Solución de problemas del tema 6 “ la función productiva”

2- Eficiencia técnica y eficiencia económica.

Técnica Unidad de trabajo (L) Unidad de capital (K)

A 5 5

B 3 2

C 4 1

D 1 3

a) Di cuales de estas técnicas son eficientes desde el punto de vista técnico.

b) Cuales son eficientes desde el punto de vista económico si el precio de la unidad de trabajo es

3 y la de capital es 8.

c)Y si el precio de L es 6 y de K es 5

Sí en todas las tecnologías se produce la misma cantidad de producto , buscaremos aquellas que

utilizan más factores productivos , estas serán INEFICIENTES .

La tecnología A usa más trabajo y más capital las demás → INEFICIENTE

Las demás tienen combinaciones no comparables unas con las otras

B) coste de la producción con la tecnología B >> 3 x 3 + 2 x 8 = 25

“ “ “ C >> 4 x 3 + 1 x 8 = 20

“ “ “ D >> 1 x 3 + 3 x 8 = 27

La más eficiente económicamente es la C , ya que resulta más barato producir la misma

cantidad de producto.

C) coste de la producción con la tecnología B >> 3 x 6 + 2 x 5 = 28

“ “ “ C >> 4 x 6 + 1 x 5 = 29

“ “ “ D >> 1 x 6 + 3 x 5 = 21

La más eficiente económicamente es la D , ya que resulta más barato producir la misma

cantidad de producto

7. Una empresa ha pasado de producir 2.000 u. de producto por trabajador a producir en los

siguientes años 2.330 u., 2.250 u., 2.300 u., 2.310 u. Estudiar la evolución de la productividad

calculando la tasa de variación anual de productividad

Tasa de variación anual de la productividad = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜2 − 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜1

𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜1 × 100

año productividad tasa de crecimiento anual

0 2000

1 2330 2330−2000

2000 x 100 = 16,5%

2 2250 2250−2330

2330x 100 = - 3,4 %

3 2300 2300−2250

2250 x 100 = 2,22 %

4 2310 2310−2300

2300 X 100 = 0,43%

8. Una empresa se dedica a la fabricación de vídeos y de televisores. El pasado año produjo

50.000 y 35.000 unidades respectivamente, con una plantilla de 25 y de 15 operarios. Tras una

reorganización productiva se pasa a producir 40.000 y 51.000 unidades con una plantilla de 19

y 21 operarios.

a) Calcular la productividad en cada uno de los años de la fabricación de vídeos y de

televisores.

b) Calcular el incremento o disminución de la productividad para cada producto.

c) Suponiendo que el valor de los televisores es un 20% mayor que el de los vídeos, calcular la

variación de la productividad global.

Año 0

Productividad videos = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑛º 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 =

50.000

25= 2000 videos/trabajador año

Productividad televisores = 35.000

15 = 2.333 televisores / trabajador año

año1

productividad videos = 40.000

19 = 2015 videos /trabajador año

productividad televisores = 51.000

21 = 2.428 televisores / trabjador año

Tasa de variación de la productividad de videos = 2015−2000

2000 X 100 = 0,75%

Tasa de variacion de la productividad de televisores = 2428−2.333

2.333 x 100 = 4%

Variación de la productividad global

La productividad global es = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠

la productividad global no la podemos conocer si no sabemos el valor de la producción en € u

otra moneda , y los costes de los factores también en € u otra moneda. Pero sí podemos

calcular la variación de la producctividad global, para ello calcularemos la producción de

televisores valorada en videos , así :

50.000 televisores valdrán = 50.000 X 1,20 = 60.000 videos

40.000 televisores valdrán = 40.000 X 1,20 = 48.000 videos

valor de la producción año 0 en videos = 60.000 + 35.000 = 95.000

total operarios año 0 = 25 +15 = 40

productividad año 0 = 95.000

40 = 2.375 videos /operario año

valor de la producción año 1 en videos = 48.000 + 51.000 = 99.000

total operarios año 1 = 19 +21 = 40

productividad año 1 = 99.000

40 = 2.475 videos /operario año

Variación productividad = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜1 − 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜 0

𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜0 X 100 =

= 2.475 − 2.375

2.375 X 100 = 4,21 %

13-Una empresa obtuvo en el año 2010 unos beneficios de 50.000 € al vender 20.000 unidades

de producto. Si los costes fijos son de 80.000 € , y el coste variable unitario es un 40% del

precio de venta.

● Calcula el punto o umbral de rentabilidad.

● Calcula la unidades que deberá vender el proximo año si se quiere obtener un un

beneficio u 5% superior.

Para calcula el punto muerto , debemos calcular el precio de venta y los costes variables

unitarios.

calculamos el precio.

precio de venta = p

coste variable unitario = 40 % de p = 0,4 p

Beneficio = ingresos totales - costes totales >> B = IT - CT

ingresos totales = precio de venta X cantidad vendida >>> IT = p x q

Costes totales = costes fijos + costes variables unitarios X cantidad vendida>>

CT = CF + cvu X q = 80.000 + 0,4p X q

B = p x q - (80.000 + 0,4p x q) >> 50.00 = p X 20.000 - (80.000 + 0,4 p x 20.000)

50.000 = 20.000p - 80.000 - 8.000p >>>>>>> 130.000 = 12.000 p

p = 130.000

12.000 = 10,83 € ><precio de venta

coste variable unitario = 0,4 x 10,83 = 4,32 € unidad

Umbral de rentabilidad es el punto donde se cubren los costes fijos, es decir, apartir del

momento en que empezamos a tener beneficios . ( beneficio = 0 )

B = p x q - CF - cvu x q >>>>> 0 = 10,83 x q - 80.000 - 4,32 x q >>>> 0 = 6,51 q - 80.000

80.000 = 6,51 q >>> q = 80.000

6,51 = 12.289 unidades

Calculamos el beneficio para el año siguiente , que es un 5 % más.

Beneficio año 2011 = beneficio 2010 + 5% de beneficio 2010 = 50.000 + 5

100 x 50.000 =

= 1,05 x 50.000 = 52.500 beneficio año 2011

Calculamos la cantidad que tendremos que vender para obtener un beneficio de 52.500

Beneficio = ingresos totales - costes totales >> B = IT - C

52.500 = precio venta x cantidad vendidad - costes fijos - coste variable unitario x cantidad

vendida

52.500 = 10,83 x q - 80.000 - 4,32 x q >>> 52.500 + 80.000 = 10,83 q - 4,32 q

132.500 = 6,51 q >>>>>> q = 132.500

6,51 = 20.385 unidades que hemos de vender para obtener

unos beneficios de 52.500 €

14- Una empresa debe decidir entre comprar o fabricar ella misma un componente para su

producto. El precio de compra del componente es de 25 € , y la estructura de costes para

fabricarlo es el siguiente : 35.000 € de costes fijos y 18 € de coste variable por unidad de

producto. ¿ Apartir de cuantas unidades es más rentable producir el componente que

comprarlo?

Coste de compra = precio compra x cantidad comprada >> CC = 25 € x q

Coste de producción = costes fijos + coste variable unitario x cantidad producida >>

>>> CP = 35.000 € + 18 € x q

igualamos las dos funciones y obtenemos el punto apartir del cual es más rentable producir que

comprar

25 x q = 35.000 + 18 x q >>>>>>>> 25 q - 18 q = 35.000

7 q = 35.000 >>>>>>>>> q = 35.000

7 = 5.000 unidades

15-Una empresa produjo 935.000 unidades de producto con una plantilla de 65 trabajadores

trabajando 1.700 horas anuales cada uno. En 2010 redujo su plantilla en un 20% y produjo

800.000 unidades trabajando 1.750 horas cada trabajador. Calcula la evolución de la

productividad de la mano de obra.

Calculamos las horas trabajadas en 2009 = trabajadores x horas trabajador =

65 x 1.700 = 110.500 horas trabjadas en 2009

productividad del trabajo = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑎𝑠 =

935.000

110.500 = 8,46 unidades de producto

hora

la plantilla de 2010 es un 20% más pequeña

calculamos los trabajadores del año 2010 >>>>>>> 65 - 20% de 65 = 65 - 13 = 52

trabajadores

Calculamos las horas trabajadas en 2010 = trabajadores x horas trabajador =

52 trabajadores x 1.750 = 91.000 horas trabjadas en 2010

productividad del trabajo = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑎𝑠 =

800.000

91.000 = 8,79 unidades de producto

hora

Variación de la productividad = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 2010 −𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 2009

𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 2009 x 100 =

8,79 − 8,46

8,46 x 100 = 3,9 %

9.Una empresa de lejías debe decidir entre comprar o fabricar los envases de plástico. El

precio al que actualmente compra los envases es de 0,18 €. Si decide fabricarlo prevé los

siguientes costes:

- Coste del plástico .......................................... 0,05 € envase

- Electricidad ..............................................2.000,00 € mensuales x 12 meses = 24.000 €

- Mantenimiento .........................................7.000,00 € anuales

- Amortización Máquina ..........................20.000,00 € anuales

- Coste de Personal .................................45.000,00 € anuales

Calcular para qué volumen de producción le interesa fabricar sus propios envases.

Coste de compra = precio compra x cantidad comprada >> CC = 0,18 € x q

Coste de producción = costes fijos + coste variable unitario x cantidad producida >>

Total costes fijos = 24.000 + 7.000 + 20.000 + 45.000 = 96.000

CT = 96.000 + 0,05 q

igualamos las dos funciones y obtenemos el punto a partir del cual es más rentable producir

que comprar

0,18 x q = 96.000 + 0,05 x q >>>>>>>> 0,18 q - 0,05 q = 96.000

0,13 q = 96.000 >>>>>>>>> q = 96.000

0,13 = 738.462 unidades anuales

10. Una empresa presenta sus funciones de ingresos y costes según la siguiente

representación gráfica:

a) En la representación gráfica anterior indica cómo se llama el punto donde se cortan los

ingresos totales y los costes totales. Indica cual es el valor para esta empresa y su significado.

b) Determina el coste variable unitario y el precio de venta unitario para la empresa.

c) ¿Cuál sería el beneficio si se producen y venden 60 unidades?

d) ¿Cuál debería ser el precio si se desea un beneficio de 200 € vendiendo 30 u.f.?

a) Punto muerto o umbral de rentabilidad , este punto se alcanza cuando se producen 40

unidades . Indica el punto donde se cubren todos los costes incluidos los fijos , apartir de esta

cantidad producida la empresa comienza a obtener beneficios.

b) Vamos a calcular el precio de venta pv

IT = pv x q >>>>>> 2.500 = pv x 40 >>>>>>>> pv = 2.500

40 = 62,5 € precio de venta

Vamos a calcula el coste variable unitario cvu

CT = CF + cvu x q sustituimos las cantidades 2.500 = 500 + cvu x 40 >>>>>

CT = CF + cvu x q

IT = pv x q

40

500

2500

2.500 - 500 = 40 x cvu >>>>>>> 2.000

40 = 50 € de costes variables unitarios

c) Beneficio = ingresos totales - costes totales = pv x q - CF - cvu x q sustituimos

Beneficio = 62,5 x 60 unidades - 500 - 50 x 60 = 3.750 - 500 -3.000 = 250 € de beneficio

d) Beneficio = ingresos totales - costes totales = pv x q - CF - cvu x q sustituimos

200 = pv x 30 - 500 - 50 x 30 unidades >>>>>>>>> 200 = 30 x pv - 2.000

200 + 2.000 = 30 x pv >>>>>>>>> pv = 2.200

30 = 73,33 € precio de venta

16- Calcula a que precio he de vender un producto si quiero obtener unos beneficios de

30.000€, si vendo 40.000 unidades , los costes fijos ascienden a 100.000 y los costes variables

unitarios son el 60% del precio de venta.

precio de venta = p

coste variable unitario = 60 % de p = 0,6 p

cantidad = 40.000 unidades

beneficio = 30.000 €

costes fijos = 100.000

Beneficio = ingresos totales - costes totales >> B = IT - CT

ingresos totales = precio de venta X cantidad vendida >>> IT = p x q

Costes totales = costes fijos + costes variables unitarios X cantidad vendida>>

CT = CF + cvu X q = 100.000 + 0,6p X q

B = p x q - (100.000 + 0,6p x q) >> 30.000 = p X 40.000 - (100.000 + 0,6 p x 40.000)

30.000 = 40.000p - 100.000 - 24.000p >>>>>>> 130.000 = 16.000 p

p = 130.000

16.000 = 8,125 € ><precio de venta

coste variable unitario = 0,6 x 8,125 = 4,87 € unidad

17-Calcula el pedido óptimo según el modelo de Wilsón si los costes de pedido ascienden a 80

€ , la demada anual del producto es de 7.000 unidades , y el coste unitario de mantenimiento

anual del producto es de 0,7 € se pide:

1. Calcular el pedido óptimo según el modelo de Wilson.

2. Calcular el número de pedidos al año que debe realizar la empresa teniendo en

cuenta el resultado de la pregunta anterior.

3. Hallar el tiempo que pasa entre dos pedidos.

4. Teniendo en cuenta que el plazo de aprovisionamiento es de 3 días y el stock de seguridad

es de 100 unidades , calcular el punto de pedido.

k = coste de pedido = 80 €

D= consumo anual de producto = 7.000 unidades

g = coste unitario anual de mantenimiento de inventario = 0,7€

Q = pedido óptimo

Q = √2.𝑘.𝐷

𝑔 = √2×80×7.000

0,7 =√

1.120.0000,7

= √1.600.000 =1.265 unidades

Número de pedidos al año =

𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 =

7.000

1.265 = 5,53 pedidos al año

días entre pedidos

365 𝑑𝑖𝑎𝑠

5,53 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 = 66 días

punto de pedido

calaculamos el consumo que tendremos durante los 3 días que tardan en suministrarnos el

producto

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

365 x 3 días =

7.000

365 x 3 = 57 unidades

punto de pedido = stock de seguridad + consumo del plazo de pedido = 100 + 57 = 157

unidades

18- Una empresa produce 100.000 unidades de producto en un año con dos trabajadores que

trabajan 1.800 horas cada uno. Al año siguiente , se produce 120.000 unidades trabajando 3

personas 1.300 horas anuales cada una. Calcula la tasa de variación de la productividad.

Año 0

horas trabajadas = 2 trabajadores a 1.800 horas cada uno = 3.600 horas de trabajo

Productividad = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜=

100.000

3.600 = 27,78 unidades hora

Año 1

horas trabajadas = 3 trabajadores a 1.300 horas cada uno = 3.900 horas de trabajo

Productividad = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜=

120.000

3.900 = 30,77 unidades hora

variación de productividad = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜 1 − 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜 0

𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎ñ𝑜 0 x 100 =

= 30,77 − 27,78

27,78 x 100 = 10,76 %

19-Una empresa se dedica a la producción de un bien de consumo X, combinando

para elle distintas cantidades de capital productivo y trabajo. Se dispone de los

siguientes procesos productivos :

capital trabajo producción total

proceso 1 200 150 2000

proceso 2 100 75 1000

proceso 3 75 75 1200

Si el coste unitario por la utilización del capital es r=8 y el salario por unidad de

trabajo w=10, y que el producto final se vende a un precio p = 20 se pide :

a) Di qué procesos son técnicamente eficientes y cuales económicamente

eficientes.(0,5)

B) calcule la productividad media del capital y del trabajo en aquellos procesos

económicamente eficientes.(0,5)

c)¿cuál será la productividad global? (0,5)

a) Pasamos todos los procesos a la misma producción , por ejemplo a 2000 unidades.

capital trabajo producción total

proceso 1 200 150 2000

proceso 2 100 X 2 = 200 75 X 2 = 150 1000 X 2 = 2000

proceso 3 75 X 1,67 =125 75 X 1,67 = 125 1200X1,67=2000

*

2000

1200 = 1,67 * calcula el multiplicador para igualar la producción

Vemos que técnicamente es más eficiente el proceso 3 ya que utiliza menos capital y menos

trabajo para producir la misma cantidad de producto.

Para ver cual es más eficiente económicamente , tenemos que el proceso que produce el

producto a un coste unitario más barato.Para ello multiplicaremos los factores empleados por

su coste.

capital trabajo coste unitario

proceso 1 200 X 8 =1600 150 X 10 =1500 (1600+1500)/2000=1,55

proceso 2 100 X 8 = 800 75 X 10 = 750 (800+750)/1000=1,55

proceso 3 75 X 8 =600 75 X 10 = 750 (600+750)/1200=1,125

El proceso más eficiente económicamente es el 3 , el coste unitario de este proceso es el

menor.

b) Productividad del trabajo del proceso 3 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜=

1200

75= 16

unidades de producto por unidad de trabajo.

Productividad del capital del proceso 3 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙=

1200

75= 16 unidades de

producto por unidad de capital

C) Productividad global = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑜𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛=

1200 𝑋 20

600 + 750 = .17,78 € por

cada € invertido.