03. ejemplo resuelto programación lineal
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Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 1: formulación del problema)
Una empresa se dedica a la elaboración de dos tipos diferentes de
fertilizantes: H-Fosfato y L-Fosfato. Para ello, utiliza tres clases de
materias primas: Crudo 1, Crudo 2, Crudo 3. Los datos concretos para la
fabricación de los fertilizantes son los siguientes:
Tm de Crudo por Tm de Fertilizante Disponibilidad mensual
Crudo H-Fosfato L-Fosfato (en Tm) de Crudo
1 2 1 1500
2 1 1 1200
3 1 0 500 Precio venta Tm 15 10
Se desea determinar el número de Tm a producir mensualmente, de cada
fertilizante, para maximizar el ingreso total por ventas.
Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 2: construcción del modelo matemático)
Definición de las variables de decisión:
x1 = número de Tm de H-Fosfato a producir mensualmente
x2 = número de Tm de L-Fosfato a producir mensualmente
Construcción del modelo matemático:
Max. f(x) = 15 x1 + 10 x2
sujeto a 2 x1 + x2 ≤ 1500 (Tm de Crudo 1)
x1 + x2 ≤1200 (Tm de Crudo 2)
x1 ≤ 500 (Tm de Crudo 3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Hipótesis realizadas:
- proporcionalidad: 2 x1
- aditividad: 2 x1 + x2 ≤ 1500
- continuidad (divisibilidad): x1, x2 ≥ 0
- determinismo (certidumbre)
- independencia entre las variables y homogeneidad
Representación gráfica de la región de factibilidad
Concepto de SFB (Solución Factible Básica) o Punto Extremo.
semiplano x1 ≤ 500
semiplano x1 + x2 ≤ 1 200
semiplano 2 x1 + x2 ≤ 1 500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 3: resolución del modelo y obtención de la
solución)
Resolución gráfica
recta f = (15 x1 + 10 x2 =) 13 500
(300,900)
f = 13 500
(500,500)
f = 12 500
(0,1200)
f = 12 000
(0,0)
f = 0 (500,0)
f = 7 500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 3: resolución del modelo y obtención de la
solución)
Resolución mediante ecuaciones de igualdad: método algebraico
Max. f(x) = 15 x1 + 10 x2 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3
sujeto a 2 x1 + x2 + h1 = 1500
x1 + x2 + h2 = 1200
x1 + h3 = 500
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , h1 ≥ 0 , h2 ≥ 0 , h3≥ 0
x1 = número de Tm de H-Fosfato a producir mensualmente
x2 = número de Tm de L-Fosfato a producir mensualmente
A las variables h1, h2, h3 las denominamos variables de holgura (así, h1 es el número
de Tm de Crudo 1 que sobra al mes).
1ª Solución Factible Básica (SFB): x=(0,0)
x1 = 0, x2 = 0, h1 = 1500, h2 = 1200, h3 = 500 f= 0
(x1, x2 variables no básicas ; h1, h2, h3 variables básicas )
Para ver si se puede aumentar el valor de f, se escriben de otro modo las igualdades
iniciales: se ponen las variables básicas y la función f en términos de las variables no
básicas
h1 = 1500 - 2 x1 - x2
h2 = 1200 - x1 - x2
h3 = 500 - x1
f = 0 + 15 x1 + 10 x2
aumentar f ⇔ aumentar x1 (por cada unidad que aumente x1, f aumenta 15): ¿cuánto?
