Solucionario del Taller 2. Funciones de Variable Compleja

Prof. Sandra Carolina Garcıa-Martınez

3 de marzo de 2015

1. Halle las imagenes de la regiones R = {z ∈ C : 1 < |Im(z)| ≤ 2} y S = {z ∈ C : |z| < 1}, bajo la aplicacion

f(z) = z2. Rta: f(R) es la region comprendida entre las parabolas u =v2

4− 1 y u =

v2

16− 4. Por otro lado,

f(S) es el cırculo unitario.

2. Halle la imagen de la recta x = 1 mediante f(z) =z − 1

z + 1. Rta:

(

u− 1

2

)2

+ v2 =1

4.

3. Sea A = {z : −π < Im(z) ≤ π}. Si f(z) = ez, hallar f(A). Rta: C\{0}.

4. Muestre que

a) log(ez) 6= z b) Log (i(−1 + i)) 6= Log(i) + Log(−1 + i)

5. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) ez = 1+√3i Rta: z = ln(2) +

(π

3+ 2nπ

)

i b) cosh(z) = 2i. Pend. 2do ParcialRta: z = log(

(2±√5)i

)

c) sinh(z) = i.Pend. 2do Parcial Rta: z =(π

2+ 2nπ

)

i d) log(z + i) = 0. Rta: z = 1− i

6. Calcule

a) lımz→∞

2z4 + 1

z4 + 1= 2 b) lımz→i

z2 + 1

z6 + 1=

1

3c) lımz→1+i

z2 − z + 1− i

z2 − 2z + 2= 1− i

2

7. Muestre que

a) lımz→∞

4z2

(z − 1)2= 4 b) lımz→1

1

(z − 1)3= ∞ c) lımz→∞

z2 + 1

z − 1= ∞

8. Demuestre que el siguiente lımite no existe lımz→0

(z

z

)2

Rta: use caminos.

9. Indique si la siguiente funcion es continua

f(z) =

z2 + 9

4(z − 3i)si z 6= 3i

3i

2si z = 3i

Rta: sı es continua.

10. Sea f(z) =z − i

z + ihallar la imagen por f de

a) el semiplano superior. Rta: circulo unitario. b) la recta it. Rta: Recta horizontal v = 0c) |z − 1| = 1 Pend. 3er Parcial d) |z| = 2 y Im(z) ≥ 0 Pend. 3er Parcial

11. Demostrar que z2z no es derivable.

12. Demostrar que las funciones zRe(z) y zIm(z) son diferenciables en cero, pero no analıticas.

13. Demostrar que la funcion Im(z) no es analıtica en el plano complejo.

1

14. Derivar

a) f(z) = (1−4z2)3. Rta: −24z(1−4z2)2 b) g(z) =z − 1

2z + 1para z 6= 1

2Rta: g′(z) =

3

(2z + 1)2c)

p(z) =(1 + z2)4

z2para z 6= 0 Rta: p′(z) =

4(1 + z2)4

z3

d) q(z) =z4 − 9i

iz3 + 2z + 7Rta: q′(z) =

iz6 + 6z4 + 28z3 − 27z2 + 18i

(iz3 + 2z + 7)2

15. Halle el dominio de analiticidad de las siguientes funciones

a)z + i

z − 2Rta: C\{2} b)

i

z3Rta: C\{3} c)

(

z − 1

2

)2Rta: C\{z : Im(z) = 0}

16. Mostrar que las siguientes funciones son armonicas y calcular su armonica conjugada v(x, y) de manera quef(z) = u(x, y) + iv(x, y) sea analıtica.

a) u(x, y) = x3 − 3xy2 + 1 Rta: v(x, y) = 3x2y − y3 + c b) u(x, y) = x2 − y2 + x− y Rta: v(x, y) =2xy + x+ y + c c) u(x, y) = ex sen(y) Rta: v(x, y) = −ex cos(y) + c

d) u(x, y) = xex cos(y)− yex sen(y) Rta: v(x, y) = yex cos(y) + xex sen(y) + c

17. Probar que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0 pero no sonderivables en z = 0

a) f(z) =

z 2

zsi z 6= 0

0 si z = 0

b) f(z) =

e−1/z4

si z 6= 0

0 si z = 0

c) f(z) =

z5

|z|4 si z 6= 0

0 si z = 0

18. Usar las coordenadas polares para probar que cada una de las siguientes funciones es derivable en el dominiode definicion que se especifica

a) f(z) = 1/z4, z 6= 0 b) f(r, θ) =√reiθ/2, (r > 0, α < θ < α+ 2π)

c) f(r, θ) = e−θ cos(ln r) + ieθ sen(ln r), (r > 0, 0 < θ < 2π)

19. Sea A ={

z : |Re(z)| < π2y Im(z) > 0

}

. Si f(z) = sen(z), hallar f(A). Rta: el semiplano superior. Pend.2do Parcial

20. Mostrar que log(x2 + y2) es armonica en C\ {0}.

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