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Ejercicios clase 1
7 de mayo 2012Aritmética y álgebra
Los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales.
Los primeros números que la humanidad empleó, fueron los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,. . . que son útilespara contar. El cero hizo su aparición después, pero es práctico considerarlo dentro de los números naturales. Laforma de denotar al conjunto de los números naturales es a través de el símbolo N, es decir
N = f0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . g
Piensa que ocurre si restamos dos naturales, en particular, si un número mayor se resta a uno menor, por ejemplo4 � 9. De este hecho surge la necesidad de introducir a los números enteros negativos que junto con los númerosnaturales conforman a los números enteros. El conjunto de los números enteros se simboliza por Z, es decir,
Z = f. . . , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,. . . g
Los números negativos son de utilidad en la vida diaria, porque sirven para representar temperaturas por debajodel punto de congelamiento del agua (0�C), profundidades por debajo de un punto de referencia, como puede ser elnivel del mar, y hasta los kilos pérdidos por una persona.Del mismo modo que tuvimos di�cultades con la resta si únicamente consideramos a los números naturales, al
dividir, tendremos problemas si sólo consideramos a los enteros. ¿Qué pasa si dividimos 7� 4?Ahora debemos considerar al conjunto de los números racionales, que son los números que se representan como
el cociente de dos números enteros, donde el denominador no es cero. Al conjunto de los números racionales se ledenota con el símbolo Q. La forma de expresar en forma corta a los números reacionales es
Q =�p
qj p; q 2 Z; q 6= 0
�Los números racionales son adecuados para la mayoría de las operaciones que realizamos en forma cotidiana; sin
embargo, desde el siglo V a.C, los griegos se percataron que con regla y compás se podían construir segmentos cuyalongitud no se podía expresar como el cociente de dos números enteros. Por ejemplo, en el triángulo rectángulo,cuyos catetos miden 1, la hipotenusa mide
p2. Este número no se puede escribir en la forma p
q , con p y q números
enteros, de modo que,p2 no es un número racional. A este tipo de números se les llama números irracionales. La
unión de los números racionales con los irracionales, permiten tener una recta sin huecos, a la que denominamosrecta real. Los puntos que llenan toda la recta son los números reales. A pesar de que hemos hablado de muchostipos de números, los números reales también tienen sus límites. Por ejemplo, cómo representamos en la recta realal número
p�3. O puesto en térmios más sencillos, qué número real, multiplicado por sí mismo, daría �3.
Suma de enteros
La distancia de un número a 0, se llama valor absoluto del número y se representa encerrando al número entredos rayas verticales, así
j12j = 12
j�12j = 12
Para sumar dos números enteros con el mismo signo:
1. Se suman los valores absolutos de los números, como si fueran positivos.
2. Se determina el signo de la suma
1
a) Si ambos son positivos, la suma es positiva.
b) Si ambos son negativos, la suma es negativa.
Ejemplo
�29 + (�32)Sol. Sumamos los valores absolutos de los números: 29+32 = 61. La suma es negativa, dado que ambos sumandos
son negativos: �29 + (�32) = �61:Para sumar dos números enteros de signo contrario:
1. Se restan los valores absolutos de los números: el menor del mayor.
2. El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto.
Ejemplo
�16 + 11Sol. El valor absoluto de �16 es 16, y es mayor que el de 11. Se restan los valores absolutos: 16 � 11 = 5. La
suma es negativa porque j�16j es mayor que j11j. Así, �16 + 11 = �5.Finalmente, hay que señalar una propiedad importante de los números enteros. Para cualquier número entero
siempre se puede encontrar su opuesto o inverso aditivo. La suma de un número entero y de su inverso aditivo esigual a 0.
Ejemplo
El inverso de aditivo de 4 es �4, porque 4 + (�4) = 0; el inverso aditivo de �13 es 13, porque �13 + 13 = 0.
Problemas
1. En cada inciso escribe el número entero que representa cada situación
a) Un submarino está sumergido a 210 m.
b) La temperatura es de 32 �C.
c) La temperatura es de 3�C bajo cero.
d) Debe $ 1215.
2. Encuentra el inverso aditivo u opuesto al número dado.
a) �47b) 33
c) �0d) 17
3. Indica el número que debes sumar en cada situación.
a) Bajo 4 kg de peso.
b) El ritmo cardiaco aumento 6 latidos por minuto.
c) Este pan lleva 100 g menos de levadura.
d) El resorte se comprimió 2 cm.
4. Simpli�ca las expresiones a un número entero.
a) 5� (�7)b) �(634� 498)c) 5 + (�11) + 9 + (�6) + (�5) + 9d) (�36) + (�24) + (�51) + (�612)
2
Ejercicios clase 214 mayo 2012
Resta de enteros
Dados dos números enteros a y b, la diferencia o resta a� b se de�ne como
a� b = a+ (�b)
es decir, restar b signi�ca sumar el inverso aditivo de b.
Ejemplo
Simpli�car 3� 8Sol. Restar 8, signi�ca sumar �8 y basta con aplicar la regla de la suma de dos números de signo contrario:
3� 8 = 3 + (�8) = �5
Ejemplo
Simpli�car 7� (3� 4)Sol. Se resuelve primero lo que está en el paréntesis
3� 4 = �1
y ahora se realiza la resta7� (�1) = 8
Multiplicación de enteros
Todos sabemos multiplicar. Lo que debe quedar claro es que la multiplicación es una suma abreviada.
Ejemplo
Multiplicar 2� 7, signi�ca sumar 7 veces 2 es decir,
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14
pero recuerda que el orden de los factores no altera el producto, asi que 2� 7 = 7� 2, que también signi�ca sumar2 veces 7, es decir,
7 + 7 = 14
* Leyes de los signos
I. El producto de dos números del mismo signo es positivo.
II. El producto de dos números de signo contrario es negativo.
Las reglas pueden ser recordadas a partir de la siguiente tabla
(+) � (+) = (+)(+) � (�) = (�)(�) � (+) = (�)(�) � (�) = (+)
Algo que no debes olvidar es que cualquier número multiplicado por 0 es 0.Otra hecho que tampoco debes olvidar es que existe un orden para realizar las operaciones: primero se hacen las
multiplicaciones y después las suma.
Ejemplo
3 + (2� 5) = 3 + (10) = 13, es fácil pensar que 3 + (2� 5) = 5� 5 = 25, pero es incorrecto.
3
El orden de los números enteros.
Si se consideran dos números enteros a y b, se dice que a es menor que b si al colocarlos en la recta, a queda ala izquierda de b, y ello se representa por ahb, que se lee a es menor que b o b es mayor que a (bia).
Factores primos y máximo común divisor.
Un número primo es un número natural mayor que 1, que si se divide por cualquier número, excepto por élmismo o por el 1, da siempre un racional con denominador distinto de 1. Hay una manera alternativa de de�nir aun primo que dice que un número primo es un número natural mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y él mismo.
Primos No primos2 = 2� 1 4 = 2� 2 = 4� 13 = 3� 1 6 = 2� 3 = 6� 15 = 5� 1 8 = 2� 4 = 2� 2� 2 = 8� 17 = 7� 1 9 = 3� 3 = 9� 111 = 11� 1 10 = 5� 2 = 10� 1
El máximo factor común o máximo común divisor de dos o más números es el máximo de sus factores co-munes.Para encontrar este máximo factor común hay varios métodos, los más sencillos son los siguientes.
A. Se enlistan todos los factores de cada número y se establecen los factores comunes, el mayor de ellos es el máximofactor común. Si el único número que está en ambas listas es el 1, se dice que ellos son primos relativos.
B. Algoritmo de Euclides. Se divide el número mayor entre el menor. Si el residuo no es cero, se divide el divisoranterior entre el residuo que se obtuvo y se continúa hasta que el residuo es cero. El último residui distinto decero es el máximo común divisor de los números dados.
Ejemplo
Encontrar el máximo común divisor de 18 y 72, utilizando ambos métodos.Sol. Los factores de 20 son: 20, 10, 5, 4, 2.y 1 Los factores de 72 son: 72, 36, 24, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1. Los
factores comunes son 1, 2, 4 y el mayor es 4.Si se aplica el algoritmo de Euclides
Problemas
1. Efectúa las siguientes operaciones
a) 8� (�2)b) 7� (�8)c) �4� 11d) ((�1)3)e) (�1) (12) (�3)f ) (�42) (�11) (0) (�5)
2. Traduce al lenguaje algebraico y resuelve.
a) La suma de -47 y 20 menos 15.
b) Un día de invierno, la temperatura en la madrugada era de 8 �C. Durante la mañana subió 12 �C, el latarde descendió 5 �C y en la noche bajó 3 �C. ¿Qué temperatura se registro en la noche?
c) Un alpinista está en la cima del Iztaccíhuatl cuya altitud es de 5230 m. Desciende 319 m. Otro alpinistase encuentra en las faldas del Téyotl, a 4134 m y asciende 627 m. ¿Cuál es la diferencia entre las altitudesa las que están los dos alpinistas?
4
d) El área de un rectángulo es igual a 24 cm2. Si se deforma el rectángulo disminuyendo su altura a la mitady permaneciendo el área constante, ¿qué le sucede a la base?
3. En los incisos a. al d. coloca el cuadro el signo �, �, ó =. En los incisos e y f, escribe los números de menor amayor.
a) 3�5b) 1�-1c) -5�-6d) -14�-14e) -54, -56, -61, -51
f ) 3, -3, 7, -7.
4. En cada caso factoriza el número dado como producto de factores primos.
a) 396
b) 1024
c) 91
d) 6525
3. En los siguientes ejercicios, encuentra el máximo común divisor de los números dados
a) 24 y 36.
b) 37 y 54
c) 1350 y 90
d) 120 y 720
4. Un tinaco de 1200 litros se llena en 4 horas. ¿Cuántos litros por minuto vierte la bomba?
5
Ejercicios clase 3
17 de mayo 2012Aritmética y álgebra
Los números racionales
Un número racional pq (con p; q 2 Z; q 6= 0) suele denominarse fracción o quebrado. Al número que va arriba, p,se le llama numerador y al número que va abajo, q, se le llama denominador. Dos fracciones pueen representar elmismo número, por ejemplo
2
8=1
4
Si se multiplican tanto el numerador como el denominador de una fracción por el mismo número entero distintode cero, se obtiene una fracción igual a ella. En el caso anterior esto es cierto pues
1�24�2 =
2
8
En algunas ocasiones no es tan evidente que dos fraccione sean iguales, en este caso se puede hacer uso del siguienteresultado. Sean a
b ycd dos fracciones, si
a
b=c
d() ad = bc
Ejemplo
Determina si los siguientes números son iguales921 y
1228 :
Como 9� 28 = 252 y 21� 12 = 252, entonces son iguales.
Expresiones decimales.
1.125, 0.625, 0.17345, 0.1535 son expresiones decimales. Cualquier número racional puede ser escrito en formadecimal; para establecer esta forma basta con realizar la división correspondiente.
