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FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA

INDUSTRIAL

ASIGNATURA

INVESTIGACIN OPERATIVA

TEMA

PERMEAMETRIA

DOCENTE

CANO SUAREZ , RICARDO

ESTUDIANTES

FLORES GOMERO, Judith.

MODRAGN LAURA, Kevin

AULA

172 - E

TURNO

Maana

II. INTRODUCCIN

Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de

transporte, electricidad, comunicaciones, etc. predominan en la vida diaria. La

representacin de redes se utiliza de manera amplia en reas tan diversas como

produccin, distribucin, planeacin de proyectos, localizacin de instalaciones,

administracin de recursos y planeacin financiera, por mencionar slo algunos

ejemplos.

En realidad, una representacin de redes proporciona un poderoso apoyo visual y

conceptual para mostrar las relaciones entre las componentes de los sistemas, de tal

modo que se usa casi en todos los mbitos cientficos, sociales y econmicos. Uno

de los mayores desarrollos recientes en investigacin de operaciones (IO) ha sido el

rpido avance tanto en la metodologa como en la aplicacin de los modelos de

optimizacin de redes.

La aparicin de algunos algoritmos ha tenido un efecto importante, al igual que las

ideas de ciencias de la computacin acerca de estructuras de datos y la manipulacin

eficiente de stos. En la actualidad se dispone de algoritmos y paquetes de

computadora que se usan en forma rutinaria para resolver problemas muy grandes

que no se habran podido manejar hace dos o tres dcadas.

Es por ello que el siguiente trabajo tendra el objetivo de presentar las tcnicas de flujo de redes orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte, redes de

comunicacin, sistema de vuelos de los aeropuertos, rutas de navegacin de los cruceros,

estaciones de bombeo que transportan fluidos a travs de tuberas, rutas entre ciudades,

redes de conductos y todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red

donde los nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, las lneas

areas, los cables, las tuberas y el flujo lo representan los camiones, mensajes y fluidos que

pasan por la red, con el objetivo de encontrar la ruta mas corta.

III. ANTECEDENTES

TEORIA DE LOS GRAFOS

El origen de la teora de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los

puentes de Knigsberg, el cual consista en encontrar un camino que recorriera los

siete puentes del ro Pregel ( 544212N 203056E) en la ciudad de Knigsberg,

actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando

una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema

titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis1 (La solucin de un

problema relativo a la geometra de la posicin) en 1736, es considerado el primer

resultado de la teora de grafos. Tambin se considera uno de los primeros

resultados topolgicos en geometra (que no depende de ninguna medida). Este

ejemplo ilustra la profunda relacin entre la teora de grafos y la topologa.

Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utiliz la teora de grafos para el anlisis de redes

elctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente

en los circuitos elctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff, considerado la

primera aplicacin de la teora de grafos a un problema de ingeniera.

En 1852 Francis Guthrie plante el problema de los cuatro colores el cual afirma que

es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de pases

de tal forma que dos pases vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema,

que no fue resuelto hasta un siglo despus por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en

1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teora de grafos. Al tratar de

resolverlo, los matemticos definieron trminos y conceptos tericos fundamentales

de los grafos.

En 1857, Arthur Cayley estudi y resolvi el problema de enumeracin de los

ismeros, compuestos qumicos con idntica composicin (frmula) pero diferente

estructura molecular. Para ello represent cada compuesto, en este caso

hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo rbol donde los vrtices

representan tomos y las aristas la existencia de enlaces qumicos.

El trmino grafo, proviene de la expresin Hgraphic notation usada por primera

vez por Edward Frankland2 y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown

en 1884, y haca referencia a la representacin grfica de los enlaces entre los

tomos de unamolcula.

El primer libro sobre teora de grafos fue escrito por Dnes Knig y publicado en

1936.

ALGORITMO DE DIJKSTRA

Algoritmo para encontrar el camino ms corto en un grafo: este

fue el primer problema de grafos que resolvi Dijkstra en 1956 y

publicado en 1959 por que en esa poca un algoritmo era

difcilmente considerado un logro cientfico. Hoy en da, este

algoritmo ha sido usado como la base para protocolos de

enrutamiento en Internet, sistemas de posicionamiento global o

simplemente para itinerarios de viaje.

El concepto de abrazo mortal (deadlock) y su solucin a travs de semforos

y regiones de cdigo con acceso exclusivo. Dijkstra describi el problema con

la cena de los famosos cinco filsofos que slo tenan cinco palillos para

comer arroz (ver figura). Si ellos no se ponan de acuerdo y tomaban un

palillo cada uno, creaban un deadlock y moran de hambre pues se

necesitaban dos palillos para comer. Esta es la base de la programacin

concurrente y una parte fundamental de cualquier sistema operativo.

