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Barranquilla, 5 de octubre de 2015

UNIVERSIDAD DEL NORTE

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES - TALLER 10

EJERCICIOS

Ejemplo 1

Resolver utilizando el método de coeficientes indeterminados la EDO

y ′′ − 4y ′ − 5y = 5x3(4− 4x− x2)

Solución

Paso I: Resolver la ecuación homogénea asociada:

La ecuación característica esr2 − 4r − 5 = 0

cuya raices son r = ±4 ı̇ entonces

yc = c1e5x + c2e−x

Paso II: Determinar la función de prueba para yp

Se observa que g(x) = 5x3(4− 4x− x2) /∈ S0, por lo tanto una adecuada forma de yp es

yp = Ax5 + Bx4 + Cx3 +Dx2 + Ex + F

Paso III: Determinar los coeficientes indeterminados

Derivando yp se tiene que

yp = Ax5 + Bx4 + Cx3 +Dx2 + Ex+ F

y ′p = 5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 + 2Dx+ E

y ′′p = 20Ax3 + 12Bx2 + 6Cx + 2D

reemplazando en la ecuación y simplificando el lado izquierdo se tiene que

y ′′ − 4y ′ − 5y = 5x3(4− 4x − x2)

− 5Ax5 + (−20A − 5B) x4 + (−16B + 20A − 5C) x3

(−12C − 5D + 12B) x2 + (6C − 5E − 8D) x− 4E − 5 F + 2D

= 20x3 − 20x4 − 5x5

NRC: 4232,4235 (RP) - 4231 (CD) - 4233 (EB) - 4234 (CDO)Prof. Catalina Domínguez - Prof. Ricardo Prato T.

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NR

C:4

232,

4235

(RP

)-42

31(C

D)-

4233

(EB

)-42

34(C

DO

)

Igualando los coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones

−5A = 5 −20A − 5B = −20

−16B + 20A − 5C = 20 −12C − 5D + 12B = 0

6C − 5E − 8D = 0 −4E− 5 F + 2D = 0

al resolver el sistema se tiene que

A = 1, B = C = D = E = F = 0

Por lo anterior, la solución general toma la forma

y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1e5 x + c2e−x + x5

Ejemplo 2


y ′′ + 16y = e3x

Solución


La ecuación característica esr2 + 16 = 0

cuya raices son r = ±4 ı̇ entonces

yc = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x)


Se observa que g(x) = e3x /∈ S0, por lo tanto una adecuada forma de yp es

yp = Ae3x


Derivando yp se tiene que yp = Ae3x, y ′p = 3Ae3x, y ′′

p = 9Ae3x. Reemplazando en la ecua-ción y simplificando el lado izquierdo se tiene que

y ′′ + 16y = e3x

9Ae3x + 16Ae3x = e3x

25Ae3x = e3x ⇒ A =1

25


y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x)+1

25e3x


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C:4

232,

4235

(RP

)-42

31(C

D)-

4233

(EB

)-42

34(C

DO

)

Ejemplo 3


y ′′ − 4y ′ + 4y = 6e2x

Solución


La ecuación característica esr2 − 4r + 4 = 0

cuya raíz es r = 2 con multiplicidad 2 entonces

yc = c1e2x + c2xe

2x


Puesto que g(x) = 6e2x ∈ S0, es decir g(x) es solución de la EDO homogénea asociada (to-mando c1 = 6 y c2 = 0, la posible función de prueba yp = Ae2x no resulta ser convenientepara aplicar el método. Se propone como función de prueba la resultante de aumentar ungrado (al factor polinómico) esto es yp = Axe2x, la cual resulta ser también solución de lahomogénea (con c1 = 0 y c2 = A). Se propone entonces aumentar un grado adicional (alfactor polinómico), tomando la forma

yp = Ax2e2x



yp = Ax2e2x

y ′p = 2 x (x+ 1) e2xA

y ′′p = 2

(

2 x2 + 4 x+ 1)

e2xA

reemplazando en la ecuación y simplificando el lado izquierdo se tiene que

2Ae2x = 6e2x ⇒ A = 3


y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1e2x + c2xe

2x + 3x2e2x


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232,

4235

(RP

)-42

31(C

D)-

4233

(EB

)-42

34(C

DO

)

Ejemplo 4


y ′′ − 4y ′ + 13y = e2x sin2 3

2x

Solución


La ecuación característica esr2 − 4r + 13 = 0

cuya raices es r1,2 = 2± 3ı̇ entonces

yc = c1e2x cos 3x + c2e

2x sin 3x

Recordar

sin2 θ =1− cos 2θ

2Paso II: Determinar la función de prueba para yp

Puesto que

g(x) = e2x sin2 3

2x =

e2x

2−

1

2e2x cos 3x.

