ejercicios resueltos de estadística bidimensional

5/24/2018 Ejercicios Resueltos de Estad stica Bidimensional

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ING.ESTAD.VILLENA ZAPATA, LUIGI

EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADSTICA BIDIMENSIONAL

1.- Escriba sobre una lnea, V si el enunciado es verdadero o F si es falso:

1.1.- La covarianza mide la relacin lineal entre dos variables, pero depende de las

unidades de medida utilizadas.( )1.2.- Para encontrar las frecuencias relativas marginales de la variable columna en una tabla

de contingencia, se debe dividir el total de la columna por el tamao muestral.( )

1.3.- Al calcular las frecuencias relativas condicionales de la variable columna dada la

variable fila de una tabla de contingencia, las celdas se dividen por el total columna( )

Solucin:El orden de las respuestas son: 1.1.- V; 1.2.- V; 1.3.- F

2.- Se ha observado conjuntamente "la edad" y "la antigedad" de los trabajadores de una

empresa. De los datos resulta que el 18% de los trabajadores tienen menos de 30 aos y 2

aos de antigedad. Este 18% es:

a)Una frecuencia relativa de la variable antigedad condicionada a la variable edadb) Una frecuencia relativa conjunta de las variables edad y antigedad.c) Una frecuencia relativa de la variable edad condicionada a la variable antigedad.d) Una frecuencia relativa marginal de la variable edad.Solucin:

b) Una frecuencia relativa conjunta de las variables edad y antigedad.3.- La siguiente distribucin corresponde a 210 ciudadanos considerado su opininciudadana agrupada en tres categoras (a favor, en contra e indeciso) en la construccin de

una autopista segn sexo.

Sexo (X)

Opinin (Y)

Total

A favor En contra Indeciso

Hombres 41 39 20 100

Mujeres 40 43 27 110

TOTAL 81 82 47 210

a) Construir las distribuciones de frecuencias marginales para las variables X e Y

respectivamente. Adems interpretar.2

f y3.

f .

b) Construir las distribuciones de frecuencias relativas bidimensionales para las variables X

e Y. Adems interpretar:22

f y 23h




c) Construir las distribuciones de frecuencias relativas marginales de X e Y

respectivamente. Adems interpretar: .1h y 3.h .

4.- Los siguientes datos representan las calificaciones de los estudiantes del 5to

grado de la

I.E. 25014, en los cursos de matemtica (X), y comunicacin (Y). Los datos hipotticos

son:

X Y X Y X Y

9 13 12 12 12 13

11 12 16 18 10 16

14 17 14 14 13 16

11 13 10 16 10 12

16 15 11 14 13 13

13 11 14 15 10 14

15 14 6 8

Presentar dichos datos mediantes una tabla de distribucin bidimensional de frecuencias.Considere para cada caso k=5 (nmero de intervalos).

Solucin:Construiremos un cuadro de frecuencias bidimensionales con intervalos:

Para X:

2

5/10/

10

616minmax

A

kRA

R

XXR

Construyendo el cuadro de frecuencias bidimensionales:

X/Y [8-10> [10-12> [12-14> [14-16> [16-18] Total[6-8> 1 0 0 0 0 1[8-10> 0 0 1 0 0 1[10-12> 0 0 3 2 2 7[12-14> 0 1 3 0 1 5[14-16] 0 0 0 4 2 6Total 1 1 7 6 5 20

Para Y:




5.- La tabla de frecuencias que se presenta a continuacin es el resultado de una muestra

aleatoria de parejas de padre e hijo.

Menos de1.60 m

De 1.60 a1.80 m

Ms de1.80 m Total

Menos de 1.60 m 50 400 10 460De 1.60 a 1.80 150 2000 200 2350Ms de 1.80 5 300 60 365

Total 205 2700 270 3175

Hallar:a)La distribucin marginal.b)La tabla de distribucin absoluta acumulada.Solucin:

En a)

Distribucin Marginal de la talla del hijo:

Condicin X .if .ih

Menos de 1.60 m 460 0.145De 1.60 a 1.80 2350 0.740

Ms de 1.80 365 0.115Total 3175 1.000

Distribucin Marginal de la talla del padre:

Condicin Y jf. jh.