Ejemplos
Encontar la expresión decimal de 12
Encontar la expresión decimal de 37
Encontrar la expresión decimal de 209
Suma y producto de números racionales.
Para sumar dos fracciones que tienen el mismo denominador, sólo se suman los numeradores y el denominadores el mismo
Ejemplo
6
4
7+6
7=4 + 6
7=10
7
Cuando se tienen fracciones con distinto denominador, primero se deben representar con el mismo denominador.Para ello es útil, emplear el resultado de que si se multiplican tanto el numerador como el denominador de unafracción por el mismo número entero distinto de cero, se obtiene una fracción igual a ella. Pero en el caso de unasuma que involucra dos fracciones, la primer fracción se multiplica (tanto en su numerador como en su denominador)por el denominador de la segunda fracción, y la segunda fracción se multiplica (tanto en su numerador como en sudenominador) por el denominador de la primera fracción.
Ejemplo
2
3+7
5=2� 53� 5 +
7� 35� 3 =
10
15+21
15=31
15
En generala
b+c
d=ad+ bc
bd
En ocasiones es posible multiplicar por números más pequeños para obtener el mínimo común denominador, yasí trabajar con números más pequeños. Es obvio que el resultado es el mismo
Ejemplo
5
6+8
15=75 + 48
90=123
90=41
30
que en forma equivalente es igual a
5
6+8
15=5� 56� 5 +
8� 215� 2 =
25 + 16
30=41
30
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y este producto es el numerador de la fracciónresultante. Lo mismo se hace con los denominadores.
a
b� cd=a� cb� d
Ejemplo
5
12� 9
10=45
120=3
8
La división es análoga a la multiplicación, pero primero es importante de�nir el recíproco de un número racional.Dos fracciones son recíprocas, una de la otra, si su producto es uno. Por ejemplo 2
5 y52 son recíprocos, pues
25�
52 = 1.
En general, si a y b son distintos de cero,
el recíproco dea
besb
a
Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por el recíproco de la segunda, que debe ser distinta de cero,
a
b� cd=a
b� dc=ad
bc
Ejemplo
2
3� 58=2
3� 85=16
15
División
7
La división entre un número real distinto de cero se de�ne como la multiplicación por el inverso multiplicativode dicho número, por ejemplo, la división de 8� 4 = 2 equivale a la multiplicación de 8� 1
4 = 2.
* De�nición de la división
Si a y b son números reales, y b 6= 0, entonces
a
b= a
�1
b
�o dicho de otro modo, dividir entre un número distinto de cero, es multiplica por su recíproco. En general el númeroracional pq signi�ca dividir el entero p entre el entero q, así si a y b son reales, se puede generalizar del siguientemodo
a
b= a� b
Ejemplos
3;61;2 =
3612 = 3;
51;5 =
5015 � 3;333;
p23 � 0;4714045
El símbolo � signi�ca �aproximadamente igual a�.
* Leyes de los signos de la división.
A. El cociente de dos números reales con el mismo signo es positivo.
B. El cociente de dos números reales con distinto signo es negativo.
Lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla.
(+) � (+) = (+)(+) � (�) = (�)(�) � (+) = (�)(�) � (�) = (+)
Ejemplos
Dividir 48� (�8)Sol. Como 40 y �8 tienen signos diferentes, el resultado es negativo
40� (�8) = �6
Simpli�car 54� [(�24)� (�8)]Sol. Se resuelve primero la operación que está entre corchetes
(�24)� (�8) = 3
así54� [(�24)� (�8)] = 54� [3] = 18
Observaciones importantes respecto a la división.
� El cociente de cero entre cualquier número distinto de cero es siempre cero.
0� b = 0� 1b= 0
� No se puede dividir entre cero, ya que habría que multiplicar por el recíproco de cero, pero el cero no tienerecíproco.
Orden de las operaciones.
8
� Primero se realizan todas la multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
� Después se realizan todas las sumas y restas de izquierda a derecha
Ejemplo
Simpli�car 7 + 2� 8� 6� 3.Sol.
7 + 2 � 8 � 6 � 3 =7 + 16 � 2 = 25
Símbolos de agrupamiento.
Cuando se quiere modi�car el orden en que se van a realizar las operaciones, se utilizan símbolos de agrupamientocomo paréntesis (), corchetes [] y llaves fg.Se realizan primero las operaciones dentro de los símbolos de agrupamiento siguiendo las reglas descritas ante-
riormente.Si has varios símbolos de agrupamiento, uno dentro de otro, primero se realizan las operaciones de los símbolos
interiores y luego los exteriores.Las rayas de las fracciones también se pueden considerar símbolos de agrupamiento. Por ejemplo 3�6
1+2 =(3� 6)� (1 + 2) = (�3)� (3) = �1.
Ejemplos
Simpli�car 6(5� 2)Sol. Primero se hace la resta dentro del paréntesis y luego la multiplicación
6(5� 2) = 6� 3 = 18
Simpli�car 7� [3 + (8� 15)]Sol.
7� [3 + (8� 15)] = 7� [3 + (�7)] = 7� [�4] = 11
Problemas
1. Escribe los siguientes números en su expresión decimal
a) 23 b) 27100
c) 113 d) 4 510
2. Efectúa las siguientes operaciones
a) 56 +
46 b) 9
7 +�� 57�
c) 12 +
�� 13�
d) 116 +
218 e) 15 59 +
��15 23
�f)�� 125
�+�� 85�g)
�� 74�+�� 47�h)
�� 134
�+�� 134
�i) � 25
6 +�� 115
�j) 1
2 +132
�� 32�+�� 152
�k) 32
27 +�� 103
�+�149
�+�� 6827
�+�� 109
�l)�� 34���� 32� �� 253
���85 �
25
�3. Efectúa las siguientes operaciones y simpli�ca
a) 34 �
12 �
78 �
14 b) 3 13 �
�� 23 � 4
13
�� 1 c)
�� 12 +
�� 23��+���� 12 +
23
��4. Para transformar de grados Fahrenheit a grados centígrados (o Celsisus) se utiliza la fórmula: �C = 5
9 (�F�32).
Expresa en grados centígrados las siguientes temperaturas:
a) 0 �F b) 32 �F c) � 40 �F d) 100 �F
5. Resuelve los siguientes problemas:
a) Una persona está siguiendo una dieta para adelgazar. El primer mes bajo 2 14 kg, el segundo mes bajo 118
kg, el tercer mes subió 34 kg y el cuarto mes perdió 1
12 kg. ¿Cuántos kilos bajo en total?
b) En la expresión 9� 8� 12� 3 coloca los paréntesis de modo que su valor sea:
a) 68 b) 12 c) 20 d) 36
9
Ejercicios clase 4
21 de mayo 2012Aritmética y álgebra
Razones y proporciones
Una razón es el cociente de dos números. Podemos representar una razón de tres maneras como una fracción, através del símbolo de la división o mediante la separación de cantidades por medio de dos puntos.
Ejemplos
La razón 7 es a 3 se escribe como:73 o 7� 3 o 7 : 3
Escribir una razón para comparar 600 m con 3 km.Sol. Se escriben las dos cantidades en las mismas unidades 3 km = 3000 m.Se escribe la razón y se simpli�ca
600 m3 km
=600 m3000 m
=600
3000=6
30=1
5
La razón es 15 , 1 : 5 o 1� 5:
* Propiedad de la proporción.
Para cualesquiera números enteros a; b; c y d donde b 6= 0 y d 6= 0
Sia
b=c
dentonces ad = bc
Ejemplo
Una aparato de sonido requiere ser provisto de energía para funcionar. Técnicamente requiere 500 J cada segundo.Si el aparato está encendido durante 2 h al día se deben pagar 0.74 c/, por la energía consumida en dicho tiempo. Sien un hogar el promedio de uso mensual de este aparato es de 127 h, ¿cuánto deberá pagar el hogar por la energíaconsumida, si el costo de la energía es igual que en el primer caso?Sol. Sea x el costo de la energía consumida durante el mes.La razón de tiempo y costo de energía del primer escenario es
2
0;74
y en el segundo escenario es127
x
Como el costo de la energía es el mismo, se igualan las dos razones y se resuelve la ecuación resultante
2
0;74=
127
x2x = 127� 0;74
x =127� 0;74
2= 46;99
Por tanto el costo a pagar es de $ 46.99.
Porcentaje.
Una forma muy usual de representar proporciones es el porcentaje. En este caso, la razón tiene siempre al 100como denominador.
10
Ejemplo
Sólo el 22% de los habitantes en México cuenta con conexión a internet. En este caso% signi�ca 1100 . Así
22% = 22 � 1100 =
221 �
1100 =
22100 . La conclusión es que solo 22 de cada 100 habitantes en México tiene acceso a
este servicio.Como se mencionó, el porcentaje es una manera de representar proporciones. Si se considera el ejemplo anterior y
se dan por buenas las cifras del Censo de Población y Vivienda 2010, realizado por el INEGI, que contó 112 millones336 mil 538 mexicanos, ¿cuántos habitantes en 2010 tenían acceso a internet? Si x es el número de habitantes quetiene acceso internet, entonces se iguala el porcentaje con la razón
x
112336538
de donde resulta
22
100=
x
112336538
Si se resuelve la ecuación se obtiene
x =22� 112336538
100= 24714038;36
Como la parte decimal no tiene sentido en el contexto de personas, el resultado es que sólo 24 millones 714 mil 38de un total de 112 millones 336 mil 538 mexicanos tenían internet en 2010.
Leyes de los exponentes
Si a es un número real y n un número entero no negativo, se de�na an como
an = a� a� a : : : a| {z } si ni0n veces
Si a es distinto de cero, también podemos de�nir an para n � 0
a0 = 1
an =1
a�n
Ejemplos�37
�5=�37
� �37
� �37
� �37
� �37
�= 243
16807
��p2�0= 1 3�4 = 1
34 =181
Los exponentes cumplen las siguientes propiedades, conocidas como leyes de los exponentes
�Si a es un número real y n, m son números enteros, entonces
anam = an+m
�Si a es un número real y n, m son números enteros, entonces
(an)m
= anm
�Si a y b son números reales y n es un número entero, entonces(ab)
n= anbn
�Si a y b son números reales, y n es un número entero, entonces�ab
�n=
an
bn, b 6= 0
Si a es un número real y r es un racional de la formap
q, entonces
ar = apq = qpap
Ejemplos
11
Simpli�car 3432
3432 = 34+2 = 36
Simpli�car�53�7 �
53�7= 53�7 = 521
Simpli�car (8 � 5)6
(8 � 5)6 = 86 � 56
Simpli�car�47
�3 �4
7
�3=43
73
Simpli�car (5)32
(5)32 =
2p53 =
p53
* Notación cientí�ca
En los problemas de ciencias e ingenierías, a menudo es necesario escribir números muy grandes o muy pequeños.Para expresar dichos números en forma breve, se emplea un sistema con base en potencias de 10. A este sistema se leconoce como notación cientí�ca. En esta notación los números se representan como un número decimal multiplicadopor una potencia de 10. Además armoniza con los pre�jos de las unidades.
