ejercicios de Álgebra propuestos en pau. · axb c a axb a c xb a c xbb a c b x a c b ......

Ejercicios de lgebra propuestos en PAU.

1) Estudiar segn los valores del parmetro a el sistema de ecuaciones lineales. Resolverlo cuando sea compatible: a)

01

0,0,1

0111

111

122

.30

.32

2000

1010

1001

0

002

2200

110

101

110

110

101

2

112

110

101

,,

:112

110

101

12

1

1

233

13332

21

==+

=====+

====

==

=

===

=

=

=++=+=+

yaxy

aSolucin

aaaxzaxz

axax

GaussPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAa

LEINCOMPATIBSISTrgArgAa

aAaA

a

a

a

ffF

a

a

a

ffF

a

a

a

xzy

incgnitas

cc

cc

a

a

a

zyax

zax

yax

b)

( )

( ) ( )( )

( ){ }

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

3

12

3

1462

3

1

3

422222

3

2

3

1111111

3

1

32

2

65

2265

332

,1,343422222

1

22

1

32

0000

1110

2121

2

32

1000

1210

2121

3

2302365

26500

1110

2121

4

2240

1110

2121

2242

111

2121

242

1

22

22

2

2

233133

122

+=

+++=

++

++=+==+

+=

+++=++==++

+=

+++=

+++==++

==

=

=+=+==

=+=


c)

( )

( ){ }

( )

( ) ( )( )( ) ( )32

32

32

43132

3

2

2

1

2

112

3

223

33

,1,343422222

1

22

1

32

6000

2020

3111

3

3032

2300

1020

111

333

1111

111

33

1

2

133

122

+=

++=

+=+==+

==

==

==

=

=+=+==

=+=

==

=

===

==

=+=++=+

a

aa

a

aaaaa

a

aaazyaxazyx

ayay

a

azaza

ODETERMINADCOMPATIBLEsistemargArgAa

zzzzSzzzzyx

zy

zyx

zy

LEINCOMPATIBsistemargArgAa

aAaA

aa

a

a

ffF

ffF

aa

a

aazyx

zyx

azyx

d)

e)

( )( )

( ){ }

( ){ }=

=+=+

=++=++

==

=

=+=

=++=+

==

======

+=++=

=

=+=++

=+

ttttSreduccinoCramerporsueltozyx

zyx

zyx

zyxaeequivalentessistemaelmenorelrgAaSi


zyx

zyx


zyxtrivialSolucinadoDeterCompatibleSistemargAaaSi

aaparacerovaleanteerEste

aaaa

a

a

Acompatibleessiempre

ogneosistemaunEs

zyax

zyx

zayx

,35,28Re7

281214

07

0471220

71

422712

,2,5Re7

432

07

04320

11

3223

0min37123

7123mindet

12733697

131

711

42hom

013

07

0422

( )( )

1,1523

235mindet25

335

50

7553518

32

23

23

32

23

2323

==

=+=+

====


2) a) Es siempre cierta la propiedad conmutativa del producto de matrices? En caso afirmativo prubalo, en caso negativo pon un ejemplo en el que no se verifique b) Si A y B son dos matrices diagonales de orden 2 demostrar AB=BA

c) Determina las matrices diagonales A tales que

=

10

01AA

a) El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ni para matrices rectangulares ni para matrices cuadradas:

Matrices rectangulares: A de dimensin 2x1; B de dimensin 2x2 AB no se puede calcular y BA si se puede calcular, es una matriz 2x1

Matrices cuadradas:

=

=

=

=

00

13

30

10

00

10

13

21BAABBA

b)

==

=

=

=

db

caBA

bd

acAB

d

cB

b

aA

0

0

0

0

0

0

0

0

c)

==

==

=

=

=

10

01;

10

01;

10

01;

10

01

1

1

1

1

10

01

0

0

0

02

2

2

2

solucionescuatroHayb

a

b

a

b

aAA

b

aA

3) Resuelve

4) Resuelve la ecuacin matricial AXB=C siendo

=

=

=

00

21

31

21

10

01CBA

( )

