ejercicios de curso pre-paes resueltos

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Horas sociales Matemática

DESARROLLO DE EJERCICIOS PRE-PAES

1. La siguiente diferencia de cubos x3−103 está expresada correctamente en:

Solución:

Lo primero que hacemos es extraer las raíces cúbicas, luego el primer factor es la diferencia de ambos y el otro factor el cuadrado de la primera raíces, más la primera raíz por la segunda, más la segunda raíz al cuadrado.

x3−103= ( x−10 ) ( ( x )2+ (10 ) ( x )+(10 )2 )

x10=(x−10)( x2+10 x+100)

a) (x-10) (x2+10x+100¿

2. Del siguiente sistema de ecuaciones{7 x+3 y=172x−3 y=1 , ¿Cuáles valores lo satisfacen?

Solución:

7 x+3 y=17 (1)2 x−3 y=1(2)9 x=1

x=189

x=2

Sustituyendo en (1)7 x+3 y=177 (2 )+3 y=1714+3 y=173 y=17−14

y=33=1

y=1c) x=2 ; y=1

3. La probabilidad de un suceso debe cumplir:

Solución:

Por axioma se sabe que la probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1.

a) 0≤ P(s )≤1

4. ¿Qué función trigonométrica cumple que es positiva en el primer cuadrante y negativa en el cuarto cuadrante?

Solución:

Según el círculo unitario un punto en el primer cuadrante se define como ¿, pero sabemos que todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante, entonces resta analizar en el cuarto cuadrante.

Centro Escolar “General Francisco Morazán”

Universidad de El Salvador, Facultad de Ciencias Naturales y Matemática, Profesorado en Matemática

cosθ, es positiva en el cuadrante IV

sin θ, es negativa en el cuadrante IV, entonces tangente por definirse como seno sobre coseno, esta es la que cumple la condición.

c) Tangente

5. “Dos veces x al cuadrado multiplicado por la resta de x y tres veces z” se expresa en notación algebraica:

Solución:

d) 2 x2(x−3 z )

6. Se escriben los números consecutivos desde 1 hasta 1002, es decir: 1,2,3,4,5,…, 999,1000,1001,1002 uno a continuación del otro, en una pizarra. Luego se borran, de menor a mayor, aquellos que son de la forma 4k+1, donde k es un número entero positivo. ¿Cuál fue el último número borrado?

Solución:

Como k es un número entero positivo, entonces despejamos K y llamamos x al número.

4 k+1=x , entonces k= x−14

, ahora sustituimos alguna posible respuesta que nos dan,

k=999−14

=9984

≈249.5 (vemos quenocumple )k=1001−14

=10004

=250 , Vemos que si cumple para

x=1001.

c) 1001

7. Rosa, Reina y Mila son hijas de Dilia, de 30 años de edad. Rosa es 5 años mayor que Reina y Reina 2 años mayor que Mila. Este año casualmente la suma de las edades de las tres hojas es igual a la edad de su mamá Dilia, ¿Cuántos años tiene Mila?

Solución:

Sea x, los años de Mila, entonces:

Rosa (x+2)+5 años

Rein

a(x+2) años

Mila X años

Coordinador: Melvin Bladimir Suárez

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Dilia 30 años

Como las edades de las tres hijas suman la edad de la mamá:

(x+2)+5+(x+2)+x=30

3x+9=30, 3x=30-9, x=213

=7

b) 7 años.

8. ¿Cuál es el valor de la expresión √1+( 34 )2

?

Solución:

√1+( 34 )2

=√1+( 3242 )=√1+ 916=√ 2516=√25√16

=54

a) 54

9. Sean los puntos P(4,1) y Q (4,5) que pertenecen a la recta R. ¿Cuál es la pendiente de dicha recta?

Solución:

La ecuación de la pendiente es m=y2− y1x2−x1

, entonces:

m= 5−14−4

=40

, como vemos no está definida la división por cero. Por lo tanto la pendiente no está definida.

c) No está definida

10. La simplificación de la expresión algebraica ( 2x3y )2

( yx3 )3

es:

Solución:

( (2 x3 )2

( y )2 )( y3x9 )=( 9 x6y2 )( y3x9 )=9 y3−2

x9−6=9 yx3



c) ( 4 yx3 )

11. Si tienes que empacar 15 peras, 25 manzanas y 35 jocotes en dos canastas o más, tal que todas las canastas tengan la misma cantidad de cada clase de frutas. ¿Cuál es la menor cantidad de canastas que necesitas?

Solución:

Según lo que se plantea lo que se pide es el Máximo Común Divisor, entonces

15 25 35 5

3 5 7

c) 5

12. Cien personas asistirán a una fiesta, si las entradas cuestan $30 cada una. Por cada incremento de $5 en el precio, diez personas menos irán a la fiesta. ¿A qué precio se deben vender las entradas para obtener máximas ganancias?

Solución:

Ingresos totales= (total personas) (precio por unidad)

Sea x, el incremento.

Como el precio se incrementa $5, entonces (30+5x)

Si el precio aumenta irán 10 personas menos, entonces (100-10x)

Ahora la función de los incrementos es f ( x )= (30+5x ) (100−10 x )=3000+200x−50x2

Vemos que tenemos una parábola, entonces buscamos su vértice y la primera componente corresponderá al aumento, mientras que la segunda nos dará lo que debemos aumentar a $30:

f ( x )=3000+200 x−50x2 , entonces y=6+4 x−x2, dividiendo por 50

y=− x2+4 x+6

y=− (x2−4 x+4−4 )+6 ,( 42 )2

=(2 )2=4

y=− ( x−2 )2+6+4


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y=− ( x−2 )2+10

Por lo tanto el Vértice es V (2,10), por lo tanto el precio al que debe venderse las entradas es $ 40.00

c) $40

13. Si se sabe que cierta colección de objetos, solo hay de 2 colores diferentes, de 5 formas diferentes y de 3 marcas diferentes, ¿Cuál es el máximo número de objetos que puede tener la colección?

Solución:

2 5 3colores formas marcas

Aplicamos el principio de multiplicación: 2 x 5 x 3 = 30 es el número máximo de objetos

14. Sea C(n,r) el número combinatorio. Si 0≤a<b≤15 y C (15 , a )=C (15 , b), ¿Cuál es el valor de a+b?

Solución:

Por propiedad de combinatoria: Cnk=Cn

n−k , entonces como C (15, a) = C (15, b), entonces a + b=15

c) 15

15. Si α es un ángulo, ¿A que es igual el suplemento de 40-α?

Solución:

Por definición dos ángulos α+β, son suplementarios se α+β=180 °

(40−α )+x=180 , entonces , x=180−40+α ,x=140+α

b) 140+α

16. ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos de n triángulos rectángulos rectángulo isósceles?

