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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIO No.1.

Los productos X y Y deben tratarse en dos máquinas A y B. Para tratar una unidad de X en la máquina A se necesitan dos horas, mientras que en la máquina B, el tiempo necesario es de cinco horas. Los tiempos de tratamiento del producto Y mediante las máquinas A y B son de tres y dos horas, respectivamente. La capacidad de la máquina A es de 400 horas; la de B, 600 horas.

El costo unitario del producto X es de $9.00, el del producto Y es de $15.00, y los precios unitarios de venta son de $12.00 para X y $21.00 para Y. El efectivo disponible para el pago de los costos unitarios es $1125.00.

*** Formule el Modelo de Programación Lineal correspondiente, para maximizar las ganancias en el proceso descrito

SOLUCION EJERCICIO No.1

PRODUCTO X PRODUCTO Y CAPACIDADMAQUINA A 2 Horas/und 3 Horas/und 400 HorasMAQUINA B 5Horas/und 2Horas/und 600 Horas

Costo X $9 Pventa X $12Costo Y $15 Pventa Y $21

EFECTIVO DISPONIBLE : $1.125

VARIABLES:X1 No. De Productos X a producirX2 No. De Productos Y a producir

F.O:MAX Z = 3 * X1 + 6 * X2

S.A.

2 * X1 + 3 * X2 < 400 Restricción de capacidad Máquina A

5 * X1 + 2 * X2 < 600 Restricción de capacidad Máquina A

9 * X1 + 15 * X2 < 1125 Restricción de Presupuesto

X1, X2 > 0 Restricción de No negatividad

EJERCICIO No.2.

Una pequeña empresa fabrica dos productos, A y B. En su elaboración, cada producto debe pasar por dos (2) secciones. El tiempo de Mano de Obra cuesta U$20 por hora en la Sección 1 y US15 por hora en la Sección 2. Las horas de Mano de Obra necesarias por unidad de cada producto y el total disponible se dan así:

SECCION PRODUCTO A

PRODUCTO B

HORAS DISPONIB

LES1 4 2 2002 2 8 300

PRECIO DE

VENTA (U$)

250 300

La materia prima cuesta U$15 por unidad. La cantidad máxima de unidades de cada producto son 80 y 100 respectivamente.

Si los Precios de venta son U$250 y U$300, respectivamente, Formule un M.P.L., que permita determinar la producción óptima de A y B.


VARIABLES:

Sean XA = No. De unidades a fabricar del producto A.

XB = No. De unidades a fabricar del producto B.

FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS;

GANANCIA = PV – COSTO

COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA

COSTO PDTO A = 15 + 4*20 + 2*15 = U$125

COSTO PDTO B = 15 + 2*20 + 8*15 = U$175

GANANCIA A = U$250 – U$125 = U$125

GANANCIA B = U$300 – U$175= U$125

M.P.PDTO A

M.P.PDTO B

SECCION 1

4 H

2 HSECCION 2

2 H

8 H

DISPONIB.200HRS

DISPONIB.300HRS

F.O.: MAX Z = 125*XA + 125*XB

s.a.: 4*XA + 2*XB <= 200

2*XA + 8*XB <= 300

XA <= 80

XB <= 100

XA, XB >= 0

EJERCICIO No.3.

Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles, Ay B. El combustible A tiene: 25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina tipo 3. El combustible tipo B, tiene: 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 500 galones/hora de gasolina grado 1 y 200 galones/hora de gasolina tipo 2 y 3 respectivamente. Los costos son: U$30/Galón grado 1, U$60/Galón grado 2, U$40/Galón grado 3. Si el Combustible clase A puede venderse a U$75 el galón y el B a U$90 el galón, formule un M.P.L. que debe fabricarse de cada combustible para maximizar la ganancia del fabricante.


VARIABLES:

Sean XA = No. De galones a producir del combustible A.

XB = No. De galones a producir del combustible B.