=

=

=

=

==

=

=====

00

01

11

23

00

21

11

23

00

21

10

01

11

23

12

131

10

01

11

1

11111111

X

BBAdjBB

identidadlaserPorA

BCAXBCAXBBCAXBCAAXBACAXB

=====

=+=


5) Resolver la ecuacin matricial PX+3I=Q siendo

=

=

21

32

22

01QP e I la identidad

( )

( )

=

=

=

=

==

=

===+

2529

35

11

35

211

01

10

013

21

32

211

01

211

01

10

222

22

01

333

1

1

X

PPAdjPP

IQPXIQPXQIPX

6) Calcular el valor de los determinantes bac

cba

acb

cba

cba

+++

1

1

1

;

333

101010

777

222

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )bcacabcb

acab

cb

acab

accabb

acabaffF

affF

cba

cba

cba

cba

==

==

==

==

21011

210

0

110

111

210

0

0

111

210

111

3107

333

101010

777

233

122

222222

( ) ( ) 0011

11

11

1

1

1

1

1

1

233 =++=++=++++++

+==+++

cba

c

a

b

cba

cbac

cbaa

cbab

ccC

bac

cba

acb

7) Determinar los valores del parmetro t para que el sistema

=++

=++

0

12

32

zytx

tzytxt tenga solucin.

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

=

=

=

=+

=+

==++

=

==+


8) Resuelve la ecuacin matricial

=

011

001

110

013

100

025

X

=

=

====

======

=

===

=

001

325

112

011

001

110

010

503

201

010

503

201

010

503

201

1

011

001

110

013

100

025

1

332313

322212

3121111

111

X

A

AAA

AAA

AAA

AA

BAXBAAXABAXX

9) Discute y resuelve, cuando se pueda, los siguientes sistemas en funcin del parmetro K

( ){ }

( ) 01,3,7:713333

3121212

1

.

3

0

,21,34

342133

21

12

3.

2

0

00

00

1210

3111

1210

1210

3111

2532

2121

3111

532

22

3

133133

122

=+++===++

=+=+==

==

==

+=

=+==

+=

=

=++

==

=

===

=

=

=

+

=++

+=+

=++

kkkSolucin

kkkzyxzyx

kkkzykzy

zkkz

ODETERMINAD

COMPATIBLESist

rgArgA

k

zzzzS

zzzzyx

zy

zy

zyx

ADOINDETERMIN

COMPATIBLESist

rgArgA

k

kAkA

kk

k

ffF

k

kffF

ffF

k

k

kzyx

kzyx

zyx

( )

( )

12

264

11

320168

4320168

816000

1100

6410

2111

55

475500

1100

6410

2111

8

1

475500

8800

6410

2111

1

2

21110

4020

6410

2111

111

2111

8321

2111

2

1

832

2

34444

344

233

134

133

122

==++==

======+

==+

+=

+

=

+

=

+=

===

=+=

=+=++

xzyx

yzy

zz

ODETERMINADCOMPATIBLESistemargArgAkk

LEINCOMPATIBSistemargArgAkk

k

fkfF

kk

fF

kk

fkfF

ffF

kkkkffF

ffF

ffF

kzyx

zykx

zyx

zyx


( )

( )

( ){ }

( )

( )11

1

1111

1

1

1111

11.310

.32

1000

1110

2121

1

0,,11

0

1

0.2

0100

0000

1011

0

1001

100

0

111

010

0

111

010

1011

111

0

1

11

2

233122

=

++

+=+=+++

=

===+=

====

==

=

=

==

=+=

==

=

====

++

+=

++

=

++

=+=+

+=+++

k

k

k

k

k

kkxkkzykx

kk

kzyzykkzky

k

kzkzkODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAkk

LEINCOMPATIBSistrgArgAk

yyySyx

z

yx

z

ADOINDETERMIN

COMPATIBLESistrgArgAk

kkAkkA

kk

kkk

kkk

ffF

k

kkk

kkk

ffF

k

kkk

zky

yx

kkzykx

( )

( )

( )