Su aporte a la programacin estructurada. Dijkstra particip en el

comit que diseo Algol 60, el primer lenguaje de programacin

estructurado, y lo promovi intensamente fomentando la

verificacin formal de programas y la eliminacin del goto. En este

tema fue autor y coautor de varios libros, adems de su artculo

corto "Go To statement considered harmful" (La instruccin go to es considerada daina) publicado en Communications of ACM en 1968, que es

legendario.

IV. OBJETIVOS

Exponer de una manera clara los conceptos, teoremas y aplicaciones.

Encontrar maneras de aplicar la Teora de Redes a situaciones reales.

Exponer los Software que se utilizaran en los problemas.

Resolver problemas prcticos mediante diversos mtodos.

V. MARCO TERICO

Los modelos de redes son aplicables a una extensa variedad de problemas de

decisin, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimizacin de redes

que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos. Algunos de estos problemas de

decisin son realmente problemas fsicos, tales como el transporte o flujo de bienes

materiales. Sin embargo, muchos problemas de redes son mas que una

representacin abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crtico en

las actividades entre las redes de un proyecto gerencial.

La familia de redes de los problemas de optimizacin incluye los siguientes prototipos

de modelos: Problemas de asignacin, camino crtico, flujo mximo, camino mas

corto, transporte y costo mnimo de flujos. Los problemas son establecidos fcilmente

mediante el uso de arcos de redes y de los nodos.

CONCEPTOS BSICOS EN TEORA DE REDES

Arco : Es usualmente llamado borde o flecha. Este podra ser directo o

indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y la cola son

nodos que pueden estar tanto al origen como al final. En las redes de

transporte, los arcos podran ser los caminos, los canales de navegacin en un

ro, o los patrones de vuelo de un avin. Los arcos proporcionan la conectividad

entre los nodos. Una calle de una sola direccin podra ser representada por

un arco, mientras que una calle de dos direcciones podra representada por un

arco sin direccin o por dos arcos que apuntan a direcciones opuestas.

Una red con n nodos podra tener tantos arcos como n! /[(n-2)! 2!] = n(n-1)/2.

Si estn dirigidos, este nmero pudiese ser doble. Este enorme nmero de

arcos posibles es una de las razones del porque existen soluciones de

algoritmos especiales para problemas de redes particulares.

Grfica: Una grfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos

por unas lneas llamadas ramales o arcos.

Red: Una red es una grfica que presenta algn tipo de flujo en sus ramales.

Por ejemplo una grfica cuyo flujo en sus ramales sea la electricidad es una

red elctrica. En las redes se usa una simbologa especfica para denotar su

tamao y elementos que la constituyen, dicha notacin es la (N, A) donde N

representa el nmero de nodos que contiene la red y A representa el nmero

de arcos o ramales.

Cadena: Una cadena corresponde a una serie de elementos ramales que van

de un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el

nodo 1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].

Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en el

siguiente caso [1, 4, 7].

Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo,

en el siguiente ejemplo el ciclo est compuesto por la cadena [4-2, 2-5, 5-7,

7-4].

Ramal orientado: Un ramal o arco orientado es aquel que tiene un sentido

determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.

Grfica orientada: Una grfica orientada es aquella en la cual todos sus

ramales se encuentran orientados.

rbol: Un rbol es una grfica en la cual no existen ciclos, como el siguiente

ejemplo.

rbol de expansin: Un rbol de expansin es aquel rbol que enlaza todos

los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

Nodo fuente: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos sus ramales se

encuentran orientados hacia afuera.

Nodo destino: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos sus ramales se

encuentran orientados hacia l.

REPRESENTACIN EN MODELOS

Los problemas de optimizacin de redes se pueden representar en trminos

generales a travs de uno de estos cuatro modelos:

Modelo de minimizacin de redes (Problema del rbol de mnima expansin).

Modelo de la ruta ms corta.

Modelo del flujo mximo.

Modelo del flujo del costo mnimo.

PERT

a. Modelo de minimizacin de redes

El modelo de minimizacin de redes o problema del rbol de mnima expansin tiene

que ver con la determinacin de los ramales que pueden unir todos los nodos de una

red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben

incluir ciclos en al solucin del problema.

Para crear el rbol de expansin mnima tiene las siguientes

caractersticas:

Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las

ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las

medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y

tiempo.)

Se desea disear la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que

haya un camino entre cada par de nodos.

El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de

las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere slo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria

entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red

resultante formen un rbol de expansin. Por tanto el problema es hallar el rbol de

expansin con la longitud total mnima de sus ligaduras.

Algoritmo para construir el rbol de expansin mnima:

Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega

una ligadura) al nodo distinto ms cercano.

