ejercicios biseccion y newton

Problemas

Metodo de biseccion.

1. La ecuacion ex − 3x = 0 tiene por raız a r = 0,61906129. Comenzando con el inter-valo [0, 1], realizar seis iteraciones por el Metodo de biseccion para encontrar la raızaproximada. ¿Cuantos decimales significativos tiene dicha aproximacion?. ¿Cuantas it-eraciones son necesarias para que la raız obtenida tenga un error menor que 10−4?

2. Utilizar el Metodo de biseccion para encontrar una solucion aproximada con un errormenor que 10−2 en el intervalo [4, 4,5] para la ecuacion x = tg(x).

3. Sabiendo que existe una raız de la ecuacion x3 + x = 6 entre 1.55 y 1.75, ¿cuantasiteraciones son necesarias hasta obtener mediante el metodo de biseccion, un intervalo deamplitud menor o igual que 10−3 que contenga a la raız?. Calcular todas las iteracionesnecesarias.

4. Aplicar el Metodo de biseccion a F (x) = x3 − 17 = 0, a fin de determinar la raız cubicade 17 con un error menor que 0.125.

Metodo de Newton.

5. Aplicando el Metodo de Newton, encontrar una raız proxima a x0 = 0 para la ecuacionf(x) = 3x + senx − ex = 0.Redondear los calculos a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla | xi −xi−1 |≤ 0,001.

6. La funcion f(x) = 4x−7x−2 tiene una raız en x=1.75. Utilizar el metodo de Newton con las

siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cada caso, previamente, si se produceun proceso convergente o no a la raız.a)x0 = 1,6 , b)x0 = 1,5 , c)x0 = 3

7. Mediante el Metodo de Newton modificado, encontrar una raız proxima a x0 = 0 de laecuacion x − 2−x = 0.Utilizar tres decimales redondeados en cada iteracion hasta que se cumpla | xi−xi−1 |≤10−3.

8. La concentracion c de una bacteria contaminante en un lago decrece segun la expresion:

c(t) = 80e−2t + 20e−0,5t

siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el numerode bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el Metodo de Newton).

9. Una determinada sustancia se desintegra segun la ecuacion A = P · e−0,0248t , donde Pes la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resultante despues de t anos. Siinicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia, ¿cuanto tiempo habra detranscurrir para que quede el 1 por ciento de esta? Utilizar el Metodo de Newton.

Ingenierıa TecnicaForestal

1 Fundamentos MatematicosCurso 2004/05

10. Demostrar que para encontrar la raız r-esima de un numero a, la formula iterativa deNewton se puede expresar como

xn+1 =1

r[(r − 1) · xn +

a

xnr−1

]

11. Hallar la raız cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el metodo de Newtony comenzando con el valor inicial x0 = 3. Utilizar dos decimales redondeados en loscalculos.

12. Se considera la funcion F (x) = x5+2x. Mediante el Metodo de Newton, hallar el menornumero positivo x (con tres decimales) para el cual F (x) = 4.

13. En los casos siguientes, aplicar el metodo de Newton con la estimacion inicial propuesta,y explicar por que falla el metodo.

a) y = 2x3 − 6x2 + 6x − 1, x1 = 1.

b) y = 4x3 − 12x2 + 12x − 3, x1 = 32 .

c) y = −x3 + 3x2 − x + 1, x1 = 1.

d) y = 3√

x − 1, x1 = 2.

14. Probar, mediante el metodo de Newton, que la ecuacion

xn+1 = xn(2 − axn)

se puede utilizar para aproximar 1a si x1 es una estimacion inicial del recıproco de a.

Notese que este metodo de aproximar recıprocos utiliza solo operaciones de suma ymultiplicacion. [Ayuda: Considerar f(x) = 1

x − a.]

15. Aproximar, con ayuda del resultado del ejercicio anterior, con tres cifras decimales, lossiguientes recıprocos:

a)1

3.

b)1

11.

16. Una medicina administrada a un paciente produce una concentracion en la sangre dadapor c(t) = Ate−t/3 mg/ml, t horas despues de que se hayan administrado A unidades.La maxima concentracion sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denominaconcentracion de seguridad.

a) ¿Que cantidad debe ser inyectada para alcanzar como maximo esta concentracionde seguridad?. ¿Cuando se alcanza este maximo?.

b) Una cantidad adicional se debe administrar al paciente cuando la concentracionbaja a 0′25 mg/ml. Determınese con un error menor de 1 minuto cuando debeponerse esta segunda inyeccion.