GANANCIA = PV – COSTO

COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA

COSTO PDTO A = 7,5 + 15 + 20 = U$42,5

COSTO PDTO B = 30 + 20 = U$50

GANANCIA A = U$75 – U$42,5 = U$32,5

GANANCIA B = U$90 – U$50 = U$40

F.O.: MAX Z = 32,5*XA + 40*XB

s.a.: XA*0,25 <= 500

XA*0,25 + XB*0,5 <= 200

XA*0,5 + XB*0,5 <= 200

XA, XB >= 0

EJERCICIO No.4.

Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 lbs. Los tamaños 1,2 y 3 cuestan respectivamente U$20, U$8 y U$12, Además:

a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.

b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1,6 libras.

c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total.

Cuál será la composición del paquete que ocasionaría un costo mínimo?


VARIABLES:

Sean Xij = Peso del material i (1,2) del tamaño j (1, 2, 3) (lbs.)

i =1: Tuerca, 2: Tornillo

j=1: Tamaño 1, 2: Tamaño 2, 3: Tamaño 3

PROBLEMA: Determinar la composición del paquete en lbs.

F.O.: Min Z = 20*(X11 + X21) + 8*(X12 + X22) + 12*(X13 + X23)

s.a.: X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 >= 2 (lbs)

X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 = 200 (lbs)

X11 + X12 + X21 + X22 <= 1,6 (lbs)

X21, X22, X23 >= 0.1*(∑Xij)

X11 + X21 + X13 + X23 >= 0.5*(∑Xij)

Xij >= 0

EJERCICIO No.5.

Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no provechosa. Esto, creó un exceso considerable en la capacidad de producción. El gerente está considerando dedicar esta capacidad en exceso a 1 o más de 3 productos; llamémoslos productos 1,2 y 3. La capacidad disponible de las máquinas que podría limitar la producción, se resume en la tabla siguiente:

TIPO DE MAQUINA

TIEMPO DISPONIBLE (HRS MAQ/SEMANA)

FRESADORA 500TORNO 350RECTIFICADORA 150El número de Horas-Máquina requeridas por cada unidad de los productos respectivos es:

Coeficiente de productividad (Hrs-Máq por unidad)TIPO DE MAQUINA

PRODUCTO 1

PRODUCTO 2

PRODUCTO 3

FRESADORA 9 3 5TORNO 5 4 0RECTIFICADORA 3 0 2El Departamento de Ventas indica que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unds/semana. La utilidad unitaria sería de U$30, U$12 y U$15, respectivamente para los productos 1,2 y 3. Formule un M.P.L. para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto para hacer máxima su utilidad.


VARIABLES:

Sean X1 = No. Unidades a producir del producto 1.

X2 = No. Unidades a producir del producto 2.

X3 = No. Unidades a producir del producto 3.


F.O.: MAX Z = 30*X1 + 12*X2 +15*X3

s.a.: 9*X1 + 3*X2 + 5*X3 <= 500

5*X1 + 4*X2 <= 350

3*X1 + 2*X3 <= 150

X3 = 20

X1, X2, X3 >= 0

EJERCICIO No.6.

La firma Pavimentos está licitando por un contrato para la construcción de la calzada de una carrertera. Las especificaciones dadas indican que deben tener un mínimo de 12 cms de espesor y un máximo de 48 cms. Debe además construirse de concreto, asfalto, gravilla o cualquier combinación de los tres (3), siempre y cuando que la resistencia total sea al menos equivalente a la que tendría una calzada de 9 cms de concreto. La firma Pavimentos ha establecido que 3 cms de asfalto son tan fuertes como 1 cm de concreto y que 6 cms de gravilla son tan resistentes como 1 cm de concreto. Su costo estimado para un m2 y un centímetro (cm) de espesor, para el concreto es de U$200, para el asfalto U$700 y para gravilla, U$300. Formule un M.P.L. que le permita a la firma saber cuál es la combinación óptima para la calzada.


