ejercicios de matemáticas i relación 1: funciones reales...

Ejercicios de Matemáticas IRelación 1: Funciones reales de variable real.

Continuidad y límite funcional

1. Estúdiese la continuidad y el comportamiento en +∞ y en −∞ de la función

f : R−→ R definida por

a) f (x) =x

1+ |x| , ∀x ∈ R.

b) f (x) =

1

1+e1/x si x 6= 0

0 si x = 0

c) f (x) =

ex

x si x < 0

x si 0≤ x < 15√

x si x≥ 1

2. Dése un ejemplo de función ...

a) continua cuya imagen no es un intervalo.

b) no continua en un intervalo y cuya imagen es un intervalo.

c) continua en R, no constante y cuya imagen sea un intervalo acotado.

d) continua en [0,1[ cuya imagen no es acotada.

e) continua en un intervalo abierto acotado cuya imagen es un intervalo cerrado

y acotado.

3. Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real.

4. Sean P,Q :R−→R dos funciones polinómicas. Estudiar el comportamiento en +∞y −∞ de la función racional

PQ

.

5. Sea P un polinomio de grado n tal que el término independiente y el coeficiente

líder tienen signo opuesto. Pruébese que P tiene al menos una raíz positiva.

6. Probar que existe un número real positivo x tal que

lnx+√

x = 0.

7. Probar que que la ecuación tg x = x tiene infinitas soluciones.

Universidad de GranadaDepartamento de Análisis Matemático

1 Matemáticas I1o Grado en Ingeniería Civil

Ejercicios de Matemáticas I 2

8. Probar que la ecuación

x+ ex + arctg x = 0

tiene una sola raíz real. Dar un intervalo de longitud uno en el que se encuentre

dicha raíz.

9. Sea f : R\1 −→ R la función definida por:

f (x) = arctan(

1+ x1− x

)

Estúdiese la continuidad de f y su comportamiento en el punto 1, en +∞ y en −∞.

10. Sea f :]0,π/2[−→ R definida por

f (x) =(

1tanx

)senx

, ∀x ∈]0,π/2[.

Probar que f tiene límite en 0 y π/2 y calcular dichos límites.

11. Sea f :]0,π/2[−→ R definida por

f (x) = (1+ senx)cotx , ∀x ∈]0,π/2[.

Estudiar el comportamiento de f en 0 y π/2.

12. Sea f : R+\e −→ R definida por

f (x) = x1

lnx−1 , ∀x ∈ R+\e.

Estudiar el comportamiento de f en 0, e y +∞.

13. Sea f : [0,1]−→ [0,1] una función continua en [0,1]. Pruébese que f tiene un punto

fijo, es decir, que existe x ∈ [0,1] tal que f (x) = x.

14. Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador,

pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador

que se hallan a la misma temperatura.

15. Un escalador comienza, desde su campamento base, a subir a una montaña el Sába-

do a las 7 horas, alcanzando la cima a las 8 de la tarde. A las 7 horas del Domingo

inicia el descenso hacia el campamento base tardando el mismo tiempo que le costó

la subida. Demostrar que existe una determinada hora, a lo largo del Domingo, en

la que el escalador se encuentra exactamente a la misma altura que a esa misma

hora del Sábado.


Matemáticas I1o Grado en Ingeniería Civil


16. Un corredor recorre 6 Km. en 30 minutos. Pruébese que existe un intervalo de 5

minutos a lo largo del cual el corredor recorre exactamente 1 kilómetro.



Ejercicios de Matemáticas IRelación 2: Cálculo diferencial en una variable

1. Calcúlese la derivada de las siguientes funciones cuyas ley viene dada por:

a) f (x) = sen(x+3).

b) f (x) = cos2(x3).

c) f (x) =1

cosx.

d) f (x) =

√1+ x1− x

.

e) f (x) =√

x2 +1.

f ) f (x) =(

3√

x−15√

x

)5

.

g) f (x) = cos(cos(cosx)).

h) f (x) = x4ex lnx.

i) f (x) = xx.

j) f (x) =√

x√

x.

2. Calcúlese la tangente de la gráfica de la función f : R −→ R definida por

f (x) = 2x3−3x2−12x+40 que es paralela al eje OX .

3. Calcúlese la tangente de la gráfica de la función f : R−→ R en el punto P en cada

uno de los siguientes casos:

a) f (x) = x2 +1, P = (3,10).

b) f (x) = cosx, P = (π/2,0).

c) f (x) = |x|, P = (1,1).

d) f (x) =x

x2 +1, P = (0,0).

4. Dada una función f : A −→ R, estúdiese la continuidad y la derivabilidad en cada

uno de los siguientes casos:

a) A = [−1,1] y f (x) =√

1− x2.

b) A = R y f (x) = 3√|x|.

c) A = R y f (x) =2x

1+ |x| .




d) A = R+0 , f (x) =

xx si x > 0

1 si x = 0

5. Sean α,β ∈ R y f : R −→ R la función definida por f (x) = x2 + αx + β. Encuén-

trense los valores de α y β que hacen que el punto (2,4) pertenezca a la gráfica

de f y que la recta tangente a la misma en dicho punto sea la recta de ecuación

2x− y = 0.

6. Sean a,b,c ∈ R y f ,g : R−→ R definidas por

f (x) = x2 +ax+b, g(x) = x3− c, ∀x ∈ R.

Determinar los valores de a,b,c que hacen que las gráficas de f y g pasen por el

punto (1,2) y tengan la misma recta tangente en dicho punto.

7. Sean α,β ∈ R y f : R−→ R definida por

f (x) =

αx+β si x≤ 0

x2 si x > 0

Determinar para qué valores de α,β es f derivable en cero.