17. El crecimiento de poblaciones grandes puede modelarse en perıodos cortos suponiendoque el crecimiento de la poblacion es una funcion continua en t mediante una ecuaciondiferencial cuya solucion es

N(t) = N0eλt +

v

λ

(eλt − 1

),

donde N(t) es el numero de individuos en el tiempo t (medido en anos), λ es la razonde natalidad, N0 es la poblacion inicial y v es un razon constante de inmigracion, quese mide en numero de inmigrantes al ano.

Supongase que una poblacion dada tiene un millon de individuos inicialmente y unainmigracion de 400,000 individuos al ano. Se observa que al final del primer ano lapoblacion es de 1,506,000 individuos. Se pide:

a) Determinar la tasa de natalidad.

b) Hacer una prevision de la poblacion al cabo de tres anos.



Soluciones a algunos ejercicios

1. En efecto, si llamamos f(x) = ex−3x, por el Teorema de Bolzano, al ser f(1) = e−3 < 0,y f(0) = 1 − 0 = 1 > 0, sabemos que hay al menos una1 raız en el intervalo [0, 1].

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f(x)=exp(x)−3x

f(x) = ex − 3x.

Nos piden que hagamos seis iteraciones por el Metodo de Biseccion, esto es, vamos calcu-lando puntos medios de los intervalos, y el valor de la funcion en dichos puntos, quedandonoscon aquel donde haya cambio de signo (dicho de otro modo, ci+1 sustituye a extremo cuyaimagen tenga el mismo signo que f(ci+1)), e iteramos de nuevo:

c0 = 1/2 f(c0) = 0′148 > 0 ⇒ [c0, 1]c1 = 3/4 f(c1) = −0′133 < 0 ⇒ [c0, c1]c2 = 5/8 f(c2) = −0′006 < 0 ⇒ [c0, c2]c3 = 9/16 f(c3) = 0′067 > 0 ⇒ [c3, c2]c4 = 19/32 f(c4) = 0′029 > 0 ⇒ [c4, c2]c5 = 39/64 f(c5) = 0′011 > 0 ⇒ [c5, c2].

De modo que c6 = 79/128 ≡ 0′6171875, y la funcion ahı vale f(c6) ≡ 0′002. En efecto, elvalor es relativamente pequeno, aunque no una aproximacion excelente, y es que c6 dista dela solucion exacta que nos da el enunciado. En realidad, lo unico que sabıamos por el metodoa priori es que la cota de error entre la raız exacta y la aproximada era |x∗ − cn| ≤ b−a

2n+1 =127 ≡ 0′0078125, por lo que efectivamente no cabıa esperar mas de dos decimales exactos.

Las iteraciones necesarias para obtener orden δ = 10−4 son n = E(

ln(b−a)−ln(δ)ln 2

)= 13.

Nota sobre su resolucion en el ordenador:

Como el orden del metodo es uno, la aproximacion es lenta. Sin embargo, se comprueba quees facilmente automatizable (i.e. podemos llevar el metodo al ordenador, evaluando la funcionen el punto medio, y pidiendole a la computadora que compare el signo y en funcion de si saleigual o distinto tomar un intervalo u otro para la nueva iteracion). Con ayuda de MicrosoftExcel c© podemos implementar facilmente el esquema (buscar la funcion SI, vease material

1De hecho, f ′(x) = ex

− 3, con lo que deducimos que en x = ln 3 la derivada se anula y la funcion tiene unmınimo; como despues crecera mucho, pasara el cero de nuevo una unica vez.



complementario de este tema en la web www.uhu.es/pedro.marin/docencia/extraT2C.zip),aunque por contra la precision de calculo deja de ser buena muy pronto. MATLAB, sin embar-go, ofrece mayor exactitud, aunque la adaptacion a este lenguaje puede ser algo mas tediosa(se puede hacer con un proceso por lotes, o directamente con una funcion .m, en todo casousando el condicional, que en este programa es IF).

