ejercicios ing. electrica electronica - 2011-2

7/22/2019 Ejercicios Ing. Electrica Electronica - 2011-2

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Ejercicios de Aplicacion de la Asignatura:

Matematicas Basicas

INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

REALIZADOS POR:Ruben Stevinson Flechas Lozano

Omar Daniel Palacios Fonseca

REVISADOS POR:

Universidad Nacional de ColombiaSede Bogota

Segundo semestre de 2011

19 de enero de 2012

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Asignatura: MATEMATICAS BASICAS

1. TEMA: Logica.

Objetivos:- Operar las variables de un sistema usando la disyuncion y la conjuncion para describir

su comportamiento.

- Encontrar la salida del sistema desde una ecuacion compleja hacia una ecuacion simpleusando equivalencias logicas.

- Hallar la salida de un sistema digital usando la negacion, conjuncion y disyuncion dealgunas variables tratadas como proposiciones.

Aplicacion o contextualizacion para el programa curricular: Este tipo deoperaciones se maneja en las asignaturas de Electronica Digital para disenar e imple-mentar sistemas digitales.

jercicio 1. Como parte del sistema de vigilancia funcional de un avion, es necesario un circuitopara indicar el estado de los trenes de aterrizaje antes del aterrizaje. Un LED verdese enciende si los 3 engranajes estan bien extendidos cuando el interruptor del trende aterrizaje ha sido activado en preparacion para el aterrizaje. Una pantalla LEDrojo se enciende si alguno de los engranajes no se puede extender correctamente antesde aterrizar. Cuando un tren de aterrizaje se extiende, su sensor produce una tensi onLOW. Cuando un tren de aterrizaje se retrae, su sensor produce un voltaje HIGH.Se debe implementar un circuito que cumpla con estos requisitos a partir de proposi-ciones logicas, la siguiente figura muestra un diagrama de bloques del circuito:

Explicacion del Problema:

La compuerta AND es una puerta logica digital que implementa la conjuncion logica

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se comporta de acuerdo a la tabla de verdad mostrada. Esta entregara una salidaHIGH (1), dependiendo de los valores de las entradas, siendo este caso, al recibirsolo valores altos en la compuerta AND. Si alguna de estas entradas no son ALTAS,entonces se mostrara un valor de salida BAJA.

La compuerta O logica o compuerta OR es una de las compuertas mas simples dentro

de la Electronica Digital. La salida X de la compuerta OR sera 1 cuando la entrada.A.o la entrada B.esten en 1. Expresandolo en otras palabras: En una compuerta OR,la salida sera 1, cuando en cualquiera de sus entradas haya un 1. La compuertaOR se representa con la siguiente funcion booleana: X = A + B o X = B + ALa representacion de la compuerta .ORde 2 entradas y su tabla de verdad se muestrana continuacion.

Solucion:

Para construir el circuito que pueda satisfacer los requerimientos del sistema de segu-ridad se deben seguir los siguientes pasos:

Construir una tabla de verdad con todos las posibles combinaciones de las senales deentrada A, B, C.

Extraer las ecuaciones, para cada senal de salida, de la tabla de verdad. Construir fsicamente el circuito usando compuertas que cumplan las ecuaciones pro-

puestas anteriormente.

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Comenzando con el primer paso, se construye la tabla de verdad:Segun el enunciado, el led verde se enciende cuando todos los sensores est an exten-didos, es decir, cuando las senales A, B, C estan en estado LOW (0), para todoslas demas combinaciones de las senales de entrada el led verde estara en HIGH (1),mientras que el led rojo se enciende cuando alguno de los engrajes no se puede exten-

der, es decir cuando alguna de las entradas esta en HIGH, solo para el estado en queA = 0, B = 0, C = 0 el led rojo estara apagado, lo que significa que los engranajesestan extendidos y se activara solo el led verde.La siguiente tabla de verdad ilustra este comportamiento:

A B C Ledverde Ledrojo0 0 0 1 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 0 11 0 0 0 1

1 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 0 1

Ahora se extraen las ecuaciones para cada senal de salida.Como la senal Ledverde solo esta en HIGH cuando A = 0, B = 0, C = 0, se necesitauna compuerta AND que tenga negadores en su entrada, as cuando las senales A,B,Cen LOW se introducen a la compuerta AND, los negadores las convierten en HIGH yla salida de la compuerta AND es HIGH.

Ledverde =

A

B

C =

A

B

CPor su parte, la senal Ledrojo esta en HIGH cuando alguna de las entradas A,B,Cestan en HIGH, por esta razon se hace necesaria una compuerta OR, la cual generaun 1 en su salida cuando alguna de sus entradas esta en 1.

Ledrojo = A B C = A + B + C

Por ultimo se costruye fsicamente el circuito para que las compuertas AND y ORpuedan funcionar. En la figura anterior se puede observar que se usa una fuente devoltaje externa para alimentar el circuito desde la salida que se conecta con el ledrojo. Para que el led rojo se encienda cuando esta salida este en HIGH, el voltaje

externo V+ debe ser mayor al voltaje de la salida Ledrojo, como no se puede estarseguro de eso, la solucion sera negar la salida Ledrojo, as cuando esta debera serHIGH, estara en LOW y el voltaje V+ sera mayor, lo que hace que el led se encienda.La compuerta OR se reemplaza entonces en una compuerta NOR y la nueva ecuaciones la siguiente:

Ledrojo = A B C = A + B + C

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Para el caso de la salida Ledverde no hay problema, ya que el led verde se conecta atierra (que siempre es LOW), as cuando la salida Ledverde es HIGH, el led verde seencendera sin problema. Hay que resaltar que la construccion fsica de estos circuitosque contienen un led deben llevar una resistencia en serie que modere la corriente queatraviesa el led. El valor de la resistencia es generalmente de 270.La figura muestra el circuito final conectado al avion y a la fuente de voltaje externa.

jercicio 2. Se cuenta con una compuerta AND y una compuerta OR para construir un circuitodigital que hace exactamente lo mismo que uno contiene tres compuertas AND ydos compuertas OR como el de la figura, el circuito debe ser simplificado al maximoya que solo cuenta con el numero de compuertas mencionadas. Se introducen lasentradas digitales A, B, C y usando propiedades logicas sobre dichas entradas selogra simplificar el circuito.

a. Simplifique el circuito digital mostrado.

b. Construya una tabla para la salida del circuito mostrado con todas las posibles com-binaciones de las entradas y comparela con la salida del circuito simplificado.

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Algebra BooleanaLa herramienta fundamental para el analisis y diseno de circuitos digitales es el Alge-bra Booleana. Esta algebra es un conjunto de reglas matematicas (similares en algunosaspectos al algebra convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al com-portamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutacion (interruptores, rele-

vadores, transistores, etc). En este captulo se presentan los postulados que definen elalgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados mas importantes,se presentan tambien los tres ejemplos clasicos de algebras boolenas (logica proposi-cional, algebra de conjuntos, algebra de switches) y herramientas basicas como tablasde verdad y diagramas de Venn.

Teorema1 : A + A = A

Teorema2 : A A = ATeorema3 : A + 0 = A

Teorema4 : A 1 = ATeorema5 : A 0 = 0Teorema6 : A + 1 = 1

Teorema7 : (A + B) = A BTeorema8 : (A B) = A + BTeorema9 : A + A B = A

Teorema10 : A (A + B) = ATeorema11 : A + AB = A + B

Teorema12 : A (A + B) = ABTeorema13 : AB + AB = A

Teorema14 : (A + B) (A + B) = ATeorema15 : A + A = 1

Teorema16 : A A = 0Solucion:

a. Para simplificar el circuito digital mostrado, se debe extraer la ecuacion de la senalde salida respecto a las senales de entrada A, B, C.

Una compuerta AND actua funciona de la siguiente forma, cuando todas sus en-tradas son HIGH (1) su salida es HIGH(1), para todos los demas casos su salida esLOW(0). Su ecuacion se escribe como un producto de todas las senales de entrada.Una compuerta OR actua de la siguiente forma, cuando alguna o varias de sus entra-das son HIGH su salida es HIGH, solo cuando todas sus entradas son LOW, su salidaes LOW. Su ecuacion se escribe como la suma de todas sus senales de entrada

De la anterior figura se puede observar que la senal de salida Y es la salida de una

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compuerta OR que tiene como entradas las salidas de tres compuertas AND, las cua-les a su vez tienen como entradas las senales A B, A (B C), B (B C)respectivamente. La anterior ecuacion de Y se simplifica de la siguiente forma:

Y = AB + A(B + C) + B(B + C)

Usando la propiedad distributiva de las proposiciones:

Y = AB + AB + AC+ BB + BC

Evaluando los posibles valores de BB y AB + AB:

A B AB BB AB + AB0 0 0 0 00 1 0 1 01 0 0 0 01 1 1 1 1

Vemos que BB = B y AB + AB = AB, reemplazando en Y:

Y = AB + AB + AC+ BB + BCY = AB + AC+ B + BC

Ahora aplicando la propiedad asociativa para B:

Y = B(A + C+ 1) + AC

Evaluando los posibles valores de A + C+ 1:

A C A + C+ 10 0 10 1 1

1 0 11 1 1

Vemos que A + C + 1 = 1, reemplazando esto en Y y aplicando la propiedad deB (1) = B:

Y = B(1) + AC

Y = B + AC

Finalmente se obtiene una ecuacion simplificada para la senal de salida Y. El circuitodigital simplificado se muestra en la siguiente figura:

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b. Ahora se construyen las tablas de verdad para los circuitos sin simplificar y simpli-ficados con el fin de comparar y verificar que las salidas de ambos son exactamenteiguales para cualquier combinacion de sus entradas.