VARIABLES:

Sean Xi = cms de espesor de material i usado para 1 m2 de calzada. (i=1, 2, ó 3)

X1 = Concreto. X2 = Asfalto. X3 = Gravilla.

FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS

F.O.: MIN Z = 200*X1 + 700*X2 +300*X3

s.a.:

12 <= X1 <= 48 X1>=9

12 <= X1+X2 <= 48 X2>=27

12 <= X2+X3 <= 48 X3>=54

12 <= X1+X3 <= 48 X1 + (1/3)*X2 >= 9

12 <= X1+X2+X3 <= 48 X1 + (1/6)*X3 >= 9

12 <= X2 <= 48 (1/3)*X2 + (1/6)*X3 >= 9

12 <= X3 <= 48 X1 + (1/3)*X2 + (1/6)*X3 >= 9

X1, X2, X3 >= 0

EJERCICIO No.7.

Una compañía desea preparar una nueva aleación que contenga 40% de plomo, 35% de Zinc y 25% de estaño; a partir de las siguientes aleaciones:

PROPIEDADES

ALEACION1 2 3 4 5

%Pb 60 25 45 20 50%Zn 10 15 45 50 40%Estaño 30 60 10 30 10Costo (U$/lb) 12 11 14 13 15Disponibilidad(lb)

300 400 200 300 100

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo. Formule el correspondiente M.P.L.


VARIABLES:

Sean X1 = Cantidad en libras de aleación 1.

X2 = Cantidad en libras de aleación 2.




FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS;

F.O.: MIN Z = 12*X1 + 11*X2 +14*X3 + 13*X4 + 15*X5

s.a.: 0,6*X1 + 0,25*X2 + 0,45*X3 + 0,2*X4 + 0,5*X5 = 0,4*(∑Xi)

0,1*X1 + 0,15*X2 + 0,45*X3 + 0,5*X4 + 0,4*X5 = 0,35*(∑Xi)

0,3*X1 + 0,6*X2 + 0,1*X3 + 0,3*X4 + 0,1*X5 = 0,25*(∑Xi)

X1 <=300

X2 <=400

X3 <=200

X4 <=300

X5 <=100

X1, X2, X3, X4, X5 >= 0

Nota: (∑Xi) = X1 + X2 + X3 + X4 + X5

EJERCICIO No.8.

Un taller elabora dos clases de cinturones de cuero. El tipo A es de mejor calidad que el de tipo B. Las respectivas ganancias son de U$0,4 y U$0,3 por cinturón. Cada cinturón de tipo A requiere para su confección del doble de tiempo que el tipo B, y si todos los cinturones fueran del tipo B, el taller podría elaborar 1000 diarios.

La oferta de cuero es suficiente para producir sólo 800 cinturones diarios (combinados A y B). Los cinturones de tipo A requieren una hebilla especial, de las cuales se pueden obtener 400 por día. Para los cinturones tipo B, solamente hay disponibles 700 hebillas por día. Formule el M.P.L que permita maximizar las ganancias.


VARIABLES:

Sean X1 = No. Cinturones tipo A a producir por día.

X2 = No. Cinturones tipo B a producir por día.


F.O.: MAX Z = 0,4*X1 + 0,3*X2

s.a.:

X1 + X2 <= 800

(1/2)*X1 + X2 <= 1000

X1 <= 400

X1 <= 700

X1, X2 >= 0

EJERCICIO No.9.

Cuatro personas viajan a Panamá y disponen de un presupuesto global de $10.000.000 para inversiones. Hay tres alternativas: Televisores, Equipos de Sonido y Aspiradoras, cuyos precios correspondientes son: $240.000, $300.000 y $100.000 y se venden en Cartagena con relativa facilidad en $400.000, 550.000 y 210.000 respectivamente. La Aduana no permite que una persona transporte dos o más artefactos eléctricos.

FORMULE UN M.P.L. QUE PERMITA DETERMINAR CÓMO DEBE INVERTIRSE EL DINERO PARA UNA MAYOR UTILIDAD.