Se identifica el nodo no conectado ms cercano a un nodo conectado y se conectan

estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite

hasta que todos los nodos estn conectados.

Empates: los empates para el nodo ms cercano distinto (paso 1) o para el nodo no

conectado ms cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo

debe llegar a una solucin optima. No obstante, estos empates son seal de que

pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas mltiples. Todas esas

soluciones se pueden identificar si se trabaja con las dems formas de romper los

empates hasta el final.

El algoritmo del rbol de expansin mnima es un modelo de optimizacin de redes

que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con

el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mnima (entindase

por longitud del arco una cantidad variable segn el contexto operacional de

minimizacin, y que puede bien representar una distancia o unidad de medida).

Sean

N = {1,2,3,...,n} el conjunto de nodos de la red.

Ck= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la iteracin k

k= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.

PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIN DEL ALGORITMO

Definir los conjuntos C0 = {} y 0 = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han

enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa

a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad

de nodos que existen en la red.

PASO 1:

Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto 0 llamado i el cual

ser el primer nodo permanente, a continuacin se debe de actualizar el conjunto C1

= {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C1 gana el elemento i el conjunto

0 pierde el elemento i por ende ahora ser igual a 1 = N - {i}, adems se debe

actualizar el subndice de los conjuntos k, el cual ahora ser igual a 2.

PASO 2: PASO GENERAL "K"

Se debe de seleccionar un nodo j del conjunto K-1 ("k-1" es el subndice que indica

que se est haciendo referencia al conjunto de la iteracin inmediatamente anterior)

el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos que se

encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente CK-1. Una vez

seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que pasa

a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte del

conjunto que todava se debe conectar para lograr la expansin. Al actualizar el

algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma.

CK = CK-1 + {j} mientras que K = K-1 - {j}

El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las iteraciones debe

de ejecutarse toda vez que el conjunto K no sea vaco, cuando este conjunto sea

igual a vaco se tendr el rbol de expansin mnima.

El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es quiz el ms

simple, sin embargo mediante el ejemplo grfico se ver que es un algoritmo muy

sencillo de elaborar.

b. Modelo de Flujo Mximo

Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a travs de una red de arcos

dirigidos. Cada arco tiene una capacidad mxima de flujo admisible. El objetivo es el

de obtener la mxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

Caractersticas:

Todo flujo a travs de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente,

y termina en otro nodo llamado destino.

Los nodos restantes son nodos de trasbordo.

Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha,

donde la cantidad mxima de flujo est dad por la capacidad del arco. En la fuente,

todos los arcos sealan hacia fuera. En el destino, todos sealan hacia el nodo.

El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad

se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale

de la fuente o la cantidad que entra al destino.

El problema de flujo mximo se puede formular como un problema de programacin

lineal, se puede resolver con el mtodo smplex y usar cualquier software. Sin

embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho ms

eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de

trayectoria aumentada.

Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo mximo:

Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del

origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene

capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados

constituyen un patrn del flujo ptimo).

Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el

mnimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se

aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.

Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de

aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la direccin

opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.

c. Algoritmo de la ruta mas corta

El nombre que distingue este conjunto de problemas de por s es bastante

sugestivo, existen de forma manual algoritmos capaces de resolver tanto problemas

de redes que presentan ciclos como de redes que no, entre los ms conocidos se

encuentran los algoritmos de Dijkstra y Floyd siendo el segundo ms general que el

primero. Sin embargo la complejidad de los algoritmos, en la prctica la complejidad

que alcanzan las redes a ser resueltas mediante el algoritmo de la ruta ms corta, y

las herramientas de resolucin de problemas de programacin matemtica hacen

que la enseanza de dichos algoritmos manuales sea muy ineficiente.

Ya en un mdulo anterior Problema de Transbordo se ha planteado la resolucin del

algoritmo de la ruta ms corta mediante programacin lineal, por esta razn en este

espacio nos enfocaremos en efectuar la solucin mediante WinQSB con la facilidad

que caracteriza al software.

VI. EJERCICIOS DE APLICACIN

PROBLEMA DE RBOL DE EXPANSIN MNIMA

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contar con la

urbanizacin de ms de 7 proyectos habitacionales que se ubicarn a las afueras de

la ciudad. Dado que el terreno en el que se construir no se encontraba hasta ahora

dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con

la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios pblicos en

materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inici la

construccin de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de

las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre

solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para

contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situacin del plan parcial

debe de realizar las obras correspondientes a la instalacin de ductos madres que

enlacen todos los nodos del plan con el nodo Melndez (nodo que se encuentra con

suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, adems es el ms

cercano al mismo), la instalacin de los ductos implica obras de excavacin, mano de

obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los

enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilmetros)

correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial

se presentan a continuacin. Adems la capacidad de bombeo del nodo Melndez es

ms que suficiente para satisfacer las necesidades de presin que necesita la red

madre.