Solución:

Por definición se sabe que los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados, entonces al ser rectángulo se sabe que un ángulo es recto, pero como además se sabe que esos triángulos son isósceles, entonces a lados iguales se oponen ángulos iguales, como ya tenemos uno de 90, entonces los otros dos deben medir 45 cada uno.

b) 45,45,90



17. Las notas obtenidas por n alumnos en tres exámenes parciales de Estadística fueron de 8, 9 y 7. Si los porcentajes asignados a cada examen son 30%, 30% y 40% respectivamente, ¿Cuál es el promedio de aprobación del alumno?

Solución:como el promedio se define: x=

∑i=1

n

x i f i

n

X=8 (30 )+9 (30 )+7(40)

30+30+40=790100

=7.9

a) 7.9

18. Cuatro amigos trabajan en un supermercado algunas horas por día, recibiendo el siguiente salario por hora: Juan $2.20; Tomas $2.50; Javier $2.40 y Melvin $2.10. Si Juan trabaja 20 horas, Javier 10, Tomas 20 y Melvin 15 a la semana, ¿Cuál es el salario promedio por hora?

Solución: Utilizando la fórmula de la media aritmética ponderada x=

∑i=1

n

x i f i

n

X=20 (2.2 )+20 (2.5 )+10 (2.4 )+15(2.1)

20+20+10+15=149.565

=2.3

a) $2.30

19. En una urna hay 3 bolas rojas y 7 verdes. Se extraen 2 bolas una tras otra sin reemplazo, ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una roja y seguidamente una verde?

Solución:

Como hay 3 bolas rojas y 7 verdes, y se extraen sin reemplazamiento, en total se tienen 10 bolas, pero con la

primero que saquemos quedaran 9. Por Laplace P (E )= Númerodecasos faborablesNúmerode casos posibles

=n(E)n(S)

Entonces:

En la primera extracción se tienen 3 favorables, de 10 posibles, entonces 310

, en seguida se extrae la segunda y

se tienen 7 favorables, de 9 que han quedado, entonces 79

, luego aplicamos el principio de multiplicación:

( 310 )( 79 )=2190= 730


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a) 730

20. Al resolver la ecuación log 8+ log x=3 se obtiene para x el valor de:

Solución: Por propiedades de logaritmos se tiene que: log (xy)=¿ log x+ log y¿ entonces:

log 8+ log x=3

log 8 x=3

103=8x

x=10008

=125

a) 125

21. Al multiplicar un número por 24, su valor aumenta en 1324 unidades. ¿El número es?

Solución:

Sea x el número, entonces

24x=x+1324

24x-x=1324

23x=1324

x=132423

≈58

a) 58

22. El 3% de 81 es igual al 9% de:

Solución:

Calculamos el 3% de 81 y es: 2.43

Sea x, el número que buscamos, entonces:

2.43=0.09x



x=2.430.09

a) 27

23. Si 6 gatos cazan 6 ratones en 6 minutos, entonces el número de ratones que 30 gatos pueden cazar en 30 minutos es:

Solución:

CAUSA EFECTOGatos Minutos Ratones

6 6 630 30 x

x=30 x30 x66 x6

=150

c) 150

24. Dada la sucesión infinita de números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64,… ¿Qué número siguen después de 64?

Solución:

Esta es la sucesión de los números cuadrados, es decir, n2, n = 1, 2, 3, …..

n=9 , f (n )=n2 , f (9 )=92=81

b) 81

25. ¿A que es igual el suplemento de40 °−α?

Solución:

Sea β el suplemento del ángulo entonces se cumple que: β+(40 °−α )=180°

β+(40 °−α )=180°

β=180 °−(40 °−α )

β=180 °−40 °+α

β=140 °+α


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b) 40 °−α

26. Dados los conjuntos A={xϵR /x>−2 } y B= {xϵR / x≤5 }, la intercepción de A con B es:

Solución:

Trascribir los conjuntos en notación de intervalos.A=¿. ¿−2 ,∞+¿ , B=¿−∞ ,5¿¿

Luego colocarlos sobre la recta real y observar en que intervalo aparecen dos colores los cuales son los elementos en común.

La respuesta es el literal a.

27. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sigo 6. Diez alumnos han reprobado con nota de 3 y el resto obtuvo más de 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados?

Solución:

Se forma 2 grupos con 10 alumnos cada uno, se tiene una media total de 6 y una media de un grupo de 3 por

propiedades (la media de una constante es la constante) entonces se utiliza X t=n1x1+n2x2n1+n2

.

Datos:

n1=n2=10;X t=6 ; x1=3

X t=n1 x1+ n2x2n1+n2

6=10 (3)+10x2

20

120=30+10 x2

90=10 x2

9.0=x2

La respuesta correcta es el literal a



28. Se pretende ordenar a un grupo de 3 señoras y 3 señores en una línea. ¿De cuantas maneras se pueden hacer si se desea que las 3 señoras permanezcan juntas?

Solución:

Importa el orden pues estarán colocados en fila por ello se usan permutaciones. Se aplica el principio del producto debido a que son sucesos dependientes. (3P3)(3P3)=6*6=36

La condición es que las tres mujeres están juntas por lo cual existen varios casos:

I. MMMHHH-------36 formasII. HMMMHH-------36 formas

III. HHMMMH-------36 formasIV. HHHMMM-------36 formas

Cada suceso es independiente por ello se emplea el principio de la suma por ello son 144 formas diferentes que las tres mujeres estén juntas respuesta es literal a.

29. Se dispone de 10 tarjetas enumeradas del 1 al 10 en una urna; se extraen dos tarjetas, ¿Cuál es la probabilidad de que las dos presenten números pares cuando se extrae una tras otra si la primera extraída no se regresa a la urna?

Solución:

Se usa el concepto de probabilidad clásica casos posibles entre casos favorables. Para que sea la primera tarjeta par se tiene 5/10, para la segunda extracción se disminuye en 1 los casos posibles y de igual forma los

favorables. Son sucesos dependientes por ello se aplica el principio del producto. P (S )=

510

∗4

9=29

Por lo

tanto la respuesta es el literal a.

30. Sea C(n, r) el número combinatorio. ¿Cuántos es C (6, 1)+ C (6, 2)+ C (6,3)+ C (6,4)+ C (6, 5)?

Solución:

La forma más fácil de resolverlo es mediante el uso de la calculadora o usando el triángulo de pascal.

n=2 1 2 1n=3 1 3 3 1n=4 1 4 6 4 1n=5 1 5 10 10 5 1


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n=6 1 6 15 20 15 6 1

6+15+20+15+6=62 por lo tanto la respuesta correcta es el literal b

31. En un carrito le ofrecen una hamburguesa básica, la cual puede agrandar o mejorar con 6 aderezos distintos. El número de hamburguesas distintas que usted puede pedir es de:

Solución:

El orden de los aderezos no importa por ello se emplea las combinaciones pero no especifica que solamente puedo escoger un aderezo por ello de los 6 aderezos escojo cero, uno dos, tres, cuatro cinco y seis.