TIPO DE INVERSION

PRECIO DE VENTA

COSTOS UTILIDADES

T.V. $400.000/artículo

$240.000/artículo

$160.000/artículo

EQUIPO DE SONIDO

$550.000/artículo

$300.000/artículo

$250.000/artículo

ASPIRADORA $210.000/artículo

$100.000/artículo

$110.000/artículo

Sean Xij = No. artículos que compran las personas i (1, 2, 3, 4) en cada alternativa j (1, 2, 3); siendo 1=T.V., 2=Equipo de sonido, 3=Aspiradora.


F.O.: MAX Z = 160.000*(X11+X21+X31+X41) + 250.000*(X12+X22+X32+X42) +

110.000*(X13+X23+X33+X43)

s.a.:

X11+X12+X13<=1 (Restricción de la Aduana)




240.000*(X11+X21+X31+X41) + 300.000*(X12+X22+X32+X42) + 100.000*(X13+X23+X33+X43) <=10.000.000 (Restricción del presupuesto global disponible)

Xij >= 0 (Restricción de no negatividad de las variables.)

EJERCICIO No.10.

El Hospital Regional está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días. Las comidas de pescado cuestan $200 cada una y de res $250. Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res un 9. El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes deben ser por lo menos 300 unidades. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. ¿Cuántas comidas de cada tipo debe planear el hospital? Plantee como un modelo de P.L.


VARIABLES:

Sean X1 = No. de comidas de pescado a planear.

X2 = No. de comidas de res a planear.

FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS;

F.O.: MIN Z = 200*X1 + 250*X2

s.a.:

X1 + X2 = 30

5*X1 + 9*X2 >= 200

8*X1 + 12*X2 >= 300

X1, X2 >= 0

EJERCICIO No.11.

Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: caramelos y confites, que se componen solamente de azúcar, nueces y chocolate. Actualmente, tiene en bodega 100 oz de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. La mezcla para producir confites tiene que contener por lo menos 20% de nueces. La mezcla para producir caramelos tiene que contener por lo menos 10% de nueces y 10% de chocolate. Cada onza de confite se vende a $250 y una onza de caramelo a $200. Formule un M.P.L que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces.


AZUCAR

NUECES

CHOCOLATE

P.VENTA

CONFITES 20% 250CARAMELO 10% 10% 200

SDISPONIBILIDAD

100 OZ 20 OZ 30 OZ

VARIABLES:

Sean X1 = Onzas de confites a producir.

X2 = Onzas de caramelo a producir.

X3 = Onzas de azúcar a utilizar.

X4 = Onzas de nueces a utilizar.

X5 = Onzas de chocolate a utilizar.


F.O.: MAX Z = 250*X1 + 200*X2

s.a.:

X3 <= 100

X4 <= 20

X5 <= 30

X1 >= 0,2*X4

X2 >= 0,1*X4

X2 >= 0,1*X5

X1, X2, X3, X4, X5 >= 0

EJERCICIO No.12.

Medicosta usa 2 productos químicos (1 y 2) para producir dos medicamentos. El medicamento 1 tiene que contener por lo menos 70% del producto químico 1, y el medicamento 2 tiene que contener por lo menos 60% del producto químico 2. Se puede vender hasta 40 oz del medicamento 1, a 6 dólares la onza, y hasta 30 oz del medicamento 2, a 5 dólares la onza. Puede comprar hasta 45 oz del producto químico 1, a 6 dólares la onza, y

hasta 40 oz del producto químico 2, a 4 dólares la onza. Formule un modelo de P.L que se pueda utilizar para maximizar las ganancias de Medicosta.


VARIABLES:

Sean X1 = Cantidad a utilizar de producto químico 1.

X2 = Cantidad a utilizar de producto químico 2.

X3 = Cantidad a utilizar de medicamento 1.

X4 = Cantidad a utilizar de medicamento 2.