El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en

teora de redes construya una red de expansin que minimice la longitud total de

ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.

PASO 0:

Se definen los conjuntos iniciales C0 = {} que corresponde al conjunto de nodos

enlazados de forma permanente en la iteracin indicada en el subndice y 0 = {N =

1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de

manera permanente en la iteracin indicada en el subndice.

PASO 1:

Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto 0, en

este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se

representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C1

= {i} = {1} y 0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora ser igual a

2.

PASO 2:

Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto K-1 (es decir del conjunto del paso

1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con

uno de los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se

encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de

menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto

K-1(es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2,

por ende K-1= 1) con los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual

ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor

longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma

permanente ahora el nodo 2.

Al actualizar los conjuntos quedan as:

C2 = {1,2} y 2 = {3,4,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteracin.

Ahora se seleccionar un nuevo nodo j del conjunto 2que presente el enlace (ramal

o arco) de menor longitud con los nodos que se encuentran en el conjunto C2.

Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe empate

entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa

nuestra eleccin con un arco de color verde, enlazando de forma permanente ahora

el nodo 4.


C3 = {1,2,4} y 3 = {3,5,6,7,8}


Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la lnea azul

interrumpida ir trazando nuestro rbol de expansin final. Dado a que el arco menor

es el de longitud 3, ahora se enlazar de manera permanente el nodo 5.


C4 = {1,2,4,5} y 4 = {3,6,7,8}


Ahora se enlazar de manera permanente el nodo 7.


C5 = {1,2,4,5,7} y 5 = {3,6,8}




C6 = {1,2,4,5,7,6} y 6 = {3,8}


Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazar de manera permanente

el nodo 3.


C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y 7 = {8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la ltima iteracin.



C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y 8 = {}

Por ende se ha llegado al rbol de expansin mnima

rbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilometros de ductos.

RBOL EXPANSIN MNIMA MEDIANTE WINQSB

Como hemos mencionado en mdulos anteriores la existencia de herramientas de

resolucin de problemas de programacin matemtica como WinQSB dejan que el

aprendizaje de la resolucin manual de los algoritmos de redes se justifique solo para

fines acadmicos o de profundizacin. Por ende una vez vista la metodologa manual

de resolucin del algoritmo atinente al rbol de expansin mnima se hace necesario

en aras de eficiencia mostrar la resolucin de este tipo de problemas mediante

WinQSB.

El primer paso para resolver un problema de transporte mediante WinQSB es ingresar

al mdulo Network Modeling.

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contar con la

urbanizacin de ms de 7 proyectos habitacionales que se ubicarn a las afueras de

la ciudad. Dado que el terreno en el que se construir no se encontraba hasta ahora

dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con

la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios pblicos en

materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inici la

construccin de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de

las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre

solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para

contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situacin del plan parcial

debe de realizar las obras correspondientes a la instalacin de ductos madres que

enlacen todos los nodos del plan con el nodo Melndez (nodo que se encuentra con

suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, adems es el ms

cercano al mismo), la instalacin de los ductos implica obras de excavacin, mano de

obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los

enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilmetros)

correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial

se presentan a continuacin. Adems la capacidad de bombeo del nodo Melndez es

ms que suficiente para satisfacer las necesidades de presin que necesita la red

madre.

PASO A PASO

Primero se debe ingresar al mdulo Network Modeling del paquete WinQSB, una vez

nos encontremos en este aparecer el men que se muestra en la siguiente grfica,

men en el cual tendremos que seleccionar la opcin Shortest Path Problem

(Problema de la ruta ms corta).

Adems en este men emergente debemos de ingresar la cantidad de nodos que

conforman la red del problema y tenemos la posibilidad de asignarle un nombre al

mismo, en nuestro caso la cantidad de nodos de la red es igual a 9; click en OK y

aparecer la siguiente ventana.

En esta ventana se debe ingresar la magnitud de cada ramal correspondiente a cada

relacin entre los nodos, tal como veremos a continuacin.

Damos click en Solve and Analize y tendremos un men emergente en el cual

tendremos que seleccionar el nodo fuente y el nodo destino, tal como se muestra en

la siguiente grfica.

Una vez efectuada la seleccin tendremos la opcin de ver el tabulado final y la opcin

de ver un paso a paso grfico; para el tabulado final click en SOLVE y para el paso a

paso click en SOLVE AND DISPLAY STEPS.

Podemos cotejar la solucin que obtuvimos al plantear este problema como un

modelo de transbordo con esta solucin. La eficiencia se encuentra determinada en

escoger la herramienta adecuada para resolver el problema planteado.