Ejemplos
Expresar la distancia media de la Tierra a la Luna en notación cientí�ca.384400000 m
384400000 m = 384;4� 106 m
Expresar el tamaño de un átomo de hidrógeno de 0.000000000053 m en notación cientí�ca.
0;000000000053 m = 53� 10�12 m
Expresar la edad del univeso si se considera que su nacimiento está dado por el Big Bang de 433900000000000000s
433900000000000000 s = 433;9� 1015 s
Logaritmos
De manera general un logaritmo es el exponente a que es necesario elevar un número positivo para que resulteun número determinado. El número positivo al que se aplica el exponente se le conoce como base. Las basesmás ampliamente usadas son el 10 y el número e(= 2;7182818284590452353602874713527 : : :), de ahí que existanlogaritmos decimales (base 10) y neperianos (base e). El empleo de los logaritmos simpli�ca los procedimientos delcálculo aritmético.
Ejemplos
34 = 81 30 = 1 100 = 1 10�2 = 0;01 103 = 1000
El logaritmo de base 3 del número 81 es 4 y se representa comolog381 = 4El logaritmo de base 3 del número 1 es 0 y se representa comolog31 = 0El logaritmo de base 10 del número 1 es 0 y se representa comolog101 = 0El logaritmo de base 10 del número 0.01 es -2 y se representa comolog100;01 = �2El logaritmo de base 10 del número 1000 es 3 y se representa comolog101000 = 3
12
En general, si b es un número positivo, entonces el logaritmo de base b de un número dado, x , es el exponente,y, al que hay que elevar la base b para obtener el número en cuestión
logb x = y es lo mismo que by = x
NotaNo sirve la base 1, pues todas las potencias de 1 son iguales a 1.Para cualquier número positivo b 6= 1 se tiene queb0 = 1, entonces logb1 = 0b1 = b, entonces logbb = 1No hay logaritmos de números negativos, pues si b es positivo, sus potencias son positivas.
Propiedades de los exponentes
Para cualquier número positivo b 6= 1, el logaritmo de base b satisface
logb(xy) = logb(x) + logb(y)
logb(x
y) = logb(x)� logb(y)
logb(xn) = n logb(x)
Ejemplos
log10(p2� 5) = log10
p2 log10 5 = log10 2
12 log10 5 =
12 log10 2 log10 5 log7(
49 ) = log7 4� log7 9
Antilogaritmos
Si un número a es el logaritmo de otro número x, entonces éste último es el antilogaritmo del primero, y serepresenta como antilog, es decir
logb x = a, entonces antilogba = x
esto signi�ca queba = x
Ejemplos
Dado que log101 = 0, entonces antilog100 = 1; dado que log10100 = 2, entonces antilog102 = 100; Dado quelog100;001 = �3, entonces antilog10 � 3 = 0;001.En general
10log10 x = x
log10(10x) = x log10(10) = x
es decir la potencición es la inversa del ogaritmo y viceversa.
Problemas
1. Resuelve los siguientes ejercicios de proporciones y porcentajes
a) Si al comer 60 gramos de avena se consumen 240 calorías ¿qué cantidad de avena debe comerse paraconsumir 100 calorías?
b) Encuentra el 18% de 220
c) ¿Qué porcentaje de 32 representa 24?
d) Un terreno de 200 000 m2 está sembrado de maíz, avena y cebada. El 45% esta sembrado de maíz, el30% de avena y el resto de cebada. ¿Cuántos metros cuadrados están sembrados de cada cereal?
2. Simpli�ca las siguientes expresiones
a) (�2)3 (�2)6
13
b) 8(�1)7(2(�1)2)(�1)
c) 7(5)�511
14
�6(52)
d)�(0;5)
�32
�4�53. Expresa los siguientes números en notación cientí�ca
a) 0.00067
b) 764000000000
c) 0.0000000000043
4. Efectúa la operación indicada y expresa el resultado en notación cientí�ca
a) 5;3�2;1� 10�8
�b) (
7;2�10�3)(8;1�102)(4;3�105)
c) (6;4�105)(5;7�10�6)(1;2�103)(4;2�109)
5. En un circuito eléctrico de un ampere �uyen 6.2�1018 electrones por segundo en cualquier punto del circuito.¿Cuántos electrones �uyen a través de un foco de 100 W con una diferencia de potencial de 120 V? (P=VI)
6. Emplea una calculadora para encontrar, en todos los casos con una base de 10,
a) log 41.52
b) log 4.152
c) log 0.853
d) log 0.000657
e) log -4
f ) antilog 6.186
g) antilog -2.3567
h) antilog -35.17
14
Ejercicios clase 5
24 de mayo 2012Aritmética y álgebra
Álgebra
La palabra álgebra proviene del árabe alµgabru walmuqabalah, que quiere decir reducción y cotejo. Según eldiccionario de la lengua española, ésta es la "parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas songeneralizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otraentidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita". El álgebradebe entenderse como la rama de las matématicas que permite simpli�car y comparar. En este primer acercamientoal tema, la intención es comprender y utilizar conceptos que permitan traducir problemas del lenguaje de todos losdías al lenguaje algebráico.Cuando se quiere estimar la distancia que recorrerá un objeto que cae bajo la acción de la atracción de la Tierra,
llamada fuerza de gravedad, que parte del reposo a un tiempo dado, se emplea la expresión
y =1
2gt2
en la que t es el tiempo. Así, una sóla expresión sirve para calcular la distancia que cualquier objeto que cae bajola acción de la gravedad, si se establece el valor de t. En la expresión y = 1
2gt2 t es una variable y 1
2 y g, cuyo valores 9.80665 m/s2, representan constantes. El álgebra enuncia los principios generales para operar con expresiones quecontienen variables y constantes, y a utilizar estas expresiones para resolver problemas de la vida diaria. Cuando secombinan variables, constantes y operaciones se obtienen expresiones algebraicas, por ejemplo
b�h2 4x� 5y a�b
a+3c
son expresiones algebraicas.En una expresión algebráica, las variables, como es el caso de t, representan números, que pueden ser naturales,
enteros, racionales o reales. De este modo al hacer operaciones con expresiones algebraicas, se deben aplicar lasmismas reglas que se emplean para hacer operaciones con números.Si x, y, z son variables que representan números reales, deben satisfacer las siguientes propiedades:
Propiedad Suma MultiplicaciónConmutatividad x+ y = y + x xy = yxAsociatividad (x+ y) + z = x+ (y + z) (xy) z = x (yz)Neutros x+ 0 = x x� 1 = xInversos x+ (�x) = 0 x
�1x
�= 1 si x 6= 0
Distributividad x(y + z) = xy + xz
Lenguaje algebraico
Para resolver problemas con ayuda del álgebra, lo primero que debe hacerse es traducir los problemas del lenguajede la vida diaria al lenguaje algebraico. Las letras que se usan se pueden seleccionar en forma arbitraria, pero unaopción es usar aquellas que recuerden las cantidades o algo relacionado a lo que representan.
Ejemplos
1. El precio del kg de carne es cinco veces más caro que el kg de tortilla.Sol. Representemos como
C = precio de la carne
T = precio de la tortilla
TraducciónC = 5T
15
2. El precio de 1L de refresco es 2 pesos más caro que 1L de leche.Sol. Representemos como
R = precio de refresco
L = precio de leche
TraducciónR = L+ 2
3. La distancia recorrida por un cuerpo que cae bajo la acción de la gravedad desde el reposo es igual a la mitaddel producto de la constante de gravedad de la Tierra y el tiempo transcurrido desde que se suelta el objeto alcuadrado.Sol. Representemos como
y = distancia recorrida
t = tiempo transcurrido
g = constante de gravedad terrestre
Traduccióny =
1
2gt2
Evaluación de expresiones algebraicas.
Evaluar una expresión algebraica signi�ca reemplazar cada variable por un número para obtener un valor especí-�co.
Ejemplos
1. Evaluar ab cuando a = 4 y b = 7.Sol. Se sustituye la letra a por el número 4 y la letra b por el número 7
ab = 4� 7= 28
por lo tanto, el valor de ab cuando a = 4 y b = 7 es 28.2. Evaluar ab cuando a = 3
8 y b = �92 .
Sol. Se sustituye la letra a por el número 38 y la letra b por el número �
92
ab =3
8���92
�= �27
16
por lo tanto, el valor de ab cuando a = 38 y b = �
92 . es �
2716 .
Es posible que una misma expresión algebraica pueda tomar distintos valores numéricos que dependen del valornumérico que tengan las variables.3. Evaluar la expresión (4y � 3) + 3 (2� y) cuando y = �2Sol. Se sustituye la letra y por el número �2
(4y � 3) + 3 (2� y) =
(4 (�2)� 3) + 3 (2� (�2)) =
(�8� 3) + 3 (2 + 2) = 1
4. Evaluar la expresión y + 2x+ 5 cuando y = � 32 y x =43
16
Sol. Se sustituye la letra y por el número � 32 y la letra x por el número43
y + 2x+ 5 =��32
�+ 2
�4
3
�+ 5 =�
�32
�+8
3+ 5 =
�9 + 16 + 306
=37
6
Términos semejantes
En la expresión algebraica
2y � (x+ 3w)3 + z + y
2x� 4wcada sumando se llama término, de modo que esta expresión tiene tres términos que son: 2y; �(x+3w)3 y z+y
2x�4w .cuando dos o más términos contienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias, se dice que son
términos semejantes.
3x4y2 �5x4y2 son semejantes3a2bc3 - 74a
2bc3 son semejantes3x2y4 �5x4y2 no son semejantes3a2bc3 7
4a2b3c no son semejantes
Cuando una expresión algebraica tiene dos o más términos semejantes, se pueden simpli�car. Una expresiónalgebraica está simpli�cada cuando no hay términos semejantes por agrupar.
Ejemplos
1. Simpli�car 3x� 4;5xSol.
3x� 4;5x =
(3� 4;5)x = �1;5x
2. Simpli�car 7ab3 � 12ab3 + 9ab3Sol.
7ab3 � 12ab3 + 9ab3 =
(7� 12 + 9) ab3 = 4ab3
3. Simpli�car 7a3b� 12ab3 + 9ab3Sol.
7ab3 � 12ab3 + 9ab3 =
7a3b+ (�12 + 9) ab3 = 7a3b� 3ab3
Debe recordarse que sólo pueden agruparse términos semejantes, mismas letras elevadas a las mismas potencias.4. Simpli�car 2x3y + xy
�4x2 + xy
�� 2x2y2 + 2(3x2y2 � 2x3y � 3) + 4
Sol. Primero se multiplica y luego se agrupan los términos semejantes
2x3y + xy�4x2 + xy
�� 2x2y2 + 2(3x2y2 � 2x3y � 3) + 4 =
2x3y + 4x3y + x2y2 � 2x2y2 + 6x2y2 � 4x3y � 6 + 4 =
[2 + 4 + (�4)]x3y + [1 + (�2) + 6]x2y2 � 6 + 4 = 2x3y + 5x2y2 � 2
17
Problemas
1. Escribe una expresión algebáica para cada problema
a) Ana tiene dos años más que Rigoberto.
b) El costo de una docena de tortillas es n. ¿Cuánto vale una tortilla?
c) El mayor de dos números es 7 veces el menor de los números menos 4.
d) En una semana, las uñas de los dedos de los pies crecen 0.74 mm menos que las de los dedos de las manos.