x1 ≤ 2
1500 = 750, x1 ≤ 1200, x1 ≤ 500
hacemos x1 = 500 ⇒ h3 = 0 (sale de la base)
x2 = 0, h3 = 0 ; h1 = 500, h2 = 700, x1 = 500 f= 7500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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2ª Solución Factible Básica (SFB): x=(500,0)
x2 = 0, h3 = 0 ; h1 = 500, h2 = 700, x1 = 500 f= 7500
(x1, h3 variables no básicas ; h1, h2, x1 variables básicas )
Repetimos el proceso anterior y escribimos las variables básicas y la función f en
términos de las variables no básicas; para ello, despejamos x1 en la 3ª restricción y
sustituimos su valor en la 1ª, 2ª y f
h1 = 1500 - 2 (500- h3) - x2
h2 = 1200 - (500- h3) - x2
x1 = 500 - h3
f = 0 + 15 (500- h3) + 10 x2
es decir,
h1 = 500 - x2 + 2 h3
h2 = 700 - x2 + h3
x1 = 500 - h3
f = 7500 + 10 x2 - 15 h3
aumentar f ⇔ aumentar x2: ¿cuánto?
x2 ≤500, x2 ≤ 700
hacemos x2 = 500 ⇒ h1 = 0
h1 = 0, h3 = 0 ; x2 = 500, h2 = 200, x1 = 500 f= 12500
3ª Solución Factible Básica (SFB): x=(500,500)
h1 = 0, h3 = 0 ; x2 = 500, h2 = 200, x1 = 500 f= 12500
(h1, h3 variables no básicas ; x2, h2, x1 variables básicas )
Repetimos el proceso y escribimos las variables básicas y la función f en términos de las
variables no básicas; para ello, despejamos x2 en la 1ª restricción y sustituimos su valor
en la 2ª, 3ª y f
x2 = 500 - h1 + 2 h3
h2 = 700 - (500 - h1 + 2 h3) + h3
x1 = 500 - h3
f = 7500 + 10 (500 - h1 + 2 h3) - 15 h3
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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x2 = 500 - h1 + 2 h3
h2 = 200 + h1 - h3
x1 = 500 - h3
f = 12500 - 10 h1 + 5 h3
aumentar f ⇔ aumentar h3: ¿cuánto?
h3 ≤ 200, h3 ≤ 500
hacemos h3 = 200 ⇒ h2 = 0
h1 = 0, h2 = 0 ; x2 = 900, h3 = 200, x1 = 300 f= 13500
4ª Solución Factible Básica (SFB): x=(300,900)
h1 = 0, h2 = 0 ; x2 = 900, h3 = 200, x1 = 300 f= 13500
(h1, h2 variables no básicas ; x2, h3, x1 variables básicas )
Repetimos el proceso y escribimos las variables básicas y la función f en términos de las
variables no básicas; para ello, despejamos h3 en la 2ª restricción y sustituimos su valor
en la 1ª, 3ª y f
x2 = 500 - h1 + 2 (200 + h1 - h2)
h3 = 200 + h1 - h2
x1 = 500 - (200 + h1 - h2)
f = 12500 - 10 h1 + 5 (200 + h1 - h2)
x2 = 900 + h1 - 2 h2
h3 = 200 + h1 - h2
x1 = 300 - h1 + h2
f = 13500 - 5 h1 - 5 h2
aumentar f ⇔ no se puede: la 4ª SFB es solución óptima
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Desarrollo gráfico
Desarrollo gráfico (despejando y sustituyendo)
Desarrollo gráfico (despejando y sustituyendo)
recta f = (15 x1 + 10 x2 =) 13 500
(300,900)
f = 13 500
(500,500)
f = 12 500
(0,1200)
f = 12 000
(0,0)
f = 0 (500,0)
f = 7 500
recta f = (15 x1 + 10 x2 =) 13 500
(300,900)
f = 13 500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 4: interpretación y validación de la
solución) La política óptima de producción consiste en fabricar mensualmente 300 Tm de H-
Fosfato y 900 Tm de L-Fosfato, lográndose así un ingreso total por ventas de 13.500
unidades.
Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 5: ejecución de la solución y
establecimiento de controles)
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 3: resolución del modelo y obtención de la
solución)
Resolución por ecuaciones de igualdad: otra forma equivalente (para
WinQSB)
Max. f(x) = 15 x1 + 10 x2 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3
sujeto a 2 x1 + x2 + h1 = 1500
x1 + x2 + h2 = 1200
x1 + h3 = 500
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , h1 ≥ 0 , h2 ≥ 0 , h3 ≥ 0
1ª Solución Factible Básica (SFB): x=(0,0)
x1 = 0, x2 = 0, h1 = 1500, h2 = 1200, h3 = 500 f= 0
h1 = 1500 - 2 x1 - x2 2 x1 + x2 + h1 = 1500
h2 = 1200 - x1 - x2 x1 + x2 + h2 = 1200
h3 = 500 - x1 x1 + h3 = 500
f = 0 + 15 x1 + 10 x2 f(x) = 15 x1 + 10 x2 + 0
(x1, x2 variables no básicas ; h1, h2, h3 variables básicas )
aumentar f ⇔ aumentar x1: ¿cuánto?
x1 ≤ 2
1500 = 750, x1 ≤ 1200, x1 ≤ 500
hacemos x1 = 500 ⇒ h3 = 0
2ª Solución Factible Básica (SFB): x=(500,0)
x2 = 0, h3 = 0, x1 = 500, h1 = 500, h2 = 700 f= 7500
h1 = 500 - x2 + 2 h3 x2 + h1 - 2 h3 = 500
h2 = 700 - x2 + h3 x2 + h2 - h3 = 700
x1 = 500 - h3 x1 + h3 = 500
f = 7500 + 10 x2 - 15 h3 f(x) = 10 x2 - 15 h3 + 7500
(x1, h3 variables no básicas ; h1, h2, x1 variables básicas )
aumentar f ⇔ aumentar x2: ¿cuánto?
x2 ≤ 500, x2 ≤ 700
hacemos x2 = 500 ⇒ h1 = 0
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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3ª Solución Factible Básica (SFB): x=(500,500)
h1 = 0, h3 = 0, x1 = 500, x2 = 500, h2 = 200 f= 12500
x2 = 500 - h1 + 2 h3 x2 + h1 - 2 h3 = 500
h2 = 200 + h1 - h3 - h1 +h2 + h3 = 200
x1 = 500 - h3 x1 + h3 = 500
f = 12500 - 10 h1 + 5 h3 f(x) = - 10 h1 + 5 h3 + 12500
(h1, h3 variables no básicas ; x2, h2, x1 variables básicas )
aumentar f ⇔ aumentar h3: ¿cuánto?
h3 ≤ 200, h3 ≤ 500
hacemos h3 = 200 ⇒ h2 = 0
4ª Solución Factible Básica (SFB): x=(300,900)
h1 = 0, h2 = 0, x1 = 300, x2 = 900, h3 = 200 f= 13500
x2 = 900 + h1 - 2 h2 x2 - h1 +2 h2 = 900
h3 = 200 + h1 - h2 - h1 + h2 + h3 = 200
x1 = 300 - h1 + h2 x1 +h1 - h2 = 300
f = 13500 - 5 h1 - 5 h2 f(x) = - 5 h1 -5 h2 + 13500
(h1, h2 variables no básicas ; x2, h3, x1 variables básicas )
aumentar f ⇔ no se puede: solución óptima
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Desarrollo gráfico (igualdades y pivotando)
recta f = (15 x1 + 10 x2 =) 13 500
(300,900)
f = 13 500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ejemplo de los Fertilizantes: (Fase 3: resolución del modelo y obtención de la
solución)
Resolución en forma de tabla
variables
SFB
Costo
inicial
Coeficientes de las variables en las
restricciones
Valor var. básicas
test del
cociente
coeficientes de las variables no básicas en la
función objetivo (costos reducidos)
Valor de la
función objetivo
1ª Solución Factible Básica (SFB): x=(0,0)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
h1 0 2 1 1 0 0 1500 750
h2 0 1 1 0 1 0 1200 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500 500
15 10 0 0 0 0
2ª Solución Factible Básica (SFB): x=(500,0)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
h1 0 0 1 1 0 -2 500 500
h2 0 0 1 0 1 -1 700 700
x1 15 1 0 0 0 1 500 M
0 10 0 0 -15 7500
