ejercicio resuelto de ecd lineal de primer orden

Msc. Juan Carlos Briceño

Asignatura: Matemática III

Ejercicio Resuelto de Ecuación Diferencial

Lineal de Primer Orden

y’ + P(x)y = Q(x)


Ejercicio Resuelto

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

TEOREMA: La solución general de la ecuación diferencial viene dada por:

y’ + P(x)y = Q(x)

La forma anterior, por lo general no viene dada de manera directa en las integrales, esa es la parte que le corresponde a usted realizar.

( )P x dxey : es el factor de

integración

Veamos un ejemplo donde debamos aplicar diversos pasos para llegar a esa expresión.


Sugerencia

Presta atención a los siguientes pasos y trata en lo posible de indagar en cada uno, es recomendable que al final realices el ejercicio sin ninguna ayuda, recuerda que más que aprenderte el mismo, lo importante es comprender cual es el procedimiento aplicar. Al final de la presentación, adjunte una serie de teoremas y propiedades que son indispensable para la resolución de este tipo de ejercicios.



Ejercicio Resuelto

Dada la siguiente integral, xy’ + 2y = 3x determinar la función “ y ”

Por tal motivo, es necesario multiplicar por 1/x en ambos miembros

Recuerde que debemos llevarlo a la forma: y’ + P(x)y = Q(x)

1 1.( ' 2 ) .3xy y xx x

Esto es:

Resolviendo queda:

1' 2 3y y

x Por lo tanto:

1 1 1. ' 2 .3xy y xx x x



Ejercicio Resuelto

Como vez, el coeficiente que acompaña a y’, es uno y además la expresión anterior tiene la forma: y’ + P(x)y = Q(x)

Donde P(x) = y Q(x) = 3 , ahora es necesario determinar:2

x

El factor de integración: , esto es( )P x dx

e2 1

2dx dxx xe e

2

2

ln

2

lnx

x

e

e

x

ln xe xRecuerde que:Esto por propiedad de logaritmo, ver pagina de anexo.

ln xe x

El factor de integración queda: ( ) 2P x dx

e x



Ejercicio Resuelto

Ahora bien una vez determinado el factor de integración, multiplicamos por

la integral de los pasos iniciales:

Esto es:

1' 2 3y y

x


2 21. ' 2 . 3x y y x

x

2 2 21. ' 2. 3x y x y x

x

Simplificando:2 2 21. ' 2. 3x y x y x

x

2 2. ' 2. 3x y xy x


Ejercicio Resuelto

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden2 2. ' 2. 3x y xy x Esto es:

2 2. ' 2. 3x y xy x Luego Nota: Para este paso, que es regresar la derivada, se toma el termino que acompañe a y’, junto con el coeficiente de y.

Quedando: 2 2. 3dx y x

dx

IntegrandoEn ambos lados: 2 2 2( . ) 3 3d x y x dx x dx


Ejercicio Resuelto


Esto es:

Quedando:2 1

2. 3.2 1

xx y c

32. 3. 3

3

xx y c

2 3. 3x y x c 3

2

3x cy

x

3

2 2

2

3

3

x c

x x

x cx

Aplicando propiedad distributiva a la derecha de la igualdad

Pasando a dividir el termino que acompaña a y

Separando la fracción en dos

Aplicando la propiedad de potenciación 5 (Ver anexo)


Ejercicio Resuelto


Por lo tanto, la ECD lineal de primer orden:

con la que iniciamos, se reduce a la función:23y x cx

xy’ + 2y = 3x


Es fundamental que recuerdes muchas de estas propiedades ya que son utilizadas con mucha frecuencia:

1) a0 = 1

2) a1 = a

3) Productos de potencia de igual base: an · am = a n + m

4) Potencia de un Producto: (a · b)n = an · bn

5) Cociente de potencias de igual base: donde

n ≥ m ; a ≠ 0

6) Potencia de un cociente: ; b ≠

0 , n

7) Potencia de una potencia: (an)m = an. m

nn m

m

aa

a

n n

n

a a

b b

N

Propiedades de las potencias

Pagina de Anexo


Pagina de Anexo

1) ; 2)

3) ; 4)

5) ; 6)

7)

Propiedades de los Logaritmos


FIN

ejercicio resuelto de ecd lineal de primer orden

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