EJERCICIOS BLOQUE I Ejercicio nº1.- a) Expresa en notación científica las siguientes cantidades:

A = 2 870 000 000 B = 0,00000074215 C = 0,0034 · 10-8

Solución: a) A = 2,87 × 109 B = 7,4215 × 10-7 C = 3,4 × 10-11 Ejercicio nº 2.- Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama:

5 33,42; ; ; 81; 5; 1; ; 1,4555...6 4 4

π− −

Solución:

Ejercicio nº 3.- I) Escribe en forma de desigualdad y representa:

[ ]a 2, 4)

1b ,3

) −∞

II) Escribe en forma de intervalo y representa:

{ }a 3 1x x) / − < < ≥

1b2

x x) /

Solución:

{ }) ) / ≤ ≤I a 2 4x x

) <

1b3

x x/

( )) ) −II a 3, 1

) + ∞

1b ,2

Ejercicio nº 4.-

1a Opera y simplifica: 24 54 6002

) + −

3b Racionaliza y simplifica:2 3 2

)−

Solución:

) + − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + − = −3 3 3 21 1 3 13a 24 54 600 2 3 2 3 2 3 5 2 6 6 10 6 62 2 2 6

= =

( )( )( )

+ + +)

−− +

3 2 3 23 6 6 6 6b12 2 102 3 2 2 3 2 2 3 2

= = =−

Ejercicio nº 5.- a) Opera y simplifica:

( ) ( )21 1 2 2 12

x x x + + − +

b) Halla el cociente y el resto de esta división:

( ) ( )5 3 27 2 3 2 2x x x x− + − +:

Solución:

( ) ( ) ( ) ) + + − + = + + + − + + =

2 2 21a 1 2 2 1 2 2 2 12

x x x x x x x x

= + + − − − = +2 23 2 2 1 1x x x x x b) 7x5 − 2x3 + 3x − 2 x2 + 2

− 7x5 − 14x3 7x3 − 16x − 16x3 + 3x − 2 16x3 + 32x

35x − 2

Cociente = 7x3 - 16x Resto = 35x - 2

Ejercicio nº 6.- Factoriza el siguiente polinomio:

x4 + 2x3 - 9x2 - 18x Solución: − Sacamos x factor común: x (x3+ 2x2 - 9x - 18) − Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 + 2x2 - 9x - 18:

1 2 −9 −18

3 3 15 18 1 5 6 0

−3 −3 −6 1 2 0

Por tanto: x4 + 2x3 - 9x2 - 18x = x (x - 3) (x + 3) (x + 2)

Ejercicio nº 7.- Opera y simplifica:

2

21 1a2 4

x xx x

− +) +

− −

:2 2 1b

2 4 2x x x

x x+ −

)+ +

Solución:

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

− +− + + + − + + + −) + = + = =

− − + − + − +− −

2 2 2 2 2

2 2

1 21 1 1 2 1 2 1a2 2 2 2 2 2 24 4

x xx x x x x x x xx x x x x x xx x

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )( ) ( )

+ − + + ++ −) : = : = = =

+ + + + + − + − −

2 2 1 1 1 1 21b2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2

x x x x x x xx x x x xx x x x x x x x x

Ejercicio nº 8.- Resuelve estas ecuaciones: a) x4 - 9x2 = 0

+ +b 1 5x x) = Solución:

( )2

4 2 2 22 2

0 0a 9 0 9 0

9 0 9 9 3

x xx x x x

x x x

= → =) − = → − = → − = → = → = ± = ±

Hay tres soluciones: x1 = 0, x2 = -3, x3 = 3

) + + = → + = −b 1 5 1 5x x x x

Elevamos al cuadrado y operamos:

( ) ( )+ = − → + = − + → = − + →2 2 2 21 5 1 10 25 0 11 24x x x x x x x

( )

=± − ± ±

→ = = ==

811 121 96 11 25 11 5

2 2 23 no válida

xx

x

ƒ‚

Ejercicio nº 9.- Resuelve el siguiente sistema:

2 2

3 2 125

x yy x

+ = − =

Solución: Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

−=

− + − − = → − = →

2 22 2

12 32

12 3 144 9 725 52 4

xy

x x xx x

→ + − − = → − + = →2 2 2144 9 72 4 20 5 72 124 0x x x x x

124 62 6372 5184 2480 72 2704 72 52 10 5 5

10 10 10 2 3

x yx

x y

= = → = −± − ± ±→ = = =

= → =

ƒ‚

= = − = =

1 1

2 2

62 63;Por tanto, hay dos soluciones: 5 5

2; 3

x y

x y Ejercicio nº 10.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones: a) x2 - 3x > 0

3 0b

2 0xx

+ >)

− ≤ Solución: a) Hallamos las raíces de x2 - 3x resolviendo la ecuación:

( )=

− = → − =− = → =

2

03 0 3 0

3 0 3

xx x x x

x x

Estudiamos el signo de x2 - 3x en cada intervalo:

x (−∞, 0) (0, 3) (3, +∞)

Signo de

x2 − 3x + − +

La solución de la inecuación es (-¥, 0) È (3, +¥).

) + > > − → − ≤ ≤

b 3 0 32 0 2

x xx x

La solución del sistema es (-3, 2].

Ejercicio nº 11.- a) Al realizar con la calculadora la operación 330 hemos obtenido en la pantalla lo siguiente:

2. 05891132114

Expresa en notación científica el número anterior. ¿De cuántas cifras es dicho número? Solución: a) 2,058911321 · 1014 ® Tiene 15 cifras Ejercicio nº 12.- Sitúa cada número en su casilla correspondiente (recuerda que puede ir en más de una):

2 4; ; 5,31; 8; 16; 1,222...; 44 2

− − − π;

N Z Q R

Solución:

N 16; 4

Z − −4 ; 5; 16 ; 42

Q − − − −2 4; ; 5; 5,31; 16; 1,222...; 4

4 2

R − − − − π2 4; ; 5; 5,31; 8; 16; ; 1,222...; 4

4 2

Ejercicio nº 13.- I) Escribe en forma de desigualdad y representa:

, 1a) 2

−∞

[ ]b) 3, 4 II) Escribe en forma de intervalo y representa:

{ } a) 2 1x x/ − ≤ < { } b) 2x x/ ≤

Solución:

) ) ≤

1I a2

x x/

{ }x x) ≤ ≤b 3 4/

[ )) ) −II a 2, 1

( ]) −∞b , 2

Ejercicio nº 14.-

2 1a Calcula y simplifica : 80 180 53 4

) − +

2b Racionaliza y simplifica :

5 3)

−

Solución:

) − + = ⋅ − ⋅ ⋅ + = − + =4 2 22 1 2 1 8 6a 80 180 5 2 5 2 3 5 5 5 5 53 4 3 4 3 4

= − + =

8 6 131 5 53 4 6

( )( )( )