=

==+==

=

=++=+

==

=

====+=

++=

+++

+==

+

=++=++=+++

zzzS

zzzyx

zy

zyx

zy

ADOINDETERMIN


kporrsimplificadeantesobtenidasmatriceslasenkcasoelanalizarquehayAdems

kkAkkA

kk

k

fkfF

kkkk

k

k

Suponemos

kkkk

kkk

k

fkfF

ffF

k

kk

k

ee

ee

kzkyx

kzyx

zyxk

,5

9,

5

2

5

2

5

18522

5

185224

5

9

422

955.2

9550

0000

4221

2

22

3003

1300

2110

421

12

141120

2110

421

02

141120

42220

421

13111

221

421

22

42

31

2

2233

2

2133

122

23

12

( )

( )kk

k

kk

k

kk

kkxkzyx

kk

kk

kkzyzy

kkzzkk

ODETERMINAD

COMPATIBLESistrgArgAkkk

LEINCOMPATIBSistrgALEINCOMPATIBSistrgA

rgAkrgAk

3

2

33

1622442

3

162

3

1222

3

113

.3230

.3.3

2

1000

2110

4021

02

1000

2110

4321

3

222

2

2

2

2

2

2

++=

++

++==++

++=

+=+==

+==+

==

==

=

==

=


( )

( )( ) ( ) ( )

( ) 22

22

2

22

3

2

2

133133

122

)1(3

22

)1(3

01

23

111

)1(3

1

)1(3

101

43

11

)1(3

23

33)1(

10

42

11

.31

.32

1000

4110

111

1

10131)1(333)1(

2233)1(00

33410

111

1

1110

33410

1113

011

423

111

0

423

1

+=

=

+=

=

+=+

=

==

==

=

====+=

+++

+=

+

+=+=

=++=++

=

k

kk

k

k

k

zk

kk

k

k

k

yk

kk

kk

k

k

k

x

CramerPorODETERMINADCOMPATIBLESISTrgArgAk

LEINCOMPATIBSISTrgArgA

k

k

kAkkkkkA

kkkk

kk

k

fkfF

kk

kk

k

ffF

ffF

k

k

k

zkyx

kzyx

kzyx

10) Hallar el rango de la siguiente matriz segn los valores de

+++ 555

:,,

( )

21

0

0

000

0

111

0

0

111

111

5

1555

233

133

12211

====

==

+=

+=

=

+++=

+++

rgAoSirgASi

ffF

ffF

ffFfF

11) Demostrar que para cualesquiera valores, distintos dos a dos, de a, b, c, el siguiente sistema tiene solucin nica

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )

nicaSolucinODETERMINADCOMPATIBLESistrgArgAAcbaSi

bcacabacbaccabA

abaacbacc

aacabbffF

aaccabb

aacabaffF

affF

cba

cba

zcybxa

czbyax

zyx

==

==

=

==

=++

=++=++

30

22300

20

1111

230

20

1111

3

2

1111

3

2

1

233

22233

122

222222


12) Explicar cmo se calcula el determinante de una matriz cuadrada de orden n por los elementos de una fila o columna definiendo los conceptos que se utilicen. Como aplicacin resolver la siguiente ecuacin

0

00

00

0

1111

=

cx

bx

aax. Enuncia el teorema de Rouch-Frobenius

a) En una matriz cuadrada de orden se llama menor complementario del elemento y lo representamos por al determinante de la matriz cuadrada de orden que resulta de suprimir la fila y la columna de la matriz

Se llama adjunto del elemento , y lo representamos por al producto :

El determinante de una matriz cuadrada de orden es igual a la suma de los productos de los elementos de una lnea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:

b)

( )( ) ( )( ) ( )

+==+

==+=

=

=

=

===

==

ac

caxacxcab

bacxcabaxxacb

cx

axab

cx

bx

axa

cxx

bxx

axax

ccC

ccC

ccC

cx

bx

aax

cx

bx

aax

00

00

0

0

0

0

0

0

0001

00

00

0

1111

0

00

00

0

1111

244

233

122

c) El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condicin necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes y la matriz la ampliada por los trminos independientes posean el mismo rango. Adems, el sistema constituido ser determinado si su rango coincide con el nmero de incgnitas ser indeterminado si posee un valor menor a tal nmero.

13) Definir el concepto de inversa de una matriz e indica una condicin que debe cumplir una matriz para que exista

su inversa. Halla los valores de a para los que la matriz

=113

12

11

a

a

A tiene inversa. Calclala para a=1

La matriz inversa de A, matriz cuadrada de orden n, es otra matriz que representamos por A-1 y

que verifica: IAAAA == 11 .