Menos de 1.60 m 205 0.065De 1.60 a 1.80 2700 0.850

Ms de 1.80 270 0.085Total 3175 1.000

En b)

La tabla de distribucin de frecuencias absolutas acumuladas:

padrehijo




281020020001501040050

2600200015040050

20015050

4601040050

45040050

50

232221131211

2

1

3

1

23

22211211

2

1

2

1

22

2111

2

1

1

1

21

131211

1

1

3

1

13

1211

1

1

2

1

12

11

1

1

1

1

11

fffffffF

fffffF

fffF

ffffF

fffF

ffF

i j

ij

i j

ij

i j

ij

i j

ij

i j

ij

i j

ij

3175603005200

20001501040050

29053005200015040050

205515050

333231232221131211

3

1

3

1

33

323122211211

3

1

2

1

32

312111

3

1

1

1

31

ffffffffffF

fffffffF

ffffF

i j

ij

i j

ij

i j

ij

La tabla de distribucin de frecuencias absolutas acumuladas completa es:

Menos de1.60 m

De 1.60 a1.80 m

Ms de1.80 m

Menos de 1.60 m 50 450 460

De 1.60 a 1.80 200 2600 2810Ms de 1.80 205 2905 3175

6.- Dada la variable estadstica bidimensional (X, Y) con la tabla de frecuencias:

X/Y 1 2 4 6

1 2 0 1 13 3 1 0 15 0 1 0 5

Se pide:

a)

3

1

4

1i j

ijf b) 213423 ,, hhh c)

4

1

.

3

1

. ;j

j

i

i ff d) 3/2/ XyYx ji hyh

padrehijo




Solucin:

En a)

155010101311023

1

4

1

343332312423222114131211

3

1

4

1

i j

ij

i j

ij

f

fffffffffffff

En b)

20.0

15

3

3.015

5

015

0

21

21

34

34

23

23

n

fh

n

fh

n

fh

En c)

157125

15654

4.3.2.1.

4

1

.

3

1

.3.2.1.

fffff

ffff

j

j

i

i

En d)

2/ Yxih

X 2/ Yxif 2/ Yxih

1 0 03 1 5 1

2.2 f 1

3/ Xyjh

Y 3/ Xyif 3/ Xyih

1 0 02 1 1/64 0 06 5 5/6

63. f 1




7.- Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Estadstica (E) y

Macroeconoma (M):

E 3 4 6 7 5 8 7 3 5 4 8 5 5 8 8 8 5

M 5 5 8 7 7 9 10 4 7 4 10 5 7 9 10 5 7

a) Hallar la tabla de frecuencias.

b) Hallar las distribuciones marginales, medias y varianzas muestrales de las mismas.c) Covarianza muestral.

Solucin:

En a)Construyendo el cuadro de distribucin bidimensional:

E/M 4 5 6 7 8 9 10 .fi

3 1 1 24 1 1 25 1 4 56 1 17 1 1 28 1 2 2 5

jf. 2 4 0 5 1 2 3 17

En b)

Marginal de X:

X .fi .hi

3 2 0.118

4 2 0.118

5 5 0.294

6 1 0.059

7 2 0.118

8 5 0.294

Total 17 1.000

Marginal de Y:

Y

4 2 0.118

5 4 0.235

6 0 0.000

7 5 0.294

8 1 0.059

9 2 0.118

10 3 0.17617 1.000




Medias y Varianzas Muestrales:

274.3117824.517629

1

824.5

22

.

2

2

.

n

XnfXS

n

fXX

iiX

ii

375.4

117

717903

1

7

22

.

2

2

.

n

YnfYS

n

fYY

ii

Y

ji

Covarianza:

875.216

46

1

n

YYXXS

ii

xy

8.- Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos variables:

3.8yxV y 1.10yxV

Hallar la covarianza de ambas variables

Solucin:

IIyxCovyVxVyxV

IyxCovyVxVyxV

......1.10,2

.......3.8,2

Multiplicando a (I) por -1:

45.0,8.1,4

1.10,2

3.8,2

yxCovyxCov

yxCovyVxV

yxCovyVxV

9.- La siguiente tabla de contingencia recoge la informacin sobre la preferencia de los

jvenes sobre conocidas marcas de gaseosas segn edades:

GASEOSA/EDAD Menor de 15 De 15 a 25 De 26 a 35Marca A 150 100 200Marca B 300 125 200Marca C 300 200 300




Marca la respuesta correcta:

9.1.- La frecuencia marginal relativa porcentual para Edad de 15 a 25 es:

%2.672)a %40.00)b %333.37)c %33.33)d

9.2.- La frecuencia relativa porcentual para gaseosa Marca B y edad menor de 15:

%67.10)a %.676)b %00.16)c %.008)d

9.3.- La frecuencia condicional relativa porcentual de Marca C dado que la persona tiene una eda

de 26 a 35 aos:

%67.24)a %8.572)b %50.37)c %2.864)d

Solucin:

9.1.- %0.40100*1875

750100*% 1.1.

n

fh

9.2.- %0.16100*1875

300100*% 2222

n

fh

9.3.-

%86.42100*700

300100*%

3.

