Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Ecuaciones Diferenciales II

Profesor. Rodrigo Rodriguez Arias

Nombre.

David Leonardo Garzn Vanegas 20121167006

David Felipe Santos Carrillo 20121167018

Ejercicios propuestos en clase

2. Cundo se dice que dos funciones f y g son ortogonales en el espacio de las funciones?

Solucin.

Si f, g = 0, decimos que f y g son ortogonal en a < x < b. Dado un conjunto de funciones{fn (x)} en a < x < b., si

fn, gm = 0 donde n 6= m

decimos que las funciones fn (x) son pares ortogonales y que el conjunto {fn (x)} es un conjuntoortogonal.

Ejemplo. Vericar que T/2T/2

sin (m0t) cos (n0t) dt = 0

son ortogonales, para toda funcin de m y n.

Solucin.

Con la identidad trigonomtrica

sinA cosB =1

2[sin (A+B) + sin (AB)]

se obtiene,

T/2T/2

sin (m0t) cos (n0t) dt =1

2

T/2T/2{[sin (m+ n)0t] + [sin (m n)0t]} dt

=1

2

1(m+ n)0

cos [(m+ n)0t] |T/2T/2 +1

2

1(m n)0 cos [(m n)0t] |

T/2T/2

= 0

si m 6= n. Si se hace m = n 6= 0, y se utiliza la identidad trigonomtrica sin 2 = 2 sin cos seobtiene

1

T/2T/2

sin (m0t) cos (n0t) dt =

T/2T/2

sin (m0t) cos (m0t)

=1

2

T/2T/2

sin (2m0t) dt

= 14m0

cos (2m0t) |T/2T/2= 0

Por lo tanto, las funciones sin (m0t) cos (n0t) son ortogonales.

9. A qu se le llama serie trigonomtrica de Fourier?

Solucin.

Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma

a02+n=1

(an cos

2pin

Tx+ bn sin

2pin

T

)donde T R+, a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . son constantes reales, se denomina serie trigonomtrica ylos an, bn son los coecientes de la misma.

Las series trigonomtrica de Fourier convergen a los valores de f(t) en todos los puntos del intervalo

[0, T ] con posibles excepciones en los puntos de discontinuidad y los puntos extremos del intervalo.

10 Qu expresa el Teorema de Dirichlet?

Solucin.

Teorema de Dirichlet: Si f es una funcin denida en (c, c+ T ) excepto quizs en nmero nito

de puntos; f y f seccionalmente continuas en (c, c+ T ) a trozos y las discontinuidades son nitas,

entonces:

a. fA serie de Fourier engendrada en por A es peridica de periodo T.

b. fA (x0) = f (x0) puntos donde f es continua (f continua en x0

c.

fA (x0) =fA(x+0)+ fA

(x0)

2

Interpretacin: Las sumas parciales de Fourier convergen puntualmente a f (t) en los puntos

donde la funcin f es continua y a la media de los lmites laterales en los puntos de discontinuidad.

2

Ejemplo. Dada la funcin

f (x) =

x+ pi si pi < x < 0pi x si 0 < xpi

a. Dibuje el grco de la funcin

b. Verique que cumpla las condiciones de Dirichlet.

(i). f esta denida en (pi, pi) con excepcin del origen de coordenada, donde presenta una discon-tinuidad nita. f y f son seccionalmente continua (tiene numero nito de discontinuidades).

f (x) =

1 si pi < x < 01 si 0 < x < pi(ii.) Como f satisface las hiptesis de Dirichlet, sera desarrollable en series de Fourier fA (desa-

rrollo peridico) en el caso T = 2pi, adems, fA sera una funcin continua donde f lo es.

fA (x) = f (x) si x punto de discontinuidad de f y

fA (x0) =fA(x+0)+ fA

(x0)

2

(en esto, la serie de Fourier converge al valor medio de la discontinuidad).

3

Un punto, de discontinuidad se tiene

fA (0 2npi) = fA (0 2npi)+ + fA (0 2npi)2

=pi + pi

2= pi

fA (pi 2npi) = fA (pi 2npi)+ + fA (pi 2npi)2

=0 + 0

2= 0

13. Qu se entiende por armnicos en las series de Fourier?

Solucin. Dado que una serie de Fourier tambin se puede representar como:

f(t) = C0 +n=1

Cn cos (n0t n)

De ah, que cualquier funcin peridica, con periodo T , se puede representar como suma de com-

ponentes sinusoides que tiene diferentes frecuencias f, 2f, 3f, . . . , llamadas armnicos. (La relacin

entre el periodo y la frecuencia es f = 1T). La componte senuisodal de frecuencia n = n0 se

denomina ensima armnica de la funcin peridica. La primera armnica comnmente se conoce

como la componte fundamental porque tiene el mismo periodo de la funcin y 0 = 2pif0 = 2pi/T se

conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coecientes Cn y los ngulos n se conoce como

amplitudes armnicas y ngulos de fase, respectivamente. Los armnicos tambin se suelen llamar

parciales. De hecho, los parciales son componentes frecuenciales de una onda no necesariamente

peridica. Por lo tanto, el trmino parcial es ms general que el trmino armnico.

16. Cmo queda el desarrollo de Fourier si la funcin es par?

Solucin.

En el clculo de la serie de Fourier correspondiente a una funcin f , es posible evitar trabajo

innecesario al determinar los coecientes de la serie cuando la funcin f considerada sea o bien

una funcin par o bien una funcin impar, como veremos a continuacin:conjunto ortogonal.

Si f es una funcin integrable en [0, T ], y adems peridica de perodo T , su serie de Fourier es

a02+n=1

(an cos

2pin

Tx+ bn sin

2pin

T

)

y sus coecientes se obtienen empleando las frmulas

an =2

T

T0

f (x) cos2pin

Txdxn = 0, 1, 2, 3, . . .

4

bn =2

T

T0

f (x) sin2pin

Txdxn = 1, 2, 3, . . .

que tambin se pueden expresar (considerando la periodicidad de f) en la forma

an =2

T

T/2T/2

f (x) cos2pin

Txdxn = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2

T

T/2T/2

f (x) sin2pin

Txdxn = 1, 2, 3, . . .

As, que se tiene:

Cuando f es par, al calcular los coecientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya

que tanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son

impares, porque f es par y los senos impares, de acuerdo con la Proposicin (Si f es par, entonces aa f (x) dx = 2

a0f(x)dx) resulte

an =4

T

T/20

f (x) cos2pin

Txdx si n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn = 0 si n = 1, 2, 3, . . .

por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma

a02+n=1

an cos2pin

Tx

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