( ) ( )2 5 3 2 5 3 2 5 32b 5 35 3 25 3 5 3 5 3

+ + +) = = = = +

−− − +

Ejercicio nº 15.- Halla con ayuda de la calculadora:

14 16

55,8 10 3,5 10a

2,5 10−

⋅ + ⋅)

⋅

5 2b 3) Solución:

21a) ( 5,8 EXP 14 3,5 EXP 16 ) 2,5 EXP 5 / 1.4232+−+ ÷ =

Por tanto:

−

⋅ + ⋅⋅

⋅

14 1621

5

5,8 10 3,5 10 1,4232 102,5 10

=

b) 3 ( 2 5 ) 1.551845574yx ÷ =

Por tanto:

≈5 23 1,55

Ejercicio nº 16.- a) Opera y simplifica:

( ) ( )2 22 3 2 4x x x+ − − +

b) Halla el cociente y el resto de esta división:

( ) ( )5 3 24 2 3 1 2:x x x x+ − + −

Solución:

( ) ( )) + − − + + + − + − − + −2 2 2 2 2a 2 3 2 4 4 4 3 6 12 2 10 8x x x x x x x x x= =

b) 4x5 + 2x3 − 3x + 1 x2 − 2

− 4x5 + 8x3 4x3 + 10x 10x3 − 3x + 1 − 10x3 + 20x

17x + 1

Cociente = 4x3 + 10x Resto = 17x + 1

Ejercicio nº 17.- Factoriza el siguiente polinomio:

x5- 2x4 - 5x3 + 6x2 Solución: − Sacamos x2 factor común: x2 (x3 - 2x2 - 5x + 6) − Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 - 2x2 - 5x + 6:

1 −2 −5 6 1 1 −1 −6

1 −1 −6 0 3 3 6

1 2 0

Por tanto: x5 - 2x4 - 5x3 + 6x2 = x2 (x - 1) (x - 3) (x + 2)

Ejercicio nº 18.- Efectúa y simplifica:

22 1 3a

39x

xx+

) ++−

−

2 2

3 22b

4x x x

x x+

) ⋅

Solución:

( )( )( )

( )( ) ( )( )−+ + + + − −

) + = + = =+ − + − + − +− −2 2

3 32 1 3 2 1 2 1 3 9 5 8a3 3 3 3 3 3 39 9

xx x x x xx x x x x x xx x

( )

( )( )++

) ⋅ = ⋅ =+ − −−

2 2 2

3 2 3

22 1b2 2 24

x xx x x xx x xx x x

Ejercicio nº 19.- Resuelve: a) x4 - 2x2 - 8 = 0 b 3 2 4x x) + − = Solución: a) Hacemos el cambio: x2 = z → x4 = z2

Así obtenemos:

2

8 422 4 32 2 36 2 62 8 0

2 2 2 4 22

z z z=

± + ± ±− − = → = = =

−= −

ƒ

‚

2

2

Si 4 4 4 2

Si 2 2 2 no hay solución.

z x x

z x x

= → = → = ± = ±

= − → = − → = ± − →

Por tanto, hay dos soluciones: x1 = -2; x2 = 2

) + − = → + = +b 3 2 4 3 2 4x x x x

Elevamos al cuadrado y operamos:

( ) ( ) ( )+ = + → + = + + → + = + + →2 2 2 23 2 4 9 2 16 8 9 18 16 8x x x x x x x x

2

21 1 8 1 9 1 30 2

2 2 21

xx x x

x

=± + ± ±

→ = − − → = = == −

ƒ‚

Ejercicio nº 20.- El producto de dos números es 28 y la suma de sus cuadrados es 65. ¿De qué números se trata? Solución: Llamamos x e y a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que:

⋅ = + =

2 2

2865

x yx y

Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

=

+ = → + = → + =

22 2 4 2

2

28

28 78465 65 784 65

yx

x x x xx x

Hacemos el cambio: x2 = z ® x4 = z2 Así obtenemos: z2 - 65z + 784 = 0 ®

=

± − ± ±→ = = =

=

4965 4225 3136 65 1089 65 33

2 2 216

zz

z

ƒ‚

2

2

Si 7 4Si 49 49 49 7

Si 7 4

Si 4 7Si 16 16 16 4

Si 4 7

x yz x x

x y

x yz x x

x y

= − → = −= → = → = ± = ±

= → =

= − → = −= → = → = ± = ±

= → =

Ejercicio nº 21.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

( )a 4 0x x) + ≤ ( )

3 1 6b4 0

xx

+ ≤)

+ > Solución:

a) Hallamos las raíces de x(x + 4) resolviendo la ecuación:

( )=

+ =+ = → = −

04 0

4 0 4

xx x

x x

Estudiamos el signo de x(x + 4) en cada intervalo:

x (−∞, −4) (−4, 0) (0, +∞)

Signo de x(x + 4) + − +

La solución de la inecuación es [-4, 0].

( ) + ≤ ≤ ≤+ ≤ → → → + > > − > −+ >

3 3 6 3 3 13 1 6b)4 0 4 44 0

x x xxx x xx

La solución del sistema es (-4, 1].

Ejercicio nº 22.- a) Si calculamos 2-20 con la calculadora, obtenemos en pantalla:

9. 536743164−07

Expresa el número anterior en notación científica y en forma decimal.

Solución: a) 9,536743164 · 10-7 ® Notación científica

0,0000009536743164 ® Notación decimal Ejercicio nº 6.-

Utiliza la calculadora para obtener el resultado de estas operaciones:

5 7

84,06 10 3,2 10a

2 10

− −⋅ − ⋅)

⋅

4 3b) 9 Solución:

13a) ( 4,06 EXP 5 / 3,2 EXP 7 / ) 2 EXP 8 2.014−+ +− −− ÷ =

Por tanto:

− −−⋅ − ⋅

≈ ⋅⋅

5 713

8

4,06 10 3,2 10 2,014 102 10

b) 9 ( 3 4 ) 5.196152423yx ÷ =

Por tanto: 4 39 5,20≈

Ejercicio nº 23.- a) Calcula y simplifica:

( ) ( )( )22 3 2 2 1 2 1x x x x− + − + −

b) Obtén el cociente y el resto de la siguiente división:

( ) ( )4 3 25 2 3 1 2 3:x x x x x− + − − +

Solución:

( ) ( )( ) ( )− + − + − − + − −2 2 2a) 2 3 2 2 1 2 1 2 6 4 4 1x x x x x x x= =

= − + − + − +2 2 22 6 4 4 1 2 6 5x x x x x= −

b) 5x4 − 2x3 + 3x − 1 x2 − 2x + 3 − 5x4 + 10x3 − 15x2 5x2 + 8x + 1

8x3 − 15x2 + 3x − 1 − 8x3 + 16x2 − 24x

x2 − 21x − 1 − x2 + 2x − 3 - 19x − 4

Cociente = 5x2 + 8x + 1 Resto = -19x - 4

Ejercicio nº 24.- Descompón en factores el siguiente polinomio:

x5 + x4 - 4x3 - 4x2 Solución: − Sacamos x2 factor común: x2 (x3 + x2 - 4x - 4) − Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 + x2 - 4x - 4:

1 1 −4 −4 −1 −1 0 4

1 0 −4 0 2 2 4

1 2 0

Por tanto: x5 + x4 - 4x3 - 4x2 = x2 (x + 1) (x - 2) (x + 2)

Ejercicio nº 25.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x2 - 1) (2x + 3) = 0

= −1 3b 3xx x

) −

Solución:

( )( )2 2

21 0 1 1 1

a 1 2 3 0 32 3 0 2 32

x x xx x

x x x

− = → = → = ± = ±) − + = →

+ = → = − → = −

1 2 33Hay tres soluciones: 1, 1, 2

x x x= − = =

) − = − → − = − →21 3 1 3 3b 3 x xx

x x x x x x

→ − = − → = − + →2 21 3 3 0 3 2x x x x

23 9 8 3 1 3 1

2 2 21

xx

x

=± − ± ±

→ = = ==

ƒ‚

Ejercicio nº 26.- Resuelve el sistema:

=−2

2

5 1 13121

2 6

xx

y x

+ = −

Solución: Resolvemos en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

( ) ( )2 2

2

5 1 13 12 5 1 13 1 60 12 13 13121

0 13 60 25

2

x x x x xx

x x

+= → + = − → + →

→ = − →

= −−

−

5

60 3600 1300 60 4900 60 7026 26 26

10 526 13

xx

x

=± + ± ±

→ = = =

= =

ƒ‚

− −

= −= → = − → = ±

=−

= → = − = − →

2

2

2Si 5 2 6 4

25 88Si 2 6 no hay solución.

13 13

yx y x y

y

x y x

ƒ‚

= = −= = −

1 1

2 2

5; 2Por tanto, hay solo dos soluciones:

5; 2x yx y

Ejercicio nº27.- Carlos y Elvira tienen, entre los dos, 108 €. Si Elvira le diera a Carlos 7 €, entonces Carlos tendrá la mitad del dinero que tendría Elvira. Averigua cuánto dinero tiene cada uno. Solución:

==

"dinero que tiene Carlos""dinero que tiene Elvira"

xy El sistema a resolver será:

+ = + = → − + = −+ =

108 1087 2 14 77

2

x y x yy x yx

Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

= −= + → − = + → = → =

1082 21 108 2 21 3 87 29

y xy x x x x x

Luego, y = 108 - 29 = 79.

Carlos tiene 29 €, y Elvira, 79 €.

Ejercicio nº 28.- Indica cuáles de los siguientes números son naturales, cuáles son enteros, cuáles racionales y cuáles irracionales:

1; 0,5; 3,42; 5; 25; ; 3; 2,4555...3 3

π−

Solución:

→Naturales 25; 3

→Enteros 25; 3 → −

1Racionales ; 0,5; 3,42; 25; 3; 2,4555...3

π→Irracionales 5;

3 Ejercicio nº 29.- Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso: a) Números menores que -1.

1b Números comprendidos entre y 3, ambos incluidos.2

)

c) Números mayores que 3 y el propio 3. d) Números comprendidos entre 1 y 2, incluido el 1, pero no el 2. Solución:

( )−∞ −a) , 1

1b) , 32

[ )) + ∞c 3,

[ ))d 1, 2

Ejercicio nº 30.-

Factoriza el siguiente polinomio:

x5 + 5x4 - x3 - 5x2 Solución: − Sacamos x2 factor común: x2 (x3 + 5x2 - x - 5) − Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x3 + 5x2 - x - 5:

1 5 −1 −5 1 1 6 5

1 6 5 0

−1 −1 −5 1 5 0

Por tanto: x5 + 5x4 - x3 - 5x2 = x2 (x - 1) (x + 1) (x + 5)

Ejercicio nº 31.- Opera y simplifica:

22 2a

11x

xx) −

−−

2

22 1 1b

3 9x x x

x x− + −

) :+ −

Solución:

( )( )( )

( )( ) ( )( )+ − − −

) − = − = =− − + − + − +− −2 2

2 12 2 2 2 2 2 2a1 1 1 1 1 1 11 1

xx x x xx x x x x x xx x

( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

− − − + −− + −) : = : = =

+ + + − + −−

2 22

2

1 1 1 3 32 1 1b3 3 3 3 3 19

x x x x xx x xx x x x x xx

( )( )= − − = − +21 3 4 3x x x x

Ejercicio nº 32.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x4 - 4x2 + 3 = 0

2 5b2 2x

x) + =

Solución: a) Hacemos el cambio: x2 = z → x4 = z2

Así obtenemos:

2

6 324 16 12 4 4 4 24 3 0

2 2 2 2 12

z z z=

± − ± ±− + = → = = =

=

ƒ

‚

= → = → = ±

= → = → = ±

2

2

Si 3 3 3

Si 1 1 1

z x x

z x x

= − = = − =1 2 3 4Por tanto, hay cuatro soluciones: 3, 3, 1, 1x x x x

) + = → + = → + = →2

22 5 4 5b 4 52 2 2 2 2x x x x x

x x x x

2

45 25 16 5 9 5 35 4 0

2 2 21

xx x x

x

=± − ± ±

→ − + = → = = ==

ƒ‚

Ejercicio nº 33.-

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

( )≥2a) 3 1x x x+ +

2 4 2b)

3 9− >

+ ≤x

x Solución:

( )2

2

2

2

a) 3 1

3 3 3 3 0 2 3 0

x x x

x x xx x xx x

+ ≥ +

+ ≥ +

+ − − ≥

− − ≥

Resolvemos la ecuación x2 − 2x − 3 = 0. 3

2 4 12 2 42 2

1

xx

x

=± + ±

= == −

ƒ‚

Estudiamos el signo de x2 − 2x − 3 en cada intervalo:

x (−∞, −1) (−1, 3) (3, +∞)

Signo de 2 2 3x x− − + − +

La solución de la inecuación es (-∞, -1]U [3, +∞).

) − > > > → → + ≤ ≤ ≤

b 2 4 2 2 6 33 9 6 6x x x

x x x

La solución del sistema es (3, 6].

EJERCICIOS BLOQUE II

Ejercicio nº 1.- Dada la función f(x) a través de la siguiente gráfica:

a) Indica cuál es su dominio de definición. b) ¿Es continua? Si no lo es, indica los puntos de discontinuidad. c) ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y cuáles los de decrecimiento de la función? ¿Qué

ocurre en el intervalo (-¥, -2] ? Solución:

{ }a) ( ) 4 Dom f x = −R b) No es continua; los puntos de discontinuidad son x = -2 y x = 4. c) Es creciente en los intervalos (-2, 0) y (2, 4).