Circuito No simplificado:

A B C AB B + C A(B + C) B(B + C) Y = AB + A(B + C) + B(B + C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 0 1 0 1 10 1 1 0 1 0 1 11 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 1 1 0 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

Circuito Simplificado:

A B C AC Y = B + AC0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 10 1 1 0 11 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 0 11 1 1 1 1

Como se puede observar de las anteriores tablas, la salida digital Y es exactamentela misma en ambos circuitos, as que con esto queda demostrado que el circuito quecontiene 3 compuertas AND y 2 compuertas OR se puede construir s olo con unacompuerta AND y una OR.

jercicio 3. El circuito mostrado en la figura se denomina Multiplexor, este circuito posee variassenalas de entrada con un par de selectores, los cuales dejan pasar solo una entradahacia el pin de salida. El multiplexor se compone de varias compuertas AND, OR ynegadores. En la figura se muestran cuatro senales de entrada D0, D1, D2, D3, con la

combinacion de los selectores S0 y S1.

a. Halle la tabla de verdad del multiplexor a partir del circuito digital de compuertas.

b. Halle la salida Y a partir de las senales de entrada y los selectores de la figura (b),teniendo en cuenta el funcionamiento del multiplexor.

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Un multiplexor (MUX) es un dispositivo que permite el paso de informaci on digitalcontenida en varias senales, hacia una sola lnea de transmision que lleva a un destinocomun. El multiplexor basico tiene varias senales en la entrada y una lnea de salidaunica. Tambien tiene senales de seleccion de las entradas, que permiten que los datosdigitales de cualquiera de las entradas pasen por la lnea de salida.Los multiplexores son tambien conocidos como selectores de datos.

Solucion:

a. Para saber como funciona el multiplexor se debe hacer el proceso contrario a cuandose tiene una tabla de verdad y se necesita construir el circuito, en este caso el circuitoesta construido, entonces se extrae la ecuacion de la senal de salida Y a partir delmismo, luego se introducen en la ecuacion las posibles combinaciones de los selectorespara construir la tabla de verdad que describe su funcionamiento.

Analisis de los selectores:

Si el selector S0 esta en 0 y el selector S1 esta en 0, los negadores convierten losselectores en S0 = 1 y S1 = 1, las compuertas AND que tienen en sus entradas algunade las senales S0 = 0, S1 = 0 generan siempre en su salida un 0 independientemente

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de la senal de entrada Dx que contenga, mientras que la compuerta AND que tieneen su entrada las senales S0 = 1 y S1 = 1 genera un 1 si D0 es 1 y 0 si D0 es 0, esdecir, deja pasar la senal D0 hacia la salida Y. La salida de una compuerta AND seescribe como el producto de todas sus entradas.

Y0 = S0S1D0

Si el selector S0 esta en 1 y el selector S1 esta en 0, los negadores convierten losselectores en S0 = 0 y S1 = 1, las compuertas AND que tienen en sus entradas algunade las senales S0 = 0, S1 = 0 generan siempre en su salida un 0 independientementede la senal de entrada Dx que contenga, mientras que la compuerta AND que tieneen su entrada las senales S1 = 1 y S0 = 1 genera un 1 si D1 es 1 y 0 si D1 es 0, esdecir, deja pasar la senal D1 hacia la salida Y.

Y1 = S0S1D1

Si el selector S0 esta en 0 y el selector S1 esta en 1, los negadores convierten losselectores en S0 = 1 y S1 = 0, las compuertas AND que tienen en sus entradas algunade las senales S1 = 0, S0 = 0 generan siempre en su salida un 0 independientementede la senal de entrada Dx que contenga, mientras que la compuerta AND que tieneen su entrada las senales S0 = 1 y S1 = 1 genera un 1 si D2 es 1 y 0 si D2 es 0, esdecir, deja pasar la senal D2 hacia la salida Y.

Y2 = S0S1D2

Si el selector S0 esta en 1 y el selector S1 esta en 1, los negadores convierten losselectores en S0 = 0 y S1 = 0, las compuertas AND que tienen en sus entradas alguna

de las senales S1 = 0, S0 = 0 generan siempre en su salida un 0 independientementede la senal de entrada Dx que contenga, mientras que la compuerta AND que tieneen su entrada las senales S0 = 1 y S1 = 1 genera un 1 si D3 es 1 y 0 si D3 es 0, esdecir, deja pasar la senal D3 hacia la salida Y.

Y3 = S0S1D3

Por ultimo, la senal de salida Y viene dada por la salida de la compuerta OR quetiene como entrada las senales Y0, Y1, Y2, Y3,. La salida de una compuerta OR se escribecomo la suma de todas sus entradas. la salida Y.

Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3

Y = S0S1D0 + S0S1D1 + S0S1D2 + S0S1D3

Ahora se procede a construir la tabla de verdad de la salida Y a partir de los selectoresS0, S1. El multiplexor funciona de la siguiente forma:

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S1 S0 Y0 0 D00 1 D11 0 D21 1 D3

b. Para hallar la senal de salida a partir de las senales de entrada Dx y los selectoresS0, S1 se construye una tabla de verdad con todas las senales, de aqu se halla la senalY con la ecuacion del inciso a.La compuerta AND genera en su salida un 1 cuando todas sus entradas est an en 1,de lo contrario, su salida es un 0 logico.La compuerta OR genera en su salida un 1 cuando alguna de sus entradas esta en 1,solo genera un 0 logico cuando todas sus entradas estan en 0.

S1 S0 D0 D1 D2 D3 Y

0 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 0 11 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 10 1 0 0 1 1 01 0 1 1 0 1 01 1 0 0 0 1 1

2. TEMA: Geometra.

Objetivos:- Calcular el area de una seccion transversal de un cable sumando las areas de varias

figuras geometricas.

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jercicio 1. Para disenar un cable, que se usara en un sistema de trasmision de potencia, cuya sec-cion transversal es un polgono regular y longitud 10Km, se emplean varias seccionesde cobre que poseen diferentes formas y areas.

a. Halle la resistencia del cable de cobre cuya seccion transversal es la mostrada en lafigura.

b. Si se cambia el material por aluminio y se requiere que la resistencia del conductorsea de 38, cuales deben ser las secciones trasversales de la figura que se deben usar?

Tenga en cuenta que cobre = 1,71 108 m, aluminio = 2,82 108 m


La resistencia electrica de un objeto es una medida de su oposicion al paso de corriente.Para una gran cantidad de materiales y condiciones, la resistencia electrica depende dela corriente electrica que pasa a traves de un objeto y de la tension en los terminales deeste. Esto significa que, dada una temperatura y un material, la resistencia es un valor

que se mantendra constante. Ademas, de acuerdo con la ley de Ohm la resistencia deun material puede definirse como la razon de la tension y la corriente, y se mide enOhmios :

R =V

ILa resistividad es la resistencia electrica especfica de un material. Se designa por laletra griega rho minuscula y se mide en ohmios por metro m. Su valor describe elcomportamiento de un material frente al paso de corriente electrica, por lo que da unaidea de lo buen o mal conductor que es. Un valor alto de resistividad indica que el ma-terial es mal conductor mientras que uno bajo indicara que es un buen conductor. Laresistencia R de un alambre de seccion recta uniforme, es directamente proporcional

a su longitud L, e inversamente proporcional al area transversal A ; tambien dependede la resistividad del material con que esta hecho el conductor.

R =L

AGeneralmente la resistividad de los metales aumenta con la temperatura, mientras quela resistividad de los semiconductores disminuye ante el aumento de la temperatura.

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Solucion:

a. Para encontrar la resistencia tenemos que calcular el area de la seccion transversal,usando trigonometra encontramos las dimensiones necesarias para tal fin.

Para el triangulo lateral derecho: Base =

(5mm)2 (4,75mm)2 = 1,5612mmPara el triangulo superior: Base = 2 1,5612mm + 5mm = 8,1224mm, Altura =

(5mm)2 (8,1224mm2

)2 = 2,9166mm

El area de la seccion transversal es:

(5)(4,75) +2 (4,75)(1,5612)

2+

(8,1224)(2,9166)

2= 43,01mm2

que en metros es 43,01 106m2 como 10km = 104m entonces:

R = 1,71 108 m104m

43,01 106m2= 3,97

b. Para saber que secciones transversales de aluminio se deben usar de la figura, debemoshallar el area necesaria para que la resistencia sea de 38:

38 =2,82 108 m104m

A

A =2,82 108 m104m

38A = 7,421 106m2 = 7,421mm2

Revisando cada seccion de la figura, encontramos que si se unen las dos seccionestriangulares laterales, el area total es:

A =2 (4,75)(1,5612)

2= 7,415mm2

Esta area se aproxima mucho al area buscada, as que cuando se usan estas seccionestrasversales la resistencia del conductor tiene el valor de 38,03 que para fines deingeniera no afecta en nada los demas parametros del conductor.

3. TEMA: Ecuaciones e inecuaciones.

Objetivos:- Hallar el intervalo de tiempo de medicion de un dispositivo usando desigualdades y

mostrando la solucion grafica.

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- Encontrar el intervalo de tiempo en el que vara un parametro usando el metodo delas desigualdades cuadraticas

- Hallar la salida de un sistema digital usando la negacion, conjuncion y disyuncion dealgunas variables tratadas como proposiciones.

jercicio 1. Se disena un dispositivo electronico para medir resistencia de los potenciometros in-

ternos de un sistema de control de una empresa, el dispositivo esta aun en etapa depruebas y se encuentra que cuando su resistencia interna es mayor o igual a la resis-tencia del potenciometro a medir, arroja un valor erroneo. Para hacer la prueba, losdisenadores caracterizan un potenciomentro y encuentran que su resistencia se modelade la forma: R1(t) = |t 15|[], mientras que la resistencia interna del dispositivo semodela de la forma: R0(t) = |2/3t 14|[]. Determine el rango de valores de tiempoque se encontro en la prueba, para los cuales el dispositivo no mide correctamente laresistencia del potenciometro.