C (6, 0) +C (6, 1)+C (6, 2)+C (6,3)+C (6,4)+C (6, 5)+C (6,6)=1+6+15+20+15+6+1=64

Por lo tanto la respuesta correcta es el literal c

32. En una clase hay 30 alumnos, de los cuales 18 son mujeres y 12 hombres. Se desea elegir el comité deportivo integrado por 3 mujeres y 4 hombres. ¿Cuántos comités distintos es posible elegir?

Solución:

Como no se especifica que se tendrán cargos en el comité por ello no importa el orden entonces se usa combinaciones. Pero debe estar integrado por hombres y mujeres por ello se usa el principio del producto pues son sucesos dependientes.

Escojo hombres x Escojo Mujeres=(C (12, 4))*(C (18, 3))

=( 18!3 !∗15! )∗( 12 !4 !∗8 ! ) Por lo cual la respuesta es el literal d

33. De las siguientes afirmaciones ¿Cuál es la VERDADERA?

a. Si la probabilidad que el Águila gane es 0.80, entonces la probabilidad que no gane es 0.30

b. La probabilidad de un evento es siempre un número entero

c. La probabilidad que una persona gane en una rifa puede ser -0.30

d. La probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos es siempre 1.

Solución:

Para responder esta interrogante se debe discriminar las opciones de respuesta.

a. la suma de las probabilidades de un suceso y su complemento debe ser uno pero esta resulta 1.10 FALSO.

b. FALSO pues 0≤ p (x i )≤1



c. La probabilidad nunca puede ser negativad.

34. Las estaturas de las alumnas de primer año de bachillerato se distribuyen normalmente con una media de 167 cm y una desviación estándar de 6cm. ¿Cuál es la estatura de una alumna de quien se sabe que solo el 15.9% de sus compañeras son más altas que ellas?

Solución:

Sea x: estatura de las alumnas. μ=167 ;σ=6

Se tiene que un x0 es la altura de la alumna. La distribucion es N(167,6) se debe cambiar la variable X a Z. Para llevarla a la distribucion normal estandar N(0,1).Estandarizar la variable mediante el proceso siguiente:

Z= X−μσ

p (x> x0 )=0.1590

p( x−1676>x0−1676 )=0.1590

p ( z> z0 )=0.1590→z0=1

z0=x0−μ

σ→1=

x0−1676

6=x0−167→x0=173

La respuesta es el literal b

35. El valor de sin (90 °−θ ) es igual al valor de:

Solución:

Aplicando la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos.

sin (α−β )=sin α cos β−cos α sin β


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sin (90 °−θ )=sin 90 ° cosθ−cos90 ° sin θ=1∗cosθ−0∗sinθ=cos θ

Por lo tanto la respuesta correcta es literal b.

36. Los signos de las funciones seno, coseno y tangente de un ángulo de 310® son respectivamente:

Solución:

Primero se debe identificar en que cuadrante se encuentra el ángulo θ=310 °. Esta ubicado en el cuarto cuadrante donde coseno es positivo y el seno negativo por lo cual la tangente será negativa (cociente entre seno y coseno), solo que la condición es la pregunta y su respectivo orden seno (-), coseno (+), tangente (-)- Por lo tanto la respuesta es el literal d.

37. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión 4 sen260 °+2cos245 °3cos260 °+sen230°

?

Solución:

Para facilitar el proceso se usara los triángulos notables y las razones trigonométricas de esos triángulos.

4 sen260 °+2cos245 °3cos260 °+sen230 °

=4(√32 )

2

+2( 1√2 )2

3 (12 )2

+( 12 )2 =

4 ( 34 )+2(12 )3( 14 )+ 14

¿ 3+144

=4 Por lo tanto la respuesta es el literal c

38. Sean los conjuntos: A={xϵR /2≤ x<9 } ; B= {xϵR / x≤6 } y C={xϵR / x>4 }.El resultado de ( A−B )∪ ( A∩C ) es:

Solución:



Trascribir los conjuntos en notación de intervalos.A=¿. ¿ , B=¿−∞ ,6¿¿ y C=¿4 ,∞+¿ . Para evitar confusión se realizara cada operación por aparte colocando cada intervalo sobre la recta real.

Primero ( A−B ) es decir los elementos de A que no tienen relación con B, es decir donde solo aparece el color naranja.

( A−B )=¿6 ,9¿

Luego observar en que intervalo aparecen dos colores los cuales son los elementos en común entre A y C.

( A∩C )=¿

Al realizar la unión de los intervalos resultantes es:

( A−B )∪ ( A∩C )=¿

la respuesta es el literal b.

39. ¿Cuál de las siguientes relaciones establecidas entre subconjuntos de los números reales es verdadera?

Solución:

Para responder esta interrogante se debe discriminar las opciones de respuesta.

a. Falso pues los enteros poseen incluido el cero.b. Falso pues N ∩Z=Nc. Cierto pues los ‘racionales son todos aquellos números que puedo escribir como cociente de dos

enteros y los irracionales lo contrariod. Falso pues NϵQ

Respuesta correcta es el literal c.

40. Sean los conjuntos A={2 ,3 ,4 ,5 }; B= {1 ,3 ,5 ,7 }Y C={1 ,2,3 ,5 ,6,8 }.Si determina C−( A∩B )

Solución:

Se realizará por partes para evitar confusión


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( A∩B )= {2 ,3 ,4 ,5 }∩ {1 ,3 ,5 ,7 }= {3 ,5 }

C−( A∩B )= {1 ,2 ,3 ,5 ,6,8 }− {3 ,5 }= {1,2,6 ,8 }

Que corresponde el literal d

41. Luego de descomponer en factores un polinomio se obtuvo como resultado

(5 x+32 )(5 x+ 32 ). El polinomio que se factorizó es:

Solución:

(5 x+32 )(5 x+ 32 )=(5x+ 32 )2

= (5 x )2+2 (5 x )( 32 )+( 32 )2

=25 x2+15x+ 94

Respuesta es el literal d

42. ¿Cuál es la solución de la ecuación x+5−4 x3

=2 x+1?

Solución:

x+5−4 x3

=2 x+1

3 x+5−4 x=6 x+3

3 x−4 x−6 x=3−5

−7 x=−2→x=27

La respuesta correcta el literal b

43. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 4 x2+9=12 x?

Solución:

La manera más fácil es aplicar la formula general para ecuaciones de segundo grado.

4 x2+9=12 x

4 x2−12x+9=0; A=4, B=-12 y C=9

x=−b±√b2−4ac2a

x=−(−12 )±√122−4∗4∗9

2∗4=12±√144−144

8=128

=32



Por lo tanto la respuesta es el literal c.