2. Evalúa las siguientes expresiones algebraicas si a = 2; b = 4; c = �4 y t = �3.
a) 2b� 2tb) bt�a
2a
c) c(t+3b)�11aa�2t
d) a+bc + c
2at
3. Evalúa las siguientes expresiones algebraicas para los valores dados de las variables
a) 14 (b+ c)(b� c); b = 3; c = 4
b) x3�64x+4 + x
x�4 ; x = �3c) x2 + 2x+ 1; x = �1d)
�a3 + b2a
� �a2 � b2
�� (a�b)
a3 ; a = 3; b = 4
4. El volumen de un cilíndro está dado por la fórmula V = �r2h, donde r es el radio de la base y h es la alturadel cilíndro. En cada caso, calcula el volumen del cilíndro si:
a) r = 37 ; h =
43 .
b) r = 5; h = 3.
c) r = 315 ; h =
1177 .
d) r = 95 ; h =
4� .
5. Kepler enunció tres leyes para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. La tercera de dichasleyes dice: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media al Sol; es decir P 2 = kd3,donde P es el periodo, k la constante de proporcionalidad y d la distancia media al Sol. Si medimos en añosterrestres, k = 1. Encuentra el periodo de los siguientes planetas.
a) Júpiter, d = 5;2
b) Marte, d = 1;52
c) Venus, d = 0;723
d) Urano, d = 19;2
6. Simpli�ca las siguientes expresiones
a) 4 (y + 6)� 5yb) 9
11b+411 �
13b+
�45
c) 43y +
38 �
59y � 4
d) �2t� [�3 (2t� 4r) + 3 (2r � t)]e) 2b
2a �7b+3a3a + 3+6b�2a
4a
18
Ejercicios clase 6
28 de mayo 2012Aritmética y álgebra
Ecuaciones de primer grado.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Cada una de las expresiones de la igualdad sellaman miembros de la ecuación.
2x� 3| {z } = 3x+ 4| {z }Miembro izquierdo Miembro derecho
La igualdad debe satisfacerse, aunque ello es cierto para un solo valor de x. Por ejemplo, si x = 3, el miembrode la izquierda es igual a
2(3)� 3 = 6� 3 = 3en tanto que el miembro derecho es igual a
3(3) + 4 = 9 + 4 = 13
De modo que en este caso si x = 3 la igualdad no se satisface, por tanto ésta no es una solución a la ecuación.Para está ecuación la única solución es x = �7, pues el miembro de la izquierda es igual a
2(�7)� 3 = �14� 3 = �17
en tanto que el miembro derecho es igual a
3(�7) + 4 = �21 + 4 = �17
y si x = �7 se cumple la igualdad, pues ambos miembros son igual a �17:Resolver una ecuación de primer grado es encontrar el valor de la incógnita, es decir, de la cantidad desconocida
que es preciso determinar, en esta caso x. Como x puede tomar diferentes valores, a la incógnita de una ecuaciónse le llama variable. Para encontrar el valor de la variable, lo que se debe hacer es dejarla sola en un lado de laecuación. A esto se le llama despejar la variable.La forma más general de una ecuación de primr grado es
ax+ b = 0
donde a y b son constantes, a 6= 0.
Ejemplo
Antonio tiene una herman que es mayor que él por 4.27 años. Si la hermana tiene 19.67 años, ¿cuántos añostiene Antonio?Sol. Si se representa por a la edad de Antonio, así
a+ 4;27 = 19;67
Para encontrar la edad de Antonio (el valor de a) hay que despejar a, lo cual se logra si sumamos el opuesto oinverso aditivo de 4.27 a ambos lados de la ecuación y se simpli�ca la expresión
a+ 4;27� 4;27 = 19;67� 4;27a = 15;40
Por tanto, Antonio tiene 15.40 años.Cuando se resuelve una ecuación, siempre hay que veri�car que la solución satisfaga la ecuación original, pues
en caso de que ello no ocurra, es posible detectar errores en su resolución.Comprobación. Si a = 15.40, entonces:
a+ 4;27 = 15;40 + 4;27 = 19;67
Para resolver el ejemplo anterior se utilizó la propiedad de la suma, que se re�ere a lo siguiente
19
* Propiedad de la suma
Si a, b y c son números reales, y si a = b, entonces
a+ c = b+ c
y como restar un número real es sumar su inverso aditivo, también se tiene
a� c = b� c
Ejemplos
1. Resolver z � 25 =
310
Sol. Sumamos 25 (el opuesto de
25 ) de cada lado de la ecuación.
z � 25
=3
10
z � 25+2
5=
3
10+2
5
z =3 + 4
10=7
10
Comprobación. Si z = 710 , entonces:
z � 25=7
10� 25=7� 410
=3
10
2. Resolver 7� y = �11Sol.
7� y = �117� y � 7 = �11� 7
�y = �18y = 18
Comp. Si y = 18, entonces:7� y = 7� 18 = �11
# Resultados que se siguen de la propiedad de la suma.
En los ejemplos anteriores se ha ilustrado el hecho de que para resolver una ecuación hay que dejar sola a lavariable en uno de los miembros de la ecuación; si hay un sumando que se quiere eliminar, lo que se hace essumar, en ambos lados de la ecuación el inverso aditivo de dicho sumando.
w + 5 = 8 � Se desea despejar ww + 5� 5 = 8� 5 � Se suma el opuesto de 5
w = 8� 5 � Se simpli�ca uno de los miembrosw = 3 � Se simpli�ca el otro miembro
Se debe destacar que en el primer renglón el 5 está sumando en el miembro izquierdo y en el tercer renglónel 5 está restando en el miembro izquierdo. Como regla que facilita los cálculos se dice que una cantidad que estásumando (restando) en un lado se pasa restando (sumando) del otro. La explicación más general es la siguiente.Si se está sumando un término en un miembro de la ecuación,
a+ b = c
entonces, al sumar su inverso en ambos miembros de la ecuación y simpli�car se obtiene
a+ b = ca+ b� b = c� b
a = c� b
así, resulta que el término, en este caso b, paso restando al otro lado de la ecuación. Por lo tanto
20
Si a+ b = c entonces a = c� b
Análogamente, si se está restando un término en un miembro de la ecuación
a� b = cal sumar su inverso en ambos miembros de la ecuación y simpli�car se obtiene
a� b = ca� b+ b = c+ b
a = c+ b
así, resulta que el término, en este caso b, paso sumando al otro lado de la ecuación. Por lo tanto
Si a� b = c entonces a = c+ b
Ejemplos
1. Resolver m+ 2;63 = 4;19:Sol.
m+ 2;63 = 4;19
m = 4;19�2;63 = 1;56
Comp. Si m = 1;56, entoncesm+ 2;63 = 1;56 + 2;63 = 4;19
Resolver s� 2�3 =
�6
Sol.
s� 2�3
=�
6
s =�
6+2�
3=� + 4�
6=5�
6
Comp. Si s = 5�6 , entonces
s� 2�3=5�
6� 2�3=5� � 4�6
=�
6
Problemas
1. Resuelve las ecuaciones y comprueba el resultado
a) x+ 2 = 7 b) t� 8 = 0 c) 12� w = �5 d) z � 3;9 = �1;4
e) � 6 + a = 15;1 f) b+ 23 = 52 g) c� 27 =
117 h) � s� 8
3 = �179
i) m� 74 =
1312 j) n+ 2;95 = 2;95 k) 21� x = 12;27 l) � 12 = t+ 9
m) � c� 5;3 = �7;4 n) � 7 + y = �7 ñ) 17 = v �
32 o) 0;125� u = 1
8
p) � 5� (3� b) = 21 q) (a� 12)� 6 = �17 r) 26 = 4� (t� 12) s) 3w + (3 35 � 2w) = �325
t) 47y +
�45 +
37y�= 3
10 u) 5s� (3;5s� 4;2) = 9;3 v) (�5x+ 6)� (7� 4x) = 23 w) � 2�+ 7 = �2�+ 4
x) 711 = (2r �
125 )� (
411 + 3r) y) (� + 8
9 ) + (53 � 4�) =
43 z) 3y � 5 = �5 + 3y
2. Plantea la ecuación para cada problema y resuélvela.
a) La suma de dos números es 250, y el menor es 104, encuentra el producto del mayor por el menor.
b) María tiene el doble de años que Pedro, más 3. Si la edad de María menos la edad de Pedro es igual a 10¿cuántos años tiene cada uno?
c) Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360� . Si uno de sus ángulos mide 128� , otro mide lacuarta parte de este último y el tercero mide 93�, ¿cuánto mide el ángulo faltante?
21
Ejercicios clase 7
4 de junio 2012Aritmética y álgebra
Ecuaciones y multiplicación
Un resorte se estira 8 cm cuando se aplica una fuerza de 16 N, ¿cuál es la constante de restitución del resorte?Sol. Se sabe que, en un resorte bien comportado, la elongación es directamente proporcional a la fuerza aplicada.
Este resultado recibe el nombre de ley de Hooke de la elasticidad y se expresa mediante la siguiente ecuación
F = �kx
en donde F es la fuerza, k es la constante de restitución y x la elongación (acortamiento) del resorte. Como elresorte se resiste a elongarse al aplicar una fuerza de 16 N, éste responde con una fuerza de -16 N; así
�16 N = �k(8 cm)
Para despejar k, se multiplica por el recíproco o inverso multiplicativo de 8 en ambos lados de la ecuación y�nalmente se multiplica por �1.
�16 N = �k(8 cm)
�16 N�
1
8 cm
�= �k(8 cm)
�1
8 cm
��2 N
cm= �k
k = 2Ncm
El signi�cado físico de este resultado es, que se requieren 2 N para elongar el resorte en 1 cm. Tú puedescomprobar este resultado.Para resolver el ejemplo anterior se utilizó la propiedad de la multiplicación, que se re�ere a lo siguiente
* Propiedad de la multiplicación
Si a, b y c son números reales, y si a = b, entonces
ac = bc
y como dividir entre un número real distinto de cero es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo,también se tiene
a
�1
c
�= b
�1
c
�es decir,
a
c=b
c
Ejemplos
1. Resolver 54z =
23
Sol. Se multiplica por el recíproco de 54 ; es decir, por
45
5
4z =
2
3�4
5
�5
4z =
2
3
�4
5
�z =
8
15
22
Para comprobar: Si z = 815 , entonces
5
4z =
5
4
�8
15
�=40
60=4
6=2
3
2. Resolver y5 = �2
Sol.
y
5= �2
(5)y
5= �2 (5)
y = �10
La comprobación se deja al lector.