4. Para hallar la raız cubica de 17, es una eleccion evidente tomar la funcion f(x) = x3−17.Tanteamos mentalmente para asegurarnos un intervalo inicial en el que ejecutar el Algoritmo

de Biseccion (p.ej. [2, 3]). Con error menor que 0′125 debemos efectuar n = E(

ln 1−ln 0′125ln 2

)=

E(

0−ln(1/8)ln 2

)= E

(3 ln 2ln 2

)= 3 iteraciones2, y la solucion aproximada resultante es 2′5625,

mientras que una aproximacion mejor es 3√

17 ∼ 2,5712815906154.

5. Usando el Teorema de Bolzano sabemos que f(x) = 3x − sin x − ex tiene una raız en elintervalo [0, 1].

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f(x)=3x−sen(x)−exp(x) .

Como f ′(x) = 3 + cos(x) − ex, el Metodo de Newton-Raphson resulta

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= xn − 3xn + sin(xn) − exn

3 + cos(xn) − exn

.

El primer dato lo podemos elegir a nuestro antojo, tomamos por ejemplo x0 = 0, con loque x1 = 1/3, x2 = 0′360170714 y x3 = 0′36042168. Ya hemos cumplido la condicion |xi −xi−1| ≤ 0′001 pues |x3 − x2| = 0′00025. Ademas, comprobamos efectivamente que f(x3) =−5,744246611705250 10−8. Vemos graficamente la aproximacion realizada en dos etapas (laderecha es una ampliacion)

2Observa que la calculadora no es indispensable siempre.



−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

−1

−0.5

0

0.5

1

.

usando las rectas tangentes: y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0), e y = f ′(x1)(x − x1) + f(x1).

6. Claramente la unica raız de la funcion f(x) = 4x−7x−2 es x∗ = 1′75. Si implementamos el

metodo de Newton-Raphson para aproximar la solucion

f ′(x) =−1

(x − 2)2, ⇒ xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= xn + (4xn − 7)(x − 2),

comprobamos que con los tres valores que nos dan se obtienen las siguientes secuencias:

1′6, 1′84, 1′7824, 1′75419904, 1′750070528, 1′75000002, 1′75, 1′75, 1′75 . . .

3, 8, 158, 97658, 38146972658, 5′82077E + 21, 1′35525E + 44, 7′34684E + 88, . . .

1′5, 2, 2, 2, . . .

es decir que la primera converge a la verdadera solucion, la segunda diverge y la terceraconverge a una falsa solucion. Ello es debido a que el metodo es local, y hay que empezarsuficientemente cerca de la solucion para tener garantıa de convergencia, lo que nos impele ahacer siempre la comprobacion (cuando obtengamos una convergencia hacia cierto valor) deque la imagen del valor aproximado obtenido esta cerca de cero, para evitar falsas soluciones.

[En general los codigos suelen tener dos condiciones para parar: que dos iteraciones con-secutivas esten cerca entre sı y que la imagen de una de ellas este cerca de cero.]

8. Debemos hallar la raız de c(t) = 7, o lo que es lo mismo, definiendo f(t) = c(t) − 7,tenemos que hallar un cero para f. Ambas funciones, c y f tienen por derivada a la funcionf ′(t) = −160e−2t − 10e−t/2. Al ser negativa, sabemos que las funciones c y f son decrecientesestrictamente, luego si existe solucion, es unica.

Como c(0) = 100 y lımt→∞ c(t) = 0, en tiempo positivo la funcion c (que es continua)tomara todos los valores del intervalo (0, 100].

Una vez que hemos concluido que existe una unica raız de c(t) = 7, y por tanto un unicocero de f(t), aplicamos el Metodo de Newton-Raphson. Como c(0) = 100 dista bastantedel objetivo, conviene, para ahorrar calculos empezar con un dato inicial del tiempo algomayor (no mucho, porque la exponencial decae rapidamente), por tanteo parece convenientecomenzar con x1 = 2. En cuatro iteraciones conseguimos:

x2 = 2′27579938312569

x3 = 2′32768095901589



x4 = 2′32908663665517

x5 = 2′32908761684562.