44. Un laboratorista tiene 20ml de una solución que contiene 25% de concentración de ácido. Si desea aumentar la concentración a 40%. ¿Cuántos milímetros de ácido debe agregar a la solución?

Solución:

Sea x , la cantidad de ácido que hay que agregar.

Cantidad final de solución x+20

Cantidad final de ácido x+5

Entonces como hay que agregar x cantidad, la solución final es x+20, pero sabemos que en los 20ml, hay 25% que son de concentración de ácido, es decir, 20 x25%=20 (0.25 )=5, pero como vamos a agregar x cantidad de acido, 5+x, de la cual queremos que aumente a 40%, entonces:

5+x=0.40 (20+ x )5+x=8+0.40 xx−0.40 x=8−50.60 x=3

x= 30.60

=5

Por lo tanto la solución de ácido que hay que agregar es 5 ml.

45. En un costal hay x cantidad de frutas. La tercera parte son mangos, las dos quintas partes son naranjas y las restantes son 160 manzanas ¿Qué cantidad de naranjas hay en el costal?

Solución:

Sea x: la cantidad total de futas

x= x3+ 25x+160

x− x3−25x=160

15x−5x−6 x15

=160

4 x=2400→x=600Son la cantidad total de frutas pero la interrogante es el número de naranjas en el costal 25x=25∗600=240 la respuesta es el literal d.


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46. Una empresa consultora paga a un ingeniero en computación $ 40 por hora y a su ayudante $ 10 por hora, Por cierto trabajo, la empresa les extiende a ambos un solo cheque por $ 2,200 ¿Cuánto tiempo trabajo el ayudante, si el laboro 10 horas más que el ingeniero?

Solución:

Sea x: el número de horas que trabajo el ayudante

X-10: el número de horas que trabajo el ingeniero

( x ) (10 )+ ( x−10 ) (40 )=2200

10 x+40 x−400=2200

50 x=2200+400=2600

x=52 El número de horas que laboro el ayudante son 52 que es el literal a

47. La relación entre las escalas de temperaturas Celsius y Fahrenheit está dada por la ecuación F = 95

C + 32.

Un grupo de ecologistas informa que es Santa Tecla la temperatura está variando entre 68 ° y72 ° Fahrenheit. ¿Cuál es el rango de temperaturas en grados Celsius?

Solución:

68 °≤95C+32 °≤72°

68 °−32≤ 95C+32 °−32 °≤72 °−32°

36 ° ≤95C ≤40 °

36 °( 59 )≤ 95 ( 59 )C ≤40°( 59 )20 °≤C≤22.2 °



48. Los psicólogos para calcular el coeficiente intelectual de una persona utilizan la fórmula:CI=MC

∗100

donde CI=coeficiente intelectual, M=edad mental y C=edad cronológica. Si para un grupo de jóvenes de 15 años de edad, se tiene que80≤CI ≤140, entonces el intervalo de sus edades mentales es:

Solución:

80≤CI ≤140

80≤MC

∗100≤140

80≤M15

∗100≤140

80∗15100

≤M ≤140∗15100

12≤M ≤21añosEl intervalo corresponde al literal a.

49. Si M= {xϵZ /−3≤ x ≤2 } y N= { yϵR /1≤ y≤5 }, en la representación grafica de MxN en el plano cartesiano, tendrá la forma de:

a. Un conjunto de puntos aislados

b. Un conjunto de barras verticales

c. Un conjunto de barras horizontales

d. Un rectángulo sombreado en su interior

Solución:

Reescribir los conjuntos M= {−3 ,−2 ,−1 ,0 ,1 ,2 } Y N= [1 ,5 ] el literal b es la respuesta correcta.


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50. Si E={xϵN /1<x ≤3 }y F={ yϵZ /0≤ y<3 } entonces ExF es igual a.

Solución:

Rescribiendo los conjuntos E={2,3 } y F={0 ,1 ,2 } El número de pares ordenados resultantes al realizar el

producto cartesiano son seis. ExF={(2,0 ) , (2,1 ) , (2,2 ) , (3,0 ) , (3,1 ) , (3,2 ) }Por lo tanto la respuesta es el literal c.

51. Ulises es un joven emprendedor, dueño de una pequeña fábrica de piñatas. Ha realizado estudios en la Universidad y sus conocimientos de matemática le han permitido descubrir que el costo de producción C (en dólares) de un número x de piñatas viene dado por la expresión: C ( x )=2 x+500 ;0≤x ≤1000. Esta ecuación representa una:

Solución:

Como el grado del polinomio es 1, entonces es una función lineal.

b) Función lineal.

52. la función f ( x )=−x2+2 x+1 es creciente en el intervalo:

Solución:

Busquemos primero el vértice:

y=− (x2−2x )+1

y=− (x2−2x+1−1 )+1( 22 )2

=1

y=− ( x−1 )2+2V (1, 2)

Como la parábola es cóncava hacia abajo, entonces, el intervalo que es creciente es de menos infinito hasta la abscisa del vértice, es decir, ¿−∞ ,1¿

b) ¿−∞ ,1¿

53. ¿Cuál de las funciones expresadas mediante ecuaciones es una función infectica?

Solución:

Por definición una función es inyectiva, sí y solo sí es, creciente o decreciente (monótona), y de las funciones presentadas la única que cumple es f ( x )=−3x+4

a) f ( x )=−3x+4


d=an−a1n−1


54. Mónica se ha propuesto ahorrar dinero durante el presente año. El primer día mete a su alcancía 20 centavos de dólar, el segundo día mete 40 centavos, los terceros 60 centavos, y así sucesivamente. Si sus ahorros los inicio el 1 de enero, ¿Cuánto dinero tendrá en su alcancía el 1 de marzo de este mismo año (incluyendo lo de ese día)?

Solución:

Hacemos primero el diagrama del problema:

0.201enero

0.402enero

0.603enero

…… ..an

1marzo

Necesitamos conocer el número de días que han transcurrido, para ello:

Vemos que n=60 días

Ahora utilizamos la fórmula para hallar la diferencia

d=0.40−0.202−1

=0.201

=0.40

Como ya tenemos la razón podemos conocer el término 60 que es 1 de marzo:

an=an+ (n−1 )d ,a60=0.20+ (60−1 ) (0.20 )=0.20+11.8=12

Esto quiere decir que el día 1 de marzo ella insertó 12 dólares. Ahora solo buscamos la sumatoria de estos:

Sn=(a1+an )n2

, S60=(0.20+12)(60)

2=

(12.2)(60)2

=(30 ) (12.2 )=366

Ahora de lo anterior Mónica ahorro $ 366.

c) $ 366

55. la suma:S=7+7 (2 )+7 (4 )+7 (8 )+…7 (215) tiene un valor igual a:

Solución:


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Observamos que es una sucesión geométrica, luego factoramos para conocer el número de términos,

7(20+21+23+…+215), de lo que se puede notar que n=16, ya que comienza en cero la sucesión. Luego vemos que la razón es (7(2)/7)=2.