# Resultados que se siguen de la propiedad de la multiplicación.
En los ejemplos anteriores se ha ilustrado el hecho de que para resolver una ecuación hay que dejar sola ala variable en uno de los miembros de la ecuación; si hay una variable (a, b, x, y, z, etc.) multiplicada porun número que se quiere despejar, lo que se hace es multiplicar ambos lados de la ecuación por el inversomultiplicativo de dicho número.
4w = 5 � Se desea despejar w�14
�4w = 5
�14
� � Se multiplica por el inverso multiplicativo de 4
w = 5�14
� � Se simpli�ca uno de los miembros
w = 54 � Se simpli�ca el otro miembro
Se debe destacar que en el primer renglón el 4 está multiplicando al miembro izquierdo y en el último renglónel 4 está dividiendo al miembro derecho. Como regla que facilita los cálculos se dice que una cantidad que estámultiplicando (dividiendo) en un lado se pasa dividiendo (multiplicando) del otro. La explicación más general es lasiguiente.Si un número distinto de cero está multiplicando a un término en un miembro de la ecuación,
ab = c
entonces, al multiplicar por su recíproco a ambos miembros de la ecuación y simpli�car se obtiene
ab = cab�1b
�= c
�1b
�a = c
b
así, resulta que el término, en este caso b, paso dividiendo al otro lado de la ecuación. Por lo tanto
Si ab = c y b 6= 0, entonces a = cb
Análogamente, si se está dividiendo a un término en un miembro de la ecuación
a
b= c
al multiplicar por él a ambos miembros de la ecuación y simpli�car se obtiene
ab = c
ab (b) = c (b)a = cb
así, resulta que el término, en este caso b, paso multiplicando al otro lado de la ecuación. Por lo tanto
Si ab = c entonces a = cb
Ejemplos. Nota: se deja la comprobación de los resultados al lector.
23
1. Resolver 6t = � 75Sol.
6t = �75
t = � 7
5 � 6 = �7
30
2. Resolver 3.2m = 13.76
3.2m = 13.76
m =13.763.2
= 4.3
3. Resolver 7 = 42x
Sol. Es importante señalar que las variables, en este caso la x, cumplen las propiedades de la multiplicacióndescritas anteriormente.
7 =42
x
7 (x) =42
x(x)
7x = 42
x =42
7= 6
Alternativamente, este problema se puede resolver, si se toma los recíprocos de ambos términos
1
7=
142x
=1142x
=x
42
x
42=
1
7
x =42
7= 6
Ecuaciones que dependen de una sola variable en ambos miembros.
Una moto que se mueve a 60 km/hr sale de la ciudad B que está a 45 km del centro de la ciudad A. Por otraparte un automóvil que se mueve a 75 km/h sale de la ciudad C que está a 25 km del centro de la ciudad A. Si tantola moto como el automóvil circulan por la misma carrtera y el kilómetro 0, de ésta se encuentra en el centro de laciudad A, ¿en cuánto tiempo el automóvil alcanzará a la motocicleta? ¿A qué distancia del centro de la ciudad Aocurrirá este alcance?Sol. En t horas la motocicleta estará a una distancia de A, en km, de 45 + 60t, mientras el automóvil estará a
25 + 75t km. Para establecer el tiempo en que el auto alcanzará a la moto hay que encontrar la t que satisfaga laigualdad
25 + 75t = 45 + 60t
Para resolver la ecuación se pasan los términos que contienen a la variable, en este caso t, de un lado de laecuación y los que no la tiene al otro
25 + 75t = 45 + 60t
25 + 75t� 60t = 45
15t = 45� 2515t = 20
t =20
15=4
3
por lo tanto en 43 de hora, es decir 1 hora y 20 minutos, el auto alcanzará a la moto. En este caso la comprobación
es útil para responder a la segunda pregunta.
24
ComprobaciónLado izquierdo
25 + 75t = 25 + 75
�4
3
�= 25 + 100 = 125
Lado derecho
45 + 60t = 45 + 60
�4
3
�= 45 + 80 = 125
Así, la distancia respecto al centro de la ciudad A, a la que el automóvil alcanza a la moto es de 125 km.
Ejemplos. Nota: se deja la comprobación de los resultados al lector.
1. Resolver s+ 4 = �4s� 11Sol.
s+ 4 = �4s� 114s+ s+ 4 = �11
5s = �11�45s = �15
s = �155= �3
2. Resolver 3�y4 = 4y
Sol.
3� y4
= 4y
3�y = 4y (4)
3 = 16y + y
3 = 17y3
17= y
3. Resolver �3(2x� 5) + 9x� 1 = 2(6� 4x)Sol.
�3(2x� 5) + 9x� 1 = 2(6� 4x)�6x+15+9x�1 = 12�8x�6x+ 9x+8x = �15+ 1+ 12
11x = �2
x = � 2
11
4. Resolver v5 + 3 = �2v
Sol.
v
5+3 = �2v
v
5+2v = �3
v + 10v
5= �3
11v = �3 (5)
v =�1511
Problemas
25
1. Resuelve las ecuaciones y comprueba el resultado
a) 7x = 21 b) 48 = �6a c) 16b = 13 d) � 1
10x = �10
e) 9w = 3 f) 2
7n = �1 g) 18s =
56 h) 4
x = 20
i) 12a+ 4�
17a� 3 =
34 j) 20
y + 1;7 = �18;3 k) � 399 z + 1 =
193 l) 6s� (2s� 11) = 47
m)�5a� 2
3
�� 2 (3� a) = 0 n) 4 (23m� 1)�8� 32m = �2 ñ) 13b� 22 = 2b o) 12� 6x = 8x� 5
p) 6a+ 17 = 2a� 3 q) 56y �
13 =
13y +
76 r) 3
10w +1410 =
2410w �
4210 s) 5 (3y � 1)+2 = �3y + 6
t) 17 (2b� 2)� 1 =
13 (8b� 5) u) 0.25w + 11
5 = 9.8�45w v) 2x�8
3 + 5 = 6� 3x�54 w) 5u�6
12 �73 =
9u�42
x) 6v+75 � 3v�6
15 = 10v�830 y) 2(� � 2)� 4 = 8(� � 3) + 15 z) 13� 5
�72 t+ 8
�= 26� (17� 7.8t)
2. Plantea la ecuación para cada problema y resuélvela.
a) Cinco tercios de un número, aumentado en siete tercios es 5. Encuentra el número.
b) Ana tiene el triple de edad que Juan. Roberto tiene 10 años menos que Juan. La suma de las edades delos tres es 70. ¿Qué edad tiene cada uno?
c) Tres obreros laboran 8 horas cada jornada. El primero es capaz de realizar un trabajo en 90 h; es decir,en 1114 jornadas. El segundo puede realizar el msmo trabajo en 15 jornadas y el tercero lo logra en sólo9 jornadas. ¿Cuántas horas de trabajo requerirían para realizar el trabajo si lo hacen los tres juntos?
d) Divide $ 4725 en tres partes, de tal manera que la segunda sea $150 más que la primera y la tercera $525menos que la segunda. ¿Cuáles son las tres cantidades resultantes?
e) Dos llaves pueden llenar un tanque en 6 y 12 horas respectivamente, y una bomba puede vaciarlo en9 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará si ambas llaves están abiertas al mismo tiempo y la bomba estáfuncionando?
f ) El largo de un rectángulo es 3 veces su ancho. EL perímetro tiene 68 cm más que el largo. Encuentra lasdimensiones del rectángulo.
g) Un grupo de 14 amigos decidieron ir a un concierto. Dos de ellos no podían pagar el costo del boleto demodo que los otros 12 pagaron cada quien su boleto y $4 más. ¿Cuánto costaba cada boleto?
h) ¿Qué numero se debe agregar a 8 y a 11 para que la primera suma sea 25 de la segunda?
i) Diofanto de Alejandría, matemático griego que vivió a �nales del siglo III de nuestra era, es consideradoel padre del álgebra. Diofanto fue el primero en utilizar un símbolo literal del que se tenga registro,para representar una incógnita en una ecuación. Sus trabajos sobre la resolución de ecuaciones fueron deespecial importancia. En la lápida de la tumba de Diofanto aparece la siguiente inscipción: "¡Caminante!Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán largafue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécimaparte parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrióen un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito, queentregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Ycon profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido 4 años al desceso de su hijo."¿Cuántosaños vivió Diofanto?
26
Ejercicios clase 8
7 de junio 2012Aritmética y álgebra
Resolución de problemas
Para resolver un problema se puede emplear el siguiente esquema de razonamientoPaso 1. Leer el problema y reconocer la incógnita que debe determinarse.Paso 2. Encontrar las relaciones entre esta incógnita y los otros datos del problema.Paso 3. Plantear las ecuaciones que representan las relaciones del punto 2.Paso 4. Resolver las ecuaciónes para encontrar el valor de la incógnita.Paso 5. Comprobar el resultado.
Ejemplo. Nota: se deja la comprobación de los resultados al lector.
La base de un rectángulo es 3 14 de la altura. El perímetro es de 102 cm. ¿Cuál es la altura del rectángulo?Sol.Paso 1. Hay que encontrar la altura del rectángulo.Sea h la altura del rectángulo.Paso 2. La base del rectángulo es de 3 14 la altura.El perímetro del rectángulo es 2 veces la suma de la base y la altura.Paso 3. La base es 3 14hEl perímetro es
2
�h+ 3
1
4h
�= 102
Paso 4
2
�h+ 3
1
4h
�= 51�
h+13
4h
�= 51
17
4h = 51
h =51� 417
= 12
Paso 5. Se deja al lector.
Problemas
1. En los siguientes casos despeja h de las fórmulas geométricas
a) A = 12bh b) A = 2�r (r + h) c) V = �r2h
2. Resuelve los siguientes problemas
a) En un triángulo isóceles, cada uno de los lados iguales mide 6 cm más que la base. El perímetro deltriángulo mide 48 cm. Encuentra la longitud de cada lado del tríángulo.
b) Antonio pregunta a su abuelo su edad. El abuelo, que se divierte poniendo toritos a quien puede, leresponde: �si a los años que tengo se suma el triple de los años que tenía el año pasado, se obtiene eltriple de los años que tengo, menos 3�. ¿Qué edad tiene el abuelo de Antonio?
c) El área de un trapecio es de 88 cm2. Una de sus bases mide 7 cm y tiene una altura de 8 cm. Encuentrala longitud de la otra base (el área de un trapecio es A = h
2 (b1 + b2).
3. Resuelve los siguientes problemas que involucran números enteros.
27
a) La suma de dos números enteros consecutivos es 13. Encuentra los números.
b) La suma de dos números pares consecutivos es 34. Encuentra los números.
c) Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea �45.d) El mayor de tres números enteros impares consecutivos menos dos veces el menor es igual a 13 menos 2
veces el de en medio. Encuentra los números.
e) Los lados de un triángulo rectángulo miden tres enteros impares consecutivos. Si su perímetro mide 39cm, ¿cuánto mide cada lado?