Algunos dispositivos electronicos son lineales, es decir su corriente es directamenteproporcional a su voltaje. La razon por la cual se le llama lineales es que su graficacorriente en funcion del voltaje resulta ser una lnea recta. El ejemplo mas sencillo deun dispositivo lineal es un resistor ordinario. Si se grafica su corriente contra voltaje,se obtiene una lnea recta.Un potenciometro es un resistor cuyo valor de resistencia es variable. De esta manera,indirectamente, se puede controlar la intensidad de corriente que fluye por un circuitosi se conecta en paralelo, o la diferencia de potencial al conectarlo en serie. Normal-mente, los potenciometros se utilizan en circuitos de poca corriente. Para circuitos decorrientes mayores, se utilizan los reostatos, que pueden disipar mas potencia. Comola resistencia de un potenciometro tiene un valor determinado en un tiempo t0 y en un

tiempo t+0 se puede variar, se puede considerar como si el potenciometro esta variandosu resistencia contnuamente para formar una funcion no lineal en el tiempo.

Solucion:

Para encontrar el intervalo de tiempo en el que el dispositivo no funciona bien tene-mos que encontrar el intervalo en el cual la resistencia interna es mayor o igual a laresistencia a medir, es decir tenemos que solucionar la desigualdad

|t 15| 23t 14

Para ello usaremos las grafica de las funciones R1(t) =

|t

15|[] y R0(t) =

|2/3t

14|[] pues una vez graficadas se puede ver que el intervalo de tiempo en el cualR1(t) R0(t) es el comprendido entre las ordenadas de los puntos de corte de lasrectas t + 15 y 2/3t + 14 y las rectas t 15 y 2/3t + 14 para encontrarlas

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resolvamos las dos ecuaciones:

t + 15 = 23

t + 14

1 =1

3t

t = 3

t 15 = 23

t + 14

5

3t = 29

t =87

5

Es decir el intervalo en el cual el dispositivo falla es [3seg, 17,4seg]

jercicio 2. Considere un sistema inercial en el cual se ubica un capacitor de placas paralelas de2700[f] de tal manera que es posible describir la posicion con respecto al tiempo dedos partculas de material aislante que se mueven de una placa a la otra, mediante lasfunciones r1(x) = x

2 y r2(x) = x +3 donde x es el tiempo.Las placas estan afectadaspor un campo electrico, producido por una diferencia de potencial. Mientras que laspartculas esten a una distancia menor que 3m la capacitancia del sistema vara.

a. Encuentre en que intervalo o intervalos de tiempo, vara la capacitancia.

b. Si el capacitor es conectado a una fuente de tension variable en el tiempo V(t) =5sin(2f t)[V], escriba la expresion de energa electrica que almacena el capacitor.

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Explicacion del Problema: Un capacitor es un elemento pasivo que almacenaenerga en forma de campo electrico, este elemnto se modela por medio de la ecuacion:

i(t) = CdV

dtt

Donde i(t) es la corriente del circuito, V(t) es la tension o voltaje entre placa y placadel capacitor, y C es la capacitancia del elemento. Segun el enunciado, cuando semueven las pelculas de material aislante a mas de 3m de una a trayectoria a la otra,la capacitancia C vara, entonces hay que resolver la desigualdad de distancia entre lasdos pelculas :

|trayectoria1

latrayectoria2

|menor o igual que 3; donde la distancia

es dada en m.Para la segunda parte del problema, se debe tener en cuenta que un capacitor almacenaenerga en forma de campo electrico y esta energa depende de que tanto volta je seaaplicado. La energa electrica almacenada en un capacitor viene dada por la ecuacion:

E =1

2CV2

Donde C es la capacitancia y V es el voltaje aplicado.

Solucion:

a. Se debe tener en cuenta que la distancia entre las partculas en el instante de tiempox0 viene dada por |r1(x0) r2(x0)|, luego como la capacitancia vara mientras quela distancia entre las partculas sea menor que 3m lo que tenemos que hacer paraencontrar el intervalo de tiempo, es resolver la inecuacion |r1(x) r2(x)| < 3, para

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ello proseguimos como sigue:

|r1(x) r2(x)| < 3|x2 (x + 3)| < 3

|x2 + x 3| < 3

3 < x2 + x

3 < 3

As tenemos entonces que se deben satisfacer las inecuaciones 3 < x2 + x 3 yx2+x3 < 3 simultaneamente, por ello se soluciona cada una y se halla la interseccionde dichas soluciones:

3 < x2 + x 30 < x2 + x

0 < x(x + 1)

0 < x 0 < x + 11 < x

(, 1) (1, 0) (0, ) + x + + x + 1+ + x(x + 1)

Luego la solucion de la primera inecuacion es (, 1)U(0, )x2 + x 3 < 3x2 + x 6 < 0

(x + 3)(x 2) < 00 < x + 3 0 < x 23 < x 2 < x

(, 3) (3, 2) (2, ) + + x + 3 + x 2+ + x2 + x 6

Y la solucion de la segunda inecuacion es (

3, 2). Por lo tanto la solucion del problema

es:

[(, 1) (0, )] (3, 2) = [(, 1) (3, 2)] [(0, ) (3, 2)]= (1, 3) (0, 2)

Como el tiempo no es negativo se tiene entonces que la capacitancia varia en el inter-valo de tiempo (0, 2).

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b. Para hallar la energa almacenada por el capacitor aplicamos la ecuacion anteriormentemostrada:

E =1

2CV2

E =1

2(2700[f])(5sin(2f t)[V])2

E = 0,03375sin

2

(2f t)[Wseg]jercicio 3. Se quiere transmitir una senal S(t) a partir de dos senales en banda base m1(t) y

m2(t), las cuales se introducen en un sistema conformado por dispositivos no linealescomo se ve en el diagrama de bloques del sistema. (Los bloques con el smbolo

generan en su salida la raz cuadrada de su funcion de entrada)

a. Para que valores de t la senal S(t) podra ser transmitida?

b. Cuando se logra generar la senal S(t), que rango de valores puede tomar?

Explicacion del Problema: Para trasmitir una senal de un punto a otro son ne-cesarios 3 dispositivos fundamentales: Emisor, Canal y Receptor. En este ejemplo se

trata el diagrama de bloques mostrado como un emisor, y las senales m1(t) y m2(t)son las senales que poseen la informacion de importancia. La senal S(t) es la senala trasmitir y es generada a partir de las senales banda base. Cuando se introducenlas senales en banda base al sistema, los bloques con el smbolo

generan la raz

cuadrada de cada una y luego el bloque de multiplicacion efectua el producto de estasdos raices. Con esto la senal S(t) se convierte en:

S(t) =

t 1t + 1

En la primera parte del problema hay que hallar los valores para los cuales la senal

S(t) es un numero real para un valor de tiempo, esto significa que se debe encontrar eldominio Real de S(t), en la segunda parte del problema, cuando se dice que se logragenerar S(t), se refiere a los valores de tiempo en los que la senal tiene valores reales;en este punto se pide el rango de valores que tomara la senal as que hay que despejart en funcion de S y hallar el dominio de t.

Solucion:

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a. Por el diagrama de bloques se tiene que la senal S(t) esta dada por S(t) =t 1t + 1

luego para encontrar los valores para los cuales es posible transmitir la

senal tenemos que hallar el dominio de S, para ello tenemos que solucionar ladesigualdad:

t 1t + 1

0

hacemos el diagrama de signos:

(, 1) (1, 1) (1, ) + t 1 + + t + 1+ + t 1/t + 1

Luego la solucion de la desigualdad es (, 1) [1, ), notese que 1 no estaincluido en la solucion pues el es raz del denominador de la expresion, ahoracomo t representa al tiempo que no es negativo, entonces la senal puede sertransmitida siempre que t

[1,

) es decir siempre que t

1.

b. Como la senal puede ser transmitida si t 1 entonces encontremos el rango dela funcion en ese caso, para ello sea:

y =

t 1t + 1

y2 =

t 1t + 1

como consideraremos el caso en el cual t 1 y en ese caso t 1t + 1

0 entonces

y2 =t 1t + 1

y2(t + 1) = t 1y2t + y2 = t 1

y2t t = y2 1t(y2 1) = y2 1

t =y2 + 1

1 y2

19


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As cuando t 1 entonces

1 y2 + 1

1 y2

0 y2 + 1

1 y2 1

0 y2 + 1 1 + y21 y2

0 2y2

1 y2

Como 2y2 0 entonces basta ver cuando 1 y2 > 0, como esta funcion corres-ponde a una parabola que abre hacia abajo, y que corta al eje x en 1 y 1 setiene que la solucion de dicha desigualdad es el intervalo (1, 1) que en nuestrocaso es el intervalo de valores que toma la senal.

20


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21

4. TEMA: Trigonometra.

Objetivo: Simplificar una ecuacin compleja usando identidades trigonomtricas.

Ejercicio 1. Usando identidades trigonomtricas simplifique la ecuacin de una onda

modulada teniendo en cuenta que el ndice de modulacin es muy pequeo (Modulacinen banda angosta).

a. Si la seal se modula en frecuencia FM y b. Si la seal se modula en fase PM y

Solucin.

Una seal modulada en banda angosta tiene una funcin parecida a una sealmodulada en amplitud AM. La diferencia est en el signo de la banda de ms bajafrecuencia.

a.

Modulacin FM Usando la identidad Trigonomtrica:

Teniendo en cuenta que es muy pequeo en modulacin de banda angosta, se puedenhacer las siguientes aproximaciones:

Reemplazando las anteriores ecuaciones en

Aplicando la identidad trigonomtrica:

b. Modulacin PM Usando la identidad Trigonomtrica:

Como en el caso anterior, sabiendo que es muy pequeo en modulacin de bandaangosta, se pueden hacer las siguientes aproximaciones:


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22

Reemplazando las anteriores ecuaciones en

Aplicando la identidad trigonomtrica:


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Ejercicio 1.

Se cuenta con un circuito elctrico simple conformado por dos fuentes de voltaje DC en serie

con valores y . Las fuentes estn conectadas a un arreglode resistencias en paralelo de la siguiente manera:

a. Halle la resistencia equivalente simplificando trminos teniendo en cuenta la siguienteecuacin:

b. Halle la corriente que atraviesa cada resistencia en el circuito simplificando trminosusando la siguiente ecuacin:

Solucin.

a. Despejando la resistencia equivalente de la primera ecuacin:

Reemplazando los valores dados en la figura:


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24

( ) Simplificando trminos:

( ) ( )

( )

( )

b. Para hallar la corriente en cada una de las resistencias primero se halla el voltaje en comnde todas las resistencias, ya que estn en paralelo y es igual para todas:

Ahora se calcula la corriente en cada resistencia segn la ecuacin dada:


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Ejercicio 2.