)3526/(

)3526/(

.3

.3

f

fh

Yx

YX

10.- La relacin entre gastos en publicidad (miles de soles) y ventas efectuadas (miles de

unidades) de cierto producto por una empresa viene expresada por la siguiente tabla:

Publicidad 4 4 6 6 6 8 8

Ventas 6 8 6 8 10 8 10

ijf 5 1 1 3 5 4 3

Disponer los datos en forma de tabla de doble entrada y obtener:

a) Hallar e interpretar las Medias

b) Calcular e Interpretar la covarianzac) Calcular e interpretar el gasto medio en publicidad, cuando las ventas realizadas son

ocho mil unidades.




Solucin:

Primero definimos que X= Publicidad y Y=Ventas luego construimos nuestro cuadro de

distribucin de frecuencias bidimensionales:

X/Y 6 8 10

4 5 1 06 1 3 5

8 0 4 3

En a)

Media de X:

091.6

22

789664.

n

fXX

ii

Interpretacin: El gasto en publicidad promedio en cierto producto por una empresa es deaproximadamente 6 mil soles.

Media de Y:

182.8

22

8108866.

n

fYY

ji

Interpretacin: El nmero promedio de ventas efectuadas en cierto producto por unaempresa es de aproximadamente 8 mil unidades.

En b)

Utilizando la frmula de la covarianza de una muestra para datos agrupados:

506.1,122

182.810091.683...182.86091.645

1,

YXCov

n

YYXXfYXCov

iiij

Interpretacin: Existe una relacin directa positiva entre el gasto en publicidad y lasventas, es decir mientras ms se invierta en publicidad, se vendern ms unidades.

En c)

75.68

483614

2.

8/.8/

ffX

YiY

Interpretacin: El gasto medio en publicidad cuando la cantidad de unidades vendidas son8 mil unidades, es de 6.75 mil soles.




11.- Supongamos que la tabla de frecuencias relativas dada corresponde a una variable

bidimensional (X,Y).

X/Y 40 45 50 55 60 6538 0.04 0.05 0.05 0.03 0.00 0.05

40 0.06 0.10 0.00 0.07 0.05 0.1042 0.12 0.05 0.05 0.03 0.10 0.05

Teniendo en cuenta que han sido 200 los elementos extrados de la poblacin, se pide:

a) Determinar las distribuciones marginales.

b) Determinar la media y desviacin tpica de X e Y.

c) Determinar la distribucin condicionada de X para Y=55.

d) Determinar la distribucin condicionada de Y para X=42.

Solucin:

En a:Determinamos las distribuciones marginales:

Para X:

iX .ih

38 0.22

40 0.38

42 0.40

Total 1.00

En b:

Determinamos las medias para ambas variables:

36.40

40.04238.04022.038.

X

hXX ii

95.51

20.065...20.04522.040.

Y

hYY ji

Para Y:

40 0.22

45 0.20

50 0.10

55 0.13

60 0.15

65 0.20

Total 1.00




Determinamos las desviaciones tpicas para ambas variables:

537.1

362.2199

200930.162828.1631

1200

20036.4040.04238.04022.038

1

2

2

22222

.

2

2

X

X

X

ii

X

S

S

S

n

nXhXS

321.9

882.86

199

200802.269825.2785

1200

20095.5120.065...22.040

1

2

2

2222

.

2

2

Y

Y

Y

ji

Y

S

S

S

n

nYhYS

En c:iX 55/ YXh

38 0.231

40 0.538

42 0.231

Total 1.000

Donde:

231.013.0

03.0

4.

1455/1

h

hh YX ; 538.0

13.0

07.0

4.

2455/2

h

hh YX ;

231.013.0

03.0

4.

34

55/3

h

hh YX

En d:

iY 42/ XYh

40 0.300

45 0.125

50 0.125

55 0.075

60 0.25065 0.125

Total 1.000Donde:

30.040.0

12.0

.3

31

42/1

h

hh XY ; 125.0

40.0

05.0

.3

32

42/2

h

hh XY ; 125.0

40.0

05.0

.3

33

42/3

h

hh XY

As sucesivamente

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