Una matriz cuadrada tiene inversa si y slo si su determinante es distinto de cero. Si una matriz

tiene inversa se puede calcular mediante la frmula: ( )( )tAAdjA

A11 =

=

=

======

====

=

613165

313132

21021

125

224

303

6

1

125

224

303

6

113

12

111

332313

322212

312111

A

AAA

AAA

AAA

Aa

a

A


14) Sea un sistema homogneo AX=0. De las siguientes afirmaciones justifica las que sean ciertas, o poner un contraejemplo en las que sean falsas:

a. Un sistema homogneo siempre es compatible determinado b. Un sistema homogneo nunca es incompatible.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

=+++

=+++=+++

mnnm22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

K

LLL

K

K

donde x1, ..., xn son las incgnitas, b1, ..., bm se denominan trminos independientes y los

nmeros aij se llaman coeficientes de las incgnitas, formando una matriz que denominaremos A,

matriz de coeficientes. Cuando los trminos independientes son cero, estamos ante un caso

particular de sistemas que denominamos homogneos.

Atendiendo al nmero de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en

tres tipos:

Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solucin.

Sistema compatible: son aquellos que poseen solucin. Dentro de ellos, podemos hablar

de:

Sistema compatible determinado: sistemas con una nica solucin.

Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.

Teorema (Rouch-Frobenius): Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A X = B, y

llamemos matriz ampliada del sistema a A* = (A|B). Entonces:

Si Rango(A) < Rango(A*), el sistema resulta incompatible.

Si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas), el sistema resulta compatible determinado.

Si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas), el sistema resulta compatible

indeterminado.

En un sistema homogneo Rango(A) = Rango(A*) siempre, por lo tanto un sistema homogneo

siempre es compatible (nunca es incompatible) pero puede ser

Compatible determinado si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas)

Compatible indeterminado si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas)

Por ejemplo: ( ){ }===

=++=++

=y

zyx

zyx

yx

2y- y,y,S2 Rango(A*) Rango(A)

0222

0

0

Calcula el determinante de la matriz

=

1400

2110

1312

0211

B . Qu solucin tiene el sistema homogneo BX=0?

022

140

211

113

1400

2110

1130

0211

2

1400

2110

1312

0211

122 =

=

===

ffF

0

mindet400

===

Xtrivialsolucinlaesque

solucinnicaunatieneadoercompatibleSistemargBBBX


15) Definir el rango de una matriz. Indica algn mtodo para calcularlo. Hallar el rango de

a

bb

aa

112

12

112

segn

los valores de a y b.

Rango de una matriz: es el nmero de lneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rag(A) o r(A). Tambin podemos decir que el rango es el orden del mayor menor no nulo. Utilizando esta definicin se puede calcular el rango usando determinantes. Clculo por el mtodo de Gauss: En general consiste en hacer nulas el mximo nmero de lneas posible o descartar lneas si:

Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos lneas iguales. Una lnea es proporcional a otra. Una lnea es combinacin lineal de otras.

El rango ser el nmero de filas que quedan despus de descartar todas las posibles.

( )

( )

312

3210

)(22

21

30

2220

1000

112

1

2

0000

1110

2112

2

2220

1110

112

211

12

112

112

12

11

2

2

133

122213

2

=

=======

=

=

=

==

rgAbaSi

rgAaaa

estudiadoyargAa

rgAa

rgAa

aaaa

a

a

bSi

bdevalorelseaquecualquierargAbbaSi

aaaa

abb

a

affF

ffF

aa

bb

a

ff

a

bb

aa

16) Si

=

=

20

11

23

12ByA , determina la matriz X despejndola previamente de la ecuacin matricial:

BXAXA =2 (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuacin matricial tenga sentido)

( ) ( ) 12222 +=+=+== BAAXXBAABXAXABXAXA

( )

=

=

=

=

=+

=

+

=+

2

1

2

13

2

3

4

23

12

2

1

2

1

03

2

23

12

4

1

4

1

03

1

2

4

1

4

1

03

1

12

3

12

3

012

4

43

03

20

11

23

12 1

X

BABA


17) Halla todas las matrices 2x2, que denotamos A, que cumplen ( ) 011;02 == AA (= denota la matriz nula)