La figura muestra un circuito RLC, esto quiere decir que se compone de una fuente de

voltaje, un resistor R, un inductor L y un capacitor C equivalentes. La ecuacin de la curva

de corriente vs tiempo es Teniendo en cuenta que

son las races del siguiente polinomio:

a. Halle s1, s2 para el circuito de la figura.b. Segn la grfica de la corriente, tome 2 puntos y encuentre las constantes luego

reescriba la ecuacin de corriente.


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26

Solucin.

a. Segn el circuito elctrico: Reemplazando estos valores en el polinomio anterior e igualando a cero:

Para hallar las races de un polinomio de segundo orden se puede usar la frmula: ( ) En este caso:

b. Observando la grfica del comportamiento de la corriente respecto al tiempo para este caso,

se toman los siguientes puntos:

Reemplazando los anteriores puntos en la ecuacin dada:

Del primer punto se deduce que Reemplazando esto en el segundo punto:

Reescribiendo la ecuacin de corriente:


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Ejercicio 3.

Simplifique la ecuacin de la ganancia de voltaje para el amplificador mostrado en la figura y

grafique la magnitud de la misma respecto a la variable si:

[ ]

Solucin.

La ecuacin para la ganancia de voltaje se puede simplificar parte por parte:

* +

Reemplazando cada parte en la ecuacin y eliminando trminos:

La magnitud de la ganancia de voltaje es:


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28

La grfica de ganancia vs es:

Ejercicio 4.

Las compuertas lgicas actan como los operadores de las proposiciones, por ejemplo, lacompuerta NOT genera en su salida la negacin de su entrada, la compuerta OR genera en su

salida la disyuncin de sus dos entradas y la compuerta AND genera la conjuncin de sus

entradas.


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29

Dado el anterior arreglo de compuertas lgicas, halle la seal X si se entiende un 0 como

FALSO y 1 como VERDADERO para la siguiente combinacin de las entradas:

A B C D E F GV F V F F F F

F F V V F V V

V V V V V V F

F V F V F F V

V F F F F F F

F F F V V V V

V V F F V V F

Solucin.

Teniendo en cuenta que cada compuerta lgica funciona como una operacin lgica se

procede a hallar la salida para cada una de ellas:

Compuerta NOT=Negacin Compuerta AND#2= ConjuncinD Salida

NOT E FSalida AND #2

0 1 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1 0 1 1 1

0 1 1 1 1

Compuerta AND#1= Conjuncin Compuerta OR= Disyuncin

C Salida NOT Salida AND #1 Salida AND #1 Salida AND #2 Salida OR1 1 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1

0 1 1 1 1 1


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30

Compuerta AND#3= Conjuncin

A B Salida OR X

1 0 1 1

0 0 1 1

1 1 1 1

0 1 0 11 0 1 1

0 0 1 1

1 1 1 1

Ejercicio 5.

Las leyes de Morgan son ecuaciones muy usadas para la simplificacin de ecuaciones de

sistemas digitales con el fin de emplear un nmero considerablemente bajo de compuertas

lgicas en su implementacin fsica para disminuir complejidad y costos. Empleando la

analoga de las leyes de Morgan para los conjuntos A, B:

Donde los conjuntos A,B se convierten en seales digitales con valores ESTADO ALTO=1,ESTADO BAJO=0. El guin sobre las seales A,B digitales significa que la seal est negada,

por ejemplo si , Simplifique las siguientes ecuaciones de sistemas digitales usando la analoga de las leyes de

Morgan:

a. b. c.

Solucin

a. Sea y , entonces la expresin es de la forma: La expresin se reescribe como: Ahora si se aplica la segunda ley de Morgan a la expresin :

Por ltimo la expresin simplificada es:

b.

Sea y , entonces la expresin es de la forma: La expresin se reescribe como: Ahora si se aplica la primera ley de Morgan a cada expresin :



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31

c.

Sea

,

y

, entonces la expresin es de la forma:

La expresin se reescribe como: Ahora si se aplica la primera ley de Morgan a cada expresin :


Ejercicio 6.Se tiene una distribucin de campo elctrico de la siguiente forma:

a. Halle los ceros de la ecuacin de campo elctrico usando el mtodo de los cerosracionales.

b. Halle el valor del campo elctrico en los puntos x=5,6 usando el mtodo de la divisinsinttica.

a. De aqu y Valores de p:

Valores de q:

Posibles races: Eligiendo la raz +3:

Eligiendo nuevamente la raz +3:


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32

El trmino cuadrtico se puede factorizar de la siguiente forma: Luego a expresin final es: De lo anterior se deduce que los ceros de P son

b. Se efecta la divisin sinttica:Para el punto x=5

Para el punto x=6 Luego los valores del polinomio en cada punto son: Ejercicio 7.

En un sistema de comunicacin por modulacin de amplitud se debe tener cuidado con la

seal a transmitir en cuanto a la sobre modulacin, esta seal modulada debe cumplir la

siguiente condicin: || Donde k es una constante positiva de sensibilidad y m(t) es la seal a transmitir.Resuelva la desigualdad para:

a. b.

Solucin.

a.

Como k es positiva:


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33

Los posibles valores de tiempo para los cuales no habr sobremodulacin son: Como el tiempo es una cantidad positiva, la solucin es:

b. | |

Como en el enunciado se especifica para t mayor o igual que 0:

Intervalo (-, -2) (-2, )

(t+2) - +

(t+2) - +

+ +

La solucin parcial es

Intervalo (-,-3) (-3, -1) (-1, )

(t+3) - + +

(t+1) - - +

+ - +

La solucin parcial es Intersecando ambas soluciones parciales, la solucin final es:


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34

Ejercicio 8.

En un circuito elctrico en paralelo que se compone de un resistor, un inductor y un capacitor

(RLC) se genera un voltaje entre los pines en comn de todos los elementos. Use laspropiedades de las funciones logartmica y exponencial para hallar la ecuacin de voltaje

generado si:

a. ( )

[V]

b. [V]Solucin.

a. ( )Usando las propiedades de funcin exponencial en cuanto a la relacin con las funciones

trigonomtricas: ( )

( )

Usando la propiedad trigonomtrica:( ) () ()

b. En este caso se debe despejar el logaritmo natural:

Elevando ambos lados por la base del logaritmo natural, el nmero de euler e:

Usando la propiedad de los logaritmos:

Esta ecuacin pertenece a un circuito RLC crticamente amortiguado.

Ejercicio 9.Para el diseo de una lnea de transmisin se cuenta con un cable compacto de cobre con una

seccin en forma de cono para el amarre en la torre, se desea hallar su peso para calcular la

tensin que deben soportar torres que lo sostienen.

Si el cable se compone de figuras como las mostradas, calcule el peso del cable teniendo en

cuenta que la densidad del cobre es , la gravedad es 9.8072m/s^2, d=1cm,L=350m, h=10cm.


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Para calcular el peso del cable se debe tener en cuenta la densidad del cobre en este caso:

La masa del cable viene dada por: Donde es la densidad y es el volumen del cable.Como ya se conoce la densidad del mismo, se debe hallar el volumen aplicando los conocimientos

de volmen de geometra:

Primero se halla el volmen del cono:

Ahora se calcula el volumen del cilndro: Sumando ambos volmenes se puede encontrar la masa del cable:

Entonces la fuerza que ejerce la gravedad sobre el cable es:

Ejercicio 10.

Se desea disear un circuito elctrico con con una fuente de corriente independiente, para esto

se debe caracterizar dicha fuente y se debe conocer los valores mximos y mnimos de la

corriente. Halle los valores mximos y mnimos con sus respectivos instantes de tiempo para

las siguientes fuentes de corriente:

a. [A]b. [A]

Solucin.a. Usando la siguiente propiedad trigonomtrica: ()


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36

Como ahora I(t) est descrita por medio de un coseno, y la funcin coseno tienen su valor mximo

cuando su argumento es cero pi, el mximo valor de I se calcula de la siguiente forma:

En se genera una amplitud de 9/2A del segundo trmino, luego en se momento sepresenta la mayor amplitud de I(t).

El valor mnimo de I se da cuando

:

b.

Sabiendo que la funcin coseno tiene su mximo cuando se argumento es cero mltiplo parde pi:

Por su parte el valor mnimo de I vendr en el momento que el argumento del coseno sea oun mltiplo impar de


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37

Como arcoseno de un nmero mayor que 1 no existe, el valor mnimo de t est dado cuando el

argumento del arcoseno de sea -1.


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Algebra Lineal




REVISADOS POR:



19 de enero de 2012

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Asignatura: ALGEBRA LINEAL

1. TEMA: Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Objetivo:- Calcular el determinante de una matiz de 3x3 usando el metodo de para hallar la

solucion de un sistema de ecuaciones lineales. Introducir al estudiante en conceptosimportantes en el analisis de circuitos como las reglas de Kirchoff.

- Calcular el determinante de una matiz de 2x2 usando la regla de Cramer para hallarla solucion de un sistema de ecuaciones lineales.

- Hallar la inversa de una matriz por el metodo de la matriz Adjunta apara solucionarun sistema de ecuaciones lineales.

Aplicacion o contextualizacion para el programa curricular: Este tipo demetodos son muy usados para solucionar sistemas electricos y se aplican en asignaturascomo Circuitos Electricos, Electronica Analoga, Transmision y Distribucion, etc.

jercicio 1. Se tiene el siguiente circuito conformado por tres secciones o mallas, se desea calcularel valor de la corriente en cada una las mallas del circuito por el metodo de las matrices,el cual consiste en hallar una ecuacion lineal por cada malla, ordenarlas en forma dematrices, calcular la matriz inversa y hallar las respectivas corrientes:

V100

=

A B CD E F

G H J

i1i2

i3

i1i2i3

=

A B CD E FG H J

1

V100

Donde los valores de A, B, C,.. estan determinados por la magnitud de los elementospasivos que conforman el circuito (resistencias). Los valores de las resistencias y de lafuente de voltaje que alimenta el circuito se muestran en la figura.

