EJERCICIOS 3º E.S.O. (Con Soluciones)

NÚMEROS

1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

2428,

1218,

205)b

2416,

84,

4235)a

Solución:

12(4,2,6)m.c.m

1214,

1218,

123

67,

23,

41ando)(simplific

2428,

1218,

205)b

6(6,2,3)m.c.m.

64,

63,

65

32,

21,

65ando)(simplific

2416,

84,

4235)a

2.- Calcula el valor de la siguiente expresión:

3:

25

34

51:

103

65:1

32

Solución:

34

27003600

1820

5090

323:

620

1015

56

323:

25

34

51:

103

65:1

32

3.- Calcula el valor de la siguiente expresión:

58

32

41

43

32

41

35

52

23

Solución:

37

614

65

619

240200

619

58

4825

619

58

48833

619

58

61

4833

3095

58

61

43

1211

35

1019

58

122

43

1283

35

10415

58

32

41

43

32

41

35

52

23

4.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:

543:

61:

38)b

7:54

23:12)a

Solución:

1564

45192

415:

3485

43:

61:

38)b

10516

10582

354

3227:

54

23:12)a

5.- Julio pasa4

1 del día en el colegio,

8

1 lo dedica a comer,

6

1 a estudiar,

12

1 a hacer deporte

y el resto a dormir. ¿Qué fracción de día dedica a dormir?

Solución:

dormiradíadel83dedicaJulio

83

249

2415

2424

2424361

121

61

81

411

6.- Escribe los siguientes números decimales en forma de fracción:

a) 21,54545...b) 19,3333...c) 2,0715151...d) 3,2373737...

Solución:

a)11

237

99

2133

99

212154...54545,21

b)3

58

9

174

9

19193...3333,19

c)825

1709

9900

20508

9900

20720715...0715151,2

d)

198

641

990

3205

990

323237...2373737,3

7.- La cantidad total de un concurso de fotografía se ha repartido entre los tres ganadores de

la siguiente forma: el primero ha recibido8

5 del total; el segundo, el 32,5% y el tercero, 500 euros.

¿Cuál era el total para repartir entre los premiados?

Solución:

La fracción que recibe el segundo es: 32,5% =

4013

1000325

1005,32

La fracción de premio que recibe el tercero es:

201

402

40132540

4013

851

Como esa fracción equivale a 500 euros, la cantidad buscada es x de tal manera que:

201

x = 500.Por tanto la cantidad total a repartir era de 10 000 €

8.- Expresa primero en forma de fracción y luego opera:

9414,0....13333,1...5555,2

Solución:

150

259

900

1554

900

400

900

126

900

1020

900

23009

4

100

14

90

102

9

23

9

4

100

14

90

11113

9

225

9

414,0....13333,1...5555,2

9.- Realiza las siguientes operaciones, expresando primero los decimales en formafraccionaria:

4974,1·...828282,0

91

Solución:

330119

99003750

10051·

9970

100225

100174·

9981

9911

49

100174·

9982

91

4974,1·...828282,0

91

10.- Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:

2

π)a 23)b

3

3)c

100001

1)d

Solución:

a)2

IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico.

b) 23 IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales noperiódicas.

c)3

3 IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no

periódicas.

100001

1)d RACIONAL, porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico

11.- Representa de todas las formas posibles el intervalo7

5,4

Escribe dos números reales del intervalo.

¿Son 5 y4

7 puntos del intervalo?

Solución:

a)b) Dos números reales del intervalo son 2 y 2,1.

c) 5 sí es del intervalo, pero, no4

7 .

POTENCIAS Y RAÍCES

1.- Una fábrica produce 3 toneladas de hierro al día. ¿Cuántos kilos de hierro fabricará en 5días? Expresa el resultado en notación científica.

Solución:1 tonelada son 1000 kg.3 toneladas son 3000 kg.

En cinco días fabricará:

105,10001553000 4 kilogramos.