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

===

=+=

==

=+=

==

==

=+

=+=+

=+

=+=+

=+

=+=+=+

=

=

==

=

aaa

aaSoluciones

babaSi

ba

bab

baa

bab

baa

bab

baa

bab

baa

bd

ac

dcb

dac

dab

bca

db

ca

dcb

dcac

bdab

bca

dc

ba

dc

ba

dc

ba

A

A

dc

baA

;00

00:

00

0;0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0011

00

00

011

0

2

2

2

2

2

2

2

18) Hallad las matrices A que verifican la ecuacin:

=

6

6

6

213

132

321

A

=

=

=

=

=

======

====

=

==

=

=

1

1

1

3

3

3

3

1

1

1

1

157

571

715

3

1

6

6

6

157

571

715

18

1

157

571

715

18

1

157

571

715

18

213

132

321

6

6

6

213

132

321

13dim

6

6

6

213

132

321

1

332313

322212

312111

1

A

B

BBB

BBB

BBB

BB

CBACAB

z

y

x

xensindeesAA

19) Hallad segn el valor de a el rango de la matriz

21

41

421

aa

a ;

211

11

111

a

a

( )( )

322

000

040

421

21

000

000

421

2

2042

400

020

421

420

020

421

1

41

421

2

2233

2133

122

2

==

==

=

===

=

==

rgAargAargAa

aAaaA

a

affF

aa

affF

ffF

aa

a

( )( )

312

000

021

111

11

000

000

111

1

1011

100

010

111

11

11

1112

2133

122

2

==

==

=

===

==

rgAargAargAa

aAaaA

a

affF

ffF

a

a


20) Sea

x

x

x

x

xP

333

333

111

111

)( = halla dos races de este polinomio de grado cuatro.

( )( )

====

03mindet3

01mindet1

PigualesfilasdostieneanteerelxPara


21) Discutid segn los valores de a y b el siguiente sistema de ecuaciones:

=+=+

=

bzayx

azyax

zyx

103

03

343

( )( )

( ){ }

( ){ }=

=+==

==

==

=======

=

+=

+=+==

==

==

=======

=

=

===+=

++

=

++

==

=+=+

=

zzzzSzzyx

zy

zy

zyxba

ADOINDETERMINCOMPATIBLErgArgAba

LEINCOMPATIBrgArgAba

b

a

yyySyzyx

z

z

zyxba

INDETCrgArgAba

INCOMPrgArgAba

bff

F

b

a

aaAaaA

aba

aaa

ffF

ba

aaaffF

affF

ba

aa

bzayx

azyax

zyx

,22,2323433

22

22

34392

292

3292

9000

6630

3431

2

1,,3131433

1

33

34391

...291

.3291

9000

3300

3431

6300

3300

3431

1

2103633

333600

33330

3431

36330

33330

3431

1031

03

3431

103

03

343

23

3

233133

122

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )aababaa

a

ab

aa

aabzyxzyx

aa

aaby

a

aab

a

abaa

a

abaayaaazya

a

abzabza

GaussPorODETERMINADCOMPATIBLErgArgAaa

332

443330

36

334

332

933433343

332

9

2

9

2

333

36

3333333333

36

333336

321

2

++=

++

+++=++==

++=

+=

+++=

+=+=++

+=+=

==

22) Sea A una matriz 2x2 no nula Puede ocurrir que AA sea la matriz nula? Dad un ejemplo o mostrad que no es posible.

( )( )

=

=

=

=

=

=

=+=+=+

=+

++++

=

=

=

00

00

11

11

11

110:

11

11

1lg

0

0

0

0

0

2

2

2

2

2

AAyAsComprobamoA

solucinunaobtenemosahacemosSiabc

dasistemaesedenulanosolucinunaaBuscamos

dcb

dac

dab

bca

dcbcdac

bdabbca

dc

ba

dc

baAA

dc

baA


23) Sean las matices

=

=

z

zBy

yxA

0

033; adems denotaremos con

tA a la matriz traspuesta de A.

