Serie de problemas de esfuerzo

4

6

2

P E

FG

A

BC

Figura 1:

1. En P el tensor de esfuerzos es

ij =

0@ 14 7 77 21 07 0 35

1A (1)Determine la traccion (vector) en P asociada al plano ...

(a) BGE

(b) BGFC

(c) cuya normal es n=1,3,3 (ojo no es unitaria)

(d) Determine el esfuerzo normal y tangente en el plano BGFC

(e) Determine los esfuerzos principales y sus direcciones

(f) Determine el esfuerzo cortante maximo y la direccion de la normalal plano donde se presenta

2. Las tracciones que actuan en los planos de un sistema de referencia sont1, t2 y t3. Demuestre que

jt1j2 + jt2j2 + jt3j2 (2)es independiente del sistema de referencia

3. Sea

ij =

0@ 7 0 20 5 02 0 4

1A (3)1

(a) Determine la traccion asociada al plano cuya normal es

n = (2=3) e1 (2=3) e2 + (1=3)e3 (4)

(b) de la traccion anterior calcule la componente normal y su magnitud

(c) el angulo entre n y t

4. El tensor de esfuerzos en el punto X1, X2, X3 es

ij =

0@ 3X1X2 5X22 05X22 0 2X30 2X3 0

1A (5)(a) Determine la traccion en el punto P (2; 1;

p3), en el plano que es

tangente a la supercie cilndrica X22 + X23 = 4 en P (la norma a

la supercie es el gradiente de X22 +X23 4)

5. Con el estado de esfuerzos del problema 4

(a) >Cual debe ser la fuerza de cuerpo para que se cumpla el equilibrio?

6. Una viga en voladizo ocupa la region a X1 a, h X2 h,0 X3 `. El extremo X3 = ` esta empotrado y la viga se exionadebido a una fuerza P aplicada en el extremo libre X3 = 0, actuandoen la direccion X2. Las componentes del tensor de esfuerzos son

ij =

0@ 0 0 00 0 A+BX220 A+BX22 CX2X3

1A (6)donde A, B y C son constantes.

(a) Muestre que los esfuerzos satisfacen las ecuaciones de equilibrio sinfuerzas de cuerpo si 2B + C = 0

(b) Determine la relacion entre A y B si la traccion en X2 = h escero

(c) Exprese la resultante de la fuerza en el extremo libre X3 = 0 enterminos de A, B y C y dados los resultados de los incisos a) y b),muestre que C = 3P=4ah3.

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7. El tensor de esfuerzos de la viga del problema anterior es ahora dadopor

ij =

0@ 0 0 00 C(13X32 h2X2 23h3) CX3(h2 X22 )

0 CX3(h2 X22 ) C(X2X23 23X32 ) +DX2

1A (7)(a) Muestre que los esfuerzos satisfacen las ecuaciones de equilibrio sin

fuerzas de cuerpo

(b) Muestre que la traccion en la supercie X2 = h es cero.(c) Encuentre la magnitud y direccion de la traccion en la supercie

X2 = h, y la fuerza total en dicha supercie

(d) Encuentre la fuerza resultante en la supercie X3 = `.

(e) Pruebe que la traccion en esta supercie (X3 = `) genera un parque es cero siempre que C(5`2 2h2) + 5D = 0.

8. Sea

ij =

0@ 2 2 02 p2 00 0 p2

1A (8)(a) Calcule el tensor de esfuerzos en el nuevo sistema de referencia dado

por

e1 =1p2e2 +

1p2e3

e2 =1p2e1 +

1

2e2 1

2e3

e3 = 1p2e1 +

1

2e2 1

2e3

(b) Calcule con el tensor de esfuerzos antes de transformar al nuevosistema de referencia la traccion en el plano asociada a la normaldada por n = e1

(c) Determine ahora la magnitud de la traccion normal en dicho plano

(d) Determine las tracciones tangentes en dicho plano, paralelas a e2y e3.

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(e) Asocie los resultados de los incisos b), c) y d) con las componentesdel tensor transformado al nuevo sistema de referencia.

9. Los invariantes de esfuerzo son

I1 = ii (9)

I2 =1

2(iijj ijij) (10)

I3 = det(ij) (11)

(a) calcule los invariantes en el sistema principal

10. Los esfuerzo en un punto, en el plano, no son

Figura 2:

(a) Dibuje el circulo de Mohr e indique los puntos en el circulo quecorresponde a los distintos esfuerzos normales y de corte si 11 = 5,22 = 1 y = 3

(b) Calculo los esfuerzos principales usando el crculo de Mohr.

(c) Determine las normales de los planos principales

(d) Determine el esfuerzo cortante maximo

11. Haga lo mismo que en el problema anterior con 11 = 3, 22 = 5 y = 3

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12. Sea

ij =

0@ a a aa a aa a a

1A (12)(a) Calcule los esfuerzos principales

(b) Calcule las direcciones principales, explique el resultado.

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