4. Resuelve los siguientes problemas que involucran porcentajes.
a) Encuentra el 173% de 325.
b) ¿De qué número es 12 el 5%?
c) Dos recipientes contienen agua salada, uno al 30% y el otro al 3%. ¿Qué cantidad habrá que tomar decada uno para obtener 60 mL de agua salada al 12%?
d) Una tela de 90 cm de ancho encoje 10% de largo y ancho al lavarla. ¿Cuánto debe comprarse para queuna vez lavada el área sea de 21.87 m2?
e) El hidrógeno pesa el 6.9% del aire. ¿Que cantidad de hidrógeno hay en un globo de 150 m3 de capacidadsi el decímetro cúbico de aire pesa 1.3 gramos?
f ) Una inversión inicial de $7 400 se convirtió en $9 000 al cabo de un año. ¿Cuál era la tasa de interés a laque estuvo invertida?
28
Ejercicios clase 9
11 de junio 2012Aritmética y álgebra
Polinomios
Para poder representar en términos matemáticos el comportamiento del mundo natural, social, histórico, etc.es importante contar con expresiones que, muchas veces en forma simpli�cada, modelen este comportamiento. Porejemplo, ya se dijo que la fuerza que un resorte aplica sobre un objeto de masa m, unido a él, es F = �kx; endonde x es el desplazamiento y k la constante del resorte. Otro ejemplo muy conocido es la altura que, h, quealcanzará un objeto, como función del tiempo t, h(t), sobre el que sólo actúa la fuerza de atracción de la Tierra,h(t) = h0 + v0t� 1
2gt2; en donde h0 es la altura inicial (respecto a alguna referencia), v0 es la rapidez inicial en la
dirección vertical (es la única considerada) g es la acelaración que produce la atracción de la Tierra sobre un objetocercano a su super�cie y t es el tiempo. Las expresiones F = �kx y h(t) = h0 + v0t� 1
2gt2 son polinmios.
Ya se estudiaron las ecuaciones de primer grado, que son las más sencillas de resolver; sin embargo, para poderabordar la solución de ecuaciones más complicadas se requiere profundizar en el conocimiento del lenguaje algebraico.Ahora, este ahondamiento en el conocimiento quiere decir aprender algo de polinomios.Un polinomio, según el DRAE, es una �expresión compuesta de dos o más términos algebraicos unidos por los
signos más o menos (el énfasis es del autor de estas notas). Los de dos o tres términos reciben los nombres especialesde binomio y trinomio, respectivamente�. A lo anterior habría que añadir por completitud, al monomio que constade un solo término algebraico y recordar que un término algebraico consiste en un número, una variable (letra) o elproducto de un número por una o más variables. Ejemplos de polinomios son
2 ; x ; 7t ;p2u3y4 ; �5y2x2 ; 2�
7 �23
En un monomio es posible distinguir dos partes: la numérica, que suele denominarse coe�ciente, y las variables.Se dice que se trata de un monomio en x si la variable que se usa es x; que se trata de un monomio en xy si se usanlas variables x y y, etc.
Monomio Coe�ciente Variable(s)12x3y2 12 x3y2
�3s5v4w2 �3 s5v4w2
x4 1 x437�
6 4� 37 �6 4�
�11 �11 ninguna� �p
3y3x2 � �p
3y3x2
Es importante notar que en los ejemplos anteriores, x4, en apariencia no tiene coe�ciente, ¿cómo se traduce queno tiene coe�ciente?, ¿qué es igual a cero? Si fuera igual a cero, el producto de cualquier número por cero es igual acero. Así, en realidad x4 = 1 � x4, el coe�ciente del monomio es 1, que es el neutro multiplicativo, todo númeropor 1, es igual a sí mismo.
* Evaluación de un monomio
Para evaluar un monomio dado se requiere especi�car, en un caso particular, el valor de la variables que locomponene.
Ejemplo.
Evaluar el monomio 3x2y3 en la pareja x = 4, y = 2.
3x2y3 = 3 (4)2(2)
3
= 3 (16) (8)
= 384
29
Un polinomio es la suma de uno o más monomios, de modo que un monomio es un polinomio. Las siguientesexpresiones algebraicas son polinomios
3x2 + 4y ; � 35x3 ; 9rst+ 5s2t� 12s3t4 � 7
Los monomios que son los sumandos de un polinomio se llaman términos del polinomio. Así,
9abc+ 5b2c� 12b3c4 � 7
tiene cuatro términos (o monomios)
9rst ; 5s2t ; 12s3t4 ; 7
Se dice que este polinomio es en las variables r, s y t, pues son las que aparecen en el polinomio.
Producto de potencias
La población en México ha crecido en los últimos años a una tasa de 1.8%. Si este ritmo de crecimiento se sostieney en 2010 el Censo registró 112 millones 336 mil 538 habitantes en el país�¿cual será el número de mexicanos en el2015?Sol. Sea t la tasa de crecimiento de la población; es decir, t = 0.018 y N0 = 112336538. Para encontrar el número
de habitantes en México, hay que señalar que al cabo del primer año el número de habitantes en que se incrementóla población es
N0t
que agregado al número inicial de habitantes, da en ese primer año un total de
N0 +N0t = N0 (1 + t)
Como la población se acumula, para el segundo año la cantidad del primer año crece también al 1.8%, lo cualda un número de habitantes de
N0 (1 + t) t
Si se suma este número al de habitantes que había al inicio del segundo año, se obtiene
N0 (1 + t) + [N0 (1 + t)] t = N0 (1 + t) [1 + t]
= N0 (1 + t)2
Si se sigue este procedimiento, es posible concluir que al término del quinto año, es decir en 2015. el número dehabitantes sería de
H = N0 (1 + t)5
es decir,H = N0 (1 + t)
5= N0 (1;018)
5= 112336538 (1;018)
5
Así, al cabo de cinco años, el número de habitantes en México será de aproximadamente 122817407.La expresión N (1 + t)5 es una expresión algebraica en la variable t que al evaluarla en 0.018 da la respuesta del
problema. Nota que en este caso, la N0 aunque tiene un valor �jo, se empleó para economizar en la escritura.Para resolver el problema anterior se hizo uso de una propiedad que ya se estudió en este curso (ver clase 4): la
ley de los exponentes para el producto de potencias, que dice que para cualquier número real a y cualesquieraenteros positivos m y n, se cumple
aman = am+n
Es decir, al multiplicar dos términos con una base común (en el ejemplo anterior la base común es (1 + t)), susexponentes se suman.
Ejemplos.
30
1. Simpli�car c4c2
Sol.c4c2 = c4+2 = c6
2. Simpli�car (5d5g3)(3d3g6)Sol.
(5d5g3)(3d3g6) = 5� 3�d5d3
� �g3g6
�= 15d8g9
3. Simpli�car�x4 + b
�4 �x4 + b
�23�x4 + b
�4 �x4 + b
�23=
�x4 + b
�4+23=
�x4 + b
�4+27Potencias de potencias
¿Cuál será el porcentaje de luz que pasará por dos bloques de 100 �m de espesor si por cada 10 �m la luz seatenúa un 3%,? Se supone que la intensidad inicila es I0.Sol. Sea � la atenuación por cada 10 �m que la luz recorre a través del material, dado que en 100 �m de espesor
hay diez veces 10 �m, la intensidad de la luz al pasar el primer bloque será de
I0 (1� �)10
Al atravesar el segundo bloque, la intensidad será de
I0
h(1� �)10
i2= I0 (1� �)10 (1� �)10
= I0 (1� �)10+10
= I0 (1� �)2�10
= I0 (1� �)20
Es decir
I2capas = I0 (1� �)20 = I0 (0.97)20
= I0 (0.5438)
El porcentaje transmitido de la intensidad inicial de la luz será del 54.38%.Para resolver el problema anterior se hizo uso de una propiedad que ya se estudió en este curso (ver clase 4):
la ley de los exponentes para la potencia de una potencia, que dice que para cualquier número real a ycualesquiera enteros positivos m y n, se cumple
(bm)n= bmn
Para encontrar la potencia de una potencia, se multiplcan los exponentes. Esta ley se cumple aun cuando la basees una variable.
Ejemplos.
1. Simpli�car�y3�7
�y3�7
= y3�7
= y21
2. Simpli�car��x4 + b
�3�5 ��x4 + b
�2�7��x4 + b
�3�5 ��x4 + b
�2�7=
�x4 + b
�15 �x4 + b
�14=
�x4 + b
�2931
Potencia de un producto.
Si se duplican la longitud del lado de un cuadrado, ¿por cuánto se multiplica su área?Sea l la longitud del lado del cuadrado, de modo que su área es
A = l � l = l2
al duplicar la longitud del lado, el área es
A = (2l)2 = (2l) (2l) = (2) (2) ll = 22l2 = 4l2
Así, el área del cubo original hay que multiplicarla por 22, o lo que es lo mismo por 4. El caso más general pararesolver este tipo de problemas hace uso de una propiedad que ya se estudió en este curso (ver clase 4): la ley de losexponentes para la potencia de un producto, que dice que para cualesquiera números reales a y b y cualquierentero positivo n, se cumple
(ab)n = anbn
Esta ley vale aun cuando las bases son dos variables.
Ejemplos.
1. Simpli�car�15x
4b6�3
Sol. �1
5x4b6
�3=
�1
5
�3 �x4�3 �
b6�3
=1
125x12b18
2. Simpli�car��x4 + 3
�5 �z7 � 4
�3�4Sol. ��
x4 + 3�5 �
z7 � 4�3�4
=��x4 + 3
�5�4 ��z7 � 4
�3�4=
�x4 + 3
�20 �z7 � 4
�12Nota: Las potencias no abren sumas; por ejemplo,
(3 + 4)2 = 72 = 49
por otro lado32 + 42 = 9 + 16 = 25
Por lo tanto49 = (3 + 4)2 6= 32 + 42 = 25
Problemas
1. Completa la sigiente tabla
Monomio Coe�ciente Variables Monomio Coe�ciente Variables�6x2y5z4 mc235a2b6c3 1
108 fg3h11
6r3st4w7 0.19w5x3
�p2xy
2. Efectúa las operaciones indicadas entre los polinomios
32
a) (�4)4 b) (�3)3 (�3)6 c) 7z�114z
11�6z9 d) � 1
10x = �10
e) (w � 5)9 (w � 5)3 f)�a2
� �b5
� �c7
�g)
�p5ab4d
� �p5a3b6d8
�h) b7
5
��15a5
�i)�73�6 j) � 1;5
�d4�8 k)
�(x� 2)9
�8 �(x� 2)5
�11l)�y4�3(y)
43
m)��5s2 � t5
3
�6�4��5s2 � t5
3
�3�9n) 8
17
��y2 � 6
�7�8 ñ) 7v3�2v8�5 o) (�a)10
p) (3x)4 q) � 3�t3s�4 r) 7p4
�p3q7
�6 �p5q2
�8 s) (�fg)3 (4fh)
t)�xy4z6
�5 �x2y3z8
�7 �x11y5z9
�2 u)��3w4
�3 v)�x2 + 2x� 1
�9 �y5 + 2
�6 w)�0.5t2s3
�63. Resuelve los siguientes problemas
a) ¿Qué cantidad debe invertirse para que produciendo el 2% de interés compuesto anual, después de 5 añosel capital sea de $2000.00?
b) Julio quiere comprar un auto cuyo costo es de $26500.00, pero sólo cuenta con $23000.00. Sabe que enun año el precio del auto aumenta un 10%, que puede invertir su dinero al 4% de interés compuestosemestral y que en dos años recibirá $3000.00 que le prestó a su hermano sin cobrarle intereses. ¿Podrácomprar el auto en dos años?
c) Si se duplica la longitud de los lados de un cubo, ¿por cuánto se multiplica su volumen?