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Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservacion de la energay la carga en los circuitos electricos.Ley de corrientes de Kirchhoff.Esta ley tambien es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es comun quese use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice

que en cualquier nodo, y la suma de todos los nodos y la suma de las corrientes queentran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De igual forma, Lasuma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.La leyse basa en el principio de la conservacion de la carga donde la carga en couloumbs esel producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos.

nk=1

Ik = I1 + I2 + I3 + ... + In

Ley de tensiones de Kirchhoff.

Esta ley es llamada tambien Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoffo ley de mallas de Kirchhoff y es comun que se use la sigla LVK para referirse aesta ley. En toda malla la suma de todas las cadas de tension es igual a la tensiontotal suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de lasdiferencias de potencial electrico es igual a cero.

nk=1

Vk = V1 + V2 + V3 + ... + Vn

Solucion:

El primer paso es simplificar el circuito y hacer un calculo mas r apido de las corrientesde malla, para esto se hallan las resistencias equivalentes de las resistencias que estanen serie y en paralelo en cada malla. Como ya se explic o, la resistencia equivalentede resistencias en serie es la suma de ellas, mientras que la resistencia equivalente deresistencia en paralelo es la division de su producto entre la suma de ellas.

RA = R1 + R2 = 100 + 20 = 120

RB = R9 +R3R4

R3 + R4= 200 +

(300)(500)

300 + 500= 387,5

RC =(R5 + R7)(R6 + R8)

(R5 + R7) + (R6 + R8) =(40 + 55)(1000 + 80)

(40 + 55) + (1000 + 80) = 87,32

El nuevo circuito simplificado es el siguiente:

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Ahora se hallan las ecuaciones de malla segun las ley de Kirchoff de voltaje:

V1 + i1R10 + RA(i1 i2) = 0V1 = i1(R10 + RA) + i2(RA)

(i1 i2)RA + R11i2 + (i2 i3)RB = 00 = i1(RA) + i2(RA + RB + R11) + i3(RB)

(i2 i3)RB + R12i3 + RCi3 = 00 = i2(RB) + i3(RB + R12 + RC)

Reemplazando los valores de las resistencias y de la fuente de voltaje:

10V = i1(500 + 120) + i2(120)0 = i1(120) + i2(120 + 387,5 + 2200) + i3(387,5)

0 = i2(387,5) + i3(387,5 + 2200 + 87,32)La matriz caracterstica del circuito es la siguiente:

100

0

=

620 120 0120 1507,5 387,5

0 387,5 2674,82

i1i2

i3

Para calcular las corrientes de malla se debe calcular la matriz inversa y multiplicarlapor el vector de voltajes:

i1i2

i3

=

620 120 0120 1507,5 387,5

0 387,5 2674,82

1

1000

Si el determinante de una matriz es diferente de cero, esta posee inversa, as que

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se verifica el valor del determinante. Para esto se nombra la matriz con la letra A.Para calcular rapidamente el determinante de una matriz de 3x3 se multiplican lasdiagonales de la misma, se suman dichos productos y luego se restan, la siguientefigura explica mejor el procedimiento:

det|A| = (387,5 387,5 620 + 2674,82 120 120+) + (620 1507,5 2674,82)det|A| = 2368406230 = 0

Como el determinante es diferente de cero, la matriz inversa existe. La matriz inversase define como:

A1 =|A|t

det|A|donde |A|t es la traspuesta de la matriz adjunta.

A1 =1

2368406230

3882134,9 320978,4 46500320978,4 1658388,4 240250

46500 240250 920250

t

Por lo tanto ls relacion de matrices es la siguiente:i1i2

i3

= 103

1,63913 0,13552 0,019630,13552 0,70021 0,10143

0,01963 0,10143 0,38855

100

0

Multiplicando la matriz inversa por el vector de voltajes se obtiene el vector de co-rrientes de malla:

i1i2i3

=

16,391mA1,355mA

0,196mA

jercicio 2. Un circuito como el de la figura esta conformado por una fuente independiente devoltaje AC, una fuente dependiente de corriente controlada por corriente, una resis-tencia, dos inductores y un capacitor. El valor de la fuente dependiente es dos veces

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la corriente ix ue atraviesa el capacitor.Calcule la corriente ix en el capacitor en funcion del tiempo y halle el voltaje en elinductor de 0,5H convirtiendo todos los elementos del circuito en fasores.


La regla de Cramer es un teorema en algebra lineal, que da la solucion de un sistema

lineal de ecuaciones en terminos de determinantes.Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitasPara la resolucion de un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, de la forma.Dado el sistema de ecuaciones:

Solucion:

El primer paso es convertir el circuito al dominio de la frecuencia, es decir convertir

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cada elemento del circuito en un fasor.

20cos(4t) 2001H jL = j(1)(4) = j4

0,5H jL = j(1)(4) = j41F

1

jC=

1

j(4)(1)=

j2,5

Entonces, el circuito equivalente en el dominio de la frecuencia es:

Aplicando la ley de corrientes de kirchoff en el nodo de V1.

20 V110

=V1

j2,5 +V1 V2

j4

(1 + 1,5j)V1 + 2,5jV2 = 20

Aplicando la ley de corrientes de kirchoff en el nodo de V2.

2Ix +

V1

V2

j4 =

V2

j2

Como Ix =V1

2,5j , sustituyendo en la anterior ecuacion:

2V12,5j +

V1 V2j4

=V2j2

11V1 + 15V2 = 0

Las anteriores ecuaciones se pueden expresar en forma de matrices como sigue:

1 + 1,5j j2,5

11 15

V1V2

=

200

Se procede a calcular el valor de los fasores V1, V2 usando la regla de Crammer, estemetodo es muy rapido y facil de efectuar. Consiste en calcular el determinante de lamatriz, luego reemplazar la primera columna de la matriz por el vector que esta des-pues del signo igual y calcular el determinante de esta nueva matriz, luego se reemplaza

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este mismo vector en la segunda columna de la matriz y se calcula otra vez el determa-nate. El valor del voltaje V1 es la division del segundo determinante sobre el primero,mientras que el valor de el voltaje V2 es la division del tercer determinante sobre elprimero.Ahora se calcula el determinante de la matriz de 2x2:

det = (1 + 1,5j)15 (2,5j)11 = 15 j5

Se procede a calcular los nuevos determinantes al reemplazar el vector en las columnasde la matriz:

20 j2,50 15

,det2 = (20)15 (2,5j)0 = 300

1 + 1,5j 2011 0

,det3 = (1 + 1,5j)0 (20)11 = 220

Efectuando las divisiones se obtiene el valor de los voltajes:

V1 =det2det

=300

15 j5 = 18 + j6 = 18,9718,43V

V2 =det3det

=220

15 j5 = 13,2 j4,4 = 13,91198,43V

La corriente Ix viene dada por:

Ix =V1

2,5j

=18,9718,43V

2

5

90V

= 7,59108,4A

Transformando este valor al dominio del tiempo:

ix(t) = 7,59cos(4t + 108,4)A

jercicio 3. La figura muestra un nucleo ferromagnetico cuya permeabilidad relativa es 2000. Lasdimensiones se muestran en el esquema y la profundidad del nucleo es 7cm. Losentrehierros de la parte izquierda y derecha tienen 0,050 y 0,070cm, respectivamente.Debido a efectos marginales, el area efectiva se incrementa 5 porciento respecto al areafsica. Si hay una bobina de 300 vueltas enrollada en la columna central del nucleo, y

por ella pasa una corriente de 1A:

a Cual es el flujo magnetico en cada una de las columnas del nucleo?

b Cual es la densidad de flujo en cada entrehierro?.

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Solucion:Como se menciono anteriormente, el nucleo magnetico se trata como una reluctanciaal igual que el entrehierro.Las longitudes para hallar cada reluctancia se muestran enla siguiente figura, siendo l1 la longitud para 1, l2 la longitud para 2, l3 la longitudpara 3, l4 la longitud para 4 y l5 la longitud para 5.

Las longitudes y las areas son las siguientes, teniendo en cuenta que el area de los

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entrehierros 3 y 4 se incrementan debido a los efectos marginales:

l1 = 2(30cm + 7cm) + (30cm + 7cm) 0,05cm = 110,95cml2 = 2(30cm + 7cm) + (30cm + 7cm) 0,07cm = 110,93cm

l3 = 0,05cm

l4 = 0,07cm

l5 = (30cm + 7cm) = 37cm

A1 = A2 = A5 = (7cm)(7cm) = 49cm2

A3 = (7cm)(7cm)(1,05) = 51,45cm2

A4 = (7cm)(7cm)(1,05) = 51,45cm2

r = 2000

0 = 4107

Reluctancias del nucleo:

1 =l1

0rA1 =

110,95cm

4107(2000)(49cm2) = 90,093 103

A

vuelta

W b

2 = l20rA2

=110,93cm

4107(2000)(49cm2)= 90,076 103A vuelta

W b

5 = l50rA2

=37cm

4107(2000)(49cm2)= 30,045 103A vuelta

W b

Reluctancias del entrehierro:

3 = l30rA3

=0,05cm

4107(51,45cm2) 77,334 103A vuelta

W b

4 =l4

0rA4 =

0,07cm

4107(51,45cm2) 108,268 103

A

vuelta

W b

Fuerza electromotriz del circuito:

F = Ni = (300vueltas)(1A) = 300vueltas A

a El nuevo circuito formado por el nucleo y los entrehierros que se puede tratar comoun circuito electrico es:

10


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Ahora, como el anterior circuito se puede tratar como un circuito electrico, se aplicanlas leyes de Kirchoff y se hallan las ecuaciones de malla:

F + 5(1 + 2) + 1(1 + 3) = 0F = 1(5 + 1 + 3) + 2(5)

F + 5(1 + 2) + 2(2 + 4) = 0F = 1(5) + 2(5 + 2 + 4)

Reemplazando los valores de cada reluctancia e introduciendolos en una matriz 2x2:

300300

=

197472 3004530045 228389

12

12

=197472 30045

30045 2283891

300300

Una forma facil de calcular la inversa de una matriz de 2x2 es saber que la traspuestade la matriz adjunta de 2x2 y su determinante son:

A =

a bc d

|A|t =

d bc a

det|A| = ad cb

Luego la inversa de la matriz de 2x2 es:

A1 =|A|t

det|A|Calculando el determinante y la matriz adjunta, se obtiene la matriz inversa comosigue:

det|A| = 44197730583 = 0

A =

197472 3004530045 228389

|A|t =

228389 3004530045 197472

A1 =1

11983874159

228389 3004530045 197472

A1 = 106

5,1674 0,67970,6797 4,4679

11


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Por ultimo se calcula el flujo en cada una de las mallas del circuito:12

= 106

5,1674 0,6797

0,6797 4,4679

300300

1

2 =

1,3463mW b

1,1364mW b

El flujo magnetico que atraviesa la columna central del nucleo es:

3 = 1 + 2

3 = 2,4872mW b

b La densidad de flujo magnetico viene dada por la siguiente relacion, teniendo en cuentaque para los entrehierros el area efectiva aumenta en un 5 porciento:

B3 = 2A4

B4 =1A3

B3 =1,3463mW b

51,45(104)m2= 0,261T

B4 =1,1364mW b

51,45(104)m2= 0,22T

2. TEMA: Vectores en Rn.

Objetivo:- Relacionar el campo magnetico con la velocidad y la fuerza de una carga en movi-

miento por medio del producto cruz y el producto punto.

- Hallar la distancia de una lnea a otra y la distancia de una lnea a un plano por mediode proyecciones de vectores.

- Relacionar la magnitud de una funcion de trasferencia(vector) de un sistema conelementos como inductor, capacitor, resistor, para calcular el valor de la frecuencia de

un filtro.

Aplicacion o contextualizacion para el programa curricular: Estos conceptosse deben tener en cuenta durante el trascurso de la carrera para desarrollar ejerciciosque involucren senales electricas en el dominio de la frecuencia (Fasores) que sontratadas en su mayora en Circuitos Electricos, Sistemas de Energa, Transmision ydistribucion, etc

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jercicio 1. Una carga electrica puntual q [Coulomb] en movimiento con una velocidad v [me-tro/segundo] dentro de un campo magnetico B [Telsa] experimenta una fuerzaperpendicular a su velocidad y al campo, F = qvXB, medida en Newton [N].

a. Si una carga puntual de 10C se mueve a una velocidad dada por el vector v =

3 4 2

m/seg en un campo magnetico externo B =

0,5 0,9 0,8

T. Halle la

magnitud, el angulo respecto al plano xy de la fuerza que experimenta la carga y elangulo entre los vectores V, B.

b. Halle el angulo de la fuerza que experimenta la carga respecto al plano formado porv y B.

c. Si se adiciona un campo electrico E [Voltio/metro] de valor E =2 8 4 V/m

y sabiendo que la fuerza que experimentara la carga debido a este campo es F = qE.Cual sera la nueva fuerza que afectara la carga?Explicacion del Problema:

El campo magnetico es una region de espacio en la cual una carga electrica puntualde valor q, que se desplaza a una velocidad , sufre los efectos de una fuerza que esperpendicular y proporcional tanto a la velocidad v como al campo B. As, dicha cargapercibira una fuerza descrita con la siguiente igualdad.

F = q V XB

donde F es la fuerza, v es la velocidad y B el campo magnetico, tambien llamadoinduccion magnetica y densidad de flujo magnetico. (Notese que tanto F como v yB son magnitudes vectoriales y el producto vectorial tiene como resultante un vectorperpendicular tanto a v como a B). El modulo de la fuerza resultante sera:

|F

|= q

|V

||B

|sin

Solucion:

a. Para hallar la magnitud y el angulo de la fuerza que experimenta la carga, se debeefectuar el producto cruz entre los vectores de velocidad y densidad de flujo magnetico,

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despues se debe hallar la magnitud del vector por medio una operacion con raz cubicay el angulo aplicando las propiedades de los vectores en 3.

F = q V XB

F = 10

3 4 2

X

0,5 0,9 0,8

F = (10)det

i j k3 4 2

0,5 0,9 0,8

F = (10)5i 1,4j 4,7k N

F =50i 14j 47kN

La magnitud del vector fuerza es:

||F|| = 2

502 + 142 + 472 = 7,003N

Para hallar el angulo entre los vectores V, B se aplica la propiedad:

sin =||V XB||||V||||B||

sin =

49,05

2

32 + 42 + 22 2

0,52 + 0,92 + 0,82

sin =

49,05

29

1,7

= 85,91grados

Para hallar el angulo del vector respecto al plano xy se debe hallar primero el vectorproyectado hacia el plano xy, que viene siendo el mismo vector F con componente ceroen z.

cos =||F Fp||||F||||Fp||

cos =52 + 1,42 + 02

52 + 1,42 + 4,72

52 + 1,42 + 02

cos =26,96

29

26,96

= 15,38grados

b. Por definicion, el vector formado por el producto cruz entre dos vectores tiene lapropiedad de que es perpedicular al plano formado por dichos vectores, es por estoque el angulo formado entre AXB y el plano formado por los vectores A, B siemprees de 90 grados.

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c. La fuerza total que experimentara la carga cuando se adiciona un campo electrico enun campo magnetico es la suma de las fuerzas producidas por dichos campos:

Ftotal = FE + FB

Ftotal = 10(2i + 8j + 4k)N + (50i 14j 47k)NFtotal =

20i + 66j

7kN

jercicio 2. Calcule la capacitancia respecto al neutro y la inductancia de una lnea de trasmisionde energa electrica conformada por 3 conductores de Aluminio al 61 porciento calibre4/0, el cual tiene un radio medio geometrico de 0,01577pies. La longitud de la lneade trasmision es de 10 Km. La distribucion de los conductores es como se muestra enla figura, las distancias estan dadas en metros.

b. La lnea de trasmision se instala despues de 10km de terreno plano en una montana

que viene modelada por un plano que contiene los puntos R = (1, 2, 3), S = (2, 3, 1)y T = (1, 0, 4) .Se desea colocar una torre con una altura mayor a las torres en terrenoplano. Cual debe ser la altura de la torre en la montana si el punto mas alto de latorre es Q = (3, 5, 7)?

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La distancia de un punto, P, a un plano, , es la menor de la distancia desde el puntoa los infinitos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazadadesde el punto al plano.

Solucion:

Una lnea de trasmision posee parametros como resistencia, inductancia, capacitanciay conductancia. La inductancia es un parametro que se modela en serie con la resis-tencia mientras que la capacitancia se modela en paralelo con la conductancia.La inductancia de una lnea de trasmision se calcula de la siguiente forma:

L = 0,7411logD

r[mH

mi]

La capacitancia respecto al neutro de una lnea de trasmision se calcula de la siguienteforma:

C =0,0388

logD

r

[F

mi]

La distancia r

es el radio medio geometrico que generalmente es dado por el fabricante

del cable, la distancia D es la raz cubica del producto de las distancias entre cable ycable.Para hallar las distancias entre cable y cable se aplica el teorema de pit agoras a lafigura (a).

D1 =

12 + 32 =

10

D2 =

32 + 12 =

10

D3 = 2

La distancia D es:

D =

2

10

10

D = 4,47221m

Ahora se debe convertrir este valor en pies, sabiendo que 1m = 3,2808pies:

D = (4,47221)(3,2808pies) = 14,672pies

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Por ultimo se reemplazan los valores en las ecuaciones de inductancia y capacitancia:

L = 0,7411 log14,672

0,01577[mH

mi]

C =0,0388

log 14,6720,01577

[F

mi

]

L = 2,2[mH

mi]

C = 13,07[nF

mi]

Hay que tener en cuenta que 1milla = 1,6093Km, por lo tanto 10Km = 6,213millas,entonces:

L = 13,67[mH]C = 81,2[nF]

b. Para calcular la altura de la torre se debe hallar la poryeccion sobre el plano delvector que va desde un punto cualquiera P contenido en el plano hacia el punto Qcomo ilustra la figura del item b parte (b). La norma del vector proyeccion es la alturah de la torre.Como no se conoce la ecuacion del plano, se procede a calcularla:

RS = S R = 3i + j 2kT S = S T = 3i 3j + 5k

RSX T S =det

i j k3 1 2

3 3 5

RSX T S = i + 9j + 6k

Reemplazando las componentes i, j, k por la resta de las variables x,y,zcon un punto

en el plano, en este caso el punto R, la ecuacion del plano es:

(x 1) + 9(y 2) + 6(z 1) = 0x + 9y + 6z = 23

De la anterior ecuacion, se deduce que el vector normal al plano es N = i + 9j + 6k.

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Ahora se halla el vector proyeccion del vector P Q sobre el plano:

ProyN P Q =P Q N|| N||

Tomando como referencia un punto P contenido en el plano, P = (d

a, 0, 0) = (

23

1, 0, 0) =

(23, 0, 0)h = ProyN P Q =

(26, 5, 7) (1, 9, 6)||(1, 9, 6)||

h =84

||(61)|| = 5,61m

jercicio 3. Existen circuitos que son capaces de dejar pasar solo una parte de la senal de entradahacia su salida, estos circuitos se conocen como filtros y puden ser de varios tipos

dependiendo de su frecuencia, algunos de ellos son los filtros pasabajos, que permiten elpaso de la parte de la senal que posee frecuencia baja, filtros pasaaltos que permiten elpaso de la parte de la senal que posee frecuencia alta, filtros pasabandas, que permitenel paso de una determinada banda de frecuencia y rechaza banda, que evita el pasode una determinada banda de frecuencia.

a. Determine que tipo de filtro es mostrado en la figura, donde L = 2H, R = 2K,C = 2uF.

b. Calcule la frecuencia de corte.