Averiguad para qu valores de x, y, z se cumple la relacin BAAt =

( )

=

=

=

==

=

=

=

=

=

+

==

=+=+

=

=

+++

=

=

=

180

018

33

33

33

33:

3

3

18

9

18

182

1818

033

18

0

0

33

3318

0

0

3

333

0

033

222222

22

ByAAsolucionesdostieneA

y

x

z

x

z

x

z

xx

xy

z

zyx

yx

z

z

z

yxyx

yx

z

z

y

x

yxz

zBy

yxA

m

24) Obtener, en funcin de a, b y c, el determinante de la matriz

++

+=

1111

1111

1111

1111

c

b

aA

abcabc

c

b

aaa

c

b

aaaa

ccC

ccC

ccC

c

b

aA ==

=

+=

===

=

++

+=

010

001

111

00

001

001

001

1

0001

1111

1111

1111

1111

144

133

122



01

0,0,1

0111

111

122

.30

.32

2000

1010

1001

0

002

2200

110

101

110

110

101

2

112

110

101

,,

:112

110

101

12

1

1

233

13332

21

==+

=====+

====

==

=

===

=

=

=++=+=+

yaxy

aSolucin

aaaxzaxz

axax



aAaA

a

a

a

ffF

a

a

a

ffF

a

a

a

xzy

incgnitas

cc

cc

a

a

a

zyax

zax

yax

b)

( )

( ) ( )( )

( ){ }

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

3

12

3

1462

3

1

3

422222

3

2

3

1111111

3

1

32

2

65

2265

332

,1,343422222

1

22

1

32

0000

1110

2121

2

32

1000

1210

2121

3

2302365

26500

1110

2121

4

2240

1110

2121

2242

111

2121

242

1

22

22

2

2

233133

122

+=

+++=

++

++=+==+

+=

+++=++==++

+=

+++=

+++==++

==

=

=+=+==

=+=


c)

( )

( ){ }

( )

( ) ( )( )( ) ( )32

32

32

43132

3

2

2

1

2

112

3

223

33

,1,343422222

1

22

1

32

6000

2020

3111

3

3032

2300

1020

111

333

1111

111

33

1

2

133

122

+=

++=

+=+==+

==

==

==

=

=+=+==

=+=

==

=

===

==

=+=++=+

a

aa

a

aaaaa

a

aaazyaxazyx

ayay

a

azaza


zzzzSzzzzyx

zy

zyx

zy


aAaA

aa

a

a

ffF

ffF

aa

a

aazyx

zyx

azyx

d)

e)

( )( )

( ){ }

( ){ }=

=+=+

=++=++

==

=

=+=

=++=+

==

======

+=++=

=

=+=++

=+


zyx

zyx



zyx

zyx




aaaa

a

a


ogneosistemaunEs

zyax

zyx

zayx

,35,28Re7

281214

07

0471220

71

422712

,2,5Re7

432

07

04320

11

3223

0min37123

7123mindet

12733697

131

711

42hom

013

07

0422

( )( )

1,1523

235mindet25

335

50

7553518

32

23

23

32

23

2323

==

=+=+

====




=

10

01AA



Matrices cuadradas:

=

=

=

=

00

13

30

10

00

10

13

21BAABBA

b)

==

=

=

=

db

caBA

bd

acAB

d

cB

b

aA

0

0

0

0

0

0

0

0

c)

==

==

=

=

=

10

01;

10

01;

10

01;

10

01

1

1

1

1

10

01

0

0

0

02

2

2

2


a

b

a

b

aAA

b

aA

3) Resuelve


=

=

=

00

21

31

21

10

01CBA

( )

=

=

=

=

==

=

=====

00

01

11

23

00

21

11

23

00

21

10

01

11

23

12

131

10

01

11

1

11111111

X

BBAdjBB

identidadlaserPorA


=====

=+=



=

=

21

32

22


( )

( )

=

=

=

=

==

=

===+

2529

35

11

35

211

01

10

013

21

32

211

01

211

01

10

222

22

01

333

1

1

X

PPAdjPP

IQPXIQPXQIPX


cba

acb

cba

cba

+++

1

1

1

;