2.- Escribe en notación científica los siguientes números.

a) 25 millones de eurosb) Trescientos mil dólaresc) Cuatrocientos treinta y dos mil metrosd) Treinta milímetros (en metros)

Solución:

a) 25 millones de euros 7105,2 euros.

b) Trescientos mil dólares 5103 dólares

c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros 51032,4 metros

d) Treinta milímetros (en metros) 2103 metros

3.- Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:

4

52325

69

312b)3-:93a)

Solución:

9442

524

42

522

4

52

113143225325

3323332

323332

69312b)

33:33:333-:93a)

4.- Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales ensemejantes:

a) 18080455

b)49

7548

Solución:

37

333

7

543

7

534

27

325342

56564315654535

52322542523

497548b)

518080-455a)

5.- Halla en la forma más simplificada posible el resultado de las siguientes divisiones:

a) 8 25:5 b) 104 2 6:6

Solución:

a)48 28 248 28 48 555:55:525:5

b) 55 220 820 21020 220 52104 2 36666:66:66:6

6.- ¿Es correcto decir que 6 es el doble de 3 ? Razona tu respuesta

Solución:

No puesto que 3·23·26

El doble de 3 sería 123232 2

7.- Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales:

53 100:20·10

Solución:

30 132830 131530 131530 3151031530 10

30 12151530 1030 6230 1530 1053

5·25·2·210·210·2·1010·2·10

10:10·2·1010:10·2·10100:20·10

8.- Realiza las siguientes sumas de radicales:

a) 244554125 b) 27450512318

Solución:

a)65262536355

6·25·36·35·5244554125 2222

b)3622833·425·532·323

3·342·553·232·327450512318 2222

9.- Extrae factores de los siguientes radicales:

a) 300 b)8

1253

64

54)c

Solución:

a) 31035·23·5·2300 22

b)2

5

2

5

2·2

5·5

8

1252

2

c) 33333

3

3 24

32

2·2

3

2·2

2·3

64

54

10.- Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:

6:10d3 5:3 625c

3 123 9b28a

))

))

Solución:

3

5

6

10

3 1294

6:10d)5312535

6253 5:3 625c)

31083123 9b)162828a)

11.- Expresa el resultado como potencia única:

16

1

2

1

2

1c)164-4-b)822a)

32534

Solución:

343232

1025353

8344

21

21

21

21

161

21

21c)

4444164-4-b)

2222822a)

POLINOMIOS

1.- Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:

a) )1)(42()2

1)(42( 22 xxxx

b) )1)(()1)(( 22 yxyyxxyxyx

Solución:a) El primer paréntesis es factor común:

2xx8x4)21x2)(4x2()x1

21x)(4x2( 23222

b) El primer paréntesis es común:32232222 yxy3yx3x)yxy2x)(yx()1yxy1xyx)(yx(

2.- Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos:

a) 225x ... 36 b) 24 18xx ... c) ... 2540 x

Solución:

a) 2)5( x ... 2)6( . Falta el doble producto de los dos términos: 2·5x·6 = 60x, para tener:

.)65( 2x

b) 222 )9(2)( xx ... Falta el cuadrado de 9 para tener el cuadrado: .)9( 22 x

c) ... 2)5()4(52 x . Falta el cuadrado de 4x para tener el cuadrado: 2)54( x .

3.- Halla el polinomio que hay que restar a 153)( 235 xxxxP , para

obtener .3542)( 245 xxxxQ

Solución:Nos piden R(x) para que P(x) - R(x) = Q(x).Despejamos y sustituimos los polinomios:

4x3x4x)3x5x4x2(1x5x3x)x(Q)x(P)x(R 345245235

4.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 1))2(3(2 234 xxxx

b) )())1()1(()1( 232323 xxxxxxxxx

Solución:

a) 1232 234 xxxx

b) 3333111 23232323 xxxxxxxxxxxx

5.- Dados los polinomios 22

3

2

1)( 3 xxxP y 5

3

2

3

1)( 2 xxxQ . Calcula:

a) 4P(x) + 3Q(x)b) 2P(x) -6Q(x)

Solución:

a) 2342)53

2

3

1(3)2

2

3

2

1(4 2323 xxxxxxx

b) 2672)53

2

3

1(6)2

2

3

2

1(2 2323 xxxxxxx

6.- Calcula las siguientes potencias y reduce los términos semejantes:

.)34()52()3( 222 xxx

Solución:Desarrollamos los tres binomios y agrupamos los términos.

