Instituto Tecnologico de Costa Rica Calculo Diferencial e IntegralEscuela de Matematica II Semestre de 2004

Ejercicios sobre lımites

Determinacion de lımites de una funcion dada su grafica

Considere las funciones siguientes y sus representaciones graficas. En cada caso, y si existen, determine apartir de la grafica los lımites que se indican.

1.

5-3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

2

1

3

(a) limx→−3+

f(x)

(b) limx→−1

f(x)

(c) limx→2

f(x)

(d) f(−1); f(2)

(e) limx→+∞ f(x)

2. 1

1,5

-1,5

3

1

-1

2

(a) limx→−∞ f(x)

(b) limx→−3/2

f(x)

(c) limx→3/2

f(x)

(d) f(3/2)

(e) limx→+∞ f(x)

3.3

-1

-1-2 1 2

1

2(a) lim

x→−∞ f(x)

(b) limx→−2

f(x)

(c) limx→−1

f(x)

(d) limx→0

f(x)

(e) limx→2

f(x)

(f) limx→3

f(x)

(g) limx→+∞ f(x)

1

4.

2

-1-2 1

-2

2,5

(a) limx→−∞ f(x)

(b) limx→−2

f(x)

(c) limx→−1

f(x)

(d) limx→0

f(x)

(e) limx→1

f(x)

(f) limx→+∞ f(x)

5.1-1-2

-3 4

-2

3

2

1

(a) limx→−∞ g(x)

(b) limx→−3

g(x)

(c) limx→−1

g(x)

(d) limx→0

g(x)

(e) limx→1

g(x)

(f) limx→2

g(x)

(g) limx→+∞ g(x)

6.

-2

2

-3 -2

(a) limx→−∞h(x)

(b) limx→−3

h(x)

(c) limx→−2

h(x)

(d) limx→0

h(x)

(e) limx→+∞h(x)

2

7.2

-2 2

1

(a) limx→−∞ f(x)

(b) limx→−2

f(x)

(c) limx→0

f(x)

(d) limx→2

f(x)

(e) limx→+∞ f(x)

Construccion de la grafica de una funcion conociendo sus lımites

En cada caso siguiente considere los datos indicados sobre la funcion f y dibuje una grafica que la represente.

1. • Dh = IR− {−2, 2}• lim

x→−∞h(x) = −∞• lim

x→−3h(x) = −2

• f(−3) = 1• lim

x→−2−h(x) = −∞

• limx→−2+

h(x) = +∞

• limx→2−

h(x) = −∞• lim

x→2+h(x) = +∞

• limx→+∞h(x) = +∞

2. • Df = IR− 0• lim

x→−∞ f(x) = +∞• lim

x→0−f(x) = 0

• f(x) = 1, ∀x ∈]0, 1[

• f(2) = 2; f(3) = 1• lim

x→+∞ f(x) = +∞

3. • Dg =]−∞, 1[∪]2, +∞[• lim

x→−∞ g(x) = 4

• limx→−2−

g(x) = −∞

• limx→−1+

g(x) = +∞• lim

x→1−g(x) = +∞

• limx→2+

g(x) = +∞• lim

x→+∞ g(x) = 5

4. • Df = IR−]− 2, 2[• lim

x→−∞ f(x) = +∞• lim

x→−4f(x) = −3

• f(−4) = −2

• f(−2) = f(2) = 0• lim

x→+∞ f(x) = −2

5. • Dg = IR− [0, 1]

• limx→+∞ g(x) = 3

• limx→1+

g(x) = −∞• lim

x→0−g(x) = −∞

• f(−3) = f(2) = 0

• f(3) = 3; f(4) = 5; f(5) =4

6. • Dh =]− 3, +∞[−{−2, 3}• lim

x→3h(x) = 0

• limx→−2−

h(x) = 4

• limx→−2+

h(x) = 5

• limx→2−

h(x) = −∞• lim

x→2+h(x) = +∞

• limx→+∞h(x) = 2

7. • Df = IR

• limx→−∞ f(x) = −2

• limx→−2

f(x) = 2

• limx→0

f(x) = −∞• lim

x→3+f(x) = 4

• limx→3−

f(x) = 2

• f(3) = 3 y f(−2) = 1.