Ahora sustituimos en Sn=7 (2n−1)r−1

,

S16=7(216−1)2−1

=7 (216−1)

a) 7 (216−1 )

56. un cultivo contiene inicialmente 10 bacterias y este número se duplico cada 5 minutos. De tal manera que luego de ½ hora, en el cultivo había 640 bacterias. Si inicialmente hubiese habido 20 bacterias, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

SOLUCIÓN

Min 0 5 10 15 20 25 30

Bacteria 10 20 40 80 160 320 640Bacteria 20 40 80 160 320 640 1280

Por lo que al cabo de 25 minutos, la mínima cantidad de bacterias será de 640.

c) En 25 minutos el mínimo de bacterias seria de 640.



57. A continuación se presenta dos columnas: la de la izquierda contiene la información que se quiera representar y la de la derecha el tipo de grafico que se podría utilizar.

Información Tipo de grafico1. Salarios mensuales de un grupo de

trabajadores de maquilas.2. Exportaciones e importaciones, en

dólares de un país en la última década.

3. Porcentajes de personas simpatizantes con determinado partido político.

a. De barras dobles.b. De sectores.c. De barras simples.d. Histograma.

¿Cuál es la relación correcta entre la información y el tipo de grafico a utilizar?

Los salarios mensuales de los trabajadores, por ser cantidades continuas se representan a través de Histograma.Las exportaciones e importaciones, la comparación de estas 2 variables que se puede representar con un gráfico de barras dobles.Los porcentajes de personas simpatizantes se presta para su representación con gráfica de sectores.

d) 1d-2a-3b

58. las ventas realizadas por Arnoldo en el último semestre fueron:

1º mes:$2000

2º mes:$2500

3º mes:$3000

4º mes:$4000

5º mes:$4500

6º mes:$5000

¿Cuál de las siguientes conclusiones puede ser obtenida a partir de la inferencia estadística?

SOLUCIÓN

Saquemos la media aritmética de los datos

x=2000+2500+3000+4000+4500+50006

x=3500La inferencia estadística nos permita suponer ó predecir lo que podría suceder.

Por lo que el literal “a” no nos proporciona una inferencia porque esta afirmación es correcta es un dato que se puede conocer a través de su cálculo.El literal “b” obviamente es algo que a simple vista podemos concluir, sin necesidad de inferir en el resultado.Si analizamos el literal”d” podemos ver que ese dato es un resultado verdadero, del que no es necesario inferir.


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Por todo lo anterior y analizando el enunciado del literal” se puede inferir que las ventas realizadas por Arnoldo, puede ser que sean mayores de $5000 el próximo mes.

c) En el mes que viene las ventas serán mayores que $5000.

59. la media aritmética de los salarios mensuales de 100 trabajadores de la Fabrica A es $175, de los 125 trabajadores de la fábrica b es $200 y de los 150 trabajadores de la fábrica C es $180. ¿Cuál es la media de los salarios mensuales que el conjunto de estas tres empresas pagan a sus trabajadores?

SOLUCIÓN

Encontremos la media aritmética total de todos los salarios:

x=175+200+1803

=5553

x=$185

b. $185.33

60. en una institución educativa, la nota de informática de un periodo lectivo se obtiene calculando la media aritmética de 5 evaluaciones correspondientes a ese periodo. Si las calificaciones de una señorita son: 7.5, 9.0, 9.3, 9.4. ¿Cuál es la calificación en la siguiente prueba que le permitirá aumentar su promedio a 9.0?

SOLUCIÓN

Primero encontremos cual es el promedio actual de las calificaciones:

x=7.5+9.0+9.3+9.44

=35.24

x=8.8Ahora bien lo que se requiere es saber que calificación debe obtener para lograr elevar su promedio a 9.0.Llamemos x: la última calificación, y estructuremos la siguiente ecuación.

9.0=8.8+x2

x=9.2

c) 9.8


Fabrica # de empleados Media aritméticaA 100 175B 125 200C 150 180

Suma 555


61. Suponga que usted está realizando un estudio sobre la nutrición de los jóvenes. Entre otros, ha conseguido datos referidos a los pesos de dichos jóvenes, los cuales deberá organizar, analizar e interpretar para la elaboración del informe. Si desea obtener lo que se especifica en la columna M, ¿Qué medida de la columna N debe calcular?

Columna M Columnas N1. Peso promedio del conjunto de

jóvenes.2. Variabilidad o dispersión de los

pesos.3. Peso de un joven que supera a un

determinado porcentaje de los participantes en el estudio.

w. Mediana.x. DesviaciónEstándar.y. Media Aritmética.z. Deciles.

Solución:

Según los datos el numeral uno referido al promedio del conjunto de jóvenes, de las medidas de posición, la que mejor lo representa es la media aritmética y la mediana (1y-1w), por ser los estadígrafos de posición que tienden a ocupar la posición central, luego en el segundo numeral vemos que se refiere a variabilidad, por ello la que lo representa es la desviación estándar (2x), y por ultimo Cuando habla de un determinado peso que supera a un determinado porcentaje, la medida de posición que mejor lo expresa es los Deciles (3z).

Por lo tanto la 1w-1y-2x-3z, es el orden respectivo.

c. 1w-1y-2x-3z

62. de las siguientes medidas, la que mejor representa el salario promedio del conjunto de salarios mostrado es:

Salarios de la empresa “ABC”$200$255$400$500$4000

$200$250$450$3000

Solución:

Por el comportamiento de los datos, vemos que hay datos que sesgan el análisis, por lo cual no podemos aplicar un promedio, ni moda, por lo tanto la mejor medida de posición que representa la información mostrada es la mediana.

b) Mediana.

63. Para la distribución mostrada la afirmación verdadera referida al valor percentil ochenta es:

TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO DE SU HOGAR AL TRABAJO DE EMPLEADOS DE “ÉXITO S.A. DE C.V.”


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Tiempo(min) F30 – 39 940 – 49 1650 – 59 1360 – 69 870 – 79 280 –89 190 – 99 1Total 50

Solución:

Primero le añadimos una columna más a la tabla para obtener la frecuencia acumulada.

Tiempo(min) F Fa30 – 39 9 940 – 49 16 2550 – 59 13 3860 – 69 8 4670 – 79 2 4880 –89 1 4990 – 99 1 50Total 50

Ahora utilizamos la fórmula para ubicar en que intervalo se encuentra el percentil 80.

Dk=k ( n+1100 )D80=80 (50+1100 )=40.8 , con este dato observamos que se encuentra en la cuarta clase.

Ahora solo sustituimos en

Dk=li+C [ k ( n+1100 )−Faaf ]D80=60+9[ 80 (50+1100 )−38

8 ]=60+3.15=63.15Ahora vemos que está en la cuarta clase, pero vemos por las respuestas que la que más se acerca es el literal d.

a) Está en la segunda clase pero más próximo a 40 min.

