Ejercicios de Práctica 2

Prof. R. Bernal

1. Considere el siguiente modelo de regresión lineal sin intercepto:

Di = B1Xi + ui, i = 1, ...,N (1)

donde Di es una variable dummy que toma el valor de 1 si el individuo i tiene una ciertacaracterística y toma el valor de 0 si no la tiene. Tomando expectativa condicional bajo elsupuesto de que E(ui) = 0 se obtiene:

E(Di|Xi) = B1Xi (2)

La variable Di es una variable binaria que sólo puede tomar dos valores, cero y uno. Re-cuerde que el valor esperado de una variable aleatoria discreta X está dado por

Xixipr(xi).

Entonces, en este caso, el valor esperado sería:

E(Di|Xi) = 1.Pr(Di = 1|Xi) + 0.Pr(Di = 0|Xi) (3)

E(Di|Xi) = Pr(Di = 1|Xi)

donde Pr(Di = 1|Xi) es la probabilidad de que la variable dicotómica Di tome el valor de 1,y Pr(Di = 0|Xi) es la probabilidad de que Di tome el valor de 0. Reemplazando (3) en (2):

Pr(Di = 1|Xi) = B1Xi

Como Di sólo puede tomar dos valores: cero y uno; note que ui sólo puede tomar los siguientesvalores:

Si Di = 1 entonces ui = 1−B1Xi

Si Di = 0 entonces ui = 0−B1Xi

1. Sabemos que Pr(Di = 1|Xi) = B1Xi, calcule Pr(Di = 0|Xi).

2. Calcule var(ui) en este modelo. Recuerde que var(ui) = E (ui −E(ui))2 y E(ui) = 0.

3. ¿Qué implica el resultado del inciso anterior en términos de los supuestos del modeloclasico lineal? Es decir, en este modelo, ¿se viola alguno?

4. ¿Esto qué implica en términos de los estimadores de MCO del modelo (1)?

5. ¿Exactamente cómo transformaría el modelo (1) de tal forma que todos los supuestosdel modelo clásico lineal se cumplan en el modelo transformado?

6. Demuestre que el término de error del modelo transformado ahora satisface el supuestoque viola ui.

2. Suponga que usted está interesado en los efectos del género y la religión sobre la cantidad dedonaciones que hacen los individuos (por ejemplo, a fundaciones de caridad). Usted establecetres categorías religiosas: religiones cristianas (todas en una categoria), religión judía, yel resto. Suponga que estas categorías son mutuamente excluyentes y que cada individuopertenece a una y sólo una de estas categorías. En su modelo, se establece que el género yla religión afectan el nivel de donaciones directamente y que además el efecto de la religiónsobre las donaciones varía con el género del individuo.

Escriba el modelo que se debe estimar dados estos supuestos y explique cómo utilizaría losestimadores de MCO de este modelo para probar las siguientes hipótesis (Use el mismo modeloen todos los casos. Sin embargo, es posible que se requiera un modelo auxiliar para llevar acabo la prueba de hipótesis; en ese caso, específique claramente cómo es el modelo auxiliar):

1. ¿Existe una diferencia de género en el valor esperado de las donaciones a fundaciones decaridad para individuos que reportan pertenecer al "resto" de las religiones (es decir, losque no son cristianos ni judíos)?

2. ¿Es la diferencia de género en el valor esperado de las donaciones en el caso de losjudíos distinta a la diferencia de género en el valor esperado de dichas donaciones paraindividuos del "resto" de religiones?

3. ¿Existe alguna evidencia de diferencias por género en los niveles esperados de donacionesa fundaciones de caridad?

3. Suponga que usted quiere analizar los precios de los cereales empacados para desayuno (Kel-logg´s, etc.). Usted dispone de la siguiente información que ha sido recolectada anualmente.En cada año usted observa:

Pt =precio del cereal empacado

PGt =precio del grano (cereal cosechado sin procesar)

PSt =precio del azúcar

PCt =precio de la carne

2

Usted corre las siguientes tres regresiones:

Pt = Ao +A1PGt + u1t

Pt = Bo +B1PGt +B2PSt + u2t

Pt = Co + C1PGt + C2PCt + u3t

1. ¿Qué signos espera que tengan las pendientes?