8. Probar que la función f : R−→ R definida por

f (x) =

x si x ∈ R−0

ln(1+ x) si x ∈ R+

es derivable en R y encontrar su función derivada.

9. Probar que arcsen x+ arccos x =π2, ∀x ∈ [−1,1].

10. Demuéstrese que

1+ x≤ ex ≤ 1+ x ex, ∀x ∈ R

11. Demuéstrese que, para cada x > 0, se verifica que

x1+ x

< ln(1+ x) < x.

12. Demuéstrese que, para x ∈]0, π2 [ se verifica que

2xπ

< senx < x < tanx , cosx > 1− x2

2.




13. Demuéstrese que, para cada x,y ∈ R, se verifica que

|sen(ax)− sen(ay)| ≤ |a||x− y|.

14. Demuéstrese que, para cada x,y ∈ R, se verifica que

|arctanx− arctany| ≤ |x− y|.

15. Sea a > 0. Pruébese queeax≤ e

ax , ∀x > 0

y se da la igualdad si, y sólo si, x = a.

16. Sea a > 0 un número real que verifica

axa ≥ x, ∀x > 0.

Pruébese que a = e.

17. Calcúlese el número de ceros y la imagen de la función f : R −→ R definida por

f (x) = x6−3x2 +2.

18. Calcúlese el número de soluciones de la ecuación 3lnx− x = 0.

19. Pruébese que para 0 < a < 1 se verifica

(1+ x)a ≤ 1+ax, ∀x >−1.

20. Sea a > 1. Probar que la ecuación x+e−x = a tiene, al menos, una solución positiva

y otra negativa.

21. Sean a,b,c ∈ R con a2 < 3b. Pruébese que la ecuación

x3 +ax2 +bx+ c = 0

tiene una solución real única.

22. Determínese el número de raíces reales de la ecuación

2x3−3x2−12x = m

según el valor de m.




23. Sea f : R+ −→ R una función derivable en R+. Supongamos que f y f ′ tienen

límite en +∞. Pruébese que lımx 7→+∞

f ′(x) = 0.

24. Sea f : [0,1] −→ R un a función derivable, verificando que f (0) = 0 y que para

cada x ∈ [0,1], | f ′(x)| ≤ | f (x)|. Pruébese que f (x) = 0, ∀x ∈ [0,1].

25. Estúdiese el comportamiento de la función f : A −→ R en el punto α en cada uno

de los siguientes casos:

a) A = R∗, f (x) =sen(3x)

x, ∀x ∈ A, α = 0.

b) A = R\π/2+ kπ, k ∈ Z , f (x) =2x−πcosx

, ∀x ∈ A, α = π/2.

c) A = R\−2,2, f (x) =

√x2 +5−3x2−4

, ∀x ∈ A, α = 2.

d) A =]2,+∞[ , f (x) =√

x−√2+√

x−2√x2−4

, ∀x ∈ A, α = 2.

e) A = R+\1, f (x) =1

lnx− 1

x−1, ∀x ∈ A, α = 1.

f ) A =]1,+∞[, f (x) =xx− x

1− x− lnx, ∀x ∈ A, α = 1.

g) A = R+, f (x) =1x

(e− (1+ x)

1x

), α = 0.

26. Estúdiese el comportamiento en el punto cero de la función f : A −→ R en los

siguientes casos:

a) A = R+, f (x) =1− cosx√

x, ∀x ∈ A.

b) A = R∗, f (x) =1− cosx

x2 , ∀x ∈ A.

c) A =]0,π/2[, f (x) = (senx+ cosx)1x , ∀x ∈ A.

d) A =]0,π/2[, f (x) =(

cosx+x2

2

) 1x2

, ∀x ∈ A.

e) A =]0,π/2[, f (x) = (1− tanx)1

x2 , ∀x ∈ A.

f ) A = R+, f (x) = xsenx, ∀x ∈ A.

g) A =]0,π/2[, f (x) =x− arctanx

sen3 x, ∀x ∈ A.

27. Sea f :]−π

2 , π2

[−→ R definida por:

f (x) =

ln(1−senx)−2ln(cosx)

senx si x 6= 0

a si x = 0




Estúdiese para qué valor de a la función f es continua en cero.

28. Estúdiese el comportamiento en +∞ de las funciones f : A−→ R dadas por

a) A = R+, f (x) =ln(2+3ex)√

2+3x2, ∀x ∈ A.

b) A = R+, f (x) = (ax + x)1x , ∀x ∈ A (a > 0).

c) A =]1,+∞[ f (x) =x(

x1x −1

)

lnx, ∀x ∈ A.

29. Encontrar los extremos relativos de la función f : R −→ R en cada uno de los

siguientes casos:

a) f (x) = x5−5 x4 +5 x3 +10

b) f (x) =x2−3 x+2

x2 +1

c) f (x) =

x ln |x| si x 6= 0

0 si x = 0.

d) f (x) =

x2 ln |x| si x 6= 0

0 si x = 0.

e) f (x) = coshx+ cosx.

30. Una caja abierta está construida con un rectángulo de cartón, quitando cuadrados

iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes. Hállense las dimen-

siones de la caja de mayor volumen que puede construirse con ese procedimiento si

el rectángulo tiene como lados (a) 10 y 10, (b) 12 y 18.

31. Se desea construir una ventana con forma de rectángulo coronado de un semicírcu-

lo de diámetro igual a la base del rectángulo. Pondremos cristal blanco en la parte

rectangular y cristal de color en el semicírculo. Sabiendo que el cristal colorea-

do deja pasar la mitad de luz (por unidad de superficie) que el blanco, calcúlense

las dimensiones de la ventana para conseguir la máxima luminosidad si se ha de

mantener un perímetro constante dado.