64. las cantidades de dinero que cinco personas cargan en sus carteras son: $3, $5, $8, $9 y $10. La desviación típica de estas cantidades es:

Solución:



La fórmula para encontrar la desviación: Sx=√∑i=1

n

(x i−x )2

n

, pero vemos que antes necesitamos conocer la

media x=1n∑i=1

n

x i , entonces x=3+5+8+9+10

5=355

=7

Sx=√ (3−7)2+(5−7)2+(8−7)2+(9−7)2+(10−7)2

5=√ 345 =¿√6.8¿Dólares

c) √6.8 dólares

65. En una empresa la media aritmética de los salarios de los trabajadores es $400, y la desviación estándar es de $25. Si a cada trabajador se le da un aumento de $50, entonces la nueva media y la nueva desviación estándar será respectivamente:

Solución:

Acá se deducen las propiedades: Dado x1+a , x2+a , x3+a ,………. , xn+a

x±a=1n∑i=1

n

(x i±a )=1n∑i=1

n

x i±1n∑i=1

n

a=1n∑i=1

n

x i±1n

(na )=x ±a

Sx± a2 =1

n∑i=1

n

¿¿¿

Sx± a=Sx

Como la media era de $ 400, por la formula, la nueva media es $ 450 y la desviación estándar permanece igual, es decir, $ 25.

b) 450 y 25 dólares

66. la media aritmética de los salarios de los trabajadores de una empresa, es 300 dólares y la varianza 100 dólares. Si a cada trabajador se le da un aumento del 25% de su salario, ¿Cuáles serán respectivamente, la nueva media y la nueva desviación estándar?

Solución:

Se deducen las siguientes propiedades:

Dados x1+a x1 , x2+a x2 , x3+ax3 ,………. , xn+axn

Entonces: x1(1+a) , x2(1+a) , x3(1+a),………. , xn(1+a)


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(a x+x)=1n∑i=1

n

¿¿

Sax+ x2 =1

n∑i=1

n

( (1+a ) xi−(1+a ) x )2=1n∑i=1

n

¿¿

¿¿¿

Sax=√a2Sx2=(1+a) Sx

Como 25% quiere decir que se está multiplicando por 100, procedemos a dividirlo por 100 para sustituir en la formula. 25/100 = 0.25 = aPor las propiedades anteriores, la nueva media será:

(a x+x )=(1+a ) x= (1+0.25 ) (300 )=(1.25 )(300)=375

La desviación es Sax=√(1+0.25)2(100)=√(1.25 )2(100)=12.5, por lo tanto la nueva media es $ 375 y la

desviación estándar es $ 12.5

a) $375 y $12.5

67. La media aritmética de los puntajes de un examen de Ciencias Naturales fue 65, con una desviación estándar de 5. Debido a un mal manejo del registro de calificaciones en la computadora, cada nota de los alumnos disminuyo en 5 puntos. Esto permaneció así hasta que el docente se dio cuenta, y para corregir el error solicito que cada una de las últimas notas que aparecerían se multiplicara por 1.2. ¿Cuáles son respectivamente la media y la desviación típica de las notas después de haberse realizado los que el docente solicito?

Solución:

Como cada una de las notas disminuyó en 5 puntos entonces por la propiedad: x±a⟹ x±a,

Entonces la media es x±a=65−5=60, pero como se multiplica por 1.2, entonces la nueva media es ax⇒a x, entonces x=60 (1.2 )=72 y la desviación Sax=aSx ,S= (1.2 ) (5 )=6

a) 72; 6

68. El número de inasistencias a su trabajo durante el año, de un grupo de 10 empleados de una oficina gubernamental se presenta a continuación: 7, 6, 10, 7, 5, 7, 3, 9, 5, 13. La media aritmética, la mediana y la moda son respectivamente:



Solución:

Lo primero que hacemos con los datos: 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 13.

x=3+2 (5 )+3 (7 )+6+9+10+13

10=7.2

Como ya ordenamos los datos solo utilizamos la fórmula para hallar la posición de la mediana.

n+12

=10+12

=5.5 ,La posición entre el 5 y el 6, entonces obtenemos la semisuma: y es 7

3 5 5 6 7 7 7 9 10 131ª 2ª 3 4 5 6 7 8 9 10

Por último por definición la moda es el dato que aparece varias veces repetido, es decir, 7

Entonces, respectivamente la media, la mediana, y la moda son: 7.2, 7, 7.

a) 7.2, 7, 7.

69. En un restaurante se ofrecen dos aperitivos, cuatro platos fuertes, tres bebidas y dos postres. El número de platos completos y distintos que pueden ser ordenados es:

Solución:

2 4 3 2Aperitivo Plato Bebida Postres

Aplicando el principio de multiplicación: 2 x 4 x3 x2=48

b) 48

70. David, Gaby, Miguel, Iván y Diana hacen fila para ser vacunados contra el tétano. Si Gaby y Diana quieren estar siempre juntas, ¿De cuantas maneras distintas pueden ordenarse en la fila?

Solución:

Construimos el posible resultado por defecto:

2 1 3 2 11er 2do 3er 4¿ 5¿

Pero como dos de ellas desean ir juntas, entonces por principio multiplicativo: (2 !) (3 !) (4 )=48

a) 48


16 7

2 49

5

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71. En una fiesta infantil, el payaso invitado llama a siete a participar en un juego. Para ello le da a cada niño uno de los siete cartones mostrados y les pide que formen cantidades de cuatro cifras mayores de 5300. ¿Cuántas cantidades podrían formarse?

Solución: se tiene 1, 6, 2, 7, 4, 9, 5

Primero verificamos todos los casos: V 74=7 p4=840

Ahora vemos los que no cumplen lo que se solicita:

3 x6 x 5x 4=360

1 x2 x5 x 4=40

Ahora solo a todos los posibles les restamos los que no cumplen:

840-360-40=440

a) 440

72. El número de palabras de cinco letras que es posible formar con las letras de LIBRETA es:

Solución: como no nos da restricción, aplicamos principio de multiplicación:

7 x6 x 5 x 4 x 3 = 2520

a) 2520

73. En una urna se tienen 9 bolas numeradas del 0 al 8. Si se extraen 4 bolitas una después de la otra y sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad que se forme un número de cuatro cifras significativas y que sea par?