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

Los modelos de transporten juegan un papel importante en la gerencia logstica y en

la cadena de insumos para reducir costos y mejorar servicios. Por lo tanto, el objetivo

es encontrar la manera ms efectiva en termino de costos para transportar bienes.

Un distribuidor que tiene m depsitos con un abastecimiento de productos ai ith en

ellos, debe enviar dichos productos a n centros minoristas geogrficamente dispersos,

cada uno con una demanda de clientes dada ej, la cual debe ser cubierta. El objetivo

es determinar el mnimo costo posible de transporte dados los costos por unidad de

transportar entre el ith depsito y el jthcentro minorista, el cual es Cij.

En el problema siguiente el objetivo es encontrar la forma mas efectiva de transportar

los productos. Tanto como la oferta y la demanda en cada fuente se encuentra

determinada. Por ejemplo, la fuente (u origen) 3 tiene 800 unidades disponibles

mientras que el destino 1 necesita por lo menos 1100 unidades. Cada ruta desde un

origen a un destino se le asigna una unidad de costo de transporte.

Utilizando el paquete de programacin lineal, la solucin proporciona la cantidad a ser

enviada desde una fuente de origen a un destino. Los resultados son::

Enviar 850 unidades desde la fuente 1 al destino 1






El costo total de envo es $84000.

El Problema Dual de Transporte:

El problema dual para el ejemplo numrico anterior es:

Max 1200U1 + 1000U2 + 800U3 + 1100V1 + 400V2 + 750V3 + 750V4

sujeto a:

U1 + V1 35, U1 + V2 30, U1 + V3 40, U1 + V4 32

U2 + V1 37, U2 + V2 40, U2 + V3 42, U2 + V4 25

U3 + V1 40, U3 + V2 15, U3 + V3 20, U3 + V4 28

Ninguna de las Ui y Vj tiene restriccin en el signo.

La formulacin dual sugiere que intentemos cada envi de bienes de forma tal que la

diferencia en los precios unitarios Ui al i-simo origen, y el precio por unidad de Vj al

j-simo destino no exceda el costo de transporte por unidad entre el i-simo origen y el

j-simo destino.

La interpretacin de las restricciones duales como el objetivo de que el la diferencia

de precios de origen-destino no excede el precio del transporte, es equivalente al

principio de equilibrio con un significado econmico. Adicionalmente, se puede

interpretar el objetivo dual como el propsito de un transportista en maximizar su

utilidad cuando compra en un origen y vende en un destino.

Problema de Transportacin Discreto: En el problema de transportacin discreto toda

la oferta de una fuente de origen dada debe ser enviada a solo uno de los destinos

disponibles, por lo tanto, es una instancia del Problema de Asignacin

Generalizado(PAG). El modelo de PAG puede ser formulado como un problema

discreto (0-1) generalizado de red con ofertas de en el origen, y multiplicadores

conocidos como los factores de ganancia sobre los arcos. Cada arco puede llevar un

flujo de solo 0 o 1, pero el monto de flujos transportados a los destinos es igual al

numero de multiplicadores de los arcos.

PROBLEMA DE ASIGNACIN

Normalmente, se tienen un grupo n de concursantes aplicando para n empleos, y

el costo no-negativo Cij de asignar el isimo concursante al jsimo empleo es conocido.

El objetivo es asignar un empleo a cada concursante de tal forma de alcanzar el costo

total mnimo posible. Defina las variables binarias Xij con un valor de 0 o 1. Cuando Xij

= 1, significa que deberamos asignar al concursante i el empleo j. De lo contrario, (Xij

= 0), no deberamos asignar al concursante i el empleo j.

El problema de asignacin es un caso especial del problema de transporte, el cual

ocurre cuando cada oferta es 1 y cada demanda es 1. En este caso, la integracin

implica que cada oferente asignar un destino y cada destino tendr un oferente. Los

costos proporcionan las bases para la asignacin correspondiente a un oferente y un

destino.

Suponga que queremos imponer la condicin de que la persona i no debera realizar

el trabajo j, o que la persona k no debera realizar el trabajo m. Esto significa que

Xij.Xkm = 0. Esta condicin no-lineal es equivalente a la restriccin lineal Xij + Xkm 1.

Esta restriccin debera ser agregada al conjunto de restricciones como una

restriccin aparte. Con esta restriccin adicional, el problema de asignacin se

convierte en una programacin lineal integral, el cual puede ser resuelto por muchos

software tales como LINDO QSB.

En el problema siguiente, el objetivo es asignar personas a labores particulares

mientras se minimiza el costo total. La funcin objetivo considera el costo que implica

que cada persona realice una actividad en particular. La restriccin dice que cada

persona debe ser asignada a una actividad, y cada actividad debe ser asignada a solo

una persona.