Es decreciente en los intervalos (0, 2) y (4, +∞). En el intervalo (-∞, -2], la función es constante.

Ejercicio nº 2.- Construye una gráfica que corresponda a la temperatura que hay en cierto lugar de la sierra en un día del mes de enero: La temperatura a las 12 de la noche es de 3 °C bajo cero, temperatura que desciende paulatinamente hasta alcanzar los 9 °C bajo cero a las 4 de la mañana, que será la mínima del día. Desde ese momento y hasta las 2 de la tarde, la temperatura aumenta alcanzando la máxima del día, 12 °C. Desde entonces y hasta las 12 de la noche, comienza el descenso de temperatura hasta alcanzar los 0 °C, temperatura que también había a las nueve de la mañana. Solución:

Ejercicio nº 3.- Representa gráficamente la recta y = - 2x + 1 y halla la ecuación de la recta con la misma pendiente que la anterior que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(-3, 0) y B(1, -8). Solución: − Representamos la recta y = -2x + 1 haciendo una tabla de valores:

x 0 −2

y 1 5

− La pendiente de la recta y = -2x + 1 es m = -2.

Punto medio del segmento de extremos A(-3, 0) y B(1, -8):

( )− + −= = − = = − → − −

3 1 0 82; 4 2, 42 2

x y P

Ecuación de la recta de pendiente m = -2 que pasa por P(-2, -4): y + 4 = -2(x + 2) ® y + 4 = -2x - 4 ® y = -2x - 8 es la recta buscada.

Ejercicio nº 4.- Asocia cada gráfica con su correspondiente expresión: a) y = -3x2 + 3x

b) y = -(x - 3)2

( )21c 1

2x

y+

) = +

d) y = (x - 1) ( x + 2)

Solución: a) ® III b) ® I c) ® IV d) ® II Ejercicio nº 5.- Representa la siguiente función:

= −2

0 si 33 si 3 1

4 si 1

xy x x x

x

< − + ≤ < >

Solución: − El primer tramo de función es la recta constante y = 0 siempre que x < -3; análogamente, y =

4 es la recta constante definida para x > 1. − Estudiemos pues el segundo tramo, y = x2 + 3x, parábola definida para -3 £ x < 1.

3 9 9 9 3 9 Vértice ,2 4 2 4 2 4

x y V − → = − → = − = − → − −

que pertenece al dominio definido para x.

- Para representarla, hacemos una tabla de valores:

x −3 −2 −1 0

y 0 −2 −2 0

Ejercicio nº 6.- Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones:

=3a 1

3y

x) −

+ b) y = 6x

( )= 10c 2y log x) − + d 2 3y x) = +

Solución: a) ® IV b) ® II c) ® III d) ® I Ejercicio nº 7.-

Calcula usando la definición de logaritmo:

5a) 0,04log

21b)

512log

3c) 81log

3d) alog a Solución:

25 5 5 5 5 52

1

4 1 1a) 0,04 5 2 5 2100 25 5

log log log log log log−= = = = = − = −

92 2 2 29

1

1 1b) 2 9 2 9512 2

log log log log−= = = − = −

43 3 3

1

c) 81 3 4 3 4log log log= = =

343 3 4

1

3 3d) 4 4a a a alog a log a log a log a= = = =

Ejercicio nº 8.- Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:

x −8 −6 −3 0 4 7

y

a) Indica el dominio y el recorrido de la función. b) ¿Tiene máximo y mínimo? Si es así, ¿cuáles son? c) ¿En qué intervalos la función crece, decrece o es constante?

Solución:

x −8 −6 −3 0 4 7

y 0 −3 6 −6 0 −9

a) Dominio de definición: [-8, 8]; Recorrido: [−12, 9] b) Tiene un máximo en el punto (3, 9), y un mínimo en el punto (-7, -12). c) La función crece en los intervalos (-7, -5) y (0, 3); la función decrece en los intervalos

(-8, -7), (-2, 0) y (3, 5). Es constante en los intervalos (-5, -2) y (5, 8). Ejercicio nº 9.- Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado: Desde las 16:00 h del viernes, el número de vehículos en carretera aumenta paulatinamente, descendiendo a partir de las 22 h hasta las 6 de la mañana del sábado, momento en el que vuelve a producirse un aumento, menor que el del viernes, que dura hasta la 1 de la tarde. Durante 4 horas se produce una disminución del tráfico que alcanza cotas mínimas, volviendo a partir de ese momento a crecer hasta las 8 de la tarde, aunque menos que por la mañana. Desde ese instante y hasta las 8 de la mañana del domingo, el tráfico desciende; es a partir de ese momento y hasta las 10 de la noche cuando vuelve a crecer el número de vehículos alcanzando la cota máxima en ese momento del fin de semana, para luego descender hasta las 12 de la noche. Solución: Esta es una posible gráfica que describe la situación anterior; observa que la gráfica en ningún momento corta al eje X, puesto que siempre habrá vehículos circulando:

Ejercicio nº 10.- Observando las gráficas, indica cuál es la ordenada en el origen de las siguientes rectas y halla la ecuación de cada una de ellas:

Solución: Para calcular la ordenada en el origen, observamos el punto de corte de cada recta con el eje Y.

1 1 2 2 3 32Así: , 0, 23

r n r n r n→ = → = → =

Calculamos la pendiente de cada una de ellas: r1 ® m1 = 0

( ) ( )→ − → = −2 21pasa por 0, 0 y 4, 14

r m

( ) ( ) −→ → = =

−3 37 2 5pasa por 0, 2 y 2, 72 0 2

r m

Así, las ecuaciones de cada una de ellas serán:

→ = → = − → = +1 2 32 1 5 23 4 2

r y r y x r y x

Ejercicio nº 11.- Representa esta función:

( )−

= − −2

2 si 12 5 si 1 1

3 si 1

xf x x x

x

≤ − + < ≤ >

Solución: − El primer y el último tramo son las funciones constantes y = -2, y = 3 definidas para x £ -1 y

x > 1, respectivamente. − El segundo tramo es la parábola y = -2x2 + 5 definida para -1 < x £ 1. La representamos:

x −12

0 1

y 92

5 3

Ejercicio nº 12.- Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones:

−a 2 1 1y x) = +

−=

−3b2

yx

)

1c6

x

y ) =

= 21d2

y log x) +

Solución: a) ® I b) ® III c) ® II d) ® IV Ejercicio nº 13.- Mario tiene que recorrer 600 km para llegar a la playa. Sabiendo que el tiempo que tarda en llegar es inversamente proporcional a la velocidad que lleva:

a) Haz una tabla en la que se refleje el tiempo que tarde si va a 75 km/h, 96 km/h,

100 km/h y 120 km/h. b) Representa la función velocidad-tiempo. Solución: Llamamos: t = tiempo que tarda en llegar (h) ® t > 0 v = velocidad (km/h) ® v > 0 Por ser t y v inversamente proporcionales y el espacio a recorrer de 600 km, la expresión que relaciona estas tres magnitudes es:

600 600ot vv t

= =

a) Tabla de valores:

v 75 96 100 120

t 8 6,25 6 5

600b Hacemos la representación de la función en el primer cuadrante por ser , 0.t t vv

) = >

Ejercicio nº 14.- Calcula usando la definición de logaritmo:

71a)

49log

6b) alog a

6c) 36log

5d) 125log

Solución:

2

7 7 7 721

1 1a) 7 2 7 249 7

log log log log−= = = − = −

66 32

1

b) 3 3a a a alog a log a log a log a= = = =

2

6 6 61

c) 36 6 2 6 2log log log= = =

33 2

5 5 5 51

3 3d) 125 5 5 52 2

log log log log= = = =

Ejercicio nº 15.- Resuelve gráfica y analíticamente este sistema:

2

2

2 01 42

+ − =

= −

x y

y x

Solución: Analíticamente

2 2

2 22 2

2 0 2 12 41 1 24 42 2

x y y xx x

y x y x

+ − = = − → → − = − →

= − = −

2 2 2 2

2

4 2 8 12 3 4 22 2 4 2

x x x x xy x→ − = − → = → = → = ±

= − = − = −

Las soluciones del sistema son: x1 = − 2, y1 = − 2; x2 = 2, y2 = −2 Gráficamente Representamos la parábola: y = −x2 + 2 − Vértice: x = 0 → y = 2 → V(0, 2) − Puntos de corte con los ejes:

Eje Y → x = 0 → y = 2 → (0, 2)

( ) ( )2 2Eje 0 2 0 2 2 2, 0 y 2, 0X y x x x→ = → − + = → = → = ± → −

− Tabla de valores entorno al vértice:

x 1 −1 2 −2

y 1 1 −2 −2

21Representamos la parábola: 4

2y x= −

− Vértice: x = 0 → y = −4 → V(0, –4)

− Puntos de corte con los ejes:

Eje Y → x = 0 → y = −4 → (0, −4)

( ) ( )

2 21Eje 0 4 0 8 8 2 22

2 2, 0 y 2 2, 0

X y x x x→ = → − = → = → = ± = ± →

→ −

− Tabla de valores entorno al vértice:

x 1 −1 2 −2

y 72

− 72

− −2 −2

Los puntos de corte de ambas parábolas son: x1 = − 2, y1 = − 2; x2 = 2, y2 = −2

Ejercicio nº 16.- Representa gráficamente la recta 3x + 2y - 1 = 0 indicando previamente cuánto valen la pendiente y la ordenada en el origen, y calculando los puntos de corte con los ejes coordenados. Solución: Despejamos y de la ecuación 3x + 2y - 1 = 0 para calcular la pendiente y la ordenada en el origen:

= − → = − +3 12 1 32 2

y x y x

3Pendiente: 2

m = −

1Ordena en el origen: 2

n =

Puntos de corte con los ejes:

1 1 Con el eje es 0, por ser .2 2

Y n − =

Con el eje : 3 2 1 0 13 1 0

0 3X x y

x xy

− + − = → − = → ==

1Luego el punto de corte con el eje es , 0 .3

X

Ejercicio nº 17.- Relaciona cada gráfica con una de las siguientes expresiones: a) y = x2 - 2x b) y = 3x2 - 2x + 5

21c 23

y x x) = + +

d) y = -2x2 - 3x + 1

Solución: a) ® III b) ® I c) ® IV d) ® II Ejercicio nº 18.- Los datos obtenidos del estudio de una población se ajustan a la función

( )22600 0,25 siendo el número de años transcurridos.x

y x = ⋅ a) Indica cómo varía la población al cabo de 2 años. b) ¿Cuántos individuos habrá dentro de 4 años? c) ¿Al cabo de cuánto tiempo la población se habrá reducido a la mitad? Solución:

( )2a) La función 2600 0,25 es una función exponencial que decrece a medida quex

y = ⋅ transcurre el tiempo (x crece) por ser a = 0,25 < 1. Luego al cabo de 2 años la población habrá disminuido:

= → = ⋅ = ⋅ =12 2600 0,25 2600 6504

x y

La población, al cabo de 2 años, será de 650 individuos.

( )2

2 1 2600b) Si 4 2600 0,25 2600 162,54 16

x y = → = ⋅ = ⋅ = =

Dentro de 4 años habrá 162 individuos, aproximadamente. c) Nos piden calcular x para que la población se reduzca a la mitad:

( ) ( ) ( )⋅ = → = → =2 2 212600 0,25 1300 0,25 0,25 0,52

x x x

( )12

1 1Observamos que si 1 0,25 0,25 0,54 2

x = → = = = =

Luego en 1 año la población se habrá reducido a la mitad.

Ejercicio nº 19.-

Halla sin usar la calculadora:

2a) 0,25log

4b) 100000log

4 5c) −alog a

5d) 500

log

Solución:

2

2 2 2 21

25 1a) 0,25 2 2 2 2100 4 2log log log log log−= = = = − = −

54 54 4

1

5 5b) 100000 10 10 104 4

log log log log= = = =

54 5 4

1

5 5c) 4 4a a alog a log a log a

−− = = − = −

22

1

5 1 1d) 10 2 10 2500 100 10

log log log log log−= = = = − = −

Ejercicio nº 20.- Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

=− + −3 2

1a) 2 2 3 3

yx x x

= −2a) 3y x x

Solución: a) Buscamos los valores de x que anulan el denominador:

2x3 − 2x2 + 3x − 3 = 0

2

2 2 3 31 2 0 3

2 0 3 0 2 3 0 no tiene solución.x

− −

→ + =

Por tanto, el único valor que anula el denominador es x = 1, y no pertenece pues al domino: Dom f = { }1−

b) Los puntos que pertenecen al dominio serán aquellos que cumplan lo siguiente: x2 − 3x ≥ 0 Resolvemos x2 − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x1 = 0, x2 = 3

I : si x < 0 → x2 − 3x > 0 ( por ejemplo en x = −1 → (−1)2 − 3 (−1) = 4 > 0) II : si 0 < x < 3 → x2 − 3x < 0 ( por ejemplo en x = 1 → 12 − 3 · 1 = −2 < 0) III : si x > 3 → x2 − 3x > 0 ( por ejemplo en x = 4 → 42 − 3 · 4 = 4 > 0)

Como en x = 0 y x = 3 la función x2 − 3x vale 0, sí podemos hacer la raíz cuadrada, por lo que estos valores también están incluidos en el dominio. Luego Dom f = (−∞, 0] ∪ [3, +∞).

Ejercicio nº 21.- Representa gráficamente la siguiente función:

− ≤= − + >

2 si 23 si 2

x xy

x x

Solución: − El primer tramo es la recta y = x - 2 definida si x ≤ 2.