2. ¿Qué puede decir con seguridad acerca de la comparación entre los R2’s de las tresregresiones? (Es decir, ¿qué puede decir en términos de cuál es mayor, cuál es menor,etc.?) Intuitivamente, cómo espera que estén ordenadas las regresiones en términosdel R2 y por qué?

3. Qué puede decir con seguridad acerca de la comparación entre los R2’s de las tres

regresiones?

4. Intuitivamente, cómo espera que estén ordenadas las regresiones en términos de losR2’s y por qué?

4. Usted tiene una base de datos con el crecimiento económico de dos países A y B entre t = 1980y t = 2005. Adicionalmente, la base de datos contiene la tasa de cambio, el salario mínimo yel índice de precios al consumidor (IPC) de cada país durante el mismo período. Suponga unmodelo en el cual el crecimiento económico depende de estas tres variables: tasa de cambio,salario mínimo y el IPC. Sin embargo, usted tiene la hipótesis de que el crecimiento del paísA depende únicamente de la tasa de cambio y el IPC porque el mercado laboral informal esmuy grande por lo cual el efecto del salario mínimo se vuelve despreciable, mientras que elcrecimiento económico del país B depende del salario mínimo y el IPC exclusivamente porquees una economía pequeña y cerrada (es decir, no está abierta al comercio internacional).

1. Escriba este problema como un (1) modelo con variables dicotómicas y discuta cómoprobaría esta hipótesis. Note que no se le pide que estime dos modelos separadamente,uno para el país A y otro para el país B, y luego los compare para probar su hipótesis,sino que.corra un único modelo con todas las observaciones y que incluya variablesdicotómicas que le permitan escribir la hipótesis nula.

Asuma que es razonable pensar que el efecto del índice de precios al consumidor sobreel crecimiento es igual tanto en el país A como en el país B. Defina claramente la(s)variable(s) dicotómica(s) que debe utilizar.

2. Escriba exactamente cómo es la hipótesis nula como una función de los parametros dela regresión que usted planteó en el inciso anterior.

3

3. Explique explícitamente cómo construir un estadístico para evaluar la hipótesis nula queusted planteó en el inciso anterior. Si necesita modelos auxiliares para poder construireste estadístico por favor explíquelos claramente.

[continua abajo]

4

5. Suponga que quiere medir el efecto de un programa de entrenamiento ofrecido a los empleados de una firma sobre el nivel de ingreso de los trabajadores. Usted tiene datos de ingreso para todos los empleados (hayan participado o no en el programa) después de haber sido ofrecido el programa. a. Utilizando un modelo con variables dicotómicas, ¿como podría medir el efecto

del programa de entrenamiento sobre el ingreso de los empleados? b. ¿Podría interpretar esto como un efecto causal? ¿Qué otras cosas podrían explicar

los datos? c. ¿Qué otras variables o controles podría incluir en la regresión? d. Después de controlar por más variables, ¿que cree usted que pasaría con el efecto

estimado del programa?

6. Una tienda que vende flores tiene dos sucursales, una en Cali y una en Manizales. Usted tiene datos sobre precios (P) y número de flores vendidas (Q) en cada una de las dos locaciones (asuma una regresión simple de cantidades sobre precios le dará la curva de demanda). Establezca este problema como un modelo de regresión lineal usando variables dicotómicas y muestre cómo probar si las pendientes de las curvas de demanda son las mismas para las dos sedes. Usando el mismo marco de referencia, ¿Cómo probaría usted si las curvas de demanda (tanto interceptos como pendientes) son las mismas?