Un filtro electrico o filtro electronico es un elemento que discrimina una determinada

frecuencia o gama de frecuencias de una senal electrica que pasa a traves de el, pu-diendo modificar tanto su amplitud como su fase. Un filtro pasa bajo corresponde aun filtro caracterizado por permitir el paso de las frecuencias m as bajas y atenuar lasfrecuencias mas altas.La siguiente tabla muestra un resumen de las caractersticas de los filtros.

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Solucion:

a. Primero se debe hallar la funcion de trasferencia del circuitos, para esto se conviertecada elemento en su respectivo equivalente en el dominio de la frecuencia:

L sL

C 1sC

R Rvi Vi

vo VoEfectuando un divisor de voltaje y teniendo en cuenta que cada elemento pasivo delcircuito es una impedancia en el dominio de la frecuencia, la funcion de trasferenciaviene dada por la ecuacion:

H(s) =

Vo

Vi =

R

||1/sC

(sL + R||sC) , s = jR|| 1

sC=

R

1 + RsC

H(s) =VoVi

=

R

1 + RsC(sL + R||sC) , s = j

H(s) =R

s2RLC+ sL + R

H() =R

2RLC+ jL + R

Para saber que tipo de filtro es el circuito, se calcula el lmite de la ecuacion cuandola frecuencia tiende a 0 y cuando la frecuencia tiende a .

lm0

H() = H(0) =R

0 RLC+ 0 jL + R = 1lm

H() = H()

19


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Si tiende a , la R del denominador se puede despreciar y el lmite se aproxima a:

H() = R2RLC+ jLComo el termino del denominador se convierte en cuando , entonces ellmite tiende a cero.

lm0

R2RLC+ jL = 0

Se concluye que el filtro es de tipo pasabajos de segundo orden.

b. La magnitud de H() es:

|H()| = RR2(1 2LC)2 + 2L2

La frecuencia de corte es la frecuencia c en la cual la magnitud tiene el valor de1/

2:

|H()| = 1/2|H()|2 = 1/2

|H()|2 = R2

R2(1 2cLC)2 + 2cL2Despejando c y sustituyendo los valores de L, C, R dados, la frecuencia de corte es:

2 = (1 2cLC)2 +2cL

2

R2

2 = (1 2c4(106))2 + 2c (106)164

c 72

c 1 = 0

2c = 0,5509

c = 0,742Krad/seg = 742rad/seg

3. TEMA: Matrices.

Objetivo:- Encontrar dos funciones polinomiales a partir de la multiplicacion y la suma de ma-

trices.

- Hallar el voltaje de cada nodo de un circuito por medio de la inversa de una matrizde 4x4.

Aplicacion o contextualizacion para el programa curricular: Las operacionesmatriciales se usan frecuentemente en la solucion de sistemas de ecuaciones lineales,sistemas de control (como en este caso). Este tipo de ejercicios se desarrollan enasignaturas como Circuitos Electricos, Control, Electronica Analoga, etc.

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jercicio 1. Se desea controlar un circuito que posee una funci on de trasferencia G(s), dondes = j. El controlador debe ser de dos parametros tal que la funcion de trasferencia enlazo cerrado es T(s). Las ecuaciones de las funciones de trasferencia son las mostradasen la figura:


Sistema de control de lazo abierto: Es aquel sistema en que solo actua el proceso sobrela senal de entrada y da como resultado una senal de salida independiente a la senalde entrada, pero basada en la primera.

Sistema de control de lazo cerrado: Son los sistemas en los que la acci on de controlesta en funcion de la senal de salida. Los sistemas de circuito cerrado usan la retroali-mentacion desde un resultado final para ajustar la accion de control en consecuencia.

Para hallar el controlador de 2 parametros se usa un metodo que sera explicado paso apaso en el desarrollo del ejercicio, este metodo requiere de una ecuacion entre matricescomo la siguiente, esta ecuacion se puede expresar como el producto de dos matricesen funcion de sus terminos como sigue:

21


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Solucion:

Inicialmente, verificaremos que la funcion de transferencia deseada sea implementable,para lo cual se requiere que:

grado(T) grado(G). Podemos observar que el grado relativo de T (grado(T) = 3)es igual al grado relativo de G (grado(G) = 3) . Por lo cual se cumple la primeracondicion.

G(s) no presenta ceros en el semiplano derecho ni tampoco T(s). El denominador de T(s) es estable.

Por lo tanto, la funcion T(s) deseada es implementable. Calculamos H(s), tal co-mo se muestra a continuacion:

G(s) =N(s)

D(s)

Calculamos entonces el grado del controlador de orden mnimo, tal como se muestra:

Donde h = grado(DH) tal que:

grado(DH) = 2 + 3 3 = 2Los polos de la funcion de trasferencia T(s) es:

p1 = 5p2,3 = 2,5 j1,9365

Por lo tanto escogemos dos polos estables y rapidos, tal que:

DH = (s + 8)(s + 10)

Tenemos los polinomios L(s) y F(s), as:

22


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A partir de lo anterior, formamos la matriz de Diofanto como sigue:

A partir de lo anterior, obtenemos el controlador de 2 parametros

Verificamos que obtenemos la funcion de transferencia deseada:

Vemos que corresponde a la funcion de lazo cerrado deseada.

jercicio 2. En el siguiente circuito se muestra una configuracion de tres fuentes de corriente co-nectadas a unas resistencias cuyos valores ya estan determinados, halle el voltaje encada uno de los nodos indicados por medio del metodo de las matrices

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Solucion:

Primero se efectua una ley de corrientes de Kirchoff en cada uno de los nodos, conesto se obtienen las siguientes expresiones:

nodo1 2A = V15

+V1 V2

3+

V1 V41

nodo2 V1

V2

3 =V2

V4

6 +V2

V3

2

nodo3 V2 V32

+ 4A =V3 V4

3+

V34

nodo4 V1 V41

+ 3A +V3 V4

3+

V2 V46

=V410

Reorganizando las anteriores ecuaciones para V1, V2, V3, V4:

nodo1 2A = 1,53V1 0.3V2 V4nodo2 0 = 0.3V1 + 0.6V2 0,5V3 0,16V4

nodo3 4 = 0,5V2 + 1,083V3 0.

3V4

nodo4 3 = V1 0,16V2 0.3V3 + 1,6V4La ecuacion matricial es:

2043

=

1,53 0.3 0 10.3 0.6 0,5 0,16

0 0,5 1,083 0.31 0,16 0.3 1,6

V1V2V3V4

La matriz cuadrada anterior se identifica como la matriz de impedancias de barra.Ahora se procede a hallar la matriz inversa para finalmente calcular los voltajes.

V1V2V3V4

=

1,53 0.3 0 10.3 0.6 0,5 0,16

0 0,5 1,083 0.31 0,16 0.3 1,6

1

2043

Si el determinante de una matriz es diferente de cero, esta posee inversa, as que severifica el valor del determinante. Para esto se nombra la matriz con la letra A. Elcalculo de una matriz de 4x4 es un poco tedioso, as que solo se mostraran los pasospara hallar la matriz adjunta y el determinante sin entrar en detalles.

det|A| = a11det|M11| a12det|M12| + a13det|M13| a14det|M14|

Donde Mij es la matriz inicial sin la columna j ni la fila i.

det|A| = 1,53(0,799537) 0.3(0,628704) + 0(0,109259) 1(0,587963)det|A| = 0,4284259 = 0

24


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Como el determinante es diferente de cero, la matriz inversa existe. La matriz inversase define como:

A1 =|A|t

det|A|donde

|A

|t es la traspuesta de la matriz adjunta.

A1 =1

0,4284259

0,799537021 0,962036954 0,590740685 0,4768518420,628703632 1,744814789 0,922962926 0,3824073630,109259236 0,530370381 0,637407445 0,0092592820,587962938 0,893518454 0,598148104 0,603703715

Por lo tanto la relacion de matrices es la siguiente:

V1V2V3V4

=

1,8662 2,2455 1,3789 1,11301,4675 4,0726 2,1543 0,89260,2550 1,2380 1,4878 0,02161,3724

2,0856 1,3962

1,4091

2043

Multiplicando la matriz inversa por el vector de corrientes se obtiene el vector devoltajes de nodos:

V1V2V3V4

=

5,9088V8,8744V6,5260V4,1020V

25


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4. TEMA: Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Objetivo: Encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones lineales usando la reduccin de

Gauss-Jordan.

Ejercicio 1. El circuito de la figura muestra varias resistencias conectadas a un par defuentes de voltaje, calcule las corrientes hallando las ecuaciones de cada mallausando el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan y luego efectuando multiplicacin dematrices.

Solucin.