9. Es propio del material radioactivo desintegrarse con respecto a esa ley (solucion de ciertaecuacion diferencial que veremos mas adelante en el Tema 4). Observese que resolver elproblema equivale a hallar el cero de f(t) = 500e−0′00248t−5, o lo que es lo mismo (pero mejorpara hacer los calculos), de la funcion g(t) = 100e−0′00248t − 1. Antes de aplicar el Metodode Newton-Raphson es adecuado pensar en que dato inicial tomar (de no ser adecuado,tardaremos mucho o puede, como se ve en algunos ejercicios del tema, que no lleguemos a lasolucion).

Es claro geometricamente que, por la forma de la exponencial, el metodo va a ser efectivocon cualquier dato inicial.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

g(t) = 100e−0′00248t − 1.

Pero por el bajo coeficiente que afecta al exponente, ha de pasar mucho tiempo para que laexponencial comience a decrecer de forma notable. Por ello, comenzamos con t1 = 100. En 6iteraciones llegamos a la solucion:

t2 = 135′507554670222

t3 = 164′214770256907

t4 = 180′865946787540

t5 = 185′414686713111

t6 = 185′691392424226

t7 = 185′692346197917 anos han de pasar para quedar3 el 1 %.

10. Se obtiene tras transformaciones aritmeticas inmediatas a

xn+1 = xx − f(xn)

f ′(xn)

siendo f(x) = xr − a.

11. El ejercicio anterior se aplica con r = 2 y a = 10 generando la sucesion recurrente

xn+1 =1

2

(xn +

10

xn

).



Elegir x0 = 3 es una buena eleccion: simple y aproximada, esto ultimo es importante yaque el Metodo de Newton-Raphson es local, por lo que cuanto mas cerca se comience de lasolucion, mas garantıas de exito se tendra al aplicarlo. x0 = 3, x1 = 3′16, x2 = 3′1622777,x3 = 3′1622777 (que ya coincide con el resultado que podemos obtener usando la calculadora).

13. a) En este caso el Metodo de Newton-Raphson no es aplicable porque el punto inicialanula el denominador f ′(x) que aparece en la expresion recurrente. En cambio, si tomamosun valor un poco mas alejado, por ejemplo, 1′2, conseguimos aproximar en 9 iteraciones lasolucion (con un error/tolerancia de 10−8):

x1 = −3′03333333333329x2 = −1′69913409071934x3 = −0′82229976699472x4 = −0′26505557694095x5 = 0′05248674618149x6 = 0′18268167510526x7 = 0′20562357143852x8 = 0′20629889908101x9 = 0′20629947401548.

Empezando en x0 = 0 conseguimos la convergencia (con igual tolerancia) en 4 iteraciones:x1 = 0′16666666666667x2 = 0′20444444444444x3 = 0′20629515192918x4 = 0′20629947399236.

b) La derivada de f se anula en x = 1, con lo que si los calculos pasan por algun xn = 1,el metodo no sera valido. Y justamente ese es el caso si x1 = 3/2, ya que x2 = 1. Sin embargo,eso no significa que el metodo en si sea malo para hallar el cero de esta funcion, solo que eldato inicial no es el adecuado. En efecto, si empezamos por otro valor, x1 = 0, el metodoconverge en 5 iteraciones:

x2 = 0′25x3 = 0′35185185185185x4 = 0′36953388762913x5 = 0′37003906971704x6 = 0′37003947505230.

c) Con el dato inicial la sucesion que se obtiene es de 0 y 1 alternante, con lo que nuncaconvergera a ningun valor. Aunque no hayamos visto en el desarrollo de teorıa las condicionesde convergencia de los metodos de punto fijo (el MNR lo es para la funcion g(x) = x −f(x)f ′(x)), intuimos con este ejemplo que no deben darse condiciones oscilantes en el entorno quetomemos para comenzar la construccion de la sucesion recurrente, sino que debe ser monotonaen cierto sentido hacia el cero de la funcion f. Estos ejemplos muestran simplemente malaselecciones del dato inicial que hacen que en el camino se tope uno con dificultades, que seevitarıan (una vez mas) empezando por otro dato, mas proximo y adecuado: con dato inicial3 se consigue la aproximacion en 4 iteraciones

x1 = 2′8



x2 = 2′76994818652850

x3 = 2′76929266290594

x4 = 2′76929235423870.

d) En este caso la explicacion es clara si tenemos en cuenta la grafica de la funcion:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

El pico que, en torno a x = 1, forma la grafica de la funcion f(x) = 3√

x − 1, unido a la obviaraız que tiene, es una mala condicion para poder apoyarnos en el uso de rectas tangentes.Toda la regularidad que necesitamos, aquı falta, tras acercarse inicialmente, cambia de signo,lo alterna, y se va alejando (diverge).