333

101010

777

222

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )bcacabcb

acab

cb

acab

accabb

acabaffF

affF

cba

cba

cba

cba

==

==

==

==

21011

210

0

110

111

210

0

0

111

210

111

3107

333

101010

777

233

122

222222

( ) ( ) 0011

11

11

1

1

1

1

1

1

233 =++=++=++++++

+==+++

cba

c

a

b

cba

cbac

cbaa

cbab

ccC

bac

cba

acb


=++

=++

0

12

32

zytx


( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

=

=

=

=+

=+

==++

=

==+



=

011

001

110

013

100

025

X

=

=

====

======

=

===

=

001

325

112

011

001

110

010

503

201

010

503

201

010

503

201

1

011

001

110

013

100

025

1

332313

322212

3121111

111

X

A

AAA

AAA

AAA

AA

BAXBAAXABAXX


( ){ }

( ) 01,3,7:713333

3121212

1

.

3

0

,21,34

342133

21

12

3.

2

0

00

00

1210

3111

1210

1210

3111

2532

2121

3111

532

22

3

133133

122

=+++===++

=+=+==

==

==

+=

=+==

+=

=

=++

==

=

===

=

=

=

+

=++

+=+

=++

kkkSolucin

kkkzyxzyx

kkkzykzy

zkkz

ODETERMINAD

COMPATIBLESist

rgArgA

k

zzzzS

zzzzyx

zy

zy

zyx

ADOINDETERMIN

COMPATIBLESist

rgArgA

k

kAkA

kk

k

ffF

k

kffF

ffF

k

k

kzyx

kzyx

zyx

( )

( )

12

264

11

320168

4320168

816000

1100

6410

2111

55

475500

1100

6410

2111

8

1

475500

8800

6410

2111

1

2

21110

4020

6410

2111

111

2111

8321

2111

2

1

832

2

34444

344

233

134

133

122

==++==

======+

==+

+=

+

=

+

=

+=

===

=+=

=+=++

xzyx

yzy

zz



k

fkfF

kk

fF

kk

fkfF

ffF

kkkkffF

ffF

ffF

kzyx

zykx

zyx

zyx


( )

( )

( ){ }

( )

( )11

1

1111

1

1

1111

11.310

.32

1000

1110

2121

1

0,,11

0

1

0.2

0100

0000

1011

0

1001

100

0

111

010

0

111

010

1011

111

0

1

11

2

233122

=

++

+=+=+++

=

===+=

====

==

=

=

==

=+=

==

=

====

++

+=

++

=

++

=+=+

+=+++

k

k

k

k

k

kkxkkzykx

kk

kzyzykkzky

k



yyySyx

z

yx

z

ADOINDETERMIN


kkAkkA

kk

kkk

kkk

ffF

k

kkk

kkk

ffF

k

kkk

zky

yx

kkzykx

( )

( )

( )

=

==+==

=

=++=+

==

=

====+=

++=

+++

+==

+

=++=++=+++

zzzS

zzzyx

zy

zyx

zy

ADOINDETERMIN



kkAkkA

kk

k

fkfF

kkkk

k

k

Suponemos

kkkk

kkk

k

fkfF

ffF

k

kk

k

ee

ee

kzkyx

kzyx

zyxk

,5

9,

5

2

5

2

5

18522

5

185224

5

9

422

955.2

9550

0000

4221

2

22

3003

1300

2110

421

12

141120

2110

421

02

141120

42220

421

13111

221

421

22

42

31

2

2233

2

2133

122

23

12

( )

( )kk

k

kk

k

kk

kkxkzyx

kk

kk

kkzyzy

kkzzkk

ODETERMINAD



rgAkrgAk

3

2

33

1622442

3

162

3

1222

3

113

.3230

.3.3

2

1000

2110

4021

02

1000

2110

4321

3

222

2

2

2

2

2

2

++=

++

++==++

++=

+=+==

+==+

==

==

=

==

=


( )

( )( ) ( ) ( )

( ) 22

22

2

22

3

2

2

133133

122

)1(3

22

)1(3

01

23

111

)1(3

1

)1(3

101

43

11

)1(3

23

33)1(

10

42

11

.31

.32

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AAA

AAA

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K

K






tres tipos:



de:








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zyx

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157

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157

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715

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1

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715

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6

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