Alumno: Eduardo Mera

2

i) En la reacción 167

168 ),( NpnO , la concentración de átomos de N-16 por

unidad de volumen en el tiempo esta dada por:

16161616 ** NNa O

N Ndt

dN (1), la que puede detallarse como

16160161616 ** NNaO

N NNdt

dN (2)

Teniendo en consideración que el numero de átomos de O16 es el mismo que de moléculas de agua, y este es el 99% de O natural,

322233

016 /10*34.3/18

/10*02.6*/*1*998.0 cmatmolg

molatcmgN

Tomando los factores de la ecuación (1) y aplicando Laplaciano.

a ONN

N Ndt

dN ** 161616

16 , aplicando la transformada de Laplace correspondiente

sNLNNLs a O

NNNoN

*)(*)(* 16 , No

a ONN N

ssNL

*

))(( 16 , con lo

cual )()(*

*)( 16

N

No

N

a ON s

Nss

NL

(3), cuando se descomponen los términos

)(**

)(**

1616

N

Noa O

N

a O

sN

sA

ss

, con lo que

)(**)(*

)(*1

N

N

N sssBsA

ss

3

Asumiendo que 1* NA y 0 BA , por lo que N

A1

y N

B1

,

Reemplazando en la ecuación (3) )()(

**)( 16N

No

N

Noa ON s

NsN

sANL

, al

aplicar la transformada inversa respectiva

tNo

ta ON

NN eNeAAtN **16 ****)( , por lo tanto

tNo

t

N

a ON

NN eNetN **16 *1**

)(

(4), Como )()( tNtA N al aplicarlo en

(4), se obtiene t

ot

a ONNN eAetA **

16 *1**)( (5) La ecuación anterior evalúa actividad en Bq/cm3 ii) El ciclo esta compuesto por un tiempo de irradiación (ti)(5 seg) y otra de decaimiento (td) (40 seg), dando una duración total (t) al ciclo de 45 seg, de tal forma que t=ti+td. Para encontrar la actividad A(n) en función de los ciclos (n), debería generarse que: A(n) = La actividad a la salida del reactor de cada ciclo An =la actividad de entrada del reactor en cada ciclo Al modificar la expresion (5)

tnn

tina ON

NN eAeA ****16)( *1** , en Bq/cm3

)(****

16 *1** titntina On

NN eeA , en Bq/cm3 Con n = 1,2,3,4….. Debe mencionarse que cada ciclo inicia cuando el agua sale del reactor, de modo que el agua inicia el segundo ciclo cuando ha pasado dos veces por el área de irradiación. Se tiene para n=1 (recien iniciado el ciclo se pasa solo una vez por la zona de irradiación) y A0=0,

segs

N escmncmcmmolecA5*1*

4.72ln

2102245322 1*/10*10*10*4*/10*34.3)1(

=4995 Bq/cm3

Debe tenerse en cuenta que posteriormente se entre con una actividad al sector de irradiación de A1, igual a

4

segs

segs eescmncmcmmolecA

40*1*4.72ln5*1*

4.72ln

21022453221 *1*/10*10*10*4*/10*34.3

, 9.1171 A Bq/cm3

5

ii) Las ecuaciones que describen el problema son:

***** 111111 NN

dtdN

af (1)

**** 2222112 NNN

dtdN

a (2)

Para solucionar (1), se ordena y aplica Laplace

11111 **)*(

faNdt

dN

Aplicando Laplace y considerando que )*( 111 aA , se tiene que

sNLANNLs f 1

1101

**)(*)(*

1

)()(

**)(

1

10

1

11 As

NAss

NL f

(3)

Donde el termino

)(

**)(

**

11

1

1

AsC

sB

Ass ff

6

)()(

)()(1

1

1

11 AssBACBs

AsC

sB

Ass

, de modo que 11 BA y B+C=0

Por lo que 1

1A

B y 1

1A

C , al aplicarlo en (3), tenemos

)()(11**

)(1

10

11

11 As

NAssA

NL f

, aplicando la transformación inversa, se

tiene que

tAtAf eNeA

tN 11 *1**

)( 101

11

, teniendo que 010 N , se tiene que

t

a

f aetN )*(

11

11

111*

**)(

(4),

La solución de N2(t), es:

