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UNIDAD 4: ¿Cuáles son las aplicaciones
de las cadenas de Markov?
Ejercicio 4
Procesos Markovianos finitos
Por M.A., Fís. Jorge Rivera Hernández
Introducción
Aunque hemos visto la forma de obtener la solución del estado estable de una cadena de
Markov, eso no significa que se llegue a dicha solución en unos cuantos pasos de la cadena.
De hecho, como se revisó en los ejercicios anteriores, incluso ni después de 10 o más pasos
del proceso se veía una tendencia clara de la solución estable del proceso markoviano. De
hecho, dado que siempre queda una cantidad de probabilidad por transferir entre los diferentes
estados del proceso, el número de etapas para llegar al resultado final estable se torna infinito.
El concepto de finitud de una cadena no tiene que ver con el número de transiciones para llegar
al estado estable, sino con el número de estados posibles en que puede estar el sistema. Si los
estados en que puede estar un sistema son: S1, S2, S3,…, Sn donde n es un número finito,
entonces la cadena es finita.
De los diferentes procesos que puede tener una cadena markoviana, sobresalen dos como
casos especiales. Se trata del proceso que posee un estado absorbente, lo que significa que
tarde o temprano dicho estado terminará por “comerse” toda la probabilidad y el estado final
estable será cuando el estado absorbente tenga el 100% de probabilidad de que el sistema se
encuentre en él. La probabilidad de estar en cualquiera de los otros estados es naturalmente
cero. Si el proceso se refiere a la transferencia de clientes de una marca a otra, el estado
absorbente se “come” a todos los consumidores y la marca correspondiente se queda con el
100% del mercado. Este proceso de absorción puede darse por concluido cuando el número de
consumidores de las otras marcas sea menor de uno, ya que deben tener un número entero de
consumidores.
El otro proceso es el que se conoce como cíclico, porque en el estado final de equilibrio, el
sistema termina con una secuencia predecible de transferencia entre estados.
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Otro tipo de proceso que reviste cierto interés es cuando existen dos o más estados
absorbentes. Cualquiera de ellos puede constituirse en el estado final de equilibrio, y la
probabilidad de llegar a serlo depende del estado inicial del proceso markoviano.
Supongamos que el estado k es absorbente, entonces, si el proceso inicia en el estado k,
jamás saldrá de él. Para analizar la probabilidad de que el estado k se constituya en el estado
final de equilibrio, debe suponerse que no se inicia en él ni en ningún otro estado absorbente.
Para que tenga sentido el problema, debe iniciarse en un estado no absorbente.
Es posible demostrar que la probabilidad que tiene una cadena de Markov de terminar en el
estado absorbente k, partiendo del estado no absorbente i, (Pi k), satisface la siguiente
ecuación:
Ecuación 1
Donde Pj k = 0 si j es un estado absorbente P
Armando todas las ecuaciones correspondientes a todos los estados no absorbentes i, se llega
a un sistema de ecuaciones que permite calcular la probabilidad de terminar en el estado
absorbente k si se inició en el estado no absorbente i.
Tiempo de primera pasada
Este es un concepto útil en el estudio de la duración de un proceso. Se define como el número
de transiciones para que el proceso vaya por primera vez del estado i al estado j. En el caso
especial en que i = j, estaríamos calculando el tiempo de recurrencia del estado i, es decir, el
tiempo que necesita para regresar a sí mismo. Conocer este tiempo de recurrencia, medido
como número de transiciones, es de interés cuando el estado es absorbente o parte de una
secuencia cíclica.
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Para calcular los tiempos esperados de primera pasada de todos los estados de una cadena
markoviana, tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
Ecuación 2
Donde i j son los tiempos esperados de primera pasada, desde el estado i hasta el estado j, y
los p i j son los elementos de la matriz de transición, es decir, la probabilidad de que el sistema
vaya del estado i al estado j.
En la literatura se demuestra que si j es la probabilidad que tiene el estado j en la situación
estable, entonces esta probabilidad es igual al inverso del tiempo de recurrencia, esto es:
Fórmulas
Siendo n el número de estados posibles de un sistema.
Estos ejercicios tienen como finalidad que practique los conceptos anteriores, relacionados con
la duración de un proceso markoviano antes de llegar al estado de equilibrio. Si bien es cierto
que el número de transiciones es infinito, en el caso de las cadenas de Markov irreducibles y
ergódicas, es decir, con estados recurrentes y no periódicos, si los estados de la cadena de
Markov presentan estados cíclicos o absorbentes, se puede pronosticar cierto comportamiento
en un número finito de transiciones.
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Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes ejercicios y resuelva con claridad lo que se
solicita. Puede apoyarse en la hoja de cálculo Excel. Recuerde que con esta
hoja de cálculo pueden realizarse multiplicaciones matriciales y programarse
la solución de sistemas de ecuaciones.
