UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESTADISTICA PROBABILISTICA 2 NOMBRE: ALEXANDER FLORES VALENCIA AULA: 13

DISTRIBUCION BINOMIAL

La probabilidad de obtener x aciertos en N ensayos independientes es:

𝑓(𝑥) = (𝑛𝑥

) 𝑝𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥

Para x= x1, x2, x3… donde Pes la probabilidad constante de obtener un acierto en cada ensayo.

n= numero de intentos

x= resultado

p= probabilidad constante

Ejercicio: 1 Encontrar la probabilidad de obtener 2 caras en 4 lanzamientos al aire de una moneda equilibrada.

n=4

x=2

p=1/2 𝑓(2) = (42

) ∗1

2

2(1 −

1

2)4−2 = 0.375

La probabilidad de que me salga 2 caras en 4 lanzamientos de una moneda es de 0.375

Ejercicio: 2 En un tribunal municipal, se ha determinado que el estacionamiento de vehículos fuera de tiempo es

la razón del 80% de todas las infracciones levantadas a vehículos estacionados. Determine la

probabilidad de que 2 de 3 infracciones de estacionamiento demandados a la zar se hayan tomado

de vehículos estacionados fuera de tiempo.

n= 3

x= 2

p= 0.80 𝑓(𝑥) = (32

)(0.80)2(1 − 0.80)3−2 = 0.384

La probabilidad de infracciones de estacionamiento demandados al azar por vehículos estacionados

fuera de tiempo es de 0.384

Ejercicio: 3

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya

la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura ¿Cuál es la probabilidad de que el

grupo hayan leído la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

x=2 𝑓(𝑥) = (42

) (0.8)2(1 − 0.8)4−2 = 0.1536

La probabilidad de que hayan leído la novela 2 personas es de 0.1536

Ejercicio: 4 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando,

¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo

comuniquen dos?

x=2

n=10

P=1/5 𝑓(𝑥) = (102

) (1

5)2(1 −

1

5)10−2 = 0.302

La probabilidad de que comuniquen 2 números de teléfono entre 10 es de 0.302

Ejercicio: 5 La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la

probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

n=10

x=3

p=1/4 𝑓(𝑥) = (103

) (1

4)3(1 −

1

4)10−3 = 0.250

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco tres veces en 10 lanzamientos es de 0.250

LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento

aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse

a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso

DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES

Si tenemos una muestra aleatoria de una población N(m,s ), se sabe (Teorema del límite central) que

la fdp de la media muestral es también normal con media m y varianza s2/n. Esto es exacto para

poblaciones normales y aproximado (buena aproximación con n>30) para poblaciones cualesquiera.

Es decir es el error típico, o error estándar de la media.

¿Cómo usamos esto en nuestro problema de estimación?

1º problema: No hay tablas para cualquier normal, sólo para la normal m=0 y s=1 (la llamada z);

pero haciendo la transformación (llamada tipificación)

Ejercicio: 1

Una empresa eléctrica fabrica lámparas que tienen una duración que se distribuye

aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40

horas. Calcular la probabilidad de que una m.a. de 16 lámparas tenga una vida media de

menos de 775 horas.

La distribución muestral de será aproximadamente normal con media 800 y desviación estándar

. La probabilidad que se desea está dada por

DISTRIBUCION DE PROPORCIONES

En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable

aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución

binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se

aproxima a la normal

𝑁 (𝑝, √𝑝𝑞

𝑛)

Donde p es la proporción de uno de los valores que presenta la variable estadística en la población y

q=1-p.

Ejercicio: 1 Si tiramos una moneda no trucada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55

caras?

En una moneda no trucada la proporción de caras es 0,5, con lo que p=0,5 q=0,5 n=100

La distribución muestral de proporciones se distribuye

N (0,5;0,05)

Si llamamos p' a la proporción en la muestra hemos de calcular la probabilidad

P (p'>0,55) = P (z>1) =

=1-P(z≤1) = 1-0,8413 = 0,1587

DISTRIBUCION MUESTRAL DE DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos proporciones

muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es aproximadamente normal para

tamaños de muestra grande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2 5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienen

distribuciones muestrales aproximadamente normales, así que su diferencia p1-p2 también tiene una

distribución muestral aproximadamente normal.

Ejercicio: 1 Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones

sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12%

de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres

adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión

sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de

hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.

Solución:

Datos:

PH = 0.12

PM = 0.10

nH = 100

nM = 100

p (pH-pM 0.03) =?

Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por ser una distribución binomial y

se está utilizando la distribución normal.

Se concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor de la pena de muerte, al

menos 3% mayor que el de mujeres es de 0.4562.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación estándar

1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra

aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2

de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas

medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias

entre medias o la distribución muestral del estadístico

La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:

Ejercicio: 1 En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una

escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de

los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto

grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si

representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20

niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Solución: Datos:

1 = 100 libras

2 = 85 libras

1 = 14.142 libras

2 = 12.247 libras

n1 = 20 niños

n2 = 25 niñas

= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20

libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es

grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de

distribución de Poisson.