18x38x4)x9x2416(25x20x49x6x)x34()5x2()3x( 2222222

7.- Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes:

a) (2x + y) - [x + (3x - 2y) - (x - 2y)]

b) )52(2)2( 3432 xxxxx

Solución:a) 2x + y - x - 3x + 2y + x - 2y = -x + y

b) 852)10422( 2343432 xxxxxxxxx

8.- Divide los siguientes polinomios:)1x2x(:)x4x2x4x( 3346

.

Solución:

0x4x0x2x4x0x 23456 123 xx6x 34 xx2 123 xx

0x4x0xx2 234

4x2 0x2x4 2

0x2x4xx0 234 3x 1x2

2x4 -1

Es decir: 12)( 3 xxxC , 14)( 2 xxR .

9.- Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini:

a) )2(:)853( 24 xxxx

b) )2(:)453( 246 xxxx

Solución:

a) 1 0 - 3 5 - 8

- 2 - 2 4 - 2 - 6

1 - 2 1 3 - 14

32)( 23 xxxxC , R(x) = - 14

b) 1 0 -3 0 - 5 0 4

2 2 4 2 4 -2 -4

1 2 1 2 - 1 - 2 0

222)( 2345 xxxxxxC , R(x) = 0.

10.- En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes,quedando:

1 0 -9 0 2 6

2

Si sabemos que la división es exacta, ¿puedes reconstruirla, y escribir los polinomiosdividendo, divisor y cociente?

Solución:Como la división es exacta, el último coeficiente de la tercera fila es cero, y el que está enciam de él debeser -6. Entonces el coeficiente del divisor, el primero de la segunda fila debe ser -3, pues, al multiplicarlopor 2 resulta -6. Ahora, solamente consiste en continuar con el método.Los polinomios pedidos son:

0)x(Ry2x3x)x(C,3x)x(d,6x2x9x)x(D 3435

11.- Divide los siguientes polinomios:).2x(:)3x4x2( 223

Solución:

3x0x4x2 23 2x - 23x2 + 4x 2x + 4

3x4x4 2

2x4 + 8 4x + 5

Es decir: C(x) = 2x +4, R(x) = 4x + 5.

ECUACIONES Y SISTEMAS

1.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:).2x(x4)2x(x4 22

Solución:

Operamos: xxxxx 84444 222 Agrupamos los términos: 0442 xxResolvemos:

22

16164

x .

2.- Resuelve la siguiente ecuación:

x2

34

31

94

61x

21x

31

52

Solución:

Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 5, 6, 9) = 90: xxx 6040166

1

2

13612

Quitamos los paréntesis y dividimos por 2:6x - 9x + 3 + 8 = 20 - 30xAgrupamos y resolvemos:

27x = 93

1

27

9x .

3.- Resuelve la siguiente ecuación:

x

49

31)

32x(x4)

21x2)(

21x2(

Solución:Operamos:

x31

43x

38x4

41x4 22

Simplificamos y multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12: - 3 + 32x = 9 - 4x

Agrupamos y resolvemos:

36x = 123

1

36

12x .

4.- Resolver la siguiente ecuación:

5x2

6x52

105x8

Solución:Multiplicamos por el m.c.m.(5,6,10)=30: 3(8x+5) - 5(2-5x) = 60 -6xQuitamos los paréntesis: 24x + 15 - 10 +25x = 60 - 6xAgrupamos y resolvemos:

55x = 55 x = 1.

5.- Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:

a) 0327 2 xb) 0155 2 xx

Solución:

a) Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos: 39 xb) Como carece de término independiente, sacamos x como factor común: 5x(x-3) = 0, luego x = 0;

x = 3.

6.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de grado dos: 5x(x + 1) + 10(2x + 3) + 60 = 20(1 - x).

