ejercicios02

Tallersemana2(02.02.15-06.02.15)Ecuaciones

diferenciales

NRC:2997,3000(R

P)-2998,2999(C

D)-3001

(EB)

Barranquilla, 2 de febrero de 2015

Universidad del Norte

Division de ciencias basicas

Departamento de matematicas y estadisticas

Ecuaciones diferenciales - Taller 2

Ejemplo 1

Determine si el teorema de existencia y unicidad garantiza o no la existencia de una unicasolucion para el problema de valor inicial dado.

u =(u t)1/2

t1/2

u(x0) = y0

si

1. (x0, y0) = P (2, 1) 2. (x0, y0) = Q(1, 2) 3. (x0, y0) = R(1, 1)

Solucion

Tenemos que

f(t, u) =(u t)1/2

t1/2y

f

u=

1

2 t1/2u t

asi

Dom f = {(t, u) R2 : t > 0 y u t} Dom fu

= {(t, u) R2 : t > 0 y u > t}

asi, para (t0, u0) D = {(t, u) R2 : t > 0 y u > t} el TEU garantiza existencia y unicidadde la solucion del PVI

La figura de la derecha muestra la region dondetanto f como f

uson continuas, y se observa que:

i.) Los puntos P (2, 1) y R(1, 1) no se encuentrandentro de dicha region, por lo que el TEU nogarantiza la existencia y unicidad de

solucion del PVI.

ii.) el punto Q(1, 2) se encuentra dentro de dicharegion, por lo que el TEU afirma que el PVItiene solucion unica.

t > u

u > tu = t

bc

Pbc

R

bcQ

NRC: 2997,3000 (RP) - 2998,2999 (CD) - 3001 (EB)Prof. Catalina Domnguez - Prof. Ricardo Prato T.

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Ejemplo 2

En cada caso determine los puntos crticos y el esquema de fase de la EDO. Se puedeasegurar existencia y unicidad de solucion para el PVI? El PVI planteado posee solucionesde equilibrio? En caso que la solucion sea unica, realice un bosquejo de la solucion del PVI

dy

dx=

ey 9ey

y(1) = 0

Solucion

Se puede ver la EDO de la formady

dx=

ey 9ey

=: f(y). Por lo tanto, los puntos crticos se

obtienen cuando f(y) = 0, esto es:

ey 9ey

= 0 ey 9 = 0 y = ln(9) Punto Crtico: {ln(9)}

Claramente f(y) es continua, por lo que se puede suponer que en los dos intervalos (, ln(9))y (ln(9),) la derivada dy

dxno cambia de signo, basta evaluar para obtener

Valores Signo Observacion(, ln(9)) y = g(x) es Decrecientey = ln(9) y = g(x) es Constante(ln(9),) + y = g(x) es Creciente

en el plano XY se puede observar este comportamiento de la forma siguiente

1

2

3

4

5

1

1 2 31234

y = ln 9

Puesto que la funcion f(y) es independiente de la variable independiente x, se puede suponerque f esta definida para x en algun intervalo I R.De otra parte

f(y) =ey 9ey

yf(y)

y= f (y) = 9ey


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son funciones continuas en R, por lo que el TEU nos asegura la existencia de alguna regionD que contiene una unica solucion del PVI

dy

dx=

ey 9ey

y(x0) = y0

para cualquier (x0, y0) R2; en especial para (x0, y0) = (1, 0) se cumple la afirmacion. El

bosquejo se presenta a continuacion

1

2

3

4

5

1

1 2 31234

y = ln 9

b

(1, 0)

Observe que y = ln 9 se comporta como una asintota horizontal.

Ejercicios E1

Determine si el teorema de existencia y unicidad garantiza o no la existencia de una unicasolucion para el problema de valor inicial dado.

1.

y = 2x2y2

y(1) = 1

2.

y = (t y)1/2

y(2) = 2

3.

dr

dt=

(t2 1)1/2(t2 r)1/2

r(0) = 5

4.

dr

dt=

t2 1t2 r

r(0) = 5

5.

x = ln(9t2 4x2)x(t0) = x0

6.

y = x ln y

y(1) = 1


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Respuestas Ejercicios E1

Respuesta 3:

D = {(t, r) | t2 1 0 t2 r > 0}

y como (0, 5) / D el TEU no ga-rantiza la existencia y unici-

dad de solucion del PVI.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

1 2 3 41234

bc (0, 5)

Respuesta 4:

D =

{(t, r)

t2 1t2 r 0

}

y como (0, 5) D el TEU asegu-ra la existencia y unicidad de

solucion del PVI. 1

2

3

4

5

1

1 2 3 41234

bc (0, 5)

h = 31,33


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Respuesta 5:

D ={(t, x)

9t2 4x2 > 0}

por lo tanto para todo (t0, x0) Del TEU asegura la existencia yunicidad de solucion del PVI.

1

2

3

1

2

3

4

1 2 3 41234

bc (t0, x0)

Ejercicios E2

Muestre que el intervalo [0, pi], las funciones y1(x) = 1 y y2(x) = cosx satisfacen el problemacon condicion inicial

dy

dx+

1 y2 = 0 y(0) = 1Por que este hecho no contradice el teorema de existencia y unicidad? Explique su respuesta.

Ejercicios E3

Determine las soluciones de equilibrio (si existen) de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.

(x2 4)dydx

+

1 y2 = 0

2.dy

dx=

xy1 + y2

3.dy

dx= (x2 + 2x+ 1) ln y

4.dy

dx= ex+y cos(x)

5.

xeydy

dx= 2y3 3y2 3y + 2

6.dy

dx=

y4 1ex + 1


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1. y(x) = 1 y y(x) = 13. y(x) = 1

4. No tiene

5. y(x) = 12, y(x) = 1, y(x) = 2

Ejercicios E4

En cada caso determine los puntos crticos y el esquema de fase de la EDO. Se puedeasegurar existencia y unicidad de solucion para el PVI? El PVI planteado posee solucionesde equilibrio? En caso que la solucion sea unica, realice un bosquejo de la solucion del PVI

1.

dy

dx= y2(4 y2)

y(0) = 2

2.

dy

dx= 10 + 3y y2

y(2) = 5

3.

dy

dx=

ey 9ey

y(1) = ln 9

4.

dy

dx= y2 y 6

y(0) = 2


Respuesta 4: Puntos crticos

y = 3 y y = 2

Valores Signo Observacion(,2) + Crecientey = 2 Constante(2, 3) Decrecientey = 3 Constante(3,) + Creciente

El TEU asegura la existencia yunicidad de solucion del PVI yla solucion es la solucion de equilibrioy = 2

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.51.01.52.02.53.0


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Ejercicios E5

Considere el siguiente PVI

y = y2 1y(2) = 1

(1)

1. Existe solucion unica para el PVI? Justifique su respuesta.

2. Compruebe que

y =1 + ce2x

1 ce2x , c R (2)

es solucion de la EDO y = y2 13. Existe algun valor de c tal que la solucion general dada en (2), resuelva el PVI? Justi-

fique su respuesta.

4. Cual es la solucion del PVI? (en caso que dicha solucion exista!)

Ejercicios E6

Realice un bosquejo del campo de direcciones de la ecuacion y = y. Con base en la inspec-cion del campo direccional describa el comportamiento de las soluciones. Posee la ecuaciondiferencial soluciones de equilibrio?. Resuelva la ecuacion y determine si su descripcion esvalida.

1

2

3

1

2

3

1 2 3 41234


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