F.O.: MAX Z = 1,8*X1 + 2,6*X2

Aclaración: UTILIDAD MEDICAMENTO 1: U$6 – 0,7*U$6 = U$1,8

UTILIDAD MEDICAMENTO 2: U$5 – 0,6*U$4 = U$2,6

s.a.:

X3 >= 0,7*X1

X4 >= 0,6*X2

X3 <= 40

X4 <= 30

X1 <= 45

X2 <= 40

X1, X2, X3, X4 >= 0

EJERCICIO No.13.

Un granjero cría pavos, gallinas y patos. El costo de la crianza de una gallina, un pato y un pavo es de U$1,5 U$1 y U$4, respectivamente hasta el

momento de su venta. Las gallinas se venden a U$3, los patos a U$2 y los pavos a U$5,5. Sabiendo que la granja puede alojar sólo 500 aves y que el granjero no desea tener más de 300 patos a la vez, formule un M.P.L. que permita determinar cuántas aves de cada especie debe criar a fin de maximizar sus utilidades.


VARIABLES:

Sean X1 = No. de pavos a criar.

X2 = No. de gallinas a criar.

X3 = No. de patos a criar.


F.O.: MAX Z = (5,5-4)*X1 + (3-1,5)*X2 + (2-1)*X3

MAX Z = 1,5*X1 + 1,5*X2 + X3

s.a.:

X1 + X2 +X3 <= 500

X3 <= 300

X1, X2,X3 >= 0

EJERCICIO No.14.

Jugos la pulpa de oro debe preparar con cinco (5) bebidas de frutas, 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de piña. Si los datos del inventario son los que se presentan a continuación, formule un M.P.L. que permita determinar qué cantidad de cada bebida de fruta debe emplear a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo.

BEBIDA

% JUGO DE

NARANJA

% JUGO DE

TORONJA

% JUGO DE PINA

EXISTENCIA(GAL

)

COSTO (U$/GAL

)

A 40 40 0 200 1,5B 5 10 20 400 0,75C 100 0 0 100 2D 0 100 0 50 1,75E 0 0 0 800 0,25


VARIABLES:

Sean X1 = Cantidad de bebida A.

X2 = Cantidad de bebida B.

X3 = Cantidad de bebida C.

X4 = Cantidad de bebida D.

X5 = Cantidad de bebida E.


F.O.: MIN Z = 1,5*X1 + O,75*X2 + 2*X3 + 1,75*X4 + 0,25*X5

s.a.:

X1 + X2 +X3 + X4 +X5 = 500

0,4*X1 + 0,05*X2 + X3 >= 100

0,4*X1 + 0,1*X2 + X4 >= 50

0,2*X2 >= 25

X1<= 200

X2<= 400

X3<= 100

X4<= 50

X5<= 800

X1, X2,X3 >= 0

EJERCICIO No.15.

La junta administradora local (JAL) de la comuna 20 tiene tres proyectos de pavimentación de vías. La junta tiene el problema de determinar qué contratistas llevarán a cabo los proyectos, entre contratistas locales, y tres presentaron diligenciados sus pliegos. El costo de cada proyecto según propuesta de cada contratista se presenta en la siguiente tabla (en millones).

PROYECTOSCONTRATIS

TASP1 P2 P3

C1 280 320 360C2 360 280 300C3 380 340 400

Formule un M.P.L que permita determinar cómo deben ser asignados los contratos si se quiere minimizar los costos totales de todos ellos y si para evitar descontentos de tipo político, se desea adjudicar un contrato a cada contratista.


VARIABLES: Sean Xij = el proyecto i (1,2,3) que se asigna al contratista j(1,2,3)


F.O.: MIN Z = 280*X11 + 360*X12 + 380*X13 + 320*X21 + 280*X22 + 340*X23 + 360*X31 +

300*X32 + 400*X33

s.a.:

X11 + X12 +X13 = 1

X21 + X22 +X23 = 1

X31 + X32 +X33 = 1

X11 + X21 + X31 =1

X12 + X22 + X32 =1

X13 + X23 + X33 =1

Xij >=0

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