Se tiene que cumplir que:

p < 0.10

p * n < 10

Si n es grande y p pequeña las probabilidades binomiales a menudo se determina en forma muy

aproximada. Por medio de:

Donde:

P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k .

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por

el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828

K es el número de éxitos por unidad

Ejercicio: 1 Algunos registros muestran que la probabilidad de que a un automóvil se le desinfle un neumático

al atravesar es 0,0005 utilice la función de Poisson para determinar la probabilidad de que entre

10.000 vehículos que pasan por el túnel, cuando por lo menos a 1 se le desinfle un neumático.

Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (10.000* 0,0005 =

5), entonces, aplicamos la fórmula de la distribución de Poisson:

Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 1) = 0.0337

Por lo tanto, la probabilidad de tener 1 neumático desinflado de 10.000 vehículos es de 3.37%.

Ejercicio: 2 La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que

entre 900 productos ya fabricados haya 5 defectuosos?

900*0.012= 10.8

𝑃(𝑥 = 5) = 𝑒−10.8 ∗10.85

5!

La probabilidad de tener 5 productos defectuosos de 900 productos ya fabricados es de 2.5%.

Ejercicio: 3 Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas.

Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan

encuadernaciones defectuosas, usando la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.

n = 100 encuadernaciones

p = 0.05

l = np = (100) (0.05)= 5

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2,

3,....,100 encuadernaciones defectuosas

La probabilidad de tener 2 de 100 libros encuadernados defectuosos es de 8.43%

Ejercicio: 4 Si ya se conoce que el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿Calcular la

probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

n=100

P=0.03

λ =100*0.03= 3

x=5

𝑝(𝑥 = 5, 𝜆 = 3) = e−3 ∗ 35

5!= 0.101

La probabilidad de 5 alumnos tomados al azar de 100 sean muy inteligentes es de 10.1%

Ejercicio: 5 Si un banco recibe un promedio de 6 cheques sin fondos por día, ¿Cuál es la probabilidad de que

reciba 4 cheques sin fondos en un día dado?

x=4

λ= 6

𝑝(𝑥 = 4, λ = 6) = e−6 ∗64

4!= 0.1339

La probabilidad de que un banco reciba 4 cheques en un día dado es de 13.39%

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

En estadística, la distribución HIPERGEOMÉTRICA es una de las distribuciones de probabilidad

discreta. Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad de una selección aleatoria de un

objeto sin repetición. Aquí, el tamaño de la población es el número total de objetos en el

experimento.

FORMULA GENERAL:

𝑃(𝑥) =(

𝐶𝑋

) (𝑁 − 𝐶𝑛 − 𝑋

)

(𝑁𝑛

)

N = Tamaño de población.

n = Tamaño de muestra.

C = Todos o cantidad de elementos que cumple característica deseada.

X = Cantidad de éxitos.

RECOMENDACIÓN:

La distribución HIPERGEOMÉTRICA es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se

extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin

retornar a la situación experimental inicial.

CONCLUSIÓN:

El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Ejercicio: 1 En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos si extraemos 10 pericos al azar calcular

posibilidad de que 3 de ellos hablen chino (característica deseada).

N = 50

n = 10

C = 20

X = 3

La probabilidad de que 3 de 10 pericos tomados al azar sean chinos es de 0.23%

Ejercicio: 2 Si en una urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si se seleccionan 4

objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

N = 10 objetos en total

a = 3 objetos defectuosos

n = 4 objetos seleccionados en muestra

x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

𝑃(𝑥 = 3) =(

32

) (10 − 34 − 2

)

(104

)= 0.30

La probabilidad de que obtenga 2 objetos defectuosos de 4 objetos seleccionados es de 30%

Ejercicio: 3 De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles

defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que los 4 exploten?

N = 10 proyectiles en total

a = 7 proyectiles que explotan

n = 4 proyectiles seleccionados

x = 4

𝑃(𝑥 = 4) =(

74

) (10 − 74 − 4

)

(104

)= 0.167

La probabilidad de que tenga 4 proyectiles que exploten de cuatro tomados al azar es de 16.7%

Ejercicio: 4 ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos

menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los

cuales 4 no tienen la edad suficiente?

N = 9 total de estudiantes

a = 4 estudiantes menores de edad

n = 5 identificaciones seleccionadas

x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de

edad

x = 2 identificaciones de personas menores de edad

𝑃(𝑥 = 2) =(

42

) (9 − 45 − 2

)

(95

)= 0.476

La probabilidad de de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas a dos menores de edad

es del 47.6%

Ejercicio: 5 De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles

defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que 2 no exploten?

N = 10 proyectiles en total

a = 3 proyectiles que no explotan

n = 4 proyectiles seleccionados

x = 2 proyectiles que no explotan

𝑃(𝑥 = 2) =(

32

) (10 − 34 − 3

)

(104

)= 0.10

La probabilidad de que 2 proyectiles no exploten es del 10%