32. Se traza la tangente en un punto de la elipsex2

25+

y2

16= 1 de forma que el segmen-

to (de dicha tangente) interceptado por los ejes sea mínimo. Demuéstrese que la

longitud de dicho segmento es 9 unidades.




33. Se inscribe un rectángulo en la elipsex2

400+

y2

225= 1 con sus lados paralelos a

los ejes. Hállense las dimensiones del rectángulo para que (a) el área sea máxima,

(b) el perímetro sea máximo.

34. Se desea confeccionar una tienda de campaña cónica sin suelo de un volumen

determinado. Calcúlense sus dimensiones para que la cantidad de lona necesaria

sea mínima.

35. Demuéstrese que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual a 2.

36. Se proyecta un jardín de forma de sector circular de radio R y ángulo central θ. El

área del jardín ha de ser A fija. ¿Qué valores de R y θ hacen mínimo el perímetro

que bordea el jardín?.

37. Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una longitud a se hace girar alrededor

de uno de sus catetos. ¿Qué volumen máximo puede tener un cono engendrado de

esta manera?.

38. Una persona desea cortar un pedazo de alambre de 1 m. de largo en dos trozos. Uno

de ellos se va a doblar en forma de circunferencia, y el otro en forma de cuadrado.

¿Cómo debe cortar el alambre para que la suma de áreas sea mínima?.

39. Un muro de 4 metros de altura está a 3 metros de la fachada de una casa. Hallar la

escalera más corta que llegará desde el suelo hasta la casa por encima del muro.

40. Demuéstrese que de todos los triángulos isósceles que se pueden circunscribir a una

circunferencia de radio r, el de área mínima es el equilátero de altura 3r.

41. ¿Cuál es la longitud de la barra más larga que puede hacerse pasar horizontalmente

a través de la esquina, en ángulo recto, que forman dos corredores de anchuras

respectivas a y b?

42. Un cultivador de naranjas estima que, si planta 60 naranjos, obtendrá una cosecha

media de 400 naranjas por árbol. Este número bajará 4 unidades por cada árbol más

que se plante en el mismo terreno. Hállese el número de árboles que hace máxima

la cosecha.

43. Durante la tos, el diámetro de la tráquea disminuye. La velocidad v del aire en la

tráquea durante la tos se relaciona con el radio, r, mediante la ecuación

v = Ar2(r0− r), donde A es una constante y r0 es el radio en estado de relajación.




Determínese el radio de la tráquea cuando la velocidad es máxima, así como esta

velocidad.

44. Una fábrica de plásticos recibe del Ayuntamiento de la ciudad un pedido de 8.000

tablas flotadoras para el programa de natación del verano. La fábrica posee 10

máquinas, cada una de las cuales produce 50 tablas por hora. El coste de preparar

las máquinas para hacer el trabajo es de 800 EUROS por máquina. Una vez que las

máquinas están preparadas, la operación es automática y puede ser supervisada por

una sóla persona, que gana 35 EUROS/hora.

a) ¿Cuántas máquinas hay que usar para minimizar el coste de producción?

b) Si se usa el número óptimo de máquinas, ¿cuánto ganará el supervisor durante

el proceso?

45. Las palomas domésticas no suelen volar sobre extensiones grandes de agua a menos

que se vean forzadas a ello, posiblemente porque se requiera más energía para man-

tener la altitud sobre el agua fría. Supongamos que se suelta una paloma desde un

barco situado a 3 km de la costa, siendo A el punto costero más cercano. El palo-

mar se encuentra en un punto de la costa situado a 10 km de A. Si la paloma gasta

dos veces más energía volando sobre el agua que sobre la tierra firme y sigue un

camino que hace mínima la energía gastada, determínese el punto dónde la paloma

abandona el agua.

46. Calcúlese, haciendo uso de un desarrollo de Taylor conveniente, un valor apro-

ximado del número real α con un error menor de 10−3 en cada uno de los casos

siguientes:

a) α =√

e

b) α =√

102

c) α = sen(

12

)

47. Exprésese el polinomio x4−5x3−3x2 +7x+6 en potencias de x−2



Ejercicios de Matemáticas IRelación 3: El espacio euclídeo Rn

1. Descríbanse el interior, los puntos de acumulación y la frontera de los siguientes

conjuntos:

a) N, Q. R\Q, [0,1]∪2, 1/n : n ∈ N.

b)

(x,y) ∈ R2 :x2

a2 +y2

b2 < 1

(a,b > 0).

c) (x,y) ∈ R2 : y = rx (r ∈ R).

d) (xn,yn) : xn = 1n , yn = 0, ∀n ∈ N.

e)(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1

.

f )(x,y,z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0

.

2. Díganse cuáles de los conjuntos del ejercicio anterior son compactos.



Ejercicios de Matemáticas IRelación 4: Números complejos

1. Realiza las operaciones indicadas y expresa el resultado en la forma a+ ib:

a) (7−2i)(5+3i)

b) (i−1)3

c) (1+ i)(2+ i)(3+ i)

d)3+ i2+ i

e)(4− i)(1−3i)−1+2i

f ) (1+ i)−2

g)1+2i2− i

h) i2(1+ i)3

2. Calcula la parte real e imaginaria de las funciones:

a) f1(z) = z2

b) f2(z) = z3

c) f3(z) =1z

d) f4(z) =1

1+ z2

e) f5(z) =z+ iz− i

3. Calcula las siguientes cantidades:

a) |(1+ i)(2− i)|

b)∣∣∣∣

4−3i2− i

√5

∣∣∣∣c)

∣∣(1+ i)20∣∣

d) |√2+ i(√

2+1)|

4. Calcula los números complejos z tales que1+ z1− z

es:

a) Un número real.

b) Un número imaginario puro.