Solución:

Se tiene S={0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8} n(S) = 9

7 6 5 5=

1050= 0.390625

8 8 7 6 2688



74. En las páginas de un documento de un juez están escritos los nombres de 10 mujeres y 8 hombres. Se seleccionan al azar cinco nombres para conformar un tribunal de conciencia. La probabilidad de que el tribunal quede conformado por tres mujeres y dos hombres es igual a:

Solución:

Por lo que menciona el problema, utilizamos la Ley de Laplace, y el principio de multiplicación:

(103 )(82)(185 )

=2051

d) 2051

75. A un bebe le han regalado 6 cubos; cada uno tiene escritos en sus seis caras una sola de las siguientes letras: O, R, N, U, E, M. la probabilidad que él bebe ordene los cubos formando la palabra NÚMERO es:

Solución: Utilizamos la Ley de Laplace y principio de multiplicación:

( 16 )( 15 )( 14 )( 13 )( 12 )( 11 )= 1720

a) 1720

76. Un joven que estudia la teoría de probabilidades, determina a A y B como eventos de un espacio muestral S, de tal manera que P(A) = 0.5, P (B) = 0.4 y P (AUB) = 0.7. ¿Cuál de las siguientes proposiciones referidas a los eventos A y B es verdadera?

Solución:

Por las condiciones mencionadas hay una unión de sucesos, y si vemos A y B no son mutuamente excluyentes ya que tienen una intersección, dado que están unidos, además no son complementarios, ya que no cumplen ni siquiera las condiciones anteriores, y mucho menos suman uno, por lo que podemos decir que son dependientes.

a) A y B son eventos dependientes.


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77. Cierto tipo de focos tiene una durante media igual a 900 horas y desviación estándar de 50 horas. Bajo el supuesto que los focos tienen una duración que acusa tendencia normal, ¿Qué porcentaje aproximado de focos durara entre 850 y 1000 horas?

Solución:

Sea x: el número de horas que dura los focos, μ=900 y σ=50

El área buscada (o probabilidad) es la de la gráfica.

El procedimiento consiste en cambiar la variable X por otra llamada variable estándar Z. Z= X−μσ

p (850≤x ≤1000 )=p( 850−90050≤X−90050

≤1000−900

50 )=p (−1≤Z ≤2 )

=p (Z ≤2 )−p (Z ≤−1 )=p (Z≤2 )− {1−p (Z ≤1 ) }

¿0.9772− {1−0.8413 }=0.9772−0.1587=0.8185

Para obtener el porcentaje basta multiplicar por 100 la probabilidad obtenida 81.85% la cual corresponde al literal b.

78. la duración promedio de los anuncios por televisión es de 30 segundos con una desviación típica de 5 segundos. Asumiendo que los tiempos de duración tienen tendencia normal, la probabilidad aproximadamente que un comercial dure más de 35 segundos es:

Solución:

Sea x: el número de horas que dura los comerciales, μ=30 y σ=5

El área buscada (o probabilidad) es la de la gráfica.



El procedimiento consiste en cambiar la variable X por otra llamada variable estándar Z. Z= X – μσ

p ( x≥35 )=p( X−305

≥35−305 )=p (Z ≥1 )={1−p (Z≤1 ) }=1−0.8413=0.1587≈0.159 Que corresponde

al literal d

79. la calificación media obtenida por un grupo de 2000 estudiantes en una prueba de admisión a la Universidad fue de 6.8, y la desviación típica fue de 0.9. Si la distribución de las notas acusa tendencia normal, ¿Cuántos estudiantes, aproximadamente, obtuvieron calificaciones menores de 8.6?

Sea x: la nota obtenida por los alumnos, μ=6.8 yσ=0.9

p ( x≤8.6 )=p ( X−6.80.9

≤8.6−6.80.9 )=p ( z≤2 )=¿0.9772

Para conocer el número de estudiantes basta multiplicar la probabilidad obtenida por 2000 y resultan 1954.4 aproximadamente 1954 estudiantes que corresponde al literal d.

80. En el triángulo mostrado, la medida del Anguloθ es de:


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Solución:

Como por definición dos ángulos suplementarios suman 180 °, entonces podemos conocer que el ángulo que se forma con la línea recta es de 25 °, luego como los angulos interiores de un triangulo suman 180 °, lueo 35 °+25 °+θ=180 °, despejando obtenemos θ=120° , luego lo convertimos a radianes:

πrad 180 °

X 120 °

x=(120 ° )(πrad )

180°=2π3rad

b)2π3rad .

81. cuando un triángulo tiene sus tres lados proporcionales a otro triangulo, se dice que los triángulos son:

Solución:

Por definición son semejantes.

c) Semejantes.

82. Para la siguiente figura, encuentre el valor de x, sabiendo que:

QR=x+4, RS=2x+3, QP= 3, TS= 5

Solución:



Vemos que los ángulos ∡QRP=θ=∡ SRT ,luego separamos los triángulos y escribimos la información que nos proporcionan:

Luego como tienen dos ángulos iguales, entonces por criterio de semejanza aa, los triángulos:

⊿QRP≅⊿SRTEntonces:QRSR

=QPST

x+42x+3

=35

Ahora despejamos x:

5 ( x+4 )=3 (2x+3 )

5 x+20=6 x+9

x=1

d) 11

83. cosθ=35y θesUn ángulo agudo, entonces tanθ=¿

Solución:

Por teorema de Pitágoras sabemos que c2=a2+b2, y sobre razones trigonométricas cosθ=C .aH

Solo despejamos a o b de la formula, a=√c2−b2, entonces a=√52−32=4, ahora este es el cateto opuesto, y

como la tangente se define tanθ=C .OpuestoC . Adyacente

=43

a) 43

84. Una escalera de 6.7m de longitud se coloca contra una pared haciendo un ángulo de 63 ° con respecto al suelo. ¿Cuántos metros arriba quedarán la punta de la pared de la escalera con respecto al piso?

Solución: Primero hacemos un bosquejo del problema:


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Ahora busquemos una razón trigonométrica que nos relacione toda la información.Como tenemos hipotenusa y lado opuesto que es el que queremos conocer, entonces utilizamos seno.

sin 63 °= x6.7

x=(6.7)(sin 63)

x ≈6

d) 6

85. Un jardín engramado tiene forma triangular, con las medidas mostradas en la figura (sin escala). La cantidad de drama contenida en m2 es aproximadamente:

Solución:

Por Teorema se sabe que el área en función de sus lados es: p=a+b+c2

, A=√ p ( p−a ) (p−b ) ( p−c )

p=7+5+112

=11.5 , A=√11.5(11.5−7)(11.5−5)(11.5−11)≈13

e) 13

86. Un decágono es un polígono con 10 vértices y 10 lados. Una diagonal es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos del polígono. Encuentre la cantidad total de diagonales que pueden dibujarse en un decágono.

Solución:



Como es un decágono entonces tiene 10 vértices, y para obtener el número de diagonales que pueden

dibujarse, es dado por (nk)−númerode lados, siendo k=2

Ahora: (102 )−10=45−10=35d) 35

87. las posiciones Y ocupadas por un ciclista, a medida transcurre el tiempo X, son como se muestra en la tabla. Si se expresa Y como función de x, se obtiene una:

Tiempo t (en min) Posición Y (en metros)01 50002 45003 40004 3500

Solución:

Con los datos en la tabla vemos que en uno comienza con 5000, en dos decrece a 4,500, luego en tres 4000, y se observa que la relación ve decreciendo entre ambas componentes, y por ello podemos afirmar que es una función lineal.

b) Función lineal.