• limitex+∞f(x) = −2

8. • Df = IR− {0}• lim

x→−∞ f(x) = +∞• lim

x→−2−f(x) = +∞

• limx→−2+

f(x) = −∞

• limx→0−

f(x) = 1

• limx→0+

f(x) = −1

• limx→2−

f(x) = 0

• limx→2+

f(x) = 1

• f(2) = 1• lim

x→+∞ f(x) = 3

3

Calcule los siguientes lımites (si existen). En caso de que no existan, justifique su respuesta.

1. limx→2

x3 + 2x2 − 5x− 6x3 + x2 − 4x− 4

2. limx→−3

x2 + x− 6x3 + 2x2 − 3x

3. limb→a2

a3 − b− ab + a2

2a3 − 2ab + b− a2

4. limw→a

2w3 − 4aw2 + 2a2w

w4 + aw3 − 2a2w2

5. limz→−3

2z3 − 3z2 + z4

z − 6 + z2

6. lima→3

a3 − 3a2 − a + 3a2 − 2a− 3

7. lima→5

a2 − 252−√a− 1

8. limx→a

√x−√a

x− a

9. limy→7

2−√y − 3y2 − 49

10. limt→4

3−√5 + t

1−√5− t

11. limx→a

√3x− a−√x + a

x− a

12. limw→−1

x + 13w +

√6w2 + 3

13. limr→3

r − 3√2r + 3− 3

14. lima→1

√1 + 8a− 3√

4a− 2

15. limx→3

9− 6x + x2

√18− 3x− 3

16. limx→2

3√

10− x− 2x2 − 2x

17. limt→0

3√

1 + ct− 1t

18. limd→−1

√3d2 − 5d− 2−√1− 5d√

d2 − d−√3− d2

19. limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1

20. limy→3

5y − 151− 9

√2y − 5

21. lima→0

2− 6√

3a + 645a

22. limk→−1

3− 4√

k + 823√

k + 28− 3

23. limh→0

4h5√

3h− 1 + 1

24. limt→−2

√1− 4t− 3

1 + 3√

2t + 3

25. limy→4

√y − |y − 2|

y − 4

26. lima→3

2a− 64|a− 3|

27. limt→−1

|t| − 1t + 1

28. limx→−3

|x− 2| − 56− 2|x|

29. limy→2

|y + 3| − |2y + 1|y2 − 4

30. limz→2/3

|3z − 2||6z − 2| − 2

31. limx→−5/4

5|6x + 15/2|

32. limx→4/3

|2− 5x|+ 14/3|4− 3x|

33. limz→−4

|3z + 1| − z2 + 52z − 1 + |5− z|

34. limx→1

sen (1− x)x− 1

35. limx→1

sen (x− 1)√x− 1

36. limx→π/4

sen x− cosx

1− tanx

37. limx→0

tanx− senx

x3

38. limx→0

x2 + x sen x

cosx− 1

39. limr→0

3√

1− sen r − 1r

40. limz→0

sen z

z + sen z

41. limt→0

t− sen (2t)t + sen (3t)

42. limn→0

1− cos3 n

sen 2n

43. limy→0

tan y − sen y

sen 3y

44. lima→0

√2−√1 + cos a

sen 2a

45. limt→0

1− cos t

t2

46. limr→0

1−√cos r

r2

47. limx→0

(cotx− 1

sen x

)

48. limz→0

sec(2z) · tan(3z)4z

49. limx→3

x

3− x

50. limx→−∞

2x5 + 3x7

2x8

51. limx→2

x3 + x2 − 6x

x3 − 3x2 + 4

52. limx→+∞(4x3 + 5x2 − x− 2)

53. limx→1

1x2− 3

1− x3

54. limx→+∞

x2 + x + 3−x3 + 1

55. limx→0−

x

1− cosx

56. limx→+∞

2x2 − 3x− 4√x4 + 1

57. limx→−∞

x2 + 1x

58. limx→−∞

2x5 − x3 + 4x

5x5 + 3x2

59. limx→−∞

(√x2 − 2x− 1 + x

)