3ª Solución Factible Básica (SFB): x=(500,500)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
x2 10 0 1 1 0 -2 500 M
h2 0 0 0 -1 1 1 200 200
x1 15 1 0 0 0 1 500 500
0 0 -10 0 5 12500
4ª Solución Factible Básica (SFB): x=(300,900)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
x2 10 0 1 -1 2 0 900
h3 0 0 0 -1 1 1 200
x1 15 1 0 1 -1 0 300
0 0 -5 -5 0 13500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Desarrollo gráfico (tablas)
recta f = (15 x1 + 10 x2 =) 13 500
(300,900)
f = 13 500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ideas previas para el algoritmo del Simplex: forma matricial
Max. f(x) = 15 x1 + 10 x2 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3
sujeto a 2 x1 + x2 + h1 = 1500
x1 + x2 + h2 = 1200
x1 + h3 = 500
x1 , x2 , h1 , h2 , h3 ≥ 0
Max f(x) = c x T sujeto a A x T = b
x ≥ 0
Max. f(x1,x2,h1,h2,h3) = ( )0,0,0,10,15
3
2
1
2
1
h
h
h
x
x
(c) (x T )
sujeto a
10001
01011
00112
3
2
1
2
1
h
h
h
x
x
=
500
1200
1500
(A) (x T ) (b)
x = (x1 , x2 , h1 , h2 , h3) ≥ 0
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Ideas previas para el algoritmo del Simplex: tablas en forma matricial
SFB inicial
variables
coeficientes en la f.o.
SFB
Costo
inicial
Coeficientes de las variables en las
restricciones
Valor var. básicas
test del
cociente
coeficientes de las variables en la función
objetivo (costos reducidos)
Valor de la
función objetivo
xi: variables
c: coeficientes en la f.o.
xB
cB :coeficientes en la f.o.
A
b
c Valor de la f. o.
SFB general (en una iteración cualquiera)
variables
coeficientes en la f.o.variables
SFB
(variables
básicas)
Costo
inicial
matriz actualizada de coeficientes
tecnológicos
Valores var.
básicas
test del
cociente
coeficientes de las variables no básicas en
la función objetivo (costos reducidos o
precios sombra)
Valor de la
función
objetivo
xi: variables
c
xB
cB
A = B-1
A
b = B-1
b
test del
cociente
c = c - cB B-1
A valor de la
f. o.
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Matriz de la SFB y su inversa en las tablas del algoritmo del Simplex
1ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
h1 0 2 1 1 0 0 1500 750
h2 0 1 1 0 1 0 1200 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500 500
15 10 0 0 0 0
=100
010
001
B →
=−
100
010
0011B
2ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
h1 0 0 1 1 0 -2 500 500
h2 0 0 1 0 1 -1 700 700
x1 15 1 0 0 0 1 500 M
0 10 0 0 -15 7500
=100
110
201
B →
−−
=−
100
110
2011B
3ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
x2 10 0 1 1 0 -2 500 M
h2 0 0 0 -1 1 1 200 200
x1 15 1 0 0 0 1 500 500
0 0 -10 0 5 12500
=100
111
201
B →
−−
=−
100
111
2011B
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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4ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
x2 10 0 1 -1 2 0 900
h3 0 0 0 -1 1 1 200
x1 15 1 0 1 -1 0 300
0 0 -5 -5 0 13500
=110
101
201
B →
−−−
=−
011
111
0211B
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
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Obtención de la tabla completa de una SFB desde la taba inicial
1ª Solución Factible Básica (SFB)
=100
010
001
B →
=−
100
010
0011B
=−
100
010
0011B multiplicado por
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
h1 0 2 1 1 0 0 1500