33
Ejercicios clase 10
14 de junio 2012Aritmética y álgebra
División de monomios
# Propiedad de cancelación de la división.
Para cualesquiera números reales a, b y c, tales que b 6= 0, c 6= 0ac
bc=a
b
Así, esposible dividir monomios si se aplica la propiedad anterior
Ejemplo
Dividir x4y2 entre x2
Sol.
x4y2
x2=
x2x2y2
x2
=/x2x2y2
/x2
= x2y2
# Cociente de potencias
Para cualquier número real a 6= 0 y cualesquiera números enteros positivos m y n:| Si m�n, entonces
am
an = am�n
| Si m�n, entoncesam
an =1
an�m
| Si m = n, entoncesam
an = 1Estos resultados también se aplican para potencias de variables (pues las variables representan números reales,
casi siempre).
Ejemplos
1. Simpli�car x7
x4 .Sol.
x7
x4= x7�4 = x3
2. Simpli�car d5
d9 .Sol.
d5
d9=
1
x9�5=1
d4
3. Simpli�car 18x6y2z11
3x8y2z7 .Sol.
18x6y2z11
4x8y2z7=9z11�7
2x8�6=9z4
2x2
4. Simpli�car (3s3u4)
3
(9su5)2.
34
Sol. �3s3u4
�3(9su5)
2 =27s9u12
81s2u10=1
3s9�2u12�10
=1
3s7u2
Grado de un polinomio
El grado de una variable en un monomio es la potencia a las que está elevada la variable en el monomio. Elgrado de un monomio es la suma de los grados de todas sus variables. Si un monomio es un número distinto de cero,entonces su grado es 0.
Ejemplos
1. Encontrar el grado de � 57x3y6z7.
Sol.El grado de � 57 es 0El grado de x3 es 3El grado de y6 es 6El grado de z7 es 7
De modo tal que el grado de � 57x3y6z7 es 0 + 3 + 6 + 7 = 16.
2. Encontrar el grado de�p
7�
�6.
Sol. Como�p
7�
�6es un número, el grado de
�p7�
�6es 0.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos, después de que éste se simpli�ca.
Ejemplos
1. Encontrar el grado de 2x2y3z5 � 7x4yz3 + 11.Sol.El grado de 2x2y3z5 es 10El grado de 7x4yz3 es 8El grado de 11 es 0
De modo tal que el grado de 2x2y3z5 � 7x4yz3 + 11 es 10.2. Encontrar el grado de 3
�2a2b+ 3
�� 6a2b� ab+ 2.
Sol. Primero se simpli�ca el polinomio
2�2a2b+ ab+ 3
�� 4a2b� 4ab+ 3 = �2ab+ 9
El grado de �2ab+ 9 es 2, de modo que el grado de 2�2a2b+ ab+ 3
�� 4a2b� 4ab+ 3 es 2.
Un polinomio se puede escribir en orden descendente o ascendente respecto a una de sus variables. Esto resultaútil al realizar operaciones con polinomios.
Ejemplos
1. Escribir en orden ascendente el polinomio4x3 + 7x6 � 11x2 + 3x10 � 2x+ 2.Se ordenan los términos de menor a mayor, seguún su grado
2� 2x� 11x2 + 4x3 + 7x6 + 3x10
2. Escribir en orden descendente el polinomio b� ab2 + a3 + a2b5 con respecto a la variable a.Sol. Se debe ordenar el polinomio de mayor a menor respecto a la variable a.
a3 + a2b5 � ab2 + b
Es importante notar que el último término se puede escribir como a0b = b.
Suma y resta de polinomios
Producto de un polinomio por un monomio
Multiplicación de polinomios
35
Ejercicios clase 11
18 de junio 2012Aritmética y álgebra
Problemas de cociente y suma y resta de polinomios
1. Simpli�ca los siguientes cocientes de monomios y después encuentra su grado.
45x6y8
�25x11y54x10y7z8
16x5y4z7�35a3b4c5a3b6
(�8a3b4c2d3)2
�16a4b5c9d10(15a5b7)
2(a9b4)
5
(12a3b2c11)2(11x7z9)
2
66x15y14(55y3z12)�4r6s12t15
�21 �21rs7t5
�13 �3rs5t
�5(6r8s9t18)
19(28r2st16)
6(14r10s12t3)
9
2. Construye el polinomio que se indica
a) Un monomio de grado de grado 11 con cuatro variables.
b) Un trinomio de grado 7 con tres variables.
c) Un polinomio de grado 4 con tres variables y cinco términos.
3. En cada ejercicio suma, y después resta, el segundo polinomio al primero.
12x2 � 18x+ 7 6x3 � 9x2 � 5x� 1915x7y8 � 18x5y9 + 21x4y11 + 5 7x7y8 � 14x5y9 + 21x4y11 + xy14
a2 + 2ab+ b2 a2 � b27a2 � 5ab+ 2b2 � 9ac+ 12bc� 4c2 4a2 � 6ab+ 2b2 � 8ac+ 15bc� 2c2
4m5 + 7m4n� 9m3n2 �2m3n2 �m2n3 + 10m4n+ 8n5
x9y2z6w11 + 64x8yz8w8 + 35x7z3w11 + 48x6z 48x9y2z6w11 + 19x10yz8w8 + 35x14z3w11
4. Resuelve
a) Pepe tiene en total 11 sobrin@s, jugando con el número de niñas y niños, puede escribir una ecuación:tres veces el número de niños, menos la diferencia del número de niñas menos el de niños más el dobledel número de niños es igual a 3. ¿Cuántas sobrinas y sobrinos tiene Pepe?
b) Cinco números enteros consecutivos satisfacen la siguiente igualdad: el último más el primero más elcuarto menos el tercero, es igual al quinto más el cuarto más el primero menos el tercero. Encuentra losnúmeros.
Problemas de multiplicación de polinomios
1. Efectúa los siguientes productos entre monomios y de ser el caso simpli�ca:
a) 6d(7d3 � 5d2 + 2) b) � 4a(a2 � 56ab� 3b
2)c)�8c5 � 4c2 � 16
�12c d) � 4
3a2�9a5 � 3
2a4 + 1
4a�
e) 87s3t2�212 s
4t� 74s3t3 + 1
16st2 + 1
�f) 45a
4b3�154 a
8b6 � 58a4b3 + 1
6a5�
g) 5r5s+ 8s7 � 7r4t5 + r3s9t6)��st2
�5h) w3
�2w4 + 5w3
�� 2w
�w3 � 6w2 � w
�i) 12x4y6z8
�3w2x3z7 + 5y9z3 � 4
�+ 5w2x5y
�10x2y5z15 � 7w3x7y12z5
�j) (2x� 1)(3x+ 2) k)
�y4 + 4y3 + 5y2 � 3y � 5
� �y2 + 1
�l) (3x� 4y) (3x+ 4y)
�9x2 + 16y2
�m) � 4
3a2�9a5 � 3
2a4 + 1
4a�
n) [xz � (x� y) (y + z)]� y [y � (x� z)] ñ)�4a3 + 12a3 � 16
� �14 �
12a5�
36
o) a2�ac� ab+ b2 � c
�� b2 (ab� 2ac)� c2 (b� a)� (a� b) (a� c) (b� c)
�b2 � 2c
�p) (w � 1) (w � 2)� 3w (w + 3) + 2 [(w + 2) (w + 1)� 3]
�(w � 5)
�w2 � 2
��2. Efectúa las siguientes operaciones en forma vertical
a) 8r4 + 3r2s� 2rs2 � s b) x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
� 5r2 � 8x3y5
3. Resuelve las siguientes ecuaciones
a) x (x+ 1)� 2x = x2� 5 (x+ 3) + 5 b) � 7w (7w + 2) = �49w2� 4 (2w + 15)c) (y � 7) (y + 7) = (y + 3) (y + 9) d) (w � 4)2 = (w � 3)2
e) (4c� 2) (c+ 3) = 2c (c� 5) + (c+ 7) (2c� 2)
4. Resuelve los siguientes problemas que involucran productos de polinomios
a) Un trapecio está formado por un cuadrado y dos triángulos rectángulos. En cada uno de los triángulos,el cateto que forma parte de la base mayor del trapecio es 5 unidades menor que el otro cateto.
1) ¿Cuál es el área del trapecio? Simpli�ca la respuetsa2) ¿Cuál es el área del trapecio si el lado del cuadrado mide 9 unidades?
b) Dos círculos concéntricos son bases de dos cilíndros circulares rectos; el pequeño tiene radio de 5 cmmenor que le garnde y ambos cilíndros tienen una altura igual a h centímetros. Escribe el volumen de laregión que se encuentra del cilíndro grande y fuera del chico como el producto de un monomio por unpolinomio.
5. Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados. Después efectúa los products obtenidos para veri�carque el planteamiento es correcto.
a) La suma de los cubos de dos números es igual al producto de la suma de los números por el cuadrado delprimero menos el producto de los números más el cuadrado del segundo.
b) La suma de las sextas potencias de dos números es igual al producto de la suma de los cuadrados de losnúmeros por la potencia cuarta del primero menos el producto de los cuadrados de los números más lacuarta potencia del segundo.
37
Ejercicios clase 12
21 de junio 2012Aritmética y álgebra
Productos notables
A menudo se presentan situaciones en las que cierto tipo de productos se pueden obtener en forma más o menosinmediata si se recurre a alguna fórmula, en vez de realizar el producto a detalle. Así, es importante recordar para quéproductos hay fórmulas que los simpli�can. A estos productos que se les asocia dichas fórmulas suelen denominarseproductos notables, por entrañar la cualidad de sobresalir entre la in�nidad de posibilidades de representar a unproducto entre polinomios.
Fig. S12.1
# Cuadrado de una suma (a+ b)2
Para calcular el área del cuadrado de la �gura S12.1 se multiplican las longitudes de sus lados, es decir,(a+ b) (a+ b); que es equivalente a sumar el área de los rectángulos que conforman al cuadrado. Así
(a+ b)2= (a+ b) (a+ b) = a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2
Es importante remarcar que se obtiene un trinomio formado por:
! el cuadrado del primer término a2, más
! el doble producto del primer término por el segundo 2ab, más
! el cuadrado del segundo término b2.