Luego de correr el problema en cualquier paquete que proporcione soluciones de

programacin lineal, los resultados son:

Persona 1 debera ir al trabajo 3





El costo total es $55.

El Problema Dual de Asignacin:

El problema dual para el ejemplo anterior es:

Max U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + V1 + V2 + V3 + V4 + V5

sujeto a:

U1 + V1 10, U1 + V2 4, U1 + V3 6, U1 + V4 10, U1 + V5 12

U2 + V1 11, U2 + V2 7, U2 + V3 7, U2 + V4 9, U2 + V5 14

U3 + V1 13, U3 + V2 8, U3 + V3 12, U3 + V4 14, U3 + V5 15,

U4 + V1 14, U4 + V2 16, U4 + V3 13, U4 + V4 17, U4 + V5 17

U5 + V1 19, U5 + V2 11, U5 + V3 17, U5 + V4 20, U5 + V5 19

todas las Ui y Vj son variables libres.

La formulacin dual sugiere que intentemos asignar de tal manera que la suma de los

valores Ui de la i-sima persona y el valor agregado Vj de realizar el j-simo trabajo,

no exceda el costo de asignar la i-sima persona al trabajo j-simo.

PROBLEMA DEL CAMINO MAS CORTO

El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma

mas econmica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red

dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo Cij asociado con cada arco (i a j)

en la red. Formalmente, el problema del camino mas corto (CC) es encontrar el

camino mas corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m.

El costo del camino es la suma de los costo de cada arco recorrido. Defina las

variables binarias Xij, donde Xij =1 si el arco (i a j)es sobre el CC y Xij = 0 de lo contrario.

Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo es encontrar el

camino mas corto entre el origen y el destino.

El la red siguiente, varios costos son asignados para el camino que va de un nodo a

otro. Por ejemplo, el costo de ir desde el nodo 2 al 4 es 6. La funcin objetivo considera

los costos de moverse de un nodo a otro, o de un origen a un destino. Las

restricciones estn divididas en tres grupos. La restriccin del nodo de origen dice

que debe dejar el nodo 1 para ir al 2 o 3. La restriccin del nodo intermedio dice que

si siempre que se dirija a un nodo usted deber dejar ese nodo. El nodo de destino

es similar al nodo de origen dado que se puede alcanzar este nodo solo desde los

nodos vecinos.

Considere la siguiente red dirigida (para una red indirecta, haga que los arcos estn

dirigidos en ambas direcciones, luego aplique la misma formulacin. Note que en este

caso usted tiene Xij y Xji variables). El objetivo es encontrar el camino mas corto desde

el nodo 1al nodo 7.

Luego de correr el problema en cualquier paquete que solucione programacin lineal,

los resultados son:

Ir desde 1 hasta el 3




Este es el camino mas corto con un total de 22 unidades de longitud.

PROBLEMA DEL FLUJO MXIMO

En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo

mximo posible proveniente de los orgenes de forma tal de ahogar las capacidades

de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple

de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada arco a una

capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total mximo en la

red, F, del nodo 1 al nodo m.

En la formulacin de la programacin lineal, el objetivo es maximizar F. El monto que

parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser

igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La

capacidad que puede ser enviada a una direccin en particular tambin es mostrada

en cada ruta.

Luego de resolver este problema de PL mediante el uso de LINDO (entre otros

software), obtenemos los siguientes resultados:

Enviar 10 unidades de 1 a 2











El flujo mximo es F= 17 unidades.

El Problema Dual de Flujo Mximo:


Min 10Y12 + 10Y13 + Y23 + Y32 + 6Y26 + 4Y36 + 4Y63 + 8Y24

3Y64 + 3Y46 + 12Y35 + 2Y65 + 2Y56 + 8Y75 + 7Y47 + 2Y67

sujeto a:

X2 - X1 + Y12 0, X3 - X1 + Y13 0, X3 - X2 + Y23 0,

X3 - X2 + Y32 0, X6 - X2 + Y26 0, X6 - X3 + Y36 0,

X3 - X6 + Y63 0, X4 - X2 + Y24 0, X4 - X6 + Y64 0

X6 - X4 + Y46 0, X5 - X3 + Y35 0, X5 - X6 + Y65 0,

X6 - X5 + Y56 0, X5 - X7 + Y75 0, X7 - X4 + Y47 0,

X7 - X6 + Y67 0, X1 - X7 1, y

Yij 0, y todos los Xi son variables libres.

La formulacin dual sugiere que se intente asignar flujos a arcos de misma manera

que para cada arco, la diferencia en valores en el nodo inicial y el nodo final excede

el valor agregado.