5. Expresa en forma polar los siguientes números complejos:

a) −√3− i

b) −√3+ i

c)3√

3+ i

d)1+ i

√3

(1+ i)2

6. Expresa los siguientes números en la forma a+ ib:

a) (−1+ i√

3)11

b)(

1+ i1− i

)5

c)

(1+ i

√3

1− i

)6

d) (−√3+ i)13

7. Probar la veracidad de las siguientes afirmaciones sobre números complejos:

a) |1− zw|2−|z−w|2 = (1−|z|2)(1−|w|2)b)

∣∣|z|− |w|∣∣ = |z−w|c) |z−w| ≤ |1− zw|d) |z−w|= |1− zw|

Sugerencia: Una estrategia básica para probar desigualdades entre módulos de números

complejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.

8. Resuélvanse las siguientes ecuaciones entre números complejos:

a) |z|− z = 1+2i

b) |z|+ z = 2+ i

c) z = z2

d) z3 = 1+ i

e) z4 = i

f ) z3 =−1+ i√

3

g) z8 = 1




9. Encuentre los vértices de un polígono regular de n lados si su centro se encuentra

en el punto z = 0 y uno de sus vértices z1 es conocido.

10. Resolver la ecuación cuadrática az2 + bz + c = 0, donde a,b,c, son números com-

plejos conocidos y a 6= 0.

11. Calcular las siguientes raíces:

a) 4√

16

b) 6√

1+ i

c) 3√−27



Ejercicios de Matemáticas IRelación 5: Diferenciación en varias variables

1. Calcúlese el vector gradiente de la función f en cada uno de los siguientes casos:

a) f (x,y) = x3 +3xy2−15x−12y, ∀(x,y) ∈ R2.

b) f (x,y) = sen(x sen y),∀(x,y) ∈ R2.

c) f (x,y,z) = xy+z, ∀x ∈ R+,y,z ∈ R.

d) f (x,y,z) = (x+ y)z, ∀x,y ∈ R+,z ∈ R.

2. Encontrar la derivada direccional de f en a según la dirección v en los siguientes

casos:

a) f (x,y) = xy2, a = (2,1), v = (2/√

5,1/√

5).

b) f (x,y,z) = x3 + y3 + z3, a = (1,1,0), v = (0,0,1).

3. Determinar la dirección respecto de la cual, la derivada direccional de la función

f (x,y,z) = xy2 + yz+ x2z2 en el punto (1,2,−1), tenga un valor máximo.

4. Sea f :R2\(0,0)−→R definida por f (x,y) =1

x2 + y2 . Calcular en el punto (2,3)

la derivada según la dirección dada por la recta y =23

x y el valor máximo de la

derivada direccional.

5. Calcúlese el plano tangente a las siguientes superficies en el punto que se indica:

a) z = ln(1+ x2 + y2) , en (0,0,0).

b) z2 +3x− x2− y2 = 2 , en (1,1,1).

c) x3 + y3 + z3 + xyz−6 = 0 , en (1,2,−1).

d) z = senx seny , en (π/2,π/4,√

2/2).

6. Sean f : R2 −→ R3 y g : R3 −→ R, definidas por

f (x,y) = (x2,y2,x− y) , g(x,y,z) = x2 +2y− z.

Definimos h = g f . Calcular Dh(1,−1).

7. Sean f : R3 −→ R2 y g : R2 −→ R2, definidas por

f (x,y,z) = (sen(xy+ z),(1+ x2)yz) , g(u,v) = (u+ ev,v+ eu).




a) Calcular D f (1,−1,1).

b) Calcular Dg(0, 12).

c) Calcular D(g f )(1,−1,1).

8. Sea f : R2 −→ R una función diferenciable. Sea h : R3 −→ R definida por

h(x,y,z) = f (x2 +2yz,y2 +2xz),∀(x,y,z) ∈ R3. Probar que:

(y2− xz)∂h∂x

+(x2− yz)∂h∂y

+(z2− xy)∂h∂z

= 0.

9. Calcular∂F∂x

y∂F∂y

de la función F(u,v) = u2 + 3uv + 4v2, siendo u = 2− 2xy2,

v = 1+ x:

a) Mediante la regla de la cadena.

b) Sustituyendo u y v por sus valores.

10. Sean f ,g : R −→ R derivables. Se define la función de dos variables

z(x,y) = x2y f (u)+ xy2g(v), con u =xy, v =

yx

. Calcular x∂z∂x

(x,y)+ y∂z∂y

(x,y).

11. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:

a) f (x,y) = sen(x seny

)

b) g(x,y,z) = xy+z

c) h(x,y,z) = (x+ y)z

12. Una función f se dice que es armónica en un abierto Ω⊆ R2 si

∂2 f∂x2 (x,y)+

∂2 f∂y2 (x,y) = 0

en todo punto (x,y) ∈Ω. ¿Son armónicas las siguientes funciones?

a) f (x,y) = arc tg(

xy

), Ω = R2\(x,0) : x ∈ R.

b) g(x,y) = e−x cosy+ e−y cosx, Ω = R2.

c) h(x,y) =ex+y

x2 + y2 , Ω = R2\(0,0).