h2 0 1 1 0 1 0 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500
15 10 0 0 0 0
se obtiene la tabla
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
h1 0 2 1 1 0 0 1500
h2 0 1 1 0 1 0 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500
15 10 0 0 0 0
2ª Solución Factible Básica (SFB)
=100
110
201
B →
−−
=−
100
110
2011B
−−
=−
100
110
2011B multiplicado por
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
h1 0 2 1 1 0 0 1500
h2 0 1 1 0 1 0 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500
15 10 0 0 0 0
se obtiene la tabla
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
h1 0 0 1 1 0 -2 500
h2 0 0 1 0 1 -1 700
x1 15 1 0 0 0 1 500
0 10 0 0 -15 7500
Ejemplo Productos Líquidos (TRANS.) Programación Lineal
19
3ª Solución Factible Básica (SFB)
=100
111
201
B →
−−
=−
100
111
2011B
−−
=−
100
111
2011B multiplicado por
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
h1 0 2 1 1 0 0 1500
h2 0 1 1 0 1 0 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500
15 10 0 0 0 0
se obtiene la tabla
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
x2 10 0 1 1 0 -2 500
h2 0 0 0 -1 1 1 200
x1 15 1 0 0 0 1 500
0 0 -10 0 5 12500
4ª Solución Factible Básica (SFB)
=110
101
201
B →
−−−
=−
011
111
0211B
−−−
=−
011
111
0211B multiplicado por
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
h1 0 2 1 1 0 0 1500
h2 0 1 1 0 1 0 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500
15 10 0 0 0 0
se obtiene la tabla
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB
x2 10 0 1 -1 2 0 900
h3 0 0 0 -1 1 1 200
x1 15 1 0 1 -1 0 300
0 0 -5 -5 0 13500
Ejemplo Fertilizantes (TRANS.) Programación Lineal
20
Ejemplo de los Fertilizantes: cálculos vectoriales y matriciales
1ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
h1 0 2 1 1 0 0 1500 750
h2 0 1 1 0 1 0 1200 1200
h3 0 1 0 0 0 1 500 500
15 10 0 0 0 0
=100
010
001
B →
=−
100
010
0011B
b= B-1
b = I b =
500
1200
1500
= b
A = B-1
A = I A =
100
010
001
01
11
12
I =
10001
01011
00112
= A
c = c - cB B-1
A = c - 0 I A = (15, 10, 0, 0, 0) = c
f = cB B-1
b = 0 I b = 0
2ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
h1 0 0 1 1 0 -2 500 500
h2 0 0 1 0 1 -1 700 700
x1 15 1 0 0 0 1 500 M
0 10 0 0 -15 7500
=100
110
201
B →
−−
=−
100
110
2011B
Ejemplo Fertilizantes (TRANS.) Programación Lineal
21
b = B-1
b =
−−
100
110
201
500
1200
1500
=
500
700
500
A = B-1
A =
−−
100
110
201
01
11
12
I =
01
10
101-B =
=
−−
10001
11010
20110
c = c - cB B-1
A = (15, 10, 0, 0, 0) – (0, 0, 15)
−−
100
110
201
01
11
12
I =
= (15, 10, 0, 0, 0) – (0, 0, 15)
−−
10001
11010
20110
=
= (15 - 15, 10 - 0, 0 - 0, 0 - 0, 0 - 15) = (0, 10, 0, 0, -15)
f = cB B-1
b = (0 , 0, 15)
500
700
500
= 7500
3ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
x2 10 0 1 1 0 -2 500 M
h2 0 0 0 -1 1 1 200 200
x1 15 1 0 0 0 1 500 500
0 0 -10 0 5 12500
=100
111
201
B →
−−
=−
100
111
2011B
b = B-1
b =
−−
100
111
201
500
1200
1500
=
500
200
500
Ejemplo Fertilizantes (TRANS.) Programación Lineal
22
A = B-1
A =
−−
100
111
201
01
11
12
I =
01
00
101-B =
=
−−
10001
11100
20110
c = c - cB B-1
A = (15, 10, 0, 0, 0) – (10, 0, 15)
−−
100
111
201
01
11
12
I =
= (15, 10, 0, 0, 0) – (10, 0, 15)
−−
10001
11100
20110
=
= (15 - 15, 10 - 10, 0 - 10, 0 - 0, 0 + 5) = (0, 0, -10, 0, 5)