7. Suponga que Xi yYi están relacionadas a través de la regresión:

iii uXY ++= 0.20.1

Un investigador tiene una base de datos de Yi y Xi, donde 0≤ Xi ≤20. Todos los supuestos del modelo clásico se cumplen excepto que la varianza condicional de ui está dada por: var(ui| Xi =x)=1 para 0≤x≤10 y var(ui| Xi =x)=16 para 10<x≤20. a. Grafique un diagrama de dispersión hipótetico de las observaciones (Xi,Yi),

i=1,...,N. b. ¿Esto qué implica en términos de los estimadores de MCO? ¿Por qué? c. Describa cómo obtener el estimador de mínimos cuadrados generalizados (en este

caso llamado mínimos cuadrados ponderados). Muestre que el modelo que está estimando cumple todos los supuestos del modelo clásico.

d.¿A cuáles observaciones le da más peso el estimador de MCG? Intuitivamente, ¿eso por qué pasa?

Econometría 1 - 2007IISolucion Ejercicios Practica 2

Prof. R. Bernal

1. Con base en el modelo de probabilidad lineal.

1. Sabemos que Pr(Di = 1|Xi) = B1Xi. Como Di sólo puede tomar dos valores entonces

Pr(Di = 0|Xi) = 1− Pr(Di = 1|Xi) = 1−B1Xi

2. Calcule la varianza de ui

var(ui) = E (ui −E(ui))2

var(ui) = E(u2i )

Como ui sólo puede tomar dos valores, es una variable aleatoria discreta. Por ende elvalor esperado es simplemente la suma ponderada de los posibles valores que toma la vari-able aleatoria donde los ponderadores son las probabilidades de que sea ese justamenteel valor resultado de la variable aleatoria. En particular, ui toma el valor de 1 − B1Xi

con probabilidad Pr(Di = 1|Xi) y el valor de −B1Xi con probabilidad Pr(Di = 0|Xi):

E(u2i ) = (1−B1Xi)2.Pr(Di = 1|Xi) + (−B1Xi)

2.Pr(Di = 0|Xi)

= (1−B1Xi)2. (B1Xi) + (B1Xi)

2. (1−B1Xi)

=h1− 2B1Xi + (B1Xi)

2i(B1Xi) + (B1Xi)

2. (1−B1Xi)

= B1Xi − 2 (B1Xi)2 + (B1Xi)

3 + (B1Xi)2 − (B1Xi)

3

= B1Xi − (B1Xi)2

var(ui) = B1Xi(1−B1Xi) = Pr(Di = 1|Xi). [1− Pr(Di = 1|Xi)]

3. Como la varianza de ui depende de las características individuales Xi esto significa queel modelo es heteroscedástico.

4. Esto implica que los estimadores de MCO son insesgados pero las formulas de las vari-anzas no están correctas y, por ende, no coinciden con las que están programadas en lospaquetes estadísticos. Esto implica, a su vez, que las pruebas de hipótesis y los intervalosde confianza no son confiables.

5. Necesito transformar el modelo, de tal manera que la varianza del error del modelotransformado NO DEPENDA de las características X y sea una constante a través detodos los individuos de la muestra. Entonces:

DipB1Xi(1−B1Xi)

=B1Xip

B1Xi(1−B1Xi)+

uipB1Xi(1−B1Xi)

Di

Pr(Di = 1). [1− Pr(Di = 1)]=

B1Xi

Pr(Di = 1). [1− Pr(Di = 1)]+

uiPr(Di = 1). [1− Pr(Di = 1)]

D∗i = B1X∗i + u∗i

Como B1 es un parametro poblacional y por ende no se observa, entonces, necesitamosencontrar un estimador de B1 para poder construir el modelo *. Para ello, podriamoscorrer el modelo (1) por MCO, obtener el estimador b1 y con ese construir el denominadordel modelo transformado *.

6. Mostrar que el error en el modelo transformado cumple el supuesto que viola ui :

var(u∗i ) = var

Ãuip

B1Xi(1−B1Xi)

!

