ejercicio resuelto edo bernoulli
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ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
Ejemplo:
Sea la ecuación diferencial ordinaria
𝑥2 𝑑𝑦 − 2𝑥2𝑦4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0
Escribiremos la ecuación en la forma estándar de Bernoulli
𝒅𝒚
𝒅𝒙+ 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝒒(𝒙)𝒚𝒏
de ser posible
Al leer la ecuación vemos que el termino característico 𝑦𝑛 esta presente , además las funciones dependen solo de la variables 𝑥, lo que nos sugiere que puede tratarse de una ecuación de Bernoulli
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
𝑥2 𝑑𝑦 − 2𝑥2𝑦4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥=2𝑥2𝑦4 − 2𝑥𝑦4 + 4𝑥𝑦
𝑥2 − 1
Operamos la expresión para expresarla en forma estándar
Sea la ecuación diferencial :
−2𝑥2𝑦4 + 2𝑥𝑦4 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 = 0
𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝟐𝒙
𝒙 − 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏𝒚𝟒 +
𝟒𝒙𝒚
𝒙𝟐 − 𝟏
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
𝑑𝑦
𝑑𝑥−
4𝑥
𝑥2 − 1𝑦 =
2𝑥
𝑥 + 1𝑦𝟒
La EDO del ejemplo ahora esta expresada en la forma estándar de la ecuación diferencial de Bernoulli
Para resolver la EDO de Bernoulli , realizamos la sustitución :
𝑧 = 𝑦1−𝟒 = 𝑦−3 con 𝑑𝑧
𝑑𝑥= −3𝑦−4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Porque 𝒏 = 𝟒
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
𝑑𝑦
𝑑𝑥−
4𝑥
𝑥2 − 1𝑦 =
2𝑥
𝑥 + 1𝑦4 𝑦−4
Para facilitar la sustitución, es conveniente multiplicar la EDO por 𝑦−4
−𝟏
𝟑
𝒅𝒛
𝒅𝒙−
4𝑥
𝑥2 − 1𝒛 =
2𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑦−4 −
4𝑥
𝑥2 − 1𝒚−𝟑 =
2𝑥
𝑥 + 1
Como 𝒛 = 𝒚−𝟑 , 𝒅𝒛
𝒅𝒙= −𝟑𝒚−𝟒
𝒅𝒚
𝒅𝒙la ecuación nos queda
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
Multiplicamos por -3 y obtenemos una EDO lineal
𝒅𝒛
𝒅𝒙+ 𝟑
𝟒𝒙
𝒙𝟐 − 𝟏𝒛 = −𝟑
𝟐𝒙
𝒙 + 𝟏
Para resolver está EDO recordemos que se debe calcular el factor de integración
𝑓𝑖 = 𝑒 12𝑥𝑥2−1
𝑑𝑥
𝑓𝑖 = 𝑒6𝑙𝑛 𝑥2−1
𝑓𝑖 = 𝑥2 − 1 6
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
Multiplicamos la EDO por el factor integración y la expresamos como
𝑑 𝑧 𝑥2 − 1 6
𝑑𝑥= 𝑥2 − 1 6
−6𝑥
𝑥 + 1
Separamos las variables
𝑑 𝑧 𝑥2 − 1 6 = 𝑥2 − 1 6 −6𝑥
𝑥+1𝑑𝑥
Integramos
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI
𝑧 𝑥2 − 1 6 =1+𝑥 13
13+ 11
1+𝑥 12
12+20
1+𝑥 11
11+120
1+𝑥 10
10+160
1+𝑥 9
9+112
1+𝑥 8
8+32
1+𝑥 7
7
Tenemos el siguiente resultado :
Sustituimos 𝑧 = 𝑦−4 en la expresión y obtenemos la solución de la EDO
𝒚−𝟑 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔=
𝟏+𝒙 𝟏𝟑
𝟏𝟑+ 𝟏𝟏
𝟏+𝒙 𝟏𝟐
𝟏𝟐+20
𝟏+𝒙 𝟏𝟏
𝟏𝟏+120
𝟏+𝒙 𝟏𝟎
𝟏𝟎+160
𝟏+𝒙 𝟗
𝟗+112
𝟏+𝒙 𝟖
𝟖+𝟑𝟐
𝟏+𝒙 𝟕
𝟕
𝑥2 𝑑𝑦 − 2𝑥2𝑦4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0
Igual a:
Corina Villarroel RobalinoDOCENTE