4

60. limx→+∞

sen (1/x)1/x

61. limx→+∞

x4 − 32x3 + x

62. limx→−∞

x2 − 33 3√x3 + 1

63. limx→0+

x

1− cosx

64. limt→+∞

3√2t2 + 3− t√4t + 5− 1

65. limh→0−

sen (2t)2 cos(2t)− 2

66. limw→1/2

2w2 − 4 + 2w

3w − 1− 2w2

67. limz→−∞

√1 + z2 −√5− 2z + 16z2

2z + 3

68. limr→−∞

4√r4 − r + r2

r3 − r

69. limz→+∞

3z2 − 5z + 13√z6 + 1− z

70. limk→−∞

√k2 − k −√−k

2k + 1

71. limx→−∞

(√1 + x + x2

−√1− x + x2)

72. limb→+∞

(b2

3b + x− b3

3b2 − 4

)

73. limt→+∞

t5 + t2 − 13t5 − t

74. limx→−∞x(

√1 + x2 − x)

75. limw→−∞

w6 + w2 − 2w5 + w3 − w

76. limx→3

(5) 1

x− 3

77. limx→−4−

(17

) 5

4 + x

78. limx→0

(27

)cot |x|

79. limx→+∞

1log3 2x

80. limx→2+

ln(

x

−2 + x

)

81. limx→1+

ln(

4sen (3x− 3)

)

82. limx→1

ex

lnx

83. lima→9

(e) a− 9√

a− 3

84. limt→3

ln

(t3 + 1t + 1

)

85. limy→+∞

(8)4− 2y + y2

y − 1 + 3y2

86. limw→2

ln

(w4 +

8− w3

w2 − 2w

)

87. limb→−1

(54

) |b| − 1

b + 1

88. limk→+∞

(e)x2 + x− 2

4x3 − 1

89. limx→+∞

(13

)x2 + 5x + 6

x + 1

90. limx→2+

3x

ln(x− 2)

91. limx→0

(e2x + 1)

92. limx→−3

(12

) −1

x2 − 9

93. limx→2+

ln2(x− 2)

94. limx→0+

ln3 x

x2

95. limx→1

x + 1ln2 x

96. limx→−∞

3x53 − 2x

13 + 1

2x43 + 2x− 2

33√

x5

97. limx→+∞

x2 − 1√3x + 5x4

98. limx→−∞

x2 − 1√3x + 5x4

99. limx→+∞

3− x√2x2 − 1

100. limx→−∞

3− x√2x2 − 1

101. limx→+∞

(√4x2 − 6−

√4x2 + x

)

102. limx→−∞

(√4x2 − 6−

√4x2 − x

)

103. limx→+∞

e3x + 2x

31x

104. limx→+∞ 2

35

ln(x− 6)

5

Continuidad de funciones

Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.

1. f(x) =

ex si x < 14 si x = 1

−x + e + 1 si x > 1

2. f(x) =

{x2 si x ≤ 0

x3 − 2 si x > 0

3. f(x) =

−x si x < −12 si x = −1

−x2 + 2 si −1 < x < 12 si x > 2

4. f(x) =

−x si x ≤ −1−x2 + 2 si −1 < x < 1

2 si x ≥ 1

5. g(x) =

2x3 si x < −10 si x = −1x si x > −1

6. f(x) =

−x si x ≤ 0x2 si 0 < x < 1√x si x > 1

7. h(x) =

1x

si x < 0

0 si x = 0ln x si x > 0

8. f(x) =

2 si x < 01 si x = 0

−x + 2 si 0 < x < 2x− 2 si x ≥ 2

9. f(x) =

{ex si x < 0√x si x ≥ 0

Determine los valores de a y c (si es posible) de modo que f sea continua:

1. f(x) =

{3x + 7 si x ≤ 4ax− 1 si 4 < x

2. f(x) =

{ax− 1 si x < 2ax2 si 2 ≤ x

3. f(x) =

x si x ≤ 1cx + a si 1 < x < 4−2x si 4 ≤ x

4. f(x) =

x + 2c si x < −23ax + a si −2 ≤ x ≤ 13x− 2a si 1 < x

5. f(x) =

{2x + a si x < 1

5 si x ≥ 1

6. f(x) =

x− 1 si x < 1a si x = 1

x2 + a si x > 1

7. f(x) =

−3 senx si x ≤ −π2

a senx + c si −π2 < x < π

2cosx si x ≥ π

2

8. f(x) =

sen 2(4x)x2

si x 6= 0

a si x = 0

6