CAMINO CRITICO EN LA PLANIFICACIN DE PROYECTO DE REDES

La gerencia exitosa de un proyecto ambicioso, ya sea de construccin, de transporte

o financiero, descansan en una coordinacin y planificacin minuciosa de varias

tareas. El Mtodo de Camino (o trayectoria) Crtico (MCC) intenta analizar la

planificacin de proyectos. Esto posibilita un mejor control y evaluacin del proyecto.

Por ejemplo, queremos saber Cuanto tiempo durar el proyecto?, Cundo se

estar listo para comenzar una tarea en particular?, si la tarea no es completada a

tiempo, El resto del proyecto se retrasar?, Qu tareas deben ser aceleradas

(efectivo) de forma tal de terminar el proyecto antes?

Dado una red de actividades, el primer problema que nos interesa es determinar la

amplitud del tiempo requerido para finalizar el proyecto y el conjunto de actividades

que controlan el tiempo para culminar el proyecto. Suponga que en un proyecto de

actividades de redes determinado existen m nodos, n arcos (i.e. actividades) una

duracin de tiempo estimada, Cij, asociada a cada arc (i a j) en la red. El nodo inicial

de un arco corresponde al comienzo de la actividad asociada y al nodo final que

completa la actividad. Para encontrar el camino o trayectoria crtica (CC), se definen

las variables binarias Xij, donde Xij = 1 si la actividad i j es sobre la CC y Xij = 0 por lo

contrario. La amplitud de la trayectoria es la suma de la duracin de las actividades

en la trayectoria. La amplitud de la trayectoria mas larga es el tiempo mas corto que

es necesario para completar el proyecto. Formalmente, el problema de CC es

encontrar la trayectoria mas larga desde el nodo 1 hasta el nodo m.

Cada arco tiene dos funciones: que representa una actividad y que define la relacin

presente entre las actividades. Algunas veces es necesario agregar arcos que solo

representen relaciones precedentes. Estos arcos ficticios son representados por

flechas rotas. En nuestro ejemplo, el arco que va de 2 a 3 representa una actividad

ficticia.

La primera restriccin dice que el proyecto debe comenzar. Para cada nodo

intermedio, si es alcanzado alguna vez, se debe abandonar. Finalmente, la ltima

restriccin fuerza la culminacin del proyecto.

Realizando la corrida del la PL en cualquier software que lo genere, la trayectoria

crtica es:

Del nodo 1 al 2

Del nodo 2 al 3

Del nodo 3 al 4

Del nodo 4 al 5

Del nodo 5 al 6

Por lo tanto, la duracin del proyecto es 38 unidades.

El Problema Dual de la Trayectoria Critica:


Min Z

sujeto a:

-T1 + T2 9, -T1 + T3 6, -T2 + T3 0,

-T3 + T4 7, -T3 + T5 8, -T4 + T5 10,

-T5 + T6 6, -T6 + Z 6, y todas las variables son 0

La formulacin dual sugiere que para cualquier actividad, la diferencia entre el tiempo

inicial y terminal exceda la duracin de la actividad.

PROBLEMA DEL FLUJO DEL COSTO MINIMO

Todos los problemas de red anteriores son casos especiales del problema de flujo de

costos mnimo. Al igual que el problema de flujo mximo, este considera flujos en las

redes con capacidades. Al igual que el problema del camino mas corto, este considera

un costo por flujo hacia un arco. Al igual que el problema de transporte, este permite

mltiples orgenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas pueden ser vistos

como casos especiales del problema de flujo de costos mnimo.

El problema es minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de

algunos nodos, y de la conexin superior de flujo a travs de cada arco.

La solucin ptima es: X12 = 12, X13 = 8, X23 = 8, X24 = 4, X34 = 11, X35 = 5, X45

= 10, todos los dems Xij = 0. El costo ptimo es $150.

El Dual del Problema de Flujo de Costo Mnimo:


Max 15Y12 + 8Y13 + 5Y35 + 4Y24 + 15Y34 + 10Y25 + 4Y53 + 10Y25

sujeto a:

X2 - X1 + Y12 4, X3 - X1 + Y13 4,

X3 - X2 + Y23 2,

X4 - X2 + Y24 2, X5 - X2 + Y25 6, X4 - X3 + Y34 1,

X5 - X3 + Y35 3, X5 - X4 + Y45 2, X3 - X5 + Y5 1,

Yij 0,

y todos los Xi son variables libres.

La formulacion dual sugiere que intentemos asignar flujos a los arcos de forma tal que

por cada arco la diferencia en valores en el nodo inicial y terminal, as como tambin

como los valores agregados no excedan el costo asignado a ese arco

.