1. Consideremos el caso de tres compañías telefónicas que operan en un estado benevolente
con las grandes compañías, permitiéndoles monopolizar los servicios. Llamaremos a estas
telefónicas T, U y V. La siguiente tabla muestra el número de consumidores que
actualmente posee cada compañía y los porcentajes de sus clientes que se quedan o
cambian a las otras. La compañía T acapara prácticamente toda la infraestructura del
estado en materia de comunicación, lo que le permite disminuir notablemente sus gastos
operativos y por lo tanto ofrecer tarifas de telefonía extremadamente bajas, lo cual hace
prácticamente inexistente cualquier competencia de las compañías U y V, que están viendo
notablemente disminuida su clientela en cada estado de resultados.
A:
T U V
T 1 0 0
De: U 0.3 0.6 0.1
V 0.4 0.1 0.5
Con base en esta información:
a. Construya la matriz de transición, ¿detecta algún estado absorbente?
[ 1 0 00.3 0.6 0.10.4 0.1 0.5]
Si, claramente el estado absorbente se sitúa en la marca T, la cual argumenta que el
100% de sus clientes volverían a contratar el servicio, y 0% se cambiaría a otra marca.
Eso quiere decir que esta marca no puede perder clientes, por el contrario solo puede
ganar más clientes; en contraparte, las otras marcas solo pueden perder clientes o
ganarlas entre ellas (solo U y V), lo que podría tender a una situación de absorbencia.
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b. Estudie la cadena de Markov correspondiente hasta 15 pasos adelante. Observe que el
pez grande se come al chico. De las 15 transiciones, ¿habrá alguna en la que ya se dé
por concluido el proceso? Es decir, ¿en alguno de los pasos las compañías U y V se
han quedado con menos de un cliente? Suponga que la compañía T tiene 20 millones
de clientes, la compañía U 6 millones y la V 2 millones.
Si se toma como estado inicial absorbente de la marca T, instantáneamente surge la
situación absorbente y deja a las demás marcas con 0 clientes.
c. Calcule mediante el método matricial la situación final de equilibrio y verifique que en
verdad el estado absorbente termina por quedarse con el 100% del mercado.
2. La burocracia puede generar malas experiencias. La siguiente tabla muestra la matriz de
transición entre cuatro departamentos de una oficina de gobierno que se encarga de
autorizar la apertura de pymes.
ASESORÍA REVISIÓN
DOCUMENTACIÓ
N AUTORIZACIÓN
Asesoría 0.1 0.2 0.2 0.5
Revisión 0 1 0 0
Documentación 0.3 0.4 0.1 0.2
Autorización 0 0 0 1
Observamos que existen dos estados absorbentes, revisión y autorización. Este último
implica los permisos para iniciar el negocio, pero si tenemos la mala suerte de caer en el
departamento de revisión, los trámites quedarán estancados, a menos que hagamos algo
por cambiar las probabilidades de transición, pero en este caso estaremos en otra cadena
de Markov. Los estados de asesoría y documentación no son absorbentes.
Llamaremos a estos estados 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Utilice la ecuación 1 presentada
al principio de esta parte del cuaderno para determinar:
a. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 1, termine estancado en el
estado 2.
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b. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 1, termine en el estado 4.
c. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 3, termine estancado en el
estado 2.
d. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 3, termine en el estado 4.
3. Consideremos la siguiente tabla de transferencia porcentual entre 3 estados.
A:
A: B C
A 0.5 0.3 0.2
De: B 0.2 0.7 0.1
C 0.2 0.2 0.6
Con base en estos datos:
a. Determine la probabilidad de estar en estos estados en la solución estable.
b. Utilice las 2 ecuaciones presentadas al inicio de esta parte del cuaderno, para
determinar los tiempos esperados de primera pasada para cada uno de estos estados.
c. Usando los cálculos de los dos incisos anteriores, compruebe la veracidad de las
fórmulas presentadas al principio de esta parte del cuaderno.
4. Una brigada de reparación de asfalto utiliza taladros para levantar el piso. Al terminar la
jornada, envía los taladros dañados al taller para su reparación o mantenimiento. El resto
de los taladros los manda al almacén. En la creencia de que todos los empleados se
conocían, se eliminaron las órdenes de trabajo que se intercambiaban el taller y el almacén.
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Actualmente, el almacenista cree que todos los taladros que le llegan son para enviarlos al
taller para su mantenimiento, y al revés, cuando el taller termina el mantenimiento, envía los
taladros al almacén bajo el supuesto de que ellos se encargarán de distribuirlos. La
siguiente tabla muestra los porcentajes de taladros que se envían de un lado a otro:
A:
BRIGAD
A
TALLE
R ALMACÉN
Brigada 0 0.3 0.7
De: Taller 0 0 1
Almacén 0 1 0
Con base en la información anterior:
a. Elabore la matriz de transición.
b. Si la brigada inicia el primer estado con 100 taladros, construya los siguientes 10
estados para ver la historia de éstos.
c. Inicie ahora con los 100 taladros pero en el almacén, ¿qué le está ocurriendo a los
taladros?
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