La representamos haciendo previamente una tabla de valores:

x 2 −1

y 0 −3

− El segundo tramo es la recta y = −x + 3 definida para x > 2:

x 3 4

y 0 −1

Ejercicio nº 22.- Asocia a cada gráfica una de estas expresiones:

= 3a 2y log x) −

=1b8

x

y )

−c 1y x) =

=−2d 5

3y

x) +

Solución: a) ® IV b) ® III c) ® I d) ® II

EJERCICIOS BLOQUE III Ejercicio nº 1.-

15Sabiendo que y que 90 180 calcula el valor de y 17

sen cos tgα = ° < α < °, α α.

Solución: En el 2º cuadrante, cos a < 0 y tg a < 0.

α = + α = → α = − → α = → α + α =

22 2 2

2 2

15 15 225 64 1 1 1717 289 289 1

sencos cos cos

sen cos 8

17cos→ α = −

Luego:

15 8 15 15:17 17 8 8

sentg tgcos

α α = = − = − → α = − α Ejercicio nº 2.- Sabiendo que cos 58º = 0,53, sen 58º = 0,85 y tg 58º = 1,6, calcula las razones trigonométricas de 122º. Solución: 122º pertenece al 2º cuadrante y 122º + 58º = 180º. Relacionamos las razones trigonométricas de 122º y 58º:

122 58 122 0,85

122 58 122 0,53

122 58 122 1,6

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

° = ° → ° =

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

Ejercicio nº 3.- Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46°. Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Solución:

Llamamos: x ® distancia entre la base de la escalera y la pared

a ® ángulo entre la escalera y el suelo Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y nos piden calcular el cateto opuesto a ese ángulo; usamos el seno como razón trigonométrica:

46 5 46 5 0,72 3,65xsen x sen° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ =

La distancia entre la base de la escalera y la pared es de 3,6 m. Calculamos a ® 46° + 90° + a = 180° ® a = 44° es la inclinación que hay entre la escalera y el suelo. Ejercicio nº 4.- Halla el punto medio del segmento de extremos P(2, 1) y Q(-4, 3). Solución: Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:

( ) ( )2 4 1 3, 1, 2

2 2M

+ − += = −

Ejercicio nº 5.- Halla la distancia entre los puntos P(6, -2) y Q(0, 6). Solución:

( ) ( ) ( )( )= − + − − = + = + = =22 2 2, 0 6 6 2 6 8 36 64 100 10dist P Q

Ejercicio nº 6.- a) Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por (3, 2) y es perpendicular a la recta

2x + 2y − 1 = 0.

b) Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por (5, 2) y es paralela al eje X. c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

1a) Pendiente de 2 2 1 0 2 2 1 12

x y y x y x m+ − = → = − + → = − + → = −

1 1Pendiente de la perpendicular 11

m'm

−→ = − = =

−

Ecuación: y = 2 + 1 (x - 3) ® y = 2 + x - 3 ® y = x - 1 b) y = 2 c) Es la solución de este sistema:

( )

11 2 3

2Punto: 3, 2

y xx x

y= −

→ − = → ==

Ejercicio nº 7.-

12Si y 4 cuadrante, calcula y 13

sen cos tgα = − α ∈ α α.°

Solución: En el cuarto cuadrante, el cos a es positivo, y la tangente, negativa.

22 2 2

2 2

12 12 144 251 11313 169 1691

5 13

sencos cos cos

sen cos

cos

α = − − + α = → α = − → α = → α + α =

→ α =

Luego:

αα = = − = − → α = −

α 12 5 12 12 : 13 13 5 5

sentg tgcos

Ejercicio nº 8.- Calcula las razones trigonométricas de 227° a partir de las razones trigonométricas de 47°:

sen 47° = 0,73; cos 47° = 0,68; tg 47° = 1,07 Solución: 227° es un ángulo correspondiente al 3er cuadrante. Además, 180° + 47° = 227°, luego:

227 47 227 0,73

227 47 227 0,68

227 47 227 1,07

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

° = ° → ° =

Ejercicio nº 9.- Desde el tejado de un edificio de 150 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio cercano bajo un ángulo de 45°. La distancia entre ambos en línea recta es de 0,21 km. Calcula la altura del otro edificio. Solución: Hacemos una representación del problema:

0,21 km = 210 m

45 210 45 210 m210

xtg x tg x° = → = ⋅ ° → =

Luego, la altura del otro edificio será x + 150 = 210 + 150, es decir, 360 m. Ejercicio nº 10.- Halla el simétrico, P’, del punto P(3, -6) respecto de Q(3, 1).

Solución: Llamamos (x ¢, y ¢) a las coordenadas de P’ . El punto medio del segmento de extremos P y P’ es Q. Por tanto:

( )

3 32 3

3, 88

6 12

x

xP

yy

+ ′ = ′ =

→ → ′ ′ = − + ′ =

Ejercicio nº 11.-

8 1Obtén la distancia entre los puntos , 1 y , 5 .3 3

M N −

Solución:

( ) ( ) = − − + − = + = + = =

22 2 21 8, 5 1 3 4 9 16 25 5

3 3dist M N

Ejercicio nº 12.- Calcula el valor del sen 120°, cos 120° y tg 120°, relacionándolos con un ángulo del primer cuadrante. Solución:

∈ − =Observamos que 120° 2º cuadrante y que 180° 60° 120°.

3Luego: 120 60 1202

1 120 60 1202

120 60 120 3

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

° = ° → ° =

° = − ° → ° = −

° = − ° → ° = −

Ejercicio nº13.- El lado de un rectángulo mide 4 m y la diagonal forma con dicho lado un ángulo de 33°. Calcula la longitud de la diagonal y el área del rectángulo.

Solución:

Llamamos: d ® longitud de la diagonal

x ® longitud del otro lado Nos dan un ángulo y el lado contiguo a este ángulo. Para calcular d y x, usamos el coseno y la tangente, respectivamente:

4 4 433 4,76 m33 0,84

33 4 33 4 0,65 2,6 m4

cos dd cos

xtg x tg

° = → = ≈ ≈°

° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ =

La longitud de la diagonal es de 4,76 m. Calculamos el área: A = 4 · 2,6 = 10,4 ® El área del rectángulo es 10,4 m2. Ejercicio nº 14.- Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(2, -1) y B(-6, -4). Solución: Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:

( ) ( )2 6 1 4 5, 2,2 2 2

M + − − + − = = − −

Ejercicio nº 15.-

( )a Halla la ecuación de la recta, , que pasa por 0, 0 y es paralela a 2 3 0.r x y) − + = b) Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por (3, 4) y es perpendicular a

x + y - 5 = 0.

c) Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores. Solución: a) Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente:

Pendiente de 2x − y + 3 = 0 → y = 2x + 3 → m = 2

Ecuación de r : y = 2x b) Pendiente de x + y - 5 = 0 ® y = -x + 5 ® m = -1

1 1Pendiente de la perpendicular 11

m'm− −

→ = = =−

Ecuación de s: y = 4 + 1(x - 3) ® y = 4 + x - 3 ® x - y + 1 = 0

c) Es la solución del siguiente sistema:

21 0 2 1 0 1 2

y xx y x x x y

= − + = → − + = → = → =

Punto: (1, 2) Ejercicio nº 16.- Calcula sen a y tg a de un ángulo agudo, a, sabiendo que cos a = 0,6. Solución: sen2 a + cos2 a = 1 ® sen2 a + 0,62 = 1 ® sen2 a = 1 - 0,36 ® sen2 a = 0,64 ®

® sen a = 0,8

αα = = = → α =

α

0,8Luego: 1,3 1,3 0,6

sentg tgcos

Ejercicio nº 17.- Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75°. Solución: Hagamos un dibujo que represente el problema:

Llamamos x ® longitud del puente

y ® anchura del río Observamos que tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos el cateto contiguo al ángulo de 75°: 203 - 198 = 5 m.

