Ejercicios resueltos de ANOVA de un factor

1. En un experimento se compararon tres métodos de enseñar un idioma extranjero; para evaluar la

instrucción, se administró una prueba de vocabulario de 50 preguntas a los 24 estudiantes del experimento

repartidos de a ocho por grupo.

a) ¿Cuál es la variable respuesta y la explicativa en este estudio?

Respuesta:

La variable respuesta es el puntaje en la prueba de vocabulario

La variable explicativa son los métodos de enseñanza (auditivo, traducción y combinado). Es un

factor con 3 niveles.

b) Complete la tabla de ANOVA:

Tabla de análisis de varianza (ANOVA)

Suma de cuadrados Gl

Media cuadrática F Sig.

Inter-grupos 323.792 .002

Intra-grupos 21

Total 1460.958

Respuesta: Tabla de ANOVA

Suma de cuadrados gl

Media cuadrática F Sig.

Inter-grupos 647.584 2 323.792 8.360 .002

Intra-grupos 813.374 21 38.732

Total 1460.958 23

Pasos para completar la tabla: 1) calculo los grados de libertad, en el total son n-1 y n=24, por lo tanto son 23. Los grupos a

comparar son 3 por lo tanto los gl Inter son 2, verifico que (2+21) son los 23 del total. 2) La suma de cuadrados Inter se obtiene multiplicando la media cuadrática por los gl, i.e.

323.792*2=647.584 3) Teniendo la SC Inter, saco la SC Intra restando 1460.958-647.584=813.374 4) Con la SC Intra y los gl calculo la media cuadrática Intra =813.374/21=38.732 5) Por último con las dos MC calculo el test F=323.792/38.732=8.360

c) Qué supuestos debería verificar el investigador, escriba las hipótesis asociadas a ellos.

Respuesta: El investigador antes de comparar las medias, debe verificar los supuestos de Normalidad y de Homogeneidad de las varianzas (el supuesto de independencia se comprueba en el diseño, dividió a 8 estudiantes por cada método).

Hipótesis: 1) Normalidad: Necesita realizar 3 pruebas de hipótesis, una para cada grupo del tipo:

.normalesson NO grupo del puntajes los :

normalesson grupo del puntajes los:

1

0

iH

iH

donde i representará cada método de enseñanza: auditivo, traducción y combinado. 2) Homocedasticidad: la hipótesis es:

2

3

2

2

2

10 : σσσ ==H

difiere varianzauna menos al :1H

Donde 1=método auditivo, 2=método traducción, 3=método combinado.

d) Asuma que se cumplen los supuestos y realice la prueba de interés para el investigador. Informe la

conclusión del estudio.

Respuesta:

Si se cumplen los supuestos, entonces podemos comparar las medias de los métodos de enseñanza

usando el test F de la ANOVA:

Hipótesis:

.igualesson no medias dos menos al :

:

1

3210

H

H µµµ ==

De la tabla de ANOVA sacamos el test F=8,36 al que corresponde un valor-p de 0,002, este valor-p es menor que el nivel de significación de 0,05, por lo tanto rechazamos la hipótesis nula y concluimos que existen diferencias significativas entre las medias de los métodos de enseñanza al 5%.

2. Un exceso de ozono es una señal de contaminación. Se tomaron seis muestras de aire de concentraciones de

ozono (en partes por 10 mil) en cuatro ciudades de la séptima región (Curicó, Talca, Linares y Maule) y se

determinó el contenido de ozono. Use las salidas de SPSS para llevar a cabo el Análisis de Varianza

(ANOVA) paso a paso. Al final informe sobre la situación del ozono a las autoridades regionales.

Respuesta: Pasos, primero describimos los datos:

Tabla: Medidas descriptivas de las mediciones de Ozono en ciudades de la VII región

Ozono N Media

Desviación típica Error típico

Curicó 6 8.17 1.472 .601

Talca 6 10.00 1.265 .516

Linares 6 13.50 2.429 .992

Maule 6 8.50 2.345 .957

Total 24 10.04 2.820 .576

Si ordenamos los promedios vemos que en Curicó se obtiene el promedio más bajo de ozono, luego está Maule, Talca y Linares. Llama la atención que en Linares se den promedio mayores que en Talca que es una ciudad mayor. Deberíamos mostrar un gráfico de caja, pero no tenemos los datos. Segundo, verificamos los supuestos, primero el supuesto de independencia se cumple ya que los datos son de distintas ciudades, hay independencia; seguimos con el de Normalidad (usaremos el Test de Kolmogorov-Smirnov):

normal es NO Curicó de ozono deón distribuci la :

normal es Curicó de ozono deón distribuci la:

1

0

H

H

Estadístico de KS= 0,214, valor-p=0,2 mayor que 0,05 por lo tanto acepto normalidad

normal es NO Talca de ozono deón distribuci la :

normal es Talca de ozono deón distribuci la:

1

0

H

H

Estadístico de KS= 0,285, valor-p=0,138 mayor que 0,05 por lo tanto acepto normalidad

normal es NO Linares de ozono deón distribuci la :

normal es Linares de ozono deón distribuci la:

1

0

H

H

Estadístico de KS= 0,102, valor-p=0,2 mayor que 0,05 por lo tanto acepto normalidad

normal es NO Maule de ozono deón distribuci la :

normal es Maule de ozono deón distribuci la:

1

0

H

H

Estadístico de KS= 0,190, valor-p=0,2 mayor que 0,05 por lo tanto acepto normalidad

Conclusión general, podemos aceptar el supuesto de Normalidad de estos datos en todas las ciudades. Continuamos con el supuesto de homocedasticidad, realizamos el test de Levene para la hipótesis:

2

4

2

3

2

2

2

10 : σσσσ ===H

difiere varianzauna menos al :1H

Donde 1=Curicó, 2=Talca, 3=Linares y 4=Maule Resultado según tabla: Estadístico= 1,081, valor-p=0,38, es mayor que 0,05, por lo tanto acepto la hipótesis nula y podemos concluir que las varianzas son homogéneas. Se cumple el supuesto de homocedasticidad. En vista que se cumplen todos los supuestos ANOVA, procedemos a comparar las medias de las mediciones de ozono en las 4 ciudades con el test de ANOVA, la hipótesis es:

.igualesson no medias dos menos al :

:

1

43210

H

H µµµµ ===

Según la tabla el F observado es 9,418 y el valor-p es menor que 0,001, por lo tanto rechazamo la hipótesis nula, y concluimos que existen diferencias significativas entre los promedio de ozono en estas ciudades. Ahora nos interesa saber qué promedios son diferentes. Para eso hacemos test de comparaciones múltiples de Tukey, que controla la tasa de error tipo I. Mirando la tabla de la salida de SPSS podemos construir la siguiente tabla con los promedios ordenados de menor a mayor:

Ciudades

1 2

Curicó 8.17

Maule 8.50

Talca 10.00

Linares 13.50

Informe: Después de estudiar los datos, podemos llegar a una conclusión global de que Curicó, Maule y Talca tienen promedios similares de ozono, en cambio Linares aparece con niveles significativamente superiores (al 5%).