Solución:

Operamos: .x20206030x20x5x5 2

Agrupamos los términos: 5x2 + 45x + 70 = 0. Simplificamos: .01492 xxResolvemos:

7

2

259

256819x

.

7.- Resolver la siguiente ecuación:

0xx12 2

Solución:

2

712491

1·212·1·411

x2

Las soluciones son: 32

711

x y 42

712

x

8.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2y15x15151

3x

5y2

Solución:

Quitamos paréntesis:

21515

156

yx

xy

Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:

3

553

21515

31815

yy

yx

yx

Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x:5

9

15

27252152

3

5·1515 xxx

La solución es x =3

5, y =

5

9

9.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

12y2y3x44y33x

Solución:

Quitando paréntesis:

122124

433

yyx

yx

Agrupando los términos:

2434

13

yx

yx

Multiplicando por 1 la 1ª ecuación y sumando:

5

23235

2434

13

xx

yx

yx

Se calcula y:15

28

5

283

5

231313

5

23

yyyy

La solución es x =5

23, y =

15

28

10.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

5x5y2)y

2x(2

x)yx(2)3x(2

Solución:Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:

x5y2y10x5

xy2x26x2

Agrupamos los distintos términos:

0y8x10

6y2x

(*)Multiplicamos la 1ª ecuación por 4, y restamos:

0y8x10

24y8x4

-6x = -24 x = 4Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):4 + 2y = -6 y = -5. Solución: (4, -5)

11.- Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menorobtengas 11 de cociente y 8 de resto.

Solución:Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =392La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8

Debemos resolver el sistema:

8y11x

392yx

Restamos la segunda de la primera:12y = 384 y = 32. Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 360.

12.- Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el númerodisminuye en 9. ¿Qué número es?

Solución:Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.El número en cuestión es: 10x+y.El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:

9yx10xy109yx

Agrupando los términos y simplificando, resulta:

1yx9yx

Sumando las dos ecuaciones: 2y = 8 y = 4, x = 5.

El número pedido es el 54.

PROPORCIONALIDAD

1.- 5 personas consumen en 2 días 100 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8personas durante una semana?

Solución:5 personas _____ 2 días _____ 100 litros8 personas ____ 7 días _____ x litros

Proporcionalidad compuesta directa

Se reduce a una proporción simple: 56010

56100100

56

10100

7

2

8

5

x

xxlitros

2.- Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:

A 5 le corresponde:5

k

A 10 le corresponde:10

k

Por tanto:

1100k33010

k3330

10

k

5

k

Luego a 5 le corresponde 2205

1100

a 10 le corresponde 11010

1100

3.- Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata 15 camionescon una capacidad de 8 vacas cada uno, que realizarán el trabajo en 10 días. ¿Cuántotiempo tardarán si contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para 12 vacas?

Solución:15 camiones 8 vacas c/u 10 días5 camiones 12 vacas c/u x días

Proporcionalidad compuesta inversa

Se reduce a una proporción simple: 2060

1012010

120

6010

8

12

15

5

x

xx días

4.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando sereduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?

Solución:Subida: 120 · 1,20 = 144 eurosRebaja: 144 · 0,8 = 115,20 eurosVale menos que antes de la subida.

5.- Un estanque contiene 25200 litros de agua, si se consume el 12,5 % del contenido y con lalluvia aumenta un 21% de lo que restaba ¿qué cantidad de agua contiene actualmente elestanque?

Solución:

El 12,5 % del agua del estanque se consume: 3150100

252005,12

25200100

5,12

x

x litros.

Por tanto, quedan en el estanque 25200 - 3150=22050 litros.El 21% de agua que procede de la lluvia equivale a:

5,4630100

2205021

22050100

21

x

xlitros.