=

Ã1p

B1Xi(1−B1Xi)

!2var(ui)

=1

B1Xi(1−B1Xi).B1Xi(1−B1Xi)

= 1

La varianza de u∗i es una constante para todos los individuos, no depende de Xi. Portanto, el modelo * es homoscedástico.

2

2. Let Gi be the contribution to charity and define the following dummy variables

Mi =

(1 If individual is a male0 otherwise

Ci =

(1 If individual is christian0 otherwise

Ji =

(1 If individual is jewish0 otherwise

Run the following regression

Gi = Bo +B1Mi +B2Ci +B3Ji +B4(Ci ×Mi) +B5(Ji ×Mi) + ui

1. Is there a gender difference in expected charity contributions for people in the “all others”religion category?

E(Gi|Mi = 1, Ci = 0, Ji = 0) = Bo +B1

E(Gi|Mi = 0, Ci = 0, Ji = 0) = Bo

That means are hypothesis is equivalent to testing

Ho : B1 = 0

To do this, we can use a standard t-test

t =b1

se(b1)

2. Is the gender difference in expected charity contributions for jews different than the gen-der difference in expected contributions for people in the “all others” religion category?

E(Gi|Mi = 1, Ci = 0, Ji = 1) = Bo +B1 +B3 +B5

E(Gi|Mi = 0, Ci = 0, Ji = 1) = Bo +B3

So the gender difference in expected contributions for jews is: B1 +B5 and from part 1of the question you know that the gender difference in expected contributions for peoplein “all others” religions is B1. That means that our hypothesis is equivalent to testing

Ho : B5 = 0

We use a standard t test

t =b5

se(b5)

3

3. Is there evidence of any gender difference in the level of expected charity contributions?We need to test whether

Ho : B1 = B4 = B5 = 0

So we need to run a restricted model

Gi = Ao +A1Ci +A2Ji + ui (and get the R2, which we call R2R)

Then we run an F test

F =(R2U −R2R)/q

(1−R2U )/(N −K − 1)

where R2U is the R2 or the original regression, N is the number of observations, K is 5

and q is 3.

4

3. So we are trying to understand the pricing of cereals.

1. As you increase the price of an input in production, the price of the output should riseso I would expect the slope coefficients to all be positive except for the price of meatsince that really is not an input in the production of cereal

2. We know for sure that adding regressors leads to higher R2 so the R2’s for the second athird regressions are at least as high as the first and almost surely higher

3. Intuitively, since sugar is part of the production of cereal but meat is not, we wouldexpect the second regression to have the highest R2, followed by the third (just becauseit has more explanatory variables than the first) and then the first

4. We can’t say anything for sure about R2’s. The R2 does not go down (for sure) as we add

regressors but it could stay the same. In this case, R2would fall as you add regressors

so it is not possible to say for sure which effect will dominate

5. R2is designed so that if you add a variable that is important, it should rise and if you

add one that is not, it should fall. Since sugar is an input you need to produce cerealthen it should be important, but meat is not something you would need in order to beable to produce cereal, hence it really shouldn’t matter in an equation that explainsthe pricing of cereal. Therefore, we would expect the R

2to be highest for the second

regression, followed by the first, and finally the third.

5

4. Definamos las variables de la siguiente manera:

∆Ct = crecimiento económico

Tt = tasa de cambio

St = salario mínimo

IPCt = índice de precios al consumidor

Adicionalmente, definamos la siguiente variable dicotómica:

Dt =

(1 si la observación es del país A0 de lo contrario

1. Escribamos el siguiente modelo interactuado:

∆Ct = Bo +B1Tt +B2St +B3IPCt +B4(Tt ×Dt) +B5(St ×Dt) + ui (1)

Note que no incluyo la interacción IPCt ×Dt porque estoy asumiendo que el efecto delIPC SI es el MISMO para los dos paises . Note que

E(∆Ct|país B) = E(∆Ct|Di = 0) = Bo +B1Tt +B2St +B3IPCt (2)