Se observa que el primer término no esta en S0, mientras que el segundo término de g(x) essolución de la EDO homogénea asociada (tomando c1 = −1

2 y c2 = 0), en este caso aumenta-remos un grado (al término polinómico) a la expresión asociada al mismo. Por tal razón, unaposible función de prueba es de la forma

yp = Ae2x + Bxe2x · cos 3x+ Cxe2x · sin 3x



yp = Ae2x + Bxe2x · cos 3x +Cxe2x · sin 3x

y ′p = (2Bx+ B+ 3Cx) e2x cos 3 x + (2Cx − 3Bx+ C) e2x sin 3 x + 2Ae2x

y ′′p = (4B+ 6C − 5Bx+ 12Cx) e2x cos 3x + (4C − 6B− 5Cx− 12Bx) e2x sin 3x+ 4Ae2x

reemplazando en la ecuación y simplificando el lado izquierdo obtenemos

y ′′ − 4y ′ + 13y =e2x

2−

1

2e2x cos 3x

9Ae2x − 6Be2x sin (3 x) + 6Ce2x cos (3 x) =e2x

2−

1

2e2x cos 3x

igualando coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones

9A =1

2− 6B = 0 6C = −

1

2


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232,

4235

(RP

)-42

31(C

D)-

4233

(EB

)-42

34(C

DO

)

es decirA =

1

18B = 0 C = −

1

12

Por lo cual, la solución general toma la forma

y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1e2x cos 3x + c2e

2x sin 3x +1

18e2x −

1

12xe2x

· sin 3x

Grupo de ejercicios E1

Resolver las EDO lineales no homogéneas utilizando el método de coeficientes indeterminados

1. y ′′ + 16y = e3x

2. 4y ′′ − 12y ′ + 9y = 6e3x/2

3. y ′′ + 8y ′ + 16y = 10e−4x

4. y ′′ + 2y ′ + 2y = 2(x + 1)2

5. y(4) − 2y ′′ + y = x2 − 5

6. y(4) − y(3) + y ′′ = 12x2 − 24x + e−x

7. y ′′ − y ′ − 6y = 2 sin 3x

8. y ′′ + 9y = 2 cos 3x + 3 sin 3x

9. y ′′ + 4y ′ + 5y = e−2x cos 3x

10. 4y ′′ − 5y ′ + y = ex(sin 2x − cos 2x)

11. y ′′′ + 4y ′ = 3x − 1

12. y ′′ + y = sin x+ x cos x

Respuestas seleccionadas E1

1. y = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x) + 125 e3x

2. y = e3/2x (c1 + c2x) + 3 x2e3/2x

3. y = e−4x (c1 + c2x) + 5 x2e−4x

4. y = e−x (c1 cos (x) + c2 sin (x)) + x2

5. y = c1ex + c2e−x + c3xex + c4xe−x − 1+ x2

6. y = c1 + c2x+ c3e1

2x cos

(√32 x

)

+ 13 e−x

+ c4e1

2x sin

(√32x)

− 12 x2 + x4 − 24 x

7. y = c1e3x + c2e−2x + 139 cos (3 x) − 5

39 sin (3 x)

8. y = c1 cos (3 x) + c2 sin (3 x) + 19

cos (3 x)

− 12 x cos (3 x) + 1

3 x sin (3 x)

9. y = e−2x (c1 cos x+ c2 sin x) − 12

e−2x cos3 x

10. y = c1ex + c2e1

4x + 1

146 ex (5 cos (2 x) − 11 sin (2 x))

11. y = c1 + c2 cos (2 x) + c3 sin (2 x) + 38x2 − 1

4x− 3

16

12. y = c1 sin (x) + c2 cos (x) − 14 x (3 cos x+ x sin x)

Grupo de ejercicios E2

Para cada una de las siguientes ecuaciones formule la forma apropiada para una solución particu-lar yp utilizando el método de coeficientes indeterminados, pero no determine los valores de loscoeficientes


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4233

(EB

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34(C

DO

)

1. y ′′ − 2y ′ + 2y = ex sin x

2. y(5) − y(3) = ex + 2x2 − 5

3. y ′′ + 4y = 3x cos 2x

4. y ′′′ − y ′′ − 12y ′ = x − 2xe−3x

5. y ′′ − 6y ′ + 13y = xex sin 2x

6. y(2) + 9y = (x2 + 1) sin 3x

7. y ′′ + 3y ′ + 2y = x(e−x − e−2x)


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