(a+ b)2= a2+2ab+ b2
Ejemplos
1. Desarrollar (3y + 5)2.Sol.
(3y + 5)2= (3y)
2+ 2 (3y) (5) + 52
= 9y2 + 30y + 25
2. Calcular (44)2 empleando la fórmula del binomio al cuadrado.
38
Sol.
(44)2= (40 + 4)
2
= (40)2+ 2 (40) (4) + 42
= 1600 + 320 + 16
= 1936
3. Desarrollar�2x3z + 4y
�2Sol. �
2x3z + 4y�2
=�2x3z
�2+ 2
�2x3z
�(4y) + (4y)
2
= 4x6z2 + 16x3yz + 16y2
# Cuadrado de una diferencia (resta) (a� b)2
Para calcular el área del cuadrado de la �gura S12.2, cuyo lado mide a� b, hay que observar que si al área delcuadrado de lado a se le resta la suma de las áreas de los rectángulos cuyos lados son a y b y se suma el área delcuadrado cuyo lado es b se obtiene el área requerida. Así
(a� b)2 = (a� b) (a� b) = a2 � ab� ab+ b2 = a2 � 2ab+ b2
Fig. S12.2
Es importante remarcar que se obtiene un trinomio formado por:
! el cuadrado del primer término a2, menos
! el doble producto del primer término por el segundo �2ab, más
! el cuadrado del segundo término b2.
(a� b)2= a2�2ab+ b2
Ejemplos
1. Desarrollar (4t� 3)2.Sol.
(4t� 3)2 = (4t)2 � 2 (4t) (3) + 32
= 16t2 � 24t+ 9
2. Calcular (57)2 empleando la fórmula del cuadrado de una diferencia.
39
Sol.
(57)2= (60� 3)2
= (60)2 � 2 (60) (3) + 32
= 3600� 360 + 9= 3249
3. Desarrollar�7u2v � 3u3
�2Sol. �
7u2v � 3u3�2
=�7u2v
�2 � 2 �7u2v� �3u3�+ �3u3�2= 49u4v2 � 42u5v + 9u6
Las fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia se pueden expresar en forma sintética como
(a� b)2= a2�2ab+ b2
Nota. En las fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia, los téminos a y b pueden ser cualquierexpresión algebraica y tener cualquier signo. Si se tiene en cuenta este hecho, se puede entender al cuadrado de unadiferencia como un caso particular del cuadrado de una suma.
(a� b)2 = (a+ (�b))2 = a2 + 2a (�b) + b2 = a2 � 2ab+ b2
# Producto de una suma por una diferencia (a+ b) (a� b)
Para calcular el área sombreada de la �gura S12.3, hay que observar que la suma de las áreas de los rectángulosque la conforman es a (a� b)+b (a� b). Si se factoriza esta suma se obtiene que a (a� b)+b (a� b) = (a+ b) (a� b).También es posible mostrar que el área sombreada es igual al área del cuadrado grande menos el área del cuadradochico, es decir a2 � b2. Así
(a+ b) (a� b) = a2 � ab+ ab+ b2 = a2 � b2
Fig. S12.3
Es importante remarcar que se obtiene un binomio formado por:
! el cuadrado del primer término a2, menos
! el cuadrado del segundo término b2.
� los términos cruzados se cancelan pues tienen signo opuesto.
(a+ b) (a� b) = a2�b2
Ejemplos
40
1. Desarrollar�y + 3
2
� �y � 3
2
�.
Sol. �y +
3
2
��y � 3
2
�= (y)
2 ��3
2
�2= y2 � 9
4
2. Desarrollar��3x2 + 2y
� ��3x2 � 2y
�.
Sol. ��3x2 + 2y
� ��3x2 � 2y
�=
��3x2
�2 � (2y)2= 9x4 � 4y2
3. Multiplicar 32� 28 utilizando la fórmula para el producto de una suma por una diferenciaSol.
32� 28 = (30 + 2) (30� 2)= (30)
2 � (2)2
= 900� 4 = 896
# Producto de (a+ b) (a+ c)
Para calcular el área del rectángulo de la �gura S12.4, se suman el área del cuadrado cuyo lado es a más el áreade los rectángulos cuyos lados son a, b; a, c y b, c, respectivamente.Si se multiplica directamente se obtiene
(a+ b) (a+ c) = a2 + ac+ ab+ bc = a2 + (b+ c) a+ bc
Fig. S12.4
Este producto aparece recurrentemente, particularmente en el estudio de polinomios de una sola variable y alresolver ecuaciones de segundo grado, que es conveniente momorizarlo.
Ejemplos
1. Desarrollar (x+ 4) (x+ 5).Sol.
(x+ 4) (x+ 5) = x2 + (4 + 5)x+ (4) (5)
= x2 + 9x+ 20
2. Desarrollar (3x+ 6) (3x� 11).
41
Sol.
(3x+ 6) (3x� 11) = (3x)2+ [6 + (�11)] 3x+ (6) (�11)
9x2 + [�5] 3x� 66= 9x2 � 15x� 66
3. Desarrollar�2z � 2
5
� �2z � 6
5
�.
Sol. �2z � 2
5
��2z � 6
5
�= (2z)
2+
��25+
��65
��2z +
��25
���65
�= 4z2 +
��85
�2z +
12
25
= 4z2 � 165z +
12
25
# Otros productos notables
En la �gura S12.5, se puede observar que el área del cuadrado grande es igual a la suma del cuadrado cuyo ladoes a, más el área de dos rectángulos cuyos lados son a y b, más el área del cuadrado cuyo lado es b, más el área dedos rectángulos cuyos lados son a y c, más el área del cuadrado cuyo lado es c, más el área de dos rectángulos cuyoslados son b y c. Es decir,
(a+ b+ c)2= a2 + 2ab+ b2 + 2ac+ c2 + 2bc
Se obtiene el mismo resultado se se agrupan los términos del siguiente modo y se aplica el cuadrado de una suma
(a+ b+ c)2= ([a+ b] + c)
2
[a+ b]2+ 2 [a+ b] c+ c2
a2 + 2ab+ b2 + 2ac+ 2bc+ c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc
De modo que hay que sumar los cuadrados de cada sumando, más los dobles productos que se puedan formarcon los tres términos a, b y c.
Fig. S12.5
Otros productos notables que aparecen con frecuencia son el cubo de una suma y el cubo de una diferencia, esdecir,
(a+ b)3= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
(a� b)3 = a3 � 3a2b+ 3ab2 � b3
42
que se pueden escribir en forma condensada como
(a� b)3 = a3 � 3a2b+ 3ab2 � b3
Para probar (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3, se puede hacer el desarrollo del producto de la siguiente manera
(a+ b)3= (a+ b)
2(a+ b) =
�a2 + 2ab+ b2
�(a+ b)
=�a2 + 2ab+ b2
�a+
�a2 + 2ab+ b2
�b
= a3 + 2a2b+ ab2 + a2b+ 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
Para probar (a� b)3 = a3 � 3a2b+ 3ab2 � b3 se utiliza el resultado anterior
(a� b)3 = (a+ [�b])3
= a3 + 3a2 [�b] + 3a [�b]2 + [�b]3
= a3 � 3a2b+ 3ab2 � b3
Otros productos relacionados con cubos son
a3 � b3 = (a� b)�a2 + ab+ b2
�a3 + b3 = (a+ b)
�a2 � ab+ b2
�Problemas de productos notables
1. Utiliza la fórmula del cuadrado de una suma o el cuadrado de una diferencia o el producto de una suma poruna diferencia, para calcular los siguientes cuadrados y productos
a) 242 b) 772
c) 692 d) 27� 33e) 105� 95 f) 43� 37
2. Desarrolla los siguientes productos
a) (7 + x)2 b)�15w + 9
�2c)�1p2x+ 6
�2d) (�11� y)2 e) (8x� 9)2 f)
�17z2 � 7
�2g) (ab� 2)2 h)
�3x+ 5y4
�2i)�38c2 + 2
9d3e�2
j)�12r4s+ 9t5w7
�2k) (a+ b)2 (a+ b) l) (r � 2s)2 +
�14 (2r � s)
�2m) (a+ 9) (a� 9) n)
�67 + w
� �67 � w
�ñ) (c+ 8) (c� 8)
o) (8d+ 12) (8d� 12) p) (y + 5z) (y � 5z) q) (x+ 8) (x� 9)r) (5t� 5) (5t� 9) s) (4t+ 9) (4t� 3) t)
�23z4y3 + 5
� �23z4y3 � 1
5
�u) (x+ y + 8)2 v) (4x+ 3y � 5z)2 w) (�3x+ 4y)3
x)�16r �
13s�3
y) (a+ b+ c)3 z) (x+ y)5
3. Resuelve las ecuaciones
a) (x� 2)2 + (x� 3)2 = (x� 5)2 + (x� 6)2 b) z2 + (z + 2)2 = (2z � 3) (z + 1)c) (y + 6) (y � 6) = (y + 4) (y � 7) d) (2z � 8) (z + 9) + 2z2 = (2z � 2)2
e) (3w � 5)2 = (3w + 7)2 f) (x� 5)2 = (x+ 3) (x� 3)
4. Resuelve los siguientes problemas
a) En una escuela tienen cierto número de mosaicos y quieren formar un cuadrado en el centro del patio.Si se coloca un cierto número de mosaicos en cada �la sobran 39, y añadiendo un mosaico en cada �lafaltan 24. ¿Cuántos mosaicos hay en la escuela?
43
b) Un salón de recepciones tiene forma cuadrada y se quiere colocar en el centro un tapete cuadrado, dejandoun pasillo alrededor de 2 m de ancho. Se sabe que el área del tapete mide 80 m2 menos que el área delsalón. ¿Cuánto mide el lado del salón?
5. Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados
a) Con una cartulina de forma rectangular, se quiere construir una caja abierta. Para tal �n se quitancuadrados iguales de lado h en cada esquina y se doblan hacia arriba los bordes. Encuentra la fórmuladel volumen si la crtulina mide 8 cm de largo y 5 cm de ancho.
b) El área de un círculo de radio r es �r2. ¿Cuál es la fórmula del área A del anillo que se obtiene de quitara un círculo de radio y un círculo de radio x con el mismo centro?
6. Con el uso de productos notables, simpli�ca las siguientes expresiones.
a) (2 + 5a� 4b)2 � (4b� 5a� 2)2 b) 2 (w + z)2 (w � z)� 2 (w � z)2 (w + z)c)�a3 � a2b+ ab2 � b3
�(a+ b) d)
h(x+ 3)
2 � 4i3
e)�x3 + y4
� �y8 � x3y4 + x6
�f) (r + s)3 � 3 (r + s)2 (r � s)� (r � s)3 + 3 (r + s) (r � s)2
7. Prueba las siguientes igualdades
a) a4 � b4 = (a� b)�a3 + a2b+ ab2 + b3
�b) a7 + b7 = (a+ b)
�a6 � a5b+ a4b2 � a3b3 + a2b4 � ab5 + b6
�
44