13. Calcular los extremos relativos de las siguientes funciones. Estudiar si dichos ex-

tremos son absolutos o no lo son.

a) f (x,y) = x3 +3xy2−15x−12y.




b) f (x,y) = x4 +2x2y− x2 +3y2.

c) f (x,y) = senx+ seny+ cos(x+ y), 0 < x < 2π, 0 < y < 2π.

d) f (x,y) = x3 + y3−3x−12y+20.

e) f (x,y) = (x−1)4 +(x− y)4.

f ) f (x,y) = x4 + y4−4a2xy (a > 0).

g) f (x,y) =x− y

x2 + y2 +1.

h) f (x,y) = (x2 +2y2)e−(x2+y2).

i) f (x,y) = sen(xy).

j) f (x,y) = 2x4 + y2−3xy2.

k) f (x,y,z) = x2 + y2 +3z2 + yz+2xz− xy.

l) f (x,y,z) = xy+ xz+ yz.

m) f (x,y,z) = (x+ z2)ex(y2+z2+1).

14. Sean a,b ∈R y f :R2 −→R definida por f (x,y) = x2 +y2−2ax−2by. Estudiar la

existencia de extremos relativos de f en función de los parámetros a y b.

15. Sean a,b∈R y f :R2 −→R definida por f (x,y) = eax+y2+b sen(x2 +y2). Discutir

los valores de a y b para que f tenga un extremo relativo en (0,0).

16. Encuéntrense los puntos donde la función f : A−→ R definida por

f (x,y) = x2 + y2− xy− x− y

alcanza sus extremos absolutos, siendo

A = (x,y) ∈ R2 : x,y≥ 0, x+ y≤ 3.

17. Encuéntrense los puntos del conjunto A = (x,y)∈R2 : x2 +y2 ≤ 2x, y≥ 0 donde

la función f (x,y) = x2−2xy+ y2 alcanza su máximo y mínimo absolutos.

18. Calcular los máximos y mínimos absolutos de la función f (x,y) = x2− xy+ y2 +1

en la placa triangular cerrada y acotada por las rectas x = 0, y = 4, y = x.

19. Una placa circular plana tiene la forma del disco x2 + y2 ≤ 1. La placa, incluyendo

el borde, se calienta de manera que la temperatura en un punto (x,y) es

T (x,y) = x2 +2y2− x.

Determinar los puntos con mayor y menor temperatura de la placa, así como la

temperatura en cada uno de ellos.




20. Determínese el punto P(x,y,z) en el plano 2x + y− z = 5 que está más cerca del

origen.

21. Calcúlese la distancia mínima del origen a la superficie de R3 dada por la ecuación

x2− z2−1 = 0

22. Hállense dos números reales cuya suma de cuadrados sea 18 y la suma de sus cubos

sea máxima. Hágase lo mismo con tres números reales con suma de cuadrados 12.

23. Se trata de montar un radiotelescopio en un planeta recién descubierto. Para mini-

mizar la interferencia se desea emplazarlo donde el campo magnético del planeta

sea más débil (aunque por supuesto, en la superficie). El planeta es esférico, con un

radio de 6 unidades; la fuerza del campo magnético viene dada por

M(x,y,z) = 6x− y2 + xz+60

basado en un sistema coordenado cuyo origen está en el centro del planeta. ¿Dónde

habrá de ser ubicado el radiotelescopio?.

24. Determínese el rectángulo de mayor área que se puede inscribir en la elipsex2

a2 +y2

b2 = 1, donde a,b son reales positivos.

25. Hállese la mínima distancia entre la recta x+ y = 4 y la circunferencia x2 + y2 = 1.

26. Hallar la mínima distancia entre la recta x+ y = 4 y la circunferencia x2 + y2 = 1.

27. Hállense los extremos condicionados de la función f (x,y) = x3 + xy2 donde

xy−a2 = 0, (a 6= 0).

28. Calcular el mínimo relativo de f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 condicionado a que

2x+ y+ z = 2 , x− y−3z = 4.

Dar una interpretación geométrica del resultado.

29. Estudiar los extremos condicionados de f (x,y,z) = x2 +2y2 + 6z2−4xy−12z con

condiciones:

x− y = 0 , x− z+3 = 0.

30. Hallar los extremos relativos de la función f (x,y,u,v) = x2 +y2 con las condiciones:

x2 +u2 + v2−4 = 0 , y2 +2u2 +3v2−9 = 0.




31. El área de una caja rectangular sin tapa es de 108u2. Hállese que dimensiones debe

tener para que conseguir el máximo volumen.

32. Calcular los valores máximo y mínimo de la función f (x,y,z) = xyz cuando el punto

(x,y,z) pertenece a la curva definida por la intersección del plano x+ y+ z = 0 y la

esfera x2 + y2 + z2−1 = 0.

33. El plano x + y + z = 24 corta al paraboloide z = x2 + y2 en una elipse. Calcula los

puntos más altos y más bajos de dicha elipse.



