Ejercicios de Vectores Aleatorios - Inferencia Estadıstica 2015-2

Profesor: Rodrigo Puchi-A.

I. Transformaciones de variables aleatorias bidimensionales

1. Sea el vector aleatorio (X1, X2)T con funcion de densidad bivariada dada por:

f(x1, x2) = exp {−x1 − x2} , x1, x2 > 0.

Encontrar la funcion de densidad del vector aleatorio (Y1, Y2)T = (X1 +X2, X2)

T .

2. Sean las variables aleatorias independientes X1 ∼ N(0, 1) y X2 ∼ χ2(1). Obtener la funcion de

densidad de la nueva variable aleatoria Y = X1√X2

.

II. Valor esperado y varianza de vectores aleatorios

1. Demostrar que E(g(X) · g(Y )) = E(g(X)) · E(g(Y )), si X y Y son variables aleatorias indepen-

dientes.

2. Sea X1 y X2 variables aleatorias independientes, con funcion de densidad marginal para Xi, dada

por f(xi) = exp {−xi}, xi > 0, i = 1, 2. Determinar

E(exp {t(X1 +X2)}).

3. Sea f(x, y) = 6(1− y), 0 ≤ x ≤ y ≤ 1. Calcular E(X|Y ) y E(X).

4. Sea f(y|x) = (αx)−1 exp {−(αx)−1y}, y > 0 y α > 0, y la funcion de densidad marginal de X

dada por fX(x) = β exp {−βx}, x > 0, β > 0. Determinar Corr(X, Y ).

III. Calculo de probabilidades

1. Con el objetivo de mejorar los tiempos de respuesta a alertas de incendio, se desea determinar los

tiempos que estan bajo un 10 % y sobre un 90 %. Los datos muestran que los tiempos de promedio

de respuesta es de 12.8 minutos, con desviacion estandar de 3.7 minutos. Asumiendo distribucion

normal para los tiempos de respuesta, responder al problema planteado.

2. Sea f(x, y) = e−x, 0 < y < x < +∞. Calcular P (Y ≥ X2).

3. Sea f(x, y) = 2; x, y > 0, x+ y < 1. Calcular P (X < Y < 3X).