f = cB B-1
b = (10 , 0, 15)
500
200
500
= 5000 + 7500 = 12500
Ejemplo Fertilizantes (TRANS.) Programación Lineal
23
4ª Solución Factible Básica (SFB)
x1 x2 h1 h2 h3
15 10 0 0 0 SFB cociente
x2 10 0 1 -1 2 0 900
h3 0 0 0 -1 1 1 200
x1 15 1 0 1 -1 0 300
0 0 -5 -5 0 13500
=110
101
201
B →
−−−
=−
011
111
0211B
b = B-1
b =
−−−
011
111
021
500
1200
1500
=
300
200
900
A = B-1
A =
−−−
011
111
021
01
11
12
I =
01
00
101-B =
=
−−−
01101
11100
02110
c = c - cB B-1
A = (15, 10, 0, 0, 0) – (10, 0, 15)
−−−
011
111
021
01
11
12
I =
= (15, 10, 0, 0, 0) – (10, 0, 15)
−−−
01101
11100
02110
=
= (15 - 15, 10 - 10, 0 - 5, 0 - 5, 0 + 0) = (0, 0, -5, -5, 0)
f = cB B-1
b = (10 , 0, 15)
300
200
900
= 9000 + 4500 = 13500
Ejemplo Fertilizantes (TRANS.) Programación Lineal
24
Ejercicio 1: repetir el proceso anterior para el siguiente
Ejemplo de los Productos líquidos
Una empresa familiar se dedica a la elaboración de dos tipos diferentes de
productos líquidos para el hogar. Dichos productos precisan de la
utilización de tres máquinas distintas. Los datos concretos para la
elaboración de los productos líquidos son los siguientes:
índice de producción (horas/unidad) capacidad semanal
Máquina Producto1 Producto2 (horas/semana)
1 10 20 4000
2 5 5 1500
3 5 2 800 Beneficio neto 10 15
Se desea determinar el número de unidades de cada uno de los dos
productos líquidos a producir semanalmente, para maximizar el beneficio
neto por ventas.
Definición de las variables de decisión:
x1 = número de unidades de Producto1 a fabricar semanalmente
x2 = número de unidades de Producto2 a fabricar semanalmente
Construcción del modelo matemático:
Max. f(x) = 10 x1 + 15 x2
sujeto a 10 x1 + 20 x2 ≤ 4000
5 x1 + 5 x2 ≤ 1500
5 x1 + 2 x2 ≤ 800
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Ejemplo Fertilizantes (TRANS.) Programación Lineal
25
Ejercicio 2: repetir el proceso anterior para el siguiente
Ejemplo de Fabricación de Productos
Una empresa elabora dos tipos de productos: A y B. Cada unidad de
producto, tanto del tipo A como del B, necesita para su elaboración, de la
utilización de dos tipos diferentes de máquinas M1 y M2: el producto A
requiere 4 horas de utilización de la máquina M1 y ninguna de la máquina
M2; mientras que el producto B, requiere 1 hora de la máquina M1 y 1
hora de la M2.
Por el número de máquinas disponibles de los tipos M1 y M2, se
pueden conseguir 2400 y 350 horas de trabajo semanalmente
respectivamente. Todas las unidades producidas a lo largo de la semana se
venden durante esa semana, y el beneficio que deja cada unidad del
producto A es de 7 unidades monetarias, mientras que el B deja 5 unidades
monetarias. Además, por restricciones de tipo legal, no se pueden producir
más de 350 unidades del producto A.
Plantear el problema de programación lineal que analice el número de
unidades que se deben fabricar de cada tipo con el fin de maximizar el
beneficio.
Definición de las variables de decisión:
x1 , número de unidades fabricadas por semana del producto A
x2 , número de unidades fabricadas por semana del producto B
Ejemplo Fertilizantes (TRANS.) Programación Lineal
26
Construcción del modelo matemático:
Max. f(x1,x2) = 7 x1 + 5 x2
sujeto a
4 x1 + x2 ≤ 2400
x2 ≤ 350
x1 ≤ 350
x1 , x2 ≥ 0