Por tanto, el estanque contiene actualmente 22050 + 4630,5= 26680,5 litros

6.- Tres usuarios de Internet, que utilizan el mismo ordenador, pagan la facturaproporcionalmente al número de horas que ha estado conectado cada uno. Si tienen quepagar 16,50, 21 y 10,50 euros respectivamente, y han estado conectados un total de 120horas, ¿cuánto tiempo habrá utilizado cada uno el ordenador?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:El primer usuario habrá estado conectado: 16,50 kEl segundo usuario habrá estado conectado: 21 kEl tercer usuario habrá estado conectado: 10,50 kPor tanto:

5,21204812050,102150,16 kkkkkLuego: El primer usuario habrá estado conectado 25,415,2·50,16 41 h. y un cuarto

El segundo usuario habrá estado conectado 5,525,2·21 52 h. y media

El tercer usuario habrá estado conectado 25,265,2·5,10 26 h. y un cuarto

7.- Reparte 7700 en partes directamente proporcionales a 2, 5, 7 y 11.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A 2 le corresponde: 2 kA 5 le corresponde: 5 kA 7 le corresponde: 7 kA 11 le corresponde: 11 kPor tanto:

308k7700k257700k11k7k5k2 Luego a 2 le corresponde 6163082

a 5 le corresponde 15403085 a 7 le corresponde 21563087 a 11 le corresponde 338830811

8.- Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 270 baldosas de 24 cm de largo y 15 de ancho.¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 12,5 cm de ancho?

Solución:270 baldosas 24 cm de largo 15 cm de anchox baldosas 20 cm de largo 12,5 cm de ancho

Proporcionalidad compuesta inversa

Se reduce a una proporción simple: 8,388250

360270

250

360

2705,12

15

20

24

270

x

xx

baldosas

SUCESIONES

1.- Averigua si65

11

13

6,

17

7,1 y son términos de la sucesión:

1

32

n

nan .

Solución:

1aluego,2n1n

3n1 22

177aluego,4n

1n3n

177

42

sucesiónladeomintérunesno136N

311n

1n3n

136

2

6511aluego,8n

1n3n

6511

82

2.- Halla el término general de las siguientes sucesiones:

a) 1, 4, 9, 16, ... b) 3, 6, 9, 12, ...

Solución:

a) 2nan b) nbn 3

3.- Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

a) na =3n + 2 b)12

5

n

nbn

Solución:

a) 51 a ; 82 a ; 113 a ; 144 a ; 175 a

b) 21 b ;5

72 b ;

7

83 b ; 14 b ;

11

105 b

4.- Averigua el término siguiente en cada una de las sucesiones:a) 3, 5, 7, 9, ___b) 5, 10, 20, 40, ___

Solución:a) 3, 5, 7, 9, 11b) 5, 10, 20, 40, 80

5.- Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética, sabiendo que elsexto término es -12 y la diferencia -4.

Solución:8a20a12d5aa 1116

dnaan )1(1 8 + (n - 1)(-4) = 8 - 4n + 4 nan 412

6.- Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que elquinto término es 47 y el décimo 97.

Solución:

daa )510(510 97 = 47 + 5d d = 10

7a40a47d4aa 1115

7.- En una progresión aritmética el segundo término es 20 y el quinto 35. Halla el términogeneral.

Solución:

daa )25(25 35 = 20 + 3d 3d = 15 d = 5

521 aa =20 - 5 = 15

dnaan )1(1 = 15 + (n - 1)5 = 15 + 5n - 5 = 5n + 10 105 nan

8.- Halla la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética: 4, 2, 0, ...

Solución:d = -2

daa 29130 = 4 + 29(-2) = -54

7502

)544(302

)aa(30S 30130

9.- Halla la suma de los 23 primeros términos de la progresión aritmética: 6,3

20,

3

19,...

Solución:

d =3

1

340

3226

31226d22aa 123

3667

61334

23

5823

2340623

2)aa(23S 231

23

10.- En una progresión geométrica el primer término vale 4 y el cuarto 1/2. ¿Cuánto vale larazón?

Solución:

21r

81rr4

21raa 333

14

11.- Halla término general de una progresión geométrica sabiendo que el sexto término es 486 yel tercero 18.