Ejercicios de Matemáticas IRelación 6: Series de números reales. Series de potencias

1. Estúdiese la convergencia de las siguientes series de números reales:

a) ∑(

1+1n

)−n2

, b) ∑ nn

en2+1, c) ∑ 2n n!

nn , d) ∑ (n!)2

(2n)!,

e) ∑ 2n

1 ·3 ·5 · · ·(2n+1), f ) ∑

(1 ·3 ·5 · · ·(2n−1)

2 ·4 ·6 · · ·2n

)3

, g) ∑ ln(

1+1n

),

h) ∑ ln(

n2 +3n2 +2

), i) ∑

3√

n lnnn2 +1

, j) ∑(

1− e−1n

)2,

k) ∑ 1n lnn

, l) ∑sen(

1n

), m) ∑

[sen

(1n

)− tg

(1n

)],

n) ∑[

1n− arctg

(1n

)], ñ) ∑ 1

n2n , o) ∑ lnnn

, p) ∑ 2n

n,

q) ∑ 1n(lnn)2 , r) ∑

3√

n(n+1)

√n

, s) ∑ ln(1+n2)1+n2 , t) ∑ nlnn

(lnn)n

u) ∑n≥2

nn

(n−1)n+2 , v) ∑sen

(1n

)√

n, w) ∑ arctg n

1+n2 , x) ∑[

cos(

1n

)]n3

y) ∑[

n sen(

1n

)]n3

, z) ∑[

n ln(

1+1n

)]n2

2. Estudiar la convergencia de las siguientes series:

a) ∑(−1)n(√

n2 +1−n)

b) ∑ (−1)n e−1n

n

c) ∑(−1)n lnnn

d) ∑(−1)n 2n−12n

3. Calcular la suma de las siguientes series de números reales:

a) ∑ 1n2 +2n

b) ∑ 1n(n+1)(n+2)

c) ∑ 1(n+1)

√n+n

√n+1



Ejercicios de Cálculo 2

d) ∑n≥0

2n+1 +3n+1

6n

e) ∑n≥2

ln(1+ 1

n

)

ln((n+1)lnn)

f ) ∑n≥1

(n−1)!(n+3)!

g) ∑n≥1

n3 +n+1n!

4. Hállese el radio de convergencia R de cada una de las series de potencias que siguen

y, en caso de que R ∈R+ estúdiese el comportamiento de la serie en los puntos R y

−R:

a) ∑n≥0

12n(2n+1)

xn

b) ∑n≥0

n!(n+1)n xn

c) ∑n≥0

1ln(n+2)

xn

d) ∑n≥0

1 ·3 ·5 · · ·(2n+1)2 ·4 ·6 · · ·(2n+2)

xn

e) ∑n≥0

n−√nn2 +n+1

xn

f ) ∑n≥0

(n+1)ln(n+1) xn

5. Calcúlese el radio de convergencia y la suma de las series:

a) ∑n≥1

n xn

b) ∑n≥1

n2 xn

c) ∑n≥0

n3

n!xn

6. Encuéntrese, cuando ello sea posible, el desarrollo en serie de potencias centrado

en el punto a de la función f en cada uno de los casos siguientes:

a) f : R\−1 −→ R , f (x) =1

1+ x, ∀x ∈ R\−1 ; a = 0.

b) f : R\−1 −→ R , f (x) =x

(1+ x)3 , ∀x ∈ R\−1 ; a = 0.




c) f : R−→ R , f (x) =1√

1+ x2, ∀x ∈ R ; a = 0.

d) f : R−→ R , f (x) =ex−1

x, ∀x ∈ R∗ , f (0) = 1 ; a = 0.

e) f :; ]0,1[−→ R , f (x) =1

x(x−1), ∀x ∈]0,1[ ; a =

12

.

f ) f :]−1,1[−→ R , f (x) = ln(

1+ x1− x

), ∀x ∈]−1,1[ ; a = 0.

g) f : R−→ R , f (x) = senhx , ∀x ∈ R ; a = 0.

7. Demuéstrese, usando el desarrollo en serie de Taylor de la función arcotangente,

queπ4

= arctan(1) =∞

∑n=1

(−1)n+1

2n+1.



Ejercicios de Matemáticas IRelación 7: Cálculo integral en una variable

1. Calcúlense las siguientes primitivas:

∫ x√1+ x2

dx∫

x√

3− x2 dx∫ 3√

1+ lnxx

dx

∫(arcsenx)2 dx

∫cosx ln(senx) dx

∫arctgx dx

∫ln(x+

√1+ x2) dx

∫cos2(lnx) dx

∫ arcsen√

x√1− x

dx

2. Pruébense las siguientes igualdades:∫ 3

0

dx√9− x2

=π2

∫ π/2

0

cosx√1− senx

dx = 2∫ +∞

−∞

dxex + e−x =

π2

∫ +∞

0

e−√

x√

xdx = 2

∫ +∞

2

dxx(lnx)2 =

1ln2

∫ 1

0lnx dx =−1

∫ +∞

0e−αx cos(βx) dx =

αα2 +β2

∫ +∞

0e−αx sen(βx) dx =

βα2 +β2

(α ∈ R+, β ∈ R).

3. Calcúlense las siguientes integrales:∫ 1/2

−1/2

dxx4−1

∫ +∞

1

x−1x3−3 x2 + x+5

dx∫ +∞

−∞

dx(x2−2x+2)2

∫ 4

3

2− x2

x3−3x2 +2xdx

∫ +∞

2

x+2(x−1)(x+1)2(x2 +1)(x2 + x+1)2 dx

∫ 1

0

dxx4 +1

4. Calcúlense las siguientes integrales:

a)∫ π/2

0

dx2− cosx

b)∫ π

0

dxcosx+2 sen x+3

c)∫ π/2

0

1−2 cosx3−4 cosx

dx

d)∫ π/4

0

sen3 xcos4 x

dx (sugerencia: utilizar el cambio x = arccos t)

e)∫ π/2

0cos3 x sen4 x dx (sugerencia: utilizar el cambio x = arcsent)

f )∫ π/4

−π/4

sen2 xcos4 x

dx (sugerencia: utilizar el cambio x = arctan t)




5. Calcúlense las siguientes integrales:∫ +∞

1

dxsenh x

∫ +∞

0

dxex +1

∫ 1

0x senh x dx

6. Calcúlense las siguientes integrales:∫ +∞

2

dx

(x−1)√

x2−2x

∫ +∞

8

dx

x2√

4+ x2

∫ 3

2

dx√x2−2

∫ 3/2

1

dx

x2√

4− x2

∫ 1

0x√

x2 + x+1 dx∫ 3

1

dx

x2√

3+2x− x2

7. Hállense las derivadas de cada una de las funciones siguientes:

a) F(x) =∫ x

asen3(t) dt

b) F(x) =∫ b

x

11+ t2 + sen2 t

dt

c) F(x) =∫ b

a

x1+ t2 + sen2 t

dt

d) F(x) =∫ b

a

tx1+ t2 + sen t

dt

8. Sea f : R−→ R definida por f (x) = e−x2, ∀x ∈ R.

a) Sea g : R−→ R definida por

g(x) =∫ sen x

0f (t) dt, ∀x ∈ R.