112221 *)*( NN

dtdN

a , al aplicar Laplace y teniendo en cuenta que

)*( 222 aA , se consigue que

sNNLANNLs 11

22022*)(*)(*

)()(*)(

2

02

2

112 As

NAssNNL

, )()(

11*)(2

02

22

112 As

NAssA

NNL

Aplicando la transformada inversa:

tAtA eNeA

NtN 22 *1*)( 022

112

Se tiene que N2(t)

tt

a

aa eNeNtN )*(02

)*(

22

112

2222 *1**)(

(5)

Uniendo soluciones (4) y (5), y considerando que N01=N02=0, se tiene que:

7

tt

aa

f aa eetN )*()*(

1122

112

1122 11)*)(*(

***)(

(6)

Resumiendo:

t

a

f aetN )*(

11

11

111*

**)(

tt

aa

f aa eetN )*()*(

1122

112

1122 11)*)(*(

***)(

ii) Se tiene que cuando el comportamiento de N2(t), cuando 22 * a y 11 * a

tt

a

f eetN a )()*(

2

12

12 11*

)(

Graficando:

2

1*

a

f

2

1*

a

f

8

oS

i) Medio A 02 oAaAA SD

Medio B 02 BaBBD )(x

Medio A 02

2

oAaAA S

dxdD

Medio B 02

2

BaBB

dxdD

a

DL2

Medio A Medio B a

9

Solución Homogénea

Lx

Lx

BeAe

Considerando la longitud extrapolada

La

La

BeAe

La

AeB2

L

xaLx

eeA2

Condición de fuente

L

xaLx

xxx eeL

DAdxdDJS 2

000 limlimlim2

La

eL

DAS 2

12

, )1(2

2La

eD

SLA

Solución:

Lxa

Lx

La ee

eD

SL 2

2

)1(2

)cosh(

)(

2LaL

xasenh

DSL

Sea )cosh(2

LaD

SLk

)(*L

xasenhk

)(21

)(21

)(24

)(24

0

0

0

0

dxdDdxdD

dxdDdxdD

JJ

Evaluando lo anterior en x = 0

)cosh(L

xaLk

dxd

10

)0cosh(

)0(*

21

)0cosh()0(*

21

La

Lk

Lasenhk

D

La

Lk

Lasenhk

D

)coth(21

)coth(21

)0(

)0cosh(21

)0(

)0cosh(21

La

LD

La

LD

Lasenh

La

LD

Lasenh

La

LD

ii) B = H20

34.0,0,73.7,10*2.2,17.0 2212 acmLcmcmDa

1lim;78.0lim 1 xa

34.0;0)coth(21 aLa

LD

a

β

1-1

-1

1

-0.78

0.34-0.34

0.78

a

β

1-1

-1

1

-0.78

0.34-0.34

0.78

11

iii) Lx

Aexp

)( , Lx

eLA

dxd

)(21

)(21

)(21

)(21

0

0

Lx

Lx

Lx

Lx

eLA

Ae

D

eLA

Ae

D

dxdDdxdD

JJ

LDLD

JJ

21

21

78.0

78.217.0*21

78.217.0*21

20

H

22

220 73.7

10*2.217.0 cmLH

cmLH 78.220

97.0

10085.0*21

10085.0*21

20

D

245

220 10

10*5.885.0 cmLD

cmLD 10020

9.0

2.2154.0*21

2.2154.0*21

Be

23

2 45010*2.154.0 cmLBe

cmLBe 2.21

95.0

2.5494.0*21

2.5494.0*21

C

234

2 10*94.210*2.394.0 cmLC

cmLC 2.54

12

13

Desarrollo: Sobre el Reactor esférico: Teniendo en consideración:

(1)

Su Laplaciano para coordenadas esféricas es:

(2), Sustituyendo en (2), se obtiene:

(3), como A y C son constantes y el segundo término tiende a infinito cuando r tiende a cero,

(4)., para encontrar B, se tiene que

(5) donde se asume n=1, para condiciones de criticidad de reactor quedando,

(6), quedando el flujo como

(7), calculado A en termino de la potencia del reactor como,

(8),

(9),

(10),

14

Si la distancia distancia de extrapolación d es despreciable (pequeña)

,(11) y hasta se podría decir que RR ~ .

i) a. Calcule el radio critico: El presente ejercicio otorgo la razón, la cual al utilizarse para despejar la ecuación de cuatro términos k∞ = ηfpε, se obtuvo que el termino recomendado para p no hacia posible el despeje de variables ya que las llevaba a cero, en los apuntes docentes se dio un grafico, de donde se procedieron a sacar los parámetros ya que se cumplía con el enriquecimiento de U235.

Se tiene que la razón dada en la tarea es para la cual se muestra el k∞ en su máximo, se tiene que los valores son:

k∞ 1.266 p 0.774 f 0.9 ε 1.038

15

Teniendo es consideración que Como las unidades, potencias y Avogadro se simplifican Despejando, Como Teniendo las fracciones volumétricas se calcula N para combustible y moderador Cálculos de macroscópicas: Absorción:

OaHaUaU

aUaU

amac

acf2238235

238235

20*20*20*20

238**)1(**238

235****235

238**)1(**238

235****235

9.0

PAUHNoHXvHaH

PAUNoUEXvuaU

PAUNoUEXvuaU

PAUNoUEXvuaU

PAUNoUEXvuaU

f

02.181*20*66.0

0508.2388.18*)100/21(**7.2

01139,2358.18*100/2**681

0508.2388.18*)100/21(**7.2

01139,2358.18*100/2**681

9.0XvHXvuXvu

XvuXvu

20033.013.0209.009.12033.0188.0981.0

XvHXvuXvuXvuOXvHXvuXvu

12 OXvHXvu 202.0Xvu 798.020 XvH

320323

/10*951.1/01139.235

100/2*202.0*/8.18*/10*023.6235 cmatmolg

cmgmolatUN

321323

/10*438.9/0508.238

)100/21(*202.0*/8.18*/10*023.6238 cmatmolg

cmgmolatUN

322323

/10*666.2/02.18

798.0*/1*/10*023.620 cmatmolg

cmgmolatHN

11

11

1220

12238

11235

10*583.1

10*759.1

10*759.120*2

10*548.2238*238

10*329.1235*235

cm

cm

cmaHOHN

cmaUUN

cmaUUN

ac

a

aH

aU

aU

16

Fisión Verificación de valores gráficos

046.1

10*666.210*438.9*563.01

10*666.210*438.9*69.01

22

21

22

21

, el valor de grafico fue 1.038, el error relativo

Porcentual fue de 0.77% Se tiene que en el calculo de Ief se obtuvo un valor de 6.221*10-11cm, al reemplazarlo el p se da que el argumento de elevación, de -5.34*1011, lo que al aplicarlo a p = 0, eso no es posible ya que la formula de los cuatro términos se anula – pasa lo mismo que cuando se trato de despejar N. Si calculamos k∞ = ηfpε, se tiene que 1.266 = 1.762*p*1.046*0.9, lo que despejando p, nos da p = 0.766, y en grafico nos daba 0.774, lo que nos da un error relativo del 1%. Se cumple la razón ya que Cálculos de macroscópicas de transporte , Calculos para R M2 = L2 + τ = (9.473*10-1cm)2 + 31 = 31.9 cm2