Solución:

1nn

112

13

33336

32a

2a9a18raa

3rr27r18486raa

12.- El primer término de una progresión geométrica4

27 y el cuarto

4

1 . Halla la razón.

Solución:

31r

271rr

427

41raaraa 333

141n

1n

13.- Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión geométrica: ,...1,2

1,

4

1

Solución:r = 2

32241raa 77

18

75,631

4164

1241232

1raraS 18

8

14.- ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primertérmino es 5, el último 640 y su suma 1 275?

Solución:

8n71n22212825640raa

2r2701r6355r6402751r27511r

5r64027511r

araS

1n71n1n1n1n

1nn

Por tanto, se han tomado 8 términos.

15.- Una profesora de Educación Física quiere hacer una demostración gimnástica con ungrupo de 28 alumnos. Para ello quiere formar con sus alumnos y alumnas un triángulo, demodo que la primera fila tenga un alumno, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántasfilas habrá?

Solución:Si llamamos a1, a2, ..., an al número de alumnos de la 1ª fila, 2ª fila, ... n-ésima fila, respectivamente, es

2a,1a 21 , ...,

nan

Hemos de hallar n para que: 21 aaSn ... 28 na

7ny)válidano(8n056nn56nn282

)n1(n2

)aa(nS 22n1n

Por tanto, el número de filas es 7.

FUNCIONES

1.- Si 1)( xxf , indica si 1x , 2x y 4x pertenecen a su dominio y en el caso

de que así sea cuál sería su imagen mediante )(xf .

Solución:

Si 1x , Rxf 0011)( .Por tanto 1x pertenece al dominio, y su imagen es 0.

Si 2x , Rxf 112)( . Por lo tanto 2x no pertenece al dominio.

Si 4x , Rxf 514)( . Por tanto 4x pertenece al dominio y su imagen es 5 .

2.- Escribe la función que nos da el área de cualquier rectángulo de altura 3cm. en función dela base.

Solución:

3 cm. x

xcm3xA .

3.- El coste del recibo del teléfono depende de los minutos hablados y una cuota fija de 12euros. Cada minuto hablado cuesta 4,4 euros. ¿Cuál es la función que nos da el coste dedicho recibo?

Solución:Si llamamos x al número de minutos hablados, el coste del recibo será una función que dependerá de x:

euros12x4.4)x(f

4.- Un vendedor de periódicos obtiene una ganancia de 0.5 euros por la venta de unadeterminada revista de economía, pero ha de pagar al mes al repartidor 7euros. ¿Cuál serála función que nos daría el beneficio del vendedor al cabo de un mes?

Solución:El beneficio del vendedor al cabo de un mes dependerá del número de ejemplares que venda de la revistaen cuestión.

Si llamamos x al número de ejemplares vendidos, entonces 75'0)( xxf €

5.- Sea f(x), la función que asocia a cada número racional su duplo más uno. ¿Es esta funcióncreciente? ¿Alcanza su máximo para algún punto de su dominio?

Solución:

La función es 12 xxf , que es una función creciente, pero no alcanza su máximo, porque para

cualquier número racional siempre podemos encontrar uno mayor de manera que su imagen también seamayor que la imagen del anterior.

6.- Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica elperiodo:

a) b)

Solución:a) Es una función periódica de periodo 2.b) Es una función periódica de periodo 3.

7.- A la vista de la siguiente función, di los intervalos en los que es creciente y en los que esdecreciente.

OO

Y

X

Solución:

Esta función es creciente en los intervalos 2,14,5 y es decreciente en los intervalos

5,31,3 . Para el resto de los valores de la variable independiente la función es constante.

8.- A la vista de la siguiente función di dónde es creciente y decreciente, así como sus máximosy mínimos relativos y absolutos.

OO

Y

X

Solución:

La función es creciente en los intervalos )3,2()0,2()4,5( y es decreciente en

.)5,3()20()2,4( La función tiene dos máximos relativos en )1,4( y )1,0( , mínimo relativo en 3,2 un máximo

absoluto en 4,3 y un mínimo absoluto en 4,2

9.- Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan lassimetría que se indica:

a) Par Impar c) Ni par, ni par

OO

Y

X OO

Y

X OO

Y

X

Solución:

OO

Y

X OO

Y

X OO

Y

X

10.- Dada la recta 12 xy , calcula una recta paralela a ella que tenga por ordenada en el

origen 3. Representa las dos rectas.

