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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEPARTAMENTO DEMATEMATICASEjercicios guiados de Algebra Lineal (Vectores)- Febrero de 2012

1. Halle el valor o valores del parametro kpara que el angulo formado por los

vectores a= [k, 1 , 2]yb= [1,1, k2]sea de 90.

Ayuda1.

2. Sean uy vvectores en el espacio Rn tales queu= 1, v= 3 y u v= 3.Encuentreu+ vAyuda2.

3. La figura muestra una caja en el espacio R3 ubicada en el primer octante. Unode sus vertices esta en el origenO(0,0,0), otro en el ejex en el punto A(3,0,0),otro en el ejeyen el punto B(0,2,0)y otro en el ejez en el puntoC(0,0,4).

a) Halle las coordenadas de los cuatro vertices restantes.

Ayuda3a.

b) Halle la norma del vector

AD.Ayuda3b.

c) Halle el angulo entre los vectores

AD yBD.

Ayuda3c.

B

A

C

O

D

E

F

G

4. Considere los vectores a= [0,0,3]yb= [1,2, 3] en R3.a) Dibujar en R3, los vectores en posicion estandar.

Ayuda4a.

b) Si los vectores son trasladados de manera que sus cabezas(puntos termi-nales) estan en el punto (1,3,5), encontrar los puntos correspondientes asus colas(puntos iniciales).Ayuda4b.

5. Construir un cubo de lado 2 con centro en el origen.


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a) Encontrar las coordenadas de los 8 vertices del cubo.Ayuda5a.

b) Calcular el angulo entre 2 diagonales adyacentes del cubo.Ayuda5b.

c) Calcular la longitud de una diagonal del cubo que va desde un verticehasta el vertice opuesto.

Ayuda5c.

6. En la figura A, B,C, D, E, F, son los vertices de un hexagono regular centradoen el origen. Expresar cada uno de los siguientes vectores en terminos de los

vectores a=OA yb=

OB.

B

xA

C

D

E F

O


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a)AB

Ayuda6a.

b)BCAyuda 6b

c) ADAyuda 6c

d)BC+

DE+

FA.

Ayuda 6d

7. Sean los vectores u= 9i+12j, v= i+ 4j. Determine el escalar tal que:

a) Los vectores uy v sean paralelos.

Ayuda7a

b) Los vectores uy v sean ortogonales.Ayuda 7b

c) El angulo entre los vectores uy vsea 6 .

Ayuda 7c

8. Para uy vvectores en Rn, probar que:

a) Los vectores u+ vy uvson ortogonales, si y solo si, u=v.Ayuda 8a

b) Si u= 2, v= 3 y u v= 1, entonces u+ v= 6.Ayuda 8b

c) Si el vector ues ortogonal tanto al vector vcomo al vector w, entonces, elvector ues ortogonal a cualquir combinacion lineal de estos, es decir, uesortogonal a los vectores de la formasv+tw cons, tR.Ayuda 8c


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Solucion Ej 1.Para que formen angulo recto es necesario que a b = 0, lo cual conlleva a la

ecuacion cuadratica 2k2 +k 1 = 0, o equivalentemente(2k 1)(k+1) = 0,produciendo dos valoresk= 1/2 yk=1.Volver
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Ejercicio 2.Ayuda2. Calculeu+ v2.Sol2


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Solucion Ej 2.Como

u+ v2 =(u+ v) (u+ v)= u u+ 2u v+ v v=u2 + 2u v+ v2 =16por lo tantou+ v= 4.

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Ejercicio 3.

Ayuda3a.El puntoGes la cabeza del vectorOA +

OB. El puntoDes la cabeza

del vectorOC+

OB. El puntoE es la cabeza del vector

OA+

OC. El puntoF

es el puntoG subido verticalmente 4 unidades del plano xy.Sol3a


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Solucion Ej 3a

El puntoGes la cabeza del vectorOA