Probar que g es derivable en todo R y calcular su derivada.

b) Sea h : R+0 −→ R definida por

h(x) =∫ √

x

0f (t) dt, ∀x ∈ R+

0 .

Estudiar la derivabilidad de h.

9. Encontrar todas las funciones de clase C1 en R tales que

( f (x))2 =∫ x

0

[( f (t))2 +( f ′(t))2] dt + 1

10. Sea g una función derivable enR y dos veces derivable en 0 siendo además g(0) = 0.

Estudiar la derivabilidad de la función f : R−→ R definida por

f (x) =

1x

∫ x

0

g(t)t

dt si x 6= 0

g′(0) si x = 0

¿Es f de clase C1?




Aplicaciones del cálculo integral

1. Calcular las siguientes áreas:

a) Area limitada por las curvas y = x2 , y2 = 8x.

b) Area de los dos recintos delimitados por la circunferencia de ecuación

x2 + y2 = 1 y la recta x+ y = 1.

c) Area comprendida entre el eje de abcisas y la parábola de ecuación y = 4x−x2.

d) Area comprendida entre la parábola de ecuación y2 = 4x y la recta y = 2x−4.

e) Area limitada por y = x e−x2, el eje OX , la ordenada en el punto x = 0 y la

ordenada en el máximo.

f) Area de la figura limitada por la curva y = x(x−1)(x−2) y el eje OX .

g) Area comprendida entre la curva y = tanx, el eje OX y la recta x = π/3.

h) Area del recinto limitado por las rectas x = 0, x = 1, y = 0 y la gráfica de la

función f : R−→ R definida por f (x) =1

(1+ x2)2 .

i) Area de la superficie obtenida por la revolución de la parábola y2 = 4x y la

recta x = 5 alrededor del eje OX .

2. Longitudes de curvas.

a) Hallar la longitud de la curva y =x4 +48

24xen [2,4].

b) Hallar la longitud de la curva y = ln(1− x2) en [1/3,2/3].

c) Hallar la longitud de la catenaria. Dicha curva es la gráfica de la función

f : [−a,a]−→ R definida por

f (x) =12

a(ex/a + e−x/a), ∀x ∈ [−a,a] (a > 0).

3. Volúmenes de sólidos de revolución.

a) La curva y = sen2(x), x ∈ [0,π], gira en torno al eje OX determinando un

sólido. Calcular su volumen.

b) Hallar el volumen generado al girar alrededor del eje OX la gráfica de

f (x) =18x

x2 +9.

c) Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por x = y2

e y = x2

alrededor del eje OX

alrededor del eje OY

d) Idéntico ejercicio que el anterior para la región limitada por las rectas y = 1,

x = 1 y la curva y = x3 +2x+1.



Ejercicios de Matemáticas IRelación 8: Cálculo integral en varias variables

1. Calcúlense las siguientes integrales:

a)∫

Isen2x sen2y d(x,y), I = [0,π]× [0,π].

b)∫

I

x2

1+ y2 d(x,y), I = [0,1]× [0,1].

c)∫

Iy lnx d(x,y), I = [1,e]× [1,e].

d)∫

Ix3 y3 d(x,y), I = [0,1]× [0,1].

e)∫

I

1(1+ x+ y)2 d(x,y), I = [0,1]× [0,1].

f )∫

I

1(1+ x+ y+ z)3 d(x,y,z), I = [0,1]× [0,1]× [0,1].

g)∫

Ix ln(xy) d(x,y), I = [2,3]× [1,2].

h)∫

Iy cos(xy) d(x,y), I = [0,1]× [0,π].

i)∫

I|cos(x+ y)| d(x,y), I = [0,π]× [0,π].

j)∫

IE(x+ y) d(x,y), I = [0,2]× [0,2].

2. Sea f : A−→ R. Calcúlese su integral en los siguientes casos:

a) f (x,y) = 1− x− y, A = (x,y) ∈ [0,1]× [0,1] : x+ y≤ 1.

b) f (x,y) = x+ y, A = (x,y) ∈ [0,1]× [0,1] : x2 ≤ y≤ 2x2.

c) f (x,y) =yx2 , A = (x,y) ∈ R2 : 0≤ x≤ 1, 0≤ y≤ x.

d) f (x,y) = 1, siendo A la región limitada por y2 = x3, y = x.

e) f (x,y) = x2, siendo A la región limitada por xy = 16, y = x, y = 0, x = 8.

f ) f (x,y) = x, siendo A el triángulo de vértices (0,0),(1,1),(0,1).

g) f (x,y) = x, siendo A la región limitada por la recta que pasa por (0,2) y (2,0)

y la circunferencia de centro (0,1) y radio 1.

h) f (x,y) = exy , siendo A la región limitada por y2 = x, x = 0, y = 1.

i) f (x,y) =x

x2 + y2 , siendo A la región limitada por y = x2

2 , y = x.

j) f (x,y) = xy2, siendo A la región limitada por y2 = 2x, x = 1.




k) f (x,y) = xy, siendo A la región limitada por la semicircunferencia superior

(x−2)2 + y2 = 1 y el eje OX .

l) f (x,y) = 4− y2, siendo A la región limitada por y2 = 2x, y2 = 8−2x

m) f (x,y) = ex2, siendo el conjunto A el triángulo formado por las rectas

2y = x, x = 2 y el eje OX .