E(Si|país A) = E(Si|Di = 1) = Bo + (B1 +B4)Tt + (B2 +B5)St +B3IPCt (3)

2. Su hipótesis es que en la ecuación (2) no aparece Tt y que en la ecuación (3) no apareceSt. Es decir:

Ho : B1 = 0, B2 +B5 = 0

3. Como la hipótesis nula tiene dos argumentos, se necesitan una prueba F :

F =(R2U −R2R)/2

(1−R2U )/(T − 4− 1)∼ F(2,N−5−1)

Necesitamos un modelo no restringido y un modelo restringido. El modelo no restringidoes el (1) y el modelo restringido es el modelo no restringido pero aplicandóle la hipótesisnula, es decir B1 = 0 y B5 = −B2 :

∆Ct = Bo +B2St +B3IPCt +B4(Ti ×Di) + (−B2)(Si ×Di) + ui

∆Ct = Bo +B3IPCt +B2St(1−Dt) +B4(Ti ×Di) + ui

Es decir, el modelo restringido es una regresión por MCO de∆Ct sobre IPCt, St×(1−Di)

y (Ti ×Di).

6

1

5. Se tiene el siguiente modelo:

iioi uDBBI ++= 1 (1) donde

⎩⎨⎧

=caso otro en 0

ntoentrenamie deprograma un en participó trabajadrel Si 1 D

ador trabajdel ingreso :

i

iI

No, la correlación no implica una relación causal entre la participación del trabajador en

el programa de entrenamiento y su ingreso. Esto podría deberse más a que los trabajadores con mayores niveles educativos están más dispuestos a aprender más y por lo tanto, a participar en programas de entrenamiento. Dado que los trabajadores más educados tienen salarios mayores entonces esto podría hacer que B1 sea positivo y significativo. Por esta razón, es importante incluir más variables en el modelo:

iiiii uaExperienciAEducADAAI ++++= 3210 (2) Probablemente al incluir educación, experiencia y variables relacionadas a las

habilidades del trabajador, el efecto de los programas de entrenamiento per se sea más bajo que el estimado en la regresión (1).

6. La demanda en Manizales:

MMM uPBBQ ++= 10 Demanda en Cali:

CCC uPBBQ ++= 10 M se define como una variable dicotómica que es igual a 1 si el dato se refiere a

Manizales y cero de lo contrario, y se rescriben las dos demandas en una sola ecuación, se tiene:

uPxMAPAMAAQ ++++= )(3210 donde:

M1

Mo

C1

Co

BB

PAAAAPMQEBB

PAAPMQE

+=

+++==+=

+==

*)()(),1|(

),0|(

3210

20

Por lo tanto,

2

CMM

C

Co

Mo

Moo

Coo

BBABAABA

BBABAA

BA

113132

12

11

−=⇒=+

=

−=⇒=+

=

Esto significa que las pendientes de las funciones de demanda (en Manizales y Cali)

podrían ser la misma si A3=0, por tal razón tendría que realizarse una prueba t sobre esta variable.

Las curvas de demanda son las mismas (intercepto y pendiente) si A1=0 y A3=0. Para hacer la prueba se necesita estimar una regresión restringida, donde no se incluya la variable dicotómica M ni la interacción (PxM) . El estadístico F estaría dado por:

)13(*)1(2/)(

2

22

−−−−

=NR

RRF

U

RU

[continua abajo]

4. .

5.

6. El modelo es:Yi = 1.0 + 2.0Xi + bui.

y la varianza condicional de los errores está dada por

var(ui|Xi = x) =

(1 para 0 ≤ x ≤ 1016 para 10 < x ≤ 20

1. Gráfica

Y

X

1

10

21

20

2. Como el error no es homoscedástico, ésto implica que los estimadores de MCO aún soninsesgados pero las fórmulas de los errores estándar son incorrectas. Por tanto, cualquierprueba de hipótesis o intervalo de confianza construido con base en esos errores estándarno sería confiable.