14. En este ejercicio se pide probar que una forma de aproximar el valor 1/a es a traves dela sucesion xn+1 = xn(2−axn), esto es trivial con la indicacion que dan: la raız de la funcionf(x) = 1

x − a es justamente x∗ = 1a , y el Metodo de Newton-Raphson genera justamente la

anterior relacion de recurrencia:

f ′(x) =−1

x2⇒ xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= xn −

1xn

− a−1x2

n

= xn +1

xn

− a1

x2n

= xn + xn − ax2n.

Lo resenable del ejercicio es que para obtener el cociente 1/a no es necesario dividir, sinoaproximar con sumas y productos.

16. Vemos como la realidad no se reduce siempre al uso de una funcion de una unica variable.

a) Fijada la dosis inicial A, el problema, con la funcion dada c(t), consiste en hallar elmaximo de concentracion, y el momento. Podemos contestar ya a lo segundo: buscamos losextremos relativos a traves de la derivada de la funcion:

c′(t) = Ae−t/3 − 1

3Ate−t/3 = Ae−t/3 (1 − t/3) .

Por tanto, los candidatos a extremos de la funcion c (recuerdese que el dominio en que tienesentido el problema es [0,∞)) son {0, 3,∞}. Sin embargo, c(0) = 0, y lımt→∞ c(t) = 0, demodo que la cantidad c(3) = 3e−1A > 0 es la concentracion maxima.



De hecho, cualquiera que sea la cantidad inicial A, el maximo de la concentracion sealcanza en t = 3. Para que la cantidad maxima no supere 1 mg/ml, simplemente hay queponer un A menor del que resuelva 3e−1A = 1, esto es, A ≤ e/3.

b) Supuesta suministrada esta cantidad inicial, A = e/3, nos preguntan cuando ocur-rira que

c(t) =e

3te−t/3 = 0′25.

Tenemos que resolver pues la ecuacion

f(t) =e

3te−t/3 − 0′25 = 0.

Pero del analisis anterior sacamos que al maximo llega desde cero y que despues tiende acero, es decir, cualquier cantidad en (0, A), en particular 0′25, es alcanzada dos veces y nosinteresa cuando lo alcanza por segunda vez.

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

c(t) = e3 te−t/3.

Usamos el metodo de Newton-Raphson con algun valor numerico que resulte adecuado(por lo dicho antes, mas bien largo que corto, para que la convergencia sea hacia la solucionpor encima de las tres horas). Por la forma de campana, basta tomar cualquier valor inicialsuperior a tres horas, p. ej. x0 = 4 genera una sucesion que converge en 4 iteraciones (conuna tolerancia de 10−8; nos pedıan precisicion de un minuto, que pasado a horas es 0′01666,por tanto bastaba con 10−3):

x1 = 10′30879920381349

x2 = 11′02140006874606

x3 = 11′07757133060878

x4 = 11′07790357510362 horas= 11 horas, 4 minutos.

17. En este problema nos dan el modelo

N(t) = N0eλt +

v

λ

(eλt − 1

),

los datos N0 = 106, v = 4 105, N(1) = 1506 103, y nos piden simplemente que despejemos elvalor de λ :



1506 103 = 106eλ +4 105

λ

(eλ − 1

).

Simplificamos antes de resolver el cero de cierta funcion asociada:

f(λ) = 1000eλ +400

λ

(eλ − 1

)− 1506 = 0.

Con un dato inicial bajo x1 = 1 (lo esperable para la natalidad de una poblacion que enun ano solo ha pasado de 1400000 a algo mas de millon y medio de habitantes) la respuestase obtiene en 4 iteraciones (con precision 10−8):

x2 = 0′390820116865x3 = 0′12534036450639x4 = 0′08560613200322x5 = 0′08483943705533x6 = 0′08483915873218 ∼ λ.b) Consiste en sustituir t = 3 en la expresion (ahora totalmente conocida) de N(t) :N(3) = 2656373′589004676, que significa una poblacion en torno a los 2.656373 habi-

tantes.



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