ANALISIS DE SENSIBLIDAD DEL MODELO DE REDES

La familia de un clsico problema de optimizacin de redes incluye los siguientes

prototipos de modelos: asignacin, camino crtico, flujo mximo, camino mas corto, y

transporte. A pesar de que es bien conocido que este tipo de problemas se pueden

modelar como programacin lineal, normalmente nunca se hace. Debido a la

ineficiencia y complejidad relativa del mtodo simplex (primal, dual y otras

variaciones) para modelos de redes, este problema es tratado por uno de mas de 400

algoritmos especiales.

Esto conlleva a muchas dificultades. Las soluciones de los algoritmos no estn

unificadas y cada algoritmo usa una estrategia diferente para explorar la estructura

especial de un problema especfico. Adicionalmente, pequeas variaciones en el

problema tales como la adicin de una restriccin aparte, o ndices mltiples, destruye

la estructura especial y obliga a re comenzar el algoritmo. Adems, estos algoritmos

obtienen soluciones eficientes al costo de la astucia gerencial, como la solucin final

de estos algoritmos que no tienen la informacin suficiente para realizar un anlisis

de sensibilidad.

Otro acercamiento es adoptar el simplex para los problemas de optimizacin de redes

a travs del simplex de redes. Esto proporciona la unificacin de varios problemas,

pero mantiene todas las ineficiencias del simplex as como tambin la mayora de las

inflexibilidades de las redes para manejar problemas tales como las restricciones

aparte. Al igual que el anlisis ordinario de sensibilidad (AOS), ampliamente

disponible en la tabular simplex, ha sido recientemente transferido a redes simplex.

Advertencia: los soluciones de computadoras para problemas de redes son vlidas,

sin embargo, los resultados de sensibilidad producidos podran no ser vlidos. Esto

se debe al hecho de que, entre otras cosas, estos problemas son PL de enteros, y

cualquier restriccin en cualquiera de estos modelos es una restriccin redundante.

Dado que el camino tomado por la rama- atadura (Branch-and-bound), la rama-

corte (Branch-and-cut) y otros mtodos pueden ser muy diferentes para los pequeos

cambios en el valor de los parmetros, hemos desarrollado, vea las referencias,

nuevas soluciones algortmicas, las cuales nos permiten realizar varias formas de

anlisis de sensibilidad.

Anlisis de Perturbacin de Costos: : Conjunto de Perturbacin General, Anlisis

de Sensibilidad Paramtrico, Anlisis de Sensibilidad Ordinario, Regla del 100%,

Anlisis de Tolerancia.

Anlisis de la Capacidad de Perturbacin del Arco: Conjunto de Perturbacin

General, Anlisis de Sensibilidad Paramtrico, Anlisis de Sensibilidad Ordinario,

Regla del 100%, Anlisis de Tolerancia.

Anlisis de Perturbacin de Oferta y Demanda: Conjunto de Perturbacin General,

Anlisis de Sensibilidad Paramtrico, Anlisis de Sensibilidad Ordinario, Regla del

100%, Anlisis de Tolerancia.

VII. BIBLIOGRAFA

Castillo C. (2012) Aplicacin de la programacin multiobjetivo en la

optimizacin del trfico generado por un IDS/IPS p. 41-55

http://www.uelbosque.edu.co/sites/default/files/publicaciones/revistas/r

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objetivo11-1.pdf

Garca R. (2001) Metodologa para el Diseo de Redes de Transporte y para

la Elaboracin de Algoritmos en Programacin Matemtica Convexa

Diferenciable. Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Aeronuticos: Espaa

H. Taha. (2004) Investigacin de Operaciones.Pearson: Madrid.

V. Almenar,(2000) Apuntes de Sistemas Lineales.Editorial de la UPV, Valencia

- Espaa.

W. Wayne. (2004)Investigacin de Operaciones. Thomson : Mxico.

Quesada V. y Vegara J. (2014) Anlisis cuantitativo con WINQSB.

Universidad de Cartagena : Colombia.

http://campuscurico.utalca.cl/~fespinos/Manual%20WinQSB%20Queza

da%20y%20Vergara.pdf

PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIN DEL ALGORITMO PASO 1: PASO 2: PASO GENERAL "K"PROBLEMA DE RBOL DE EXPANSIN MNIMARBOL EXPANSIN MNIMA MEDIANTE WINQSBPROBLEMA DE ASIGNACINPROBLEMA DEL CAMINO MAS CORTOPROBLEMA DEL FLUJO MXIMOCAMINO CRITICO EN LA PLANIFICACIN DE PROYECTO DE REDESPROBLEMA DEL FLUJO DEL COSTO MINIMOANALISIS DE SENSIBLIDAD DEL MODELO DE REDES

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