Solución:Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:

3x2y

Y

X

11.- La pendiente de una determinada recta es2

1, siendo uno de los puntos por los que pasa

es )1,3( . Calcula su ecuación y representa dicha recta.

Solución:

La pendiente de esta recta es2

1, entonces: nxy

2

1. Para saber cuál es la ordenada en el origen,

utilizamos el hecho de que )1,3( pertenece a esta recta.

21nn

231n3.

211

. Así que2

1

2

1

xy

Y

X

12.- Representa las rectas 2 xy e 1 xy y calcula el punto que tienen en común.

Solución:El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

1xy

2xy

21y,

23x

Y

X

13.- La pendiente de una recta es -1, y su ordenada en el origen 2. ¿Cuál será la ecuación de unarecta paralela a ella que tiene como ordenada en el origen -3?. Represéntalas gráficamente.

Solución:Se trata de una recta paralela a otra con pendiente -1, con lo cual la recta pedida tiene la misma pendiente.La ecuación será:y = -x-3

Y

X

14.- Calcula la ecuación de una recta paralela a la recta de ecuación 32

1

xy , que pasa

por el punto de intersección de las rectas: 121 xyexy .

Solución:Resolviendo el sistema, el punto de intersección de las rectas dadas es (-2, -3) , con lo cual la ecuación dela recta pedida será:

4x21y

15.- La ecuación de una recta es2

3

5

1 xy ¿Cuál será la ecuación de la recta que tiene la

misma ordenada en el origen y como pendiente la mitad? ¿Son estas dos rectas secantes?.En caso afirmativo, calcula el punto que tienen en común.

Solución:La ecuación de la recta pedida es:

23x

101y

Estas dos rectas son secantes puesto que no tienen la misma pendiente. El punto que tienen en común es

)23,0(

16.- Averigua si los siguientes puntos están alineados: )1,0(),2

1,3(),0,2( CBA

y )2

1,1(D .

Solución:Si están alineados pertenecerán a la misma recta. Tomamos dos de los puntos y calculamos la ecuación dela recta que los contiene:

nm.20

no.m1

21m,1n

con lo cual, la recta tiene como ecuación: 12

1

xy . Comprobamos ahora si el resto de los puntos

pertenecen a esta recta:

Si2

11

2

313.

2

13

yx ,por tanto B pertenece a esta recta

Si2

111.

2

11

yx ,con lo cual, D también pertenece a la recta.

Por lo tanto, los puntos A, B, C, y D estan alineados.

ESTADÍSTICA

1.- Los precios en €/kg de algunos productos son:40, 45, 50, 45, 55, 60, 45, 50, 65, 45, 50, 75, 65, 50, 55, 45, 60, 65, 70, 55, 60, 50, 45, 60, 65, 55,45, 50, 50, 65.a) Realiza una tabla de frecuencias.b) Dibuja un diagrama de barras.c) Dibuja un diagrama de sectores.

Solución:a)

Precio fi

40 145 750 755 460 465 570 175 1

b)

c)

2.- Construye una tabla de frecuencia agrupando previamente los datos enintervalos y dibuja un histograma de la siguiente colección de pesos, extraída deuna muestra de 20 personas:66, 59, 53, 57, 51, 58, 49, 59, 68, 65, 54, 56, 59, 66, 58, 61, 65, 62, 55, 68.

Solución:

3.- En un test efectuado a 9 alumnos hemos obtenido los siguientes resultados:Respuestasexactas

NºAlum.

[30, 40) 2[40, 50) 8[50, 60) 20[60, 70) 29[70, 80) 14[80, 90) 10[90, 100) 7

Calcula la media, moda, la mediana y la varianza.