11235 10*13.1235*235 cmfUUNfU

fisncm

cmfisnac

fc /762.110*583.1

10*13.1*/47.2 11

11

1

120

12238

13235

935.1

856.1)1*(*20*2

10*717.7)1(*238*238

10*946.1)1(*235*235

cm

cmotrHOHN

cmotrUUN

cmotrUUN

tr

trH

trU

trU

1110*579.1

31

cmDntra

tr

Dn3

1 Ojo en el Lamarsh

cmcmcm

an

nn

DL 111

11

10*473.910*759.110*579.1

10 32

2 339.89.31

1266.11

MkB

36.0/10*666.2

/)10*438.910*951.1(322

32120

20

cmmol

cmatNNu

H

17

B = 9.132×10-2 cm-1

Como para n = 1, segun la ecuacion 6, se tiene Nota d = 2.31*D = 0.33 cm, lo cual es despreciable como dRR ~ .

b. Calcule la masa critica: Según Lamarsh, forma 1: Sabiendo para calcular los volúmenes (1),

(2) la relación especifica N, para el presente caso se tiene que

como R = 34.4 cm, el volumen de la esfera es;

Se pueden determinar la fracción volumétrica del combustible y moderador, como la fracción volumétrica, ya fueron estimadas , y el volumen estimado para el cuerpo es Se tiene que para el combustible: Para el moderador Sabiendo la densidad de combustible y moderador: Forma 2, Calculando el factor Z, (1), con lo Cual (2). Para nuestro caso

cmcmB

R 4.3410*132.9 12

353 10*705.1)4.34(**34 cmcmV

202.0Xvu 798.020 XvH

3410*453.3* cmXvuVUVol

3510*36.12*2 cmOXvHVOHVol

grHOHVolOHmasa 510*36.120*22

grUUVolUmasa 510*492.6*

18

Se tiene que para el calculo de mf se asume que gaf(T) es 0.978 a 20ºC, para los neutrones con energía de 0.0253 eV, con lo cual recordándose que se puede calcular en función se sus macroscópicas de absorción de combustible- moderador, se tiene: Como el volumen de la esfera es 1.705*105cm3 , y la densidad del agua es 1 g/cm3, se tiene que la masa es de 170,5 kg , por lo que la masa critica de combustible es 48.71 kg. ii) flujo neutrónico térmico. De la ecuación 11 y considerando que d es despreciable (ver nota de d), y la igualdad de π, R y B, se tiene que: Por lo cual, , con r en centímetros.

Flujo Neutronico Termico

0.000E+00

5.000E+11

1.000E+12

1.500E+12

2.000E+12

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Radio (cm)

Rad

io (c

m)F

lujo

Nut

roni

co

(n/c

m2s

)

514.210*339.8*311762.19.31*10*339.81

3

3

Z

mnmnmf 121

2

10*856.2)10*548.210*329.1(*978.0

10*759.1*447.2

rBrseno

RErP

f

)(****4 2

rrcmseno

cmcmfisJsJ )*10*132.9(

)4.34(*10*13.1**/10*2.3*4/10*1 12

21111

6

scmn

rrseno

2

213 )*10*132.9(10*86.1

19

iii) la razón pmáx/pmedia, en que p es la densidad de potencia térmica del reactor.

Para un reactor esférico la potencia máxima, se da cuando su flujo neutrónico es máximo y esto se desencadena cuando:

(1) Y la potencia media se da con el flujo neutrónico medio, por lo cual:

, (2) En un reactor esférico se cumple que:

(3). Para nuestro caso: Cumpliéndose la relación 3. Para estimar potencia térmica utilizaremos la expresión: Para la potencia media utilizaremos Para la potencia máxima En donde se mantiene la relación 3.

scmn

cmcmfisJsJ

212

21111

6

10*336.5)4.34(*10*13.1*/10*2.3*4

14.3*/10*1max

scmn

cmcmfisJsJmed 2

12351111

6

10*622.110*705.1*10*13.1*/10*2.3

/10*1

32

121111 863.510*622.1*10*13.1*/10*2.3**cmW

scmncmfisJfEpmed R

32

121111 29.1910*336.5*10*13.1*/10*2.3**maxcmW

scmncmfisJfEp R

20

iv) radio crítico si hay un reactor infinito de agua liviana, estime el ahorro por reflector.

