces,

Las soluciones de la ecuación son:

En relación a la ecuación que contiene el ángulo tenemos que:

Si damos a los valores obtenemos los ángulos

.

Por una lado, se puede observar que estos cinco ángulos pertenecen al intervalo . Por otro lado, dando valores de o valores

obtendremos ángulos equivalentes a los cinco que ya hemos obtenido.

Así pues, a modo de resumen, tenemos seis soluciones:

La primera. Cuando , obtenemos el número complejo .Las cinco últimas. Cuando , y con los ángulos que hemos obtenido, tenemos como solución los siguientes números complejos (expresados en forma polar)

(b) Expresaremos las seis soluciones del apartado anterior en forma binómica aplicando la fórmula

.

De este modo, tenemos que:

A parte de estas cinco soluciones, teníamos pendiente la solución .

EJ 15:

Considera la función compleja tal que al número real le asignamos el

número complejo . Es decir,

(a) Expresa en forma binómica y en forma polar los números complejos

i . Calcula el módulo de estos cuatro números

complejos.

(b) Calcula el módulo de para todo .

(c) ¿Qué figura geométrica obtenemos si representamos en el plano complejo

todos los números complejos de la forma para ? En este

apartado podéis utilizar la WIRIS.

Solución:

(a) Los números complejos i se pueden calcular

utilizando la fórmula

.

Entonces, tenemos que:

Teniendo en cuenta que

también que

y

y aplicando la propiedad del producto de números complejos en forma polar

,

que en forma exponencial es equivalente a

,

podemos reescribir (en forma polar) los cuatro números complejos que hemos calculado anteriormente (se ha forzado que los ángulos de estos números complejos estén comprendidos en el intervalo ):

Finalmente, la forma binómica de estos cuatro números complejos se calcula con la fórmula . Entonces,

Estos cuatro números complejos, tal y como se puede ver en sus representaciones en forma polar, tienen módulo 1.

(b) De modo más general, la expresión se puede

reescribir como

,

es decir, el número complejo es un número complejo de módulo 1 y

con argumento . Esto se puede interpretar como que para cada valor de ,

la función devuelve un número complejo de módulo siempre 1 y con un ángulo

igual al dado pero sumando un giro de radianes.

(c) Teniendo en cuenta lo que se ha dicho en el apartado anterior, si representamos gráficamente el conjunto de los números complejos de la forma

para , lo que obtenemos es una semicircunferencia de radio 1,

tal y como puede observarse en la gráfica adjunta:

Este gráfico ha sido generado con la Wiris escribiendo el siguiente código:

EJ 16:

Considera los números complejos y .

(a) Calcula el módulo y el argumento (dentro del intervalo ) de estos tres números complejos. Expresa en forma binómica.

(b) Dibuja en el plano complejo la región formada por todos los números complejos que tienen módulo menor o igual a 3, que tienen parte imaginaria

mayor o igual a -2 y cuyo argumento se encuentra dentro del intervalo

.

(c) Di y justifica si los números complejos del apartado (a) pertenecen o no a esta región.

(c) Calcula los siguientes números complejos y exprésalos en forma binómica

i

Solución:

(a) En primer lugar, podemos decir directamente que el número complejo

tiene módulo y argumento igual a . Por otro lado,

este número se puede expresar en forma binómica como sigue:

Ahora pasaremos a calcular el módulo y el argumento de los números complejos :

En resumen, tenemos la siguiente tabla:

forma binómica módulo argumento-0.9828 rad0.4636 rad

rad

Notemos que las arcotangentes están calculadas con una calculadora y que directamente los ángulos ya están dentro del intervalo .

(b) La región que se nos pide es la del gráfico adjunto.

Se puede observar que en esta figura hay representadas en un trazo discontinuo: la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 3 (que incluiría a todos los números complejos de módulo menor o igual a 3); la recta horitzontal

, por encima de la cual podríamos encontrar a todos los números complejos de parte imaginaria mayor o igual a -2; las rectas que pasan por el origen de coordenadas y que forman un ángulo con el eje positivo de abcisas de

y radianes (-90 y 45 grados, respectivamente), entre las que podríamos

encontrar a todos los números complejos que tiene argumento dentro del

intervalo .

(c)

Si recordamos la tabla del apartado (a)

forma binómica módulo argumento-0.9828 rad0.4636 rad

rad podemos completar otra tabla:

módulo menor o igual a 3?

parte imaginaria mayor o igual a -2?

argumento dentro

de .

no no sísí sí sísí sí sí

Por lo tanto, sólo y son de la región.

(d)

1. (a) Calcula la transformada de Fourier, , de la función

cuando .

(b) Calcula la parte real y la parte imaginaria del número complejo que has calculado en el apartado anterior.

Solución:

(a)

Esta integral tiene que resolverse por partes (dos veces). Primero, utilizando las siguientes partes:

Por lo tanto, la integral definida se calcula como:

La segunda integral también se resuelve por partes. En este caso, utilizamos las partes:

Y tenemos finalmente

(b) Utilizando que , podemos escribir