3. El estimador de mínimos cuadrados generalizados (mínimos cuadrados ponderados eneste caso) es MCOs aplicado al modelo transformado en el cual se cumplen todos lossupuestos del modelo clásico lineal. En particular, el modelo clásico deberá ser ho-moscedástico. Sabemos que para obtener el modelo transformado debemos dividir porla raíz cuadrada del inverso de la varianza condicional de ui. Por tanto:eYi = fBo +B1 eXi + eui (*)

donde eYi = Yi√1eXi =

Xi√1eui = ui√1fBo =

Bo√1

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ para i tal que 0 ≤ Xi ≤ 10

2

y

eYi = Yi√16eXi =Xi√16eui = ui√16fBo =Bo√16

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭para i tal que 10 < Xi ≤ 20

4. Luego el modelo (*) se estima por MCO y este es el estimador de MCG. Cómo sabemosque el modelo tilda es homoscedástico?

Para i tal que 0 ≤ Xi ≤ 10 :var(eui) = var

³ui1

´= var(ui) = 1

Para i tal que 10 < Xi ≤ 20

var(eui) = var³ui4

´=1

16var(ui) =

1

16.16 = 1

Entonces var(ui) = 1 para todo i, es decir, ui es homoscedástico.

5. Esta transformación implica que el estimador de MCO le da más peso a las observacionestal queXi ≤ 10 (porque las dejamos tal cual) y menos a las observaciones tal queXi > 10

dado que esas las estamos multiplicando por 14 . Intuitivamente esto tiene sentido porquedado que las observaciones tal que Xi ≤ 10 están más cerca de la línea de regresiónentonces el estimador de MCG les da más peso y menos peso a las observaciones queestán más dispersas con respecto a la línea de regresión.

3

5. Suponga que quiere medir el efecto de un programa de entrenamiento ofrecido a los empleados de una firma sobre el nivel de ingreso de los trabajadores. Usted tiene datos de ingreso para todos los empleados (hayan participado o no en el programa) después de haber sido ofrecido el programa. a. Utilizando un modelo con variables dicotómicas, ¿como podría medir el efecto

del programa de entrenamiento sobre el ingreso de los empleados? b. ¿Podría interpretar esto como un efecto causal? ¿Qué otras cosas podrían explicar

los datos? c. ¿Qué otras variables o controles podría incluir en la regresión? d. Después de controlar por más variables, ¿que cree usted que pasaría con el efecto

estimado del programa?

6. Una tienda que vende flores tiene dos sucursales, una en Cali y una en Manizales. Usted tiene datos sobre precios (P) y número de flores vendidas (Q) en cada una de las dos locaciones (asuma una regresión simple de cantidades sobre precios le dará la curva de demanda). Establezca este problema como un modelo de regresión lineal usando variables dicotómicas y muestre cómo probar si las pendientes de las curvas de demanda son las mismas para las dos sedes. Usando el mismo marco de referencia, ¿Cómo probaría usted si las curvas de demanda (tanto interceptos como pendientes) son las mismas?

7. Suponga que Xi yYi están relacionadas a través de la regresión:

iii uXY ++= 0.20.1

Un investigador tiene una base de datos de Yi y Xi, donde 0≤ Xi ≤20. Todos los supuestos del modelo clásico se cumplen excepto que la varianza condicional de ui está dada por: var(ui| Xi =x)=1 para 0≤x≤10 y var(ui| Xi =x)=16 para 10<x≤20. a. Grafique un diagrama de dispersión hipótetico de las observaciones (Xi,Yi),

i=1,...,N. b. ¿Esto qué implica en términos de los estimadores de MCO? ¿Por qué? c. Describa cómo obtener el estimador de mínimos cuadrados generalizados (en este

caso llamado mínimos cuadrados ponderados). Muestre que el modelo que está estimando cumple todos los supuestos del modelo clásico.

d.¿A cuáles observaciones le da más peso el estimador de MCG? Intuitivamente, ¿eso por qué pasa?