Para un reactor esférico reflejado:

, donde su ecuación de flujo

Para la cual solucionamos con las condiciones de borde,

Con lo que se obtiene

Finalmente

(12) Calculo de Nr-H20 Calculo de Sección Macroscópica de Absorción y transporte Cálculos para Rr

322323

/10*342.3/02.18

1*/1*/10*023.620 cmatmolg

cmgmolatHNr

12224322 10*206.210*66.0*/10*342.3*20 cmcmcmatarNrHar

1224322 327.210*103*676.0*/10*342.3)1(**20 cmcmcmatotrrNrHtrr

1110*419.1

31

cmDrtra

21

B = 9.132×10-2 cm-1

Despejando de (12) Despejando numéricamente Rr Rr = 2.487 cm. Con lo que el ahorro por reflector es δ = R – Rr = 34.4 cm – 2.487 cm = 31.92 cm.

cmcmcm

ar

rr

DL 536.210*206.210*419.1

12

11

1

536.2*

10*579.110*419.1)*10*132.9cot(**10*132.9 11

111212

cmRr

cmcmRrcmRrcm

22

i) Considerando La reactividad con el periodo de un reactor se relaciona por La potencia de un reactor es proporcional a la evolución retardada de la densidad neutrónica.

)(tp proporcional a )(tn ; )(tn proporcional a te 05.0 con 105.0

loKef ,

seg2005.01

, como 310l ,loKex ,

Keflol ,

KefKef 1

, 1 KefKex

loKef 1 ,

lloKef ,

loKef 1 ,

lo

llo

1 , 1)11( l

lo , l

llo

* ,

segsegsegseglo 3

3

3

10*000050003.1)1020(

20*10

, 000050003.1

l

Kef ,

55 10*510*99999.41

Kef

Kef , para pasarlo a pcm, se tiene

pcmpcm 510* 5 ii) Las ecuaciones cinéticas para la densidad neutrónica y la densidad de precursores de neutrones retardados para e i-esimo grupo, es: y suponiendo ε = 1 , p = 1 , = 1

6

1

0

1i i

i

efkl

kk

ef

ef1

kl

ef

l 0kl

exp

0 S1

ceplk

ii

ief Bn

dtdn

6

10

21)1(

ceplk

dtdc

iief

ii nB

2

0

e B 2

23

, , , con Keflol para el primer

grupo de neutrones retardados Para un reactor que inicialmente esta critico, se le aplica un escalon de reactividad inicial y como n(t) es proporcional a p(t) Solucionando La ecuación característica Con solución Con S1= 5.33*10-5 y S2= -75.03005, como ambas son reales, distintas y no nulas Como para

cii

in

ldtdn

6

1

cdtdc

iiii n

l

Cnldt

dn

Cnldt

dc

(1)

(2)

nldt

dnC 1

(3) en (1) y (2)

dtdn

ldtnd

dtdC

2

21

nldt

dnnldt

dnldt

nd

11

2

2

0112

2

n

lldtdn

ldtnd

0*2

2

nldt

dnl

ldt

nd

02

2

CndtdnB

dtndA 310*4,03.75,1 CBA

02 CBSASA

ACBBS2

42

2,1

tt eCeCn 03005.752

10*33.51

3

21)0( CCn

24

Se tiene que Por condición del ejercicio C2=0 , y Para encontrar en la ecuación 3, Se tiene que en t = 0 seg Finalmente

021

03005.752

10*33.51

3

pp

CCeCeC

nn tt

o

0pp

nn

o

pcmtt

t eeepp 18.010*18.010*33.5

0

53

03005.751

10*33.51

251 y

)0()1(

CC

tttt eCeC

leCeCC 03005.75

210*33.5

103005.75

210*33.5

1331

tttt eCeCeCeCC 03005.75

210*33.5

13

503005.75

210*33.5

1

33

1003.7510*5

08.01

tt eCeCC 03005.7510*33.51

52

3

*009253.010*379.9

2*009253.010*379.9 15 CCCo

2

2

3

*009253.010*379.9*009253.010*379.9

15

03005.7510*33.51

5

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