3. Calcúlese∫

Af en cada uno de los casos siguientes:

a) f (x,y) = x2 + y2, A = (x,y) ∈ [0,1]× [0,1] : x2 + y2 ≤ 1b) f (x,y) = y2, A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ r2c) f (x,y) = 1, A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1,x2 + y2 ≤ 2xd) f (x,y) = cos(x2 + y2), A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ π/2e) f (x,y) =

1(1+ x2 + y2)2 , A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, x≥ 0

f ) f (x,y) =1√

4− x2− y2, A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1

g) f (x,y) = x y, A = (x,y) ∈ R2 : x≥ 0, y≥ 0, 1≤ x2 + y2 ≤ 2h) f (x,y) = x2 y, A = (x,y) ∈ R2 : 1≤ x2 + y2 ≤ 4, x≥ 0i) f (x,y) = x, A = (x,y) ∈ R2 : x≥ 0, y≥ 0, x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2−2x≥ 0j) f (x,y) =

√1− x2− y2, A = B((0,0),1)

k) f (x,y) = y, A = (x,y) ∈ B((12 ,0), 1

2) : y≥ 0l) f (x,y) = x2 + y2, A = B((1,0),1)

m) f (x,y) = x2 + y2, A = (x,y) ∈ R2 : 4≤ x2 + y2 ≤ 9n) f (x,y) = x, A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2xñ) f (x,y) = x

√1− x2− y2, A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, x,y≥ 0

o) f (x,y) = exy , A = (x,y) ∈ R2 : y3 ≤ x≤ y2, x≥ 0,y≥ 0

p) f (x,y) = (x2 + y2)−32 , A = (x,y) ∈ R2 : x≤ y, x+ y≥ 1, x2 + y2 ≤ 1

q) f (x,y) = x2 + y2, A = (x,y) ∈ R2 : (x2 + y2)2 ≤ 4(x2− y2), x≥ 0r) f (x,y) = x2 + y2, A = (x,y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2y, x2 + y2 ≤ 1, x≥ 0

4. Calcúlese el volumen de la región A definida por:

a) A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ r2, x2 + y2− ry≤ 0, r > 0.




b) A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 2, z(x2 + y2)≤ 1, z≥ 0.

c) A = (x,y,z) ∈ R3 : z2 ≤ x2 + y2 ≤ z.

d) A = (x,y,z) ∈ R3 : 0≤ z≤ 1− (x2 + y2).

e) A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ r2, x2 + y2 + z2 ≤ 2rz, r > 0.

f ) A = (x,y,z) ∈ R3 : 0≤ z≤ x2 + y2, x+ y≤ 1,x≥ 0, y≥ 0.

5. Calcúlense las siguientes integrales triples:

a) f (x,y,z) = z e−(x2+y2), A = (x,y,z) ∈ R3 : 2(x2 + y2)≤ z2, 0≤ z≤ 1.

b)∫

A

√x2 + y2 + z2 d(x,y,z), A = (x,y,z) ∈ R3 :

√x2 + y2 ≤ z≤ 4

c) f (x,y,z) = x+ y−2z, A = (x,y,z) ∈ R3 : z2 ≥ x2 + y2, 0≤ z≤ 3.

d)∫

A

(√x2 + y2 + z2

)nd(x,y,z), A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ a2

(n ∈ N, a ∈ R+)

e)∫

A(x+ y+ z)2 d(x,y,z), A = (x,y,z)∈R3 : x2 +y2 +z2≤ 1,x2 +y2 +z2≤ 2z

f )∫

Az d(x,y,z), A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z2,0≤ z≤ 1

g)∫

Ax2 d(x,y,z), A = (x,y,z)∈R3 : x≥ 0, x2 +y2 +(z−1)2 ≤ 1, 4z2 ≥ 3(x2 +

y2)h)

∫

Azy

√x2 + y2 d(x,y,z), A = (x,y,z)∈R3 : 0≤ z≤ x2+y2, 0≤ y≤

√2x− x2

i)∫

Az d(x,y,z), A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2, x2 + y2 ≤ z

j)∫

Az2 d(x,y,z), A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ R2, x2 + y2 + z2 ≤ 2Rz

(R > 0)

k)∫

A

√x2 + y2 + z2 d(x,y,z), A = (x,y,z) ∈ R3 :

√x2 + y2 ≤ z≤ 3

6. Demuéstrese que∫ +∞

−∞e−ax2

2 dx =

√2πa

, donde a > 0.

7. Calcúlese∫

Af en cada uno de los casos siguientes:

a) f (x,y) = 1, A = (x,y) ∈ R2 :x2

a2 +y2

b2 ≤ 1

b) f (x,y) = 1, A = (x,y) ∈ R2 :x2

4+ y2 ≤ 1, x2 ≤ y

c) f (x,y,z) = z, A = (x,y,z) ∈ R3 : x2 +y2

4+

z2

9≤ 1, z≥ 0

d) f (x,y) = ey−xy+x , A = (x,y) ∈ R2 : x,y≥ 0, x+ y≤ 2



ejercicios de matemáticas i relación 1: funciones reales...

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