Solución:Completando la tabla:

Inter. x f x·f x2·f[30, 40) 35 2 70 2450[40, 50) 45 8 360 16200[50, 60) 55 20 1100 60500[60, 70) 65 29 1885 122525[70, 80) 75 14 1050 78750[80, 90) 85 10 850 72250[90, 100) 95 7 665 63175

90 5980 415850

Peso x f h[49, 54) 51,5 3 3/20[54, 59) 56,5 6 3/10[59, 64) 61,5 5 1/4[64, 69) 66,5 6 3/10

Suma= 20 1

Precios (€/kg)

012345678

40 45 50 55 60 65 70 75

Precio (€/kg)

40

45

5055

60

65

70

75

66,4490

5980x ; Mo = 65; Me = 65; 206,2866,44

90

415850 22 S

4.- Las puntuaciones obtenidas en un test de razonamiento abstracto por 20 alumnos hanquedado reflejadas en el siguiente diagrama de barras:

0123456

13 15 16 17 18 20 21 22 23

Puntuaciones

Nº a

lum

nos

Halla la media aritmética, la moda.

Solución:Puntuaciones Número de alumnos xi·fi

13 1 1315 1 1516 2 3217 3 5118 2 3620 2 4021 2 4222 5 4423 2 46

20 319

La media es: 95,1520

319x

La moda es 22.

5.- En una distribución en la que se estudia la talla de 500 personas se sabe que la mediana esigual a 1,67 m. ¿Qué quiere decir?

Solución:Que hay 250 personas con tallas inferiores a 1,67 m y otras 250 personas con tallas superiores a 1,67 m.

6.- Al realizar una encuesta telefónica sobre el número de personas que habitan cada casa, seobtiene los siguientes resultados:

personasi fi

1 1022 2053 3564 3725 210

Calcula la varianza y desviación típica de esta distribución.

Solución:personasi fi Fi xi fi |xi-

x |2 |xi-x |2 fi

1 102 102 102 5,33 543,172 205 307 410 1,71 350,533 356 663 1068 0,09 33,694 372 1035 1488 0,48 178,335 210 1245 1050 2,86 601,46

1245 4118 1707,18

La media es: 31,31245

4118x .

La varianza es: 37,11245

18,17072 s .

La desviación típica es: 17,137,1 s .

7.- Calcula la varianza y la desviación típica para la distribución de frecuencias siguiente:xi fi

1 22 13 34 45 1

Solución:xi

fi Fi xi

fi|xi-

x |2 |xi- x|2 fi

1 2 2 2 4,37 8,742 1 3 2 1,19 1,193 3 6 9 0,01 0,024 4 10 16 0,83 3,315 1 11 5 3,64 3,64

11 34 16,91

La media es: 09,311

34x

La varianza es: 54,111

91,162 s

La desviación típica es: 24,154,1 s

8.- Un profesor de educación física ha obtenido los siguientes resultados de sus alumnos en unacarrera de 100 m lisos.Calcula la moda y la mediana de los resultados agrupándolos de 1 s en 1 s.

10,3 13,1 11,2 12,7 10,811,4 14,2 12,6 11,9 10,511,5 11,8 13,0 12,8 14,212,0 13,5 14,1 14,7 12,710,3 13,1 11,2 12,7 10,8

Solución:Clase Marca fi Fi

[10,11) 10,5 5 5[11,12) 11,5 6 11[12,13) 12,5 6 17[13,14) 13,5 4 21[14,15) 14,5 4 25

25Las modas son 11,5 y 12,5La mediana es 12,5.

9.- Calcula la desviación típica para los datos de una distribución dada por el siguientediagrama de barras.

01234567

1 2 3 4 5

Solución:xi

fi Fi xi

fi|xi-

x |2 |xi-x |2 fi

1 2 2 2 6,76 13,522 2 4 4 2,56 5,123 4 8 12 0,36 1,444 6 14 24 0,16 0,965 6 20 30 1,96 11,76

20 72 32,80

La media es: 6,320

72x .

La varianza es: 64,120

80,322 s .

La desviación típica es: 28,164,1 s .