Las ecuaciones de malla del anterior circuito se pueden hallar efectuando una ley devoltajes de Kirchoff en cada una de las mallas:

a. Malla 1: b. Malla 2:

c. Malla 3: A partir de las anteriores ecuaciones de malla se forma el sistema de ecuaciones

matriciales:


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27

Para hallar las corrientes de malla, se soluciona el sistema de ecuaciones matriciales de la

siguiente forma:

Segn el enunciado, se debe hallar la matriz inversa por el mtodo de Gauss-Jordan, as que

a la matriz original se le debe agregar la matriz identidad para hacer la respectivareduccin:

Efectuando la siguiente operacin:

8.0000 -5.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 f1

0.0000 11.8750 -4.0000 0.6250 1.0000 0.0000 f2

0.0000 -4.0000 7.0000 0.0000 0.0000 1.0000 f3

Efectuando las siguientes operaciones:

8.0000 0.0000 -1.6842 1.2632 0.4211 0.0000 f1

0.0000 11.8750 -4.0000 0.6250 1.0000 0.0000 f2

0.0000 0.0000 5.6526 0.2105 0.3368 1.0000 f3

Efectuando las siguientes operaciones: 8.0000 0.0000 0.0000 1.3259 0.5214 0.2980 f1

0.0000 11.8750 0.0000 0.7740 1.2384 0.7076 f2

0.0000 0.0000 5.6526 0.2105 0.3368 1.0000 f3



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28

1.0000 0.0000 0.0000 0.1657 0.0652 0.0372

0.0000 1.0000 0.0000 0.0652 0.1043 0.0596

0.0000 0.0000 1.0000 0.0372 0.0596 0.1769

Como al lado izquierdo qued la matriz identidad 3x3, la matriz de 3x3 del lado derecho esla matriz inversa.Ahora se procede a hallar las corrientes de malla:

Multiplicando las matrices:

Entonces las corrientes de malla son:

Ejercicio 2. Existen circuitos elctricos que poseen cierto grado de complejidad en su

anlisis por los nudos que presenta. Para eliminar tales nudos y reducirlos a pocasadmitancias existen varios procedimientos, uno de ellos es hallar las ecuaciones de malla

para cada nudo, formar la matriz de admitancias N, partir la matriz en cuatro sub-matricesK,L,M, hallar la inversa de la matriz inferior derecha M y efectuar la siguiente operacin

matricial para encontrar la matriz de admitancias equivalentes A: El procedimiento consiste en:

Halle las impedancias equivalentes entre los nudos 1-2, 1-3, 2-3 para el siguiente circuito

segn el procedimiento anteriormente descrito.


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29

Solucin.

Observando el circuito de la figura, se pueden hallar las matrices reemplazandolos valores de las admitancias .Las matrices quedan de la siguiente forma:

Para hallar la inversa de la matriz hay varias formas, una de ellas es la eliminacin deGauss-Jordan, ste mtodo consiste en agregar la matriz identidad a lado izquierdo de la

matriz original y eliminar fila por fila hasta que la matriz identidad quede al lado derecho,la matriz que quede al lado izquierdo ser la matriz inversa.

Agregando la matriz identidad al lado izquierdo de la matriz M:


-13.000 6.000 4.000 1.000 0.000 0.000 f1

0.000 -18.231 8.846 0.462 1.000 0.000 f2

0.000 8.846 -18.769 0.308 0.000 1.000 f3



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30

-13.000 0.000 6.911 1.152 0.329 0.000 f1

0.000 -18.231 8.846 0.462 1.000 0.000 f2

0.000 0.000 -14.477 0.532 0.485 1.000 f3


-13.000 0.000 0.000 1.406 0.561 0.477 f1

0.000 -18.231 0.000 0.786 1.297 0.611 f2

0.000 0.000 -14.477 0.532 0.485 1.000 f3


1.0000 0.0000 0.0000 -0.1081 -0.0431 -0.0367

0.0000 1.0000 0.0000 -0.0431 -0.0711 -0.0335

0.0000 0.0000 1.0000 -0.0367 -0.0335 -0.0691

El siguiente paso es encontrar la matriz de admitancias equivalentes:

Por lo tanto las admitancias equivalentes entre los nudos 1-2, 1-3, 2-3 son:


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5. TEMA: Vectores en Rn.

Objetivo: Encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones lineales usando la operaciones

matriciales.

Encontrar la magnitud de la fuerza elctrica usando la definicin de producto puntoy producto cruz. Encontrar la magnitud del campo magntico usando la definicin de producto

punto y producto cruz.

Ejercicio 1. La fuerza experimentada por un conductor que lleva corriente debido a uncampo magntico viene dada por la ecuacin: Si se tiene un conductor en lazo cerrado como el de la figura, el cual conduce una corriente

de 5A, en un espacio donde el flujo magntico es

. Encuentre la

fuerza total experimentada por el conductor.

Solucin.

Segn la ecuacin dada, la fuerza experimentada por el conductor es: La corriente es la misma en cada segmento del conductor, pero el diferencial de longitud esun vector que cambia con cada segmento:

Los lmites de las integrales son los puntos en los ejes x,y donde el conductor se dobla.


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32

Resolviendo los productos cruz:

Reemplazando en las integrales teniendo en cuenta que y=1 para la primera integral, x=3

para la segunda integral, y=2 para la tercera integral, x=1 para la cuarta integral y z=0 paratodas las integrales (plano z=0):

Resolviendo las integrales:

Ejercicio 2. Halle el flujo magntico en el punto P debido a cada una de las corrientes de100 amperios reflejadas 1,2,3,4 como una suma de los campos magnticos individuales,

para la configuracin de carga mostrada, teniendo en cuenta que:

Siendo = distancia desde el punto P a cada carga. =corriente en cada conductor.


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33

Solucin.Observando la anterior figura, la distancia desde el punto P hasta la carga 1(carga principal)

es de 20 cm,=0.2 m, entonces la magnitud del campo magntico es

El campo magntico debido a la carga 1 es:

La distancia desde el punto P hasta la carga 2

, entonces la magnitud del campo magntico es El campo magntico debido a la carga 2 es:

La distancia desde el punto P hasta la carga 3 , entonces la magnitud del campo magntico es


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34


La distancia desde el punto P hasta la carga 4 es 60cm=0.6m, entonces la magnitud del

campo magntico es


Sumando cada se calcula el flujo de campo magntico total: Ejercicio 3. Un material ferromagntico, con permeabilidad esatravesado por un campo magntico con flujo

Teniendo en cuenta la susceptibilidad del material viene dada por la ecuacin ,calcule la densidad de energa magntica Siendo el vector diferenciador


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35

Solucin.

Segn la ecuacin dada, la susceptibilidad del material es:

El vector de densidad de flujo magntico se multiplica por la susceptibilidad y se divide

entre la permeabilidad. La divisin de se llama intensidad de campo magntico . Entonces la densidad de energa magntica del material es:

Ejercicio 4. Cierta regin del espacio posee conductividad cero, permitividad y permeabilidad , El campo magntico de una ondaelectromagntica en dicha regin es:


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Sabiendo que la velocidad de la luz es , que el campo elctrico , y que el campo magntico es calcule el campoelctrico y la frecuencia .Siendo

el vector diferenciador

Solucin.

Como se mencion: Entonces el producto cruz entre ambos vectores es:

Reemplazando la anterior ecuacin en la frmula para hallar la intensidad de campo

elctrico E: Para hallar la frecuencia se usa la siguiente ecuacin para saber cul es el coeficiente dela intensidad de campo magntico H y as igualar ese coeficiente a 0.6[A/m]:

Igualando los trminos:


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La magnitud del campo elctrico es:

Ejercicio 5. En un medio no magntico, se cuenta con un campo elctrico: Encuentre la constante dielctrica y el correspondiente campo magntico si lapermitividad es , la permeabilidad , la velocidad de la luz

, la frecuencia en tiempo

, la frecuencia en espacio

y la relacin de campo magntico con campo elctrico es: Siendo el vector diferenciador Solucin.

La frecuencia viene dada por la ecuacin:

Si las constantes

son:

Sabiendo que la velocidad de la luz es

Teniendo en cuenta la relacin de la intensidad de campo magntico

con la intensidad de

campo elctrico :


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Reemplazando en :

Ejercicio 6. Para que un campo electromagntico exista debe cumplir las ecuaciones de

Maxwell. Dos de las ecuaciones de Maxwell son: Verifique que los siguientes campos electromagnticos existen si es el vectordiferenciador .a.

b. Solucin.

a.

Como no hay variable z en la ecuacin, sta se toma como una constante y su derivada es

cero:


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Como este vector cumple las dos ecuaciones de Maxwell, puede ser el vector de un campo

electromagntico.

b.

Como no hay variable y en la ecuacin, el primer trmino se toma como una constante ysu derivada es cero: Ahora se efecta el producto cruz:

Como este vector NO cumple la primera de las ecuaciones de Maxwell, no es posible queexista un campo electromagntico con ste vector.

6. TEMA: Matrices. Objetivo: Convertir un vector de coordenadas cartesianas a coordenadas esfricas y

cilndricas usando multiplicacin de matrices.

Ejercicio 1. Para convertir vectores desde coordenadas rectangulares a cilndricas y desdecoordenadas rectangulares a esfricas se utilizan sistemas matriciales como:

De rectangulares a cilndricas:

De rectangulares a esfricas:

Efecte la conversin de coordenadas para el vector de potencial:


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Teniendo en cuenta que para coordenadas cilndricas

,

,Y para coordenadas esfricas: , , Solucin.

a.

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilndricas se hace la siguientemultiplicacin de matrices:

Luego se convierte el vector de potencial en trminos de

:

Haciendo las sustituciones:

Entonces el vector de potencial en coordenadas cilndricas es:


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41

a. Para convertir de coordenadas rectangulares a esfricas se hace la siguiente

multiplicacin de matrices:

Luego se convierte el vector de potencial en trminos de :

Haciendo las sustituciones: , ,

Entonces el vector de potencial en coordenadas esfricas es:


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Calculo Diferencial




REVISADOS POR:



19 de enero de 2012

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Asignatura: CALCULO DIFERENCIAL

1. TEMA: Funciones y Modelos.

Objetivo:- Modelar las funciones de corriente, voltaje, potencia, y energa electrica por medio de

funciones exponenciales.

- Usar identidades trigonometricas para simplificar funciones mas complejas.

Aplicacion o contextualizacion para el programa curricular: Este tema setrata en la asignatura Circuitos Electricos I, en todos los campos que involucrenenerga electrica se debe tener claro estos conocimientos.

jercicio 1. Un motor se alimenta con una batera que entrega una corriente tal como se muestraen la grafica:

i(t) = 5(1

et2,23 )[A]

Modelando el circuito interno del motor como un inductor, la inductancia es L = 20H,grafique la potencia consumida por el motor los primeros 10 segundos. Halle la energa

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almacenada por esta inductancia.

Explicacion del Problema: Un motor electrico se puede modelar como un in-ductor ya que su construccion se basa en una bobina girando dentro de un nucleomagnetico. Como s

ejercicios ing. electrica electronica - 2011-2

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