5 5 575 19,23 m75 0,26

75 75 19,23 0,97 18,65 m

cos xx cos

ysen y x senx

° = → = ≈ ≈°

° = → = ⋅ ° ≈ ⋅ ≈

La longitud del puente es de 19,23 m, y la anchura del río, 18,65 m. Ejercicio nº 19.- a) Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 6).

( )1b Halla la ecuación de la recta, , paralela a que pasa por el punto 4, 4 .2

s y x) =

c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:

−) = = =

−6 0 6a Pendiente 33 1 2

Ecuación: y = 0 + 3(x - 1) ® y = 3x - 3 ® 3x - y - 3 = 0

( )

) =

= + − → = + − → − + =

1b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: .2

1Ecuación: 4 4 2 8 4 2 4 02

m

y x y x x y

c) Es la solución del sistema siguiente:

( )3 33 3 02 3 3 4 0 6 6 4 0 5 10 22 4 0

3

y xx yx x x x x xx y

y

→ = −− − = → − − + = → − + + = → − = − → = →− + =

→ =

Punto: (2, 3) Ejercicio nº 20.- En el triángulo rectángulo ABC trazamos la altura BH sobre la hipotenusa. Calcula el área y el perímetro del triángulo en el que conocemos 7 cm y 23,04 cm.AB HC= = Solución:

( )2 2 2

Aplicamos el teorema del cateto para calcular :

7 23,04 23,04 49 0

AH

AB AC AH x x x x= ⋅ → = + ⋅ → + − = →

2

1,9623,04 23,04 4 49 23,04 26,96

2 225 NO VALE

x − ± + ⋅ − ±→ = =

−

ƒ‚

Aplicamos el teorema de la altura para calcular :BH

2 2 21,96 23,04 45,1584 6,72 cmBH AH HC BH BH BH= ⋅ → = ⋅ → = → =

Nuevamente, aplicando el teorema del cateto, obtenemos :BC

( )2 21,96 23,04 23,04 25 23,04 576 576 24 cmBC AC HC BC BC= ⋅ → = + ⋅ = ⋅ = → = =

Por tanto:

( ) 225 6,72Área 84 cm2 2

AC BHABC ⋅ ⋅= = =

( )Perímetro 7 24 25 56 cmABC AB BC CA= + + = + + =

EJERCICIOS BLOQUE IV Ejercicio nº 1.- Tomamos las 10 cartas de oros de una baraja española y elegimos al azar una de entre ellas. Consideramos los sucesos: A = "obtener figura" y B = "obtener una carta con un número menor que 4". a) Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A' , B', A ∪ B y A ∩ B. b) Calcula las siguientes probabilidades:

P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A ∪ B]; P [A ∩ B]

Solución: a) A = {Sota, Caballo, Rey}; B = {As, 2, 3}; A' = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; B ' = {4, 5, 6, 7, Sota, Caballo, Rey}; A ∪ B = {As, 2, 3, Sota, Caballo, Rey}; A ∩ B = ∅

[ ] [ ] [ ]= = = = = =3 3 7b) 0,3; 0,3; ' 0,7

10 10 10P A P B P A

[ ] [ ] [ ]= = ∪ = = ∩ =7 6' 0,7; 0,6; 0

10 10P B P A B P A B

Ejercicio nº 2.- Tenemos una urna con 6 bolas rojas y 8 verdes. Sacamos una bola al azar, observamos el color y la volvemos a introducir en la urna. Sacamos una segunda bola y observamos su color. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos bolas rojas. b) Dos bolas de distinto color. Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

814

614

1ª bola 2ª bola

V

614

814

R

V

R → R y R

V → R y V

R → V y R

614

814

[ ] 6 6 3 3 9a) R y R 0,1814 14 7 7 49

P = ⋅ = ⋅ = ≈

[ ] [ ] 6 8 8 6 3 4 4 3 12 24b) R y V V y R 2 0,4914 14 14 14 7 7 7 7 49 49

P P+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ≈

Ejercicio nº 3.- Si sacamos dos cartas de una baraja española (de 40 cartas), calcula la probabilidad de obtener: a) Dos ases. b) Dos cartas del mismo palo. Solución:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

= =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

a) dos ases as en la 1ª y as en la 2ª

4 3 1 1as en la 1ª as en la 2ª habiendo sacado as en la 1ª 40 39 10 13

P P

P P

= ≈1 0,0077

130

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]b) mismo palo dos oros dos copas dos espadas dos bastosP P P P P= + + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ≈

10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 1 34 440 39 40 39 40 39 40 39 40 39 4 133 0,23

13

Ejercicio nº 4.-

En un club deportivo hay apuntados 30 chicos y 30 chicas. La mitad de los chicos y la tercera parte de las chicas juegan al tenis. a) Completa la siguiente tabla:

JUEGAN TENIS NO JUEGAN TENIS

CHICOS 15 30 CHICAS 10 30

60

b) Ayudándote de la tabla anterior, calcula las siguientes probabilidades, referidas al elegir una

persona al azar de ese club:

P [chico ]; P [no juega tenis]; P [chico que no juega tenis] Solución: a)

JUEGAN TENIS NO JUEGAN TENIS

CHICOS 15 15 30 CHICAS 10 20 30

25 35 60

[ ] 30 1b) chico 0,560 2

P = = =

[ ] = = ≈35 7no juega tenis 0,5860 12

P

[ ] = = =15 1chico que no juega tenis 0,2560 4

P

Ejercicio nº 5.- En el siguiente diagrama, E representa el espacio muestral, A representa un suceso, y B, otro suceso:

a) Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A ∪ B y A ∩ B. b) Calcula las siguientes probabilidades:

P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A ∪ B]; P [A ∩ B]

Solución: a) A = {2, 3, 4}; B = {4, 5, 6, 9}; A' = {1, 5, 6, 7, 8, 9}; B ' = {1, 2, 3, 7, 8};

A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 9}; A ∩ B = {4}

[ ] [ ] [ ]= = = = =3 1 4 6 2b) ; ; '9 3 9 9 3

P A P B P A

[ ] [ ] [ ]= ∪ = = ∩ =5 6 2 1' ; ;9 9 3 9

P B P A B P A B

Ejercicio nº 6.- En una bolsa tenemos 5 bolas negras y 9 blancas. Extraemos una bola al azar, miramos su color, la devolvemos a la bolsa y volvemos a sacar otra bola. Halla la probabilidad de que: a) La dos bolas sean negras. b) La primera bola sea blanca y la segunda negra. Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

1ª bola 2ª bola

914

514

B

N

B

N → B y N

B 5

14

914

914

514

[ ] = ⋅ = ≈5 5 25a) N y N 0,13

14 14 196P

[ ] = ⋅ = ≈9 5 45b) B y N 0,23

14 14 196P

Ejercicio nº 7.- Tenemos una urna con 4 bolas blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos bolas blancas. b) Dos bolas de distinto color. Solución: Sacar dos bolas a la vez es equivalente a sacar una bola y, sin volver a introducirla en la urna, sacar otra. Hacemos un diagrama en árbol:

1ª bola 2ª bola 3

11 4

12

711

411

811 4 B

8 N

B

N 4 B

7 N

B → B y B

N → B y N

N

B → N y B

3 B

8 N

812

[ ] 4 3 12 1a) B y B 0,0912 11 132 11

P = ⋅ = = ≈

[ ] [ ] 4 8 8 4 1 8 2 4 8 16b) B y N N y B 2 0,4812 11 12 11 3 11 3 11 33 33

P P+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ≈

Ejercicio nº 8.- En el lanzamiento de un dado de cuatro caras, hemos obtenido las siguientes probabilidades:

Nº OBTENIDO 1 2 3 4

PROBABILIDAD 0,15 0,32 0,28

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4? b) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un 4? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar? Solución: a) Tenemos en cuenta que la suma de las probabilidades de todos los casos es igual a 1; es decir:

P [1] + P [2] + P [3] + P [4] = 1

Sustituyendo cada probabilidad por su valor, tenemos que: 0,15 + 0,32 + 0,28 + P [4] = 1 → P [4] = 1 − 0,15 − 0,32 − 0,28 = 0,25

b) P [no 4] = 1 − P [4] = 0,75 c) P [impar] = P [1] + P [3] = 0,15 + 0,28 = 0,43

Ejercicio nº 9.- Metemos en una bolsa 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una al azar y observamos el número que tiene. Consideramos los sucesos: A = "obtener un número menor que 5" y B = "obtener un número mayor que 2". a) Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A ∪ B y A ∩ B. b) Calcula las siguientes probabilidades:

P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A ∪ B]; P [A ∩ B]

Solución: a) A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; A' = {5, 6, 7, 8, 9, 10}; B ' = {1, 2};

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = E; A ∩ B = {3, 4}

[ ] [ ] [ ]= = = = = =4 8 6b) 0,4; 0,8; ' 0,6

10 10 10P A P B P A

[ ] [ ] [ ]= = ∪ = ∩ = =2 2' 0,2; 1; 0,2

10 10P B P A B P A B

Ejercicio nº 10.- Lanzamos un dado tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener: a) A = "Tres cincos" b) B = "El mismo número las tres veces" Solución: Como son sucesos independientes:

[ ] [ ] [ ] [ ]= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≈1 1 1 1a) 5 5 5 0,00466 6 6 216

P A P P P

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]= + + + + +b) tres unos tres doses tres treses tres cuatros tres cincosP B P P P P P

[ ]3 3 3 3 3 3 3 21 1 1 1 1 1 1 1tres seises 6

6 6 6 6 6 6 6 61 0,028

36

P + = + + + + + = ⋅ = =

= ≈

Ejercicio nº 11.- En una urna tenemos 12 bolas rojas, 10 blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos bolas sean blancas. b) La primera sea roja y la segunda, blanca. Solución: Hacemos un diagrama en árbol: (Sacar dos bolas a la vez es equivalente a sacar una y, sin devolverla a la urna, sacar la otra).

1ª bola 2ª bola

929

830

1230

1030

R

B

N

1029

R

B → R y B

N

12 R

10 B

8 N

11 R 10 B 8 N

12 R 9 B 8 N

12 R 10 B 7 N

R

B

N

R

B → B y B

N

[ ] 10 9 1 9 3a) B y B 0,10330 29 3 29 29

P = ⋅ = ⋅ = ≈

[ ] 12 10 2 10 4b) R y B 0,13830 29 5 29 29

P = ⋅ = ⋅ = ≈

Ejercicio nº 12.- Lanzamos dos dados y sumamos los resultados obtenidos. Calcula la probabilidad de que la suma sea: a) 7 b) Menor que 5. c) Mayor que 10. Solución: Hacemos una tabla para ver los posibles resultados:

[ ] 6 1a) 7 0,16736 6

P = = ≈

[ ] 6 1b) 5 0,16736 36

P < = = ≈

[ ] 3 1c) 10 0,08336 12

P > = = ≈

Ejercicio nº 13.- En el lanzamiento de un dado correcto, consideramos los sucesos: A = "obtener impar" y B = "obtener múltiplo de 3". a) Describe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A ∪ B y A ∩ B. b) Calcula las siguientes probabilidades:

P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A ∪ B]; P [A ∩ B]

Solución: a) A = {1, 3, 5}; B = {3, 6}; A' = {2, 4, 6}; B ' = {1, 2, 4, 5}; A ∪ B = {1, 3, 5, 6};

A ∩ B = {3}

[ ] [ ] [ ]= = = = = − =3 1 2 1 1 1b) ; ; ' 16 2 6 3 2 2

P A P B P A

[ ] [ ] [ ]= − = ∪ = = ∩ =1 2 4 2 1' 1 ; ;3 3 6 3 6

P B P A B P A B

Ejercicio nº 14.- Un juego consiste en tirar un dado y lanzar una moneda simultáneamente. Ganaremos si conseguimos sacar un número impar en el dado y una cara en la moneda.

a) ¿Qué probabilidad tenemos de ganar? b) ¿Y de perder? Solución: a) Como son sucesos independientes:

[ ] [ ] [ ]= ⋅ = ⋅ = =1 1 1ganar nº impar cara 0,252 2 4

P P P

[ ] [ ] ( )b) perder 1 ganar 1 0,25 0,75 perder es el suceso contrario a ganarP P= − = − =

Ejercicio nº 15.- De una baraja española (de 40 cartas) extraemos tres cartas sin reemplazamiento (es decir, sin devolverlas al mazo en cada caso). Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de oros. Solución:

[ ] [ ] [ ]

[ ]

= ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ≈

3 oros 1ª oros 2ª oros habiendo sido la 1ª de oros

10 9 8 1 3 43ª oros siendo las 2 anteriores de oros40 39 38 4 13 19

3 0,012247

P P P

P