88. El valor de tan50o es igual al de:

Solución:

Lo que hacemos es simplemente probar utilizando la calculadora (se puede hacer utilizando las definiciones, pero es muy tedioso).

Sabemos:

sinacsc a= 1

sina

cos asec a= 1

cosa

tan acot a= 1

tan a

Entonces cotangente = 1/ tan 50°=tan 50°


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a) cotangente de 400

89. la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-3,-1) y Q (2,5) tiene un valor igual a:

Solución:

Por definición la pendiente está dada por: m=y2− y1x2−x1

, sustituimos

m=5−(−1)2−(−3)

=5+12+3

=65

C) 65

90. El punto medio del segmento que une el punto C (2,-4) con el punto D (-6,0) es:

Solución: como por definición el punto medio es la semisuma de cada abscisa y cada ordenada:

Pm=( x1+x22,y1+ y22 ), entonces: Pm=( 2+(−6)

2,−4+02 )=(−42 ,

−42 )=(−2,−2)

a) (-2,-2)

91. El vértice de la parábola x2−6 x+4 y+1=0 está en el punto:

Solución: Para determinar el vértice despejamos la variable y luego completamos cuadrados para llevarla a la forma canónica:y−k=a(x−h)2, donde Vértice es V (h ,k )

x2−6 x+4 y+1=0

x2−6 x+1=−4 y ; Despejando y

x2−6 x+9−9+1=−4 y ; Completando cuadrado ( 62 )2

=32=9

(x¿¿2−6 x+9)−9+1=−4 y ¿ ; Agrupando de forma conveniente para formar el cuadrado perfecto

( x−3 )2−8=−4 y ; Agrupando

( x−3 )2−8−4

= y ; despejando y


s


−( x−3 )2

4+ 84= y

y−2=−( x−3 )2

4, por lo tanto elVértice esV (3,2)

a) (3,2)

92. Cuando dos rectas paralelas AB y CD son cortadas por una secante cualquiera MN, tal como se muestra en la figura, en los puntos de intersección de las rectas con la secante se forman 8 ángulos.

¿Cuál de las siguientes parejas de ángulos suman siempre 1800?

Solución: como vemos los únicos ángulos que podemos afirmar que suman 180 dado que son suplementarios es s y u, ya que los demás solo son opuestos por el vértice.

c) s yu

93. En el siguiente gráfico se presenta la distribución del número de goles anotados por jugador en un torneo de futbol.

1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12


Pági

na39

Pr

ofe

so

ra

do

en

Ma

tem

áti

ca


¿Cuántos goles se anotaron durante el torneo?

Solución:

Como la relación de las barras es goles anotados por número de jugadores entonces:

Goles anotados durante el torneo = 10(1)+6(2)+4(3)+4(4)+2(5)+1(6)= 66 goles

d) 66

94. La gráfica:

Solución:

Analizamos los puntos extremos de la región sombreada, notamos que el punto (-1,3) hy un pequeño huequito, lo cual nos indica que no está tomando este valor, al igual que los puntos (-1,1) y (2,3), y además notamos que las unen líneas discontinuas, lo que indica restrictividad, por lo cual el producto cartesiano es ]-1,2]x[1,3[.

Es la representación del producto cartesiano:

b) ]-1,2]x[1,3[

95. En el triángulo△ ABC , AM≈MB ,es decir que M es el punto de AB



Entonces la mediatriz es:

Solución: como por definición la mediatriz, es la que parte del punto medio de un segmento de forma perpendicular, entonces de los datos vemos que AM=MB, y además por el dibujo MF⊥ AB, por lo cual FM es la mediatriz del triángulo.

b) FM

96. Con relación a la figura dada, tenemos que DC||AB y AD|| BC

¿Cuáles de los triángulos son isósceles?

Solución:

Como DC||AB y AD|| BC, entonces ABCD es paralelogramo, entonces AB=DC y AD=CB, además los ángulos ∡BDC=θ=∡ABD, entonces por criterio de congruencia LAL, los triángulos ⊿ ADB≡⊿DHB

c) Los triángulos ADB y DHB

97. Dada la representación gráfica de la recta que pasa por el punto (1,4) con pendiente m=-2


Pági

na41

Pr

ofe

so

ra

do

en

Ma

tem

áti

ca


Solución:

Como la pendiente m=-2, entonces utilizamos la ecuación punto pendiente: y− y1=m (x−x1 )

y−4=−2 ( x−1 )

y−4=−2 x+2

y=4+2−2 x

y=6−2 x

b) y=6−2 x

98. un trampolín para clavados por 2 cables que van desde el tope de este hasta el suelo a lados opuestos del mismo. Un cable tiene 60 pies de longitud y forma un ángulo de 360 con la horizontal y el segundo forma un ángulo de 400.

Solución: si llamamos y a la altura del trampolín, por la información que nos proporcionan, primero debemos conocer la altura del trampolín, entonces buscamos una función trigonométrica que nos relacione cateto



opuesto e hipotenusa. Entonces utilizamos seno, es decir sin 36=y60

, y=60sin 36, ahora volvemos a hacer

uso de la función seno, sin 40=60sin 36

x, x=60sin 36

sin 40

Ahora vemos que aproximadamente el valor es 54.87, entonces la respuesta es literal c.

¿Cuál es la longitud del segmento del segundo cable?

c) x=60 /(sin 36 /sin 40)=54.87 pies

99. ¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente desigualdad cuadrática?

12≤x2+x

Solución:

Ordenamos la inecuaciónLa escribimos de forma estratégicaBuscamos dos números que multiplicados den -12 y sumados x

0≤ x2+x−12x2+ x−12≥0

( x+4 )(x−3)≥0Ahora utilizamos el cuadro de variación, para verificar en que intervalo esta la solución:

(x+4 ) −¿ +¿ +¿(x−3) −¿ −¿ +¿

(x−3)(x+4 ) +¿ −¿ +¿

Luego la parte sombreada constituye el conjunto solución, es decir, ¿−∞ ,−4¿U ¿

b) ¿−∞ ,−4¿U ¿

100. Al factorizar el polinomio: x3−64, obtenemos como resultado:

Solución:

Lo primero que hacemos es extraer las raíces cúbicas, luego el primer factor es la diferencia de ambos y el otro factor el cuadrado de la primera raíces, más la primera raíz por la segunda, más la segunda raíz al cuadrado.

x3−43= (x−4 ) ( ( x )2+(4 ) ( x )+ (4 )2 )

x 4=(x−4)(x2+4 x+16)

a) (x−4)(x2+4 x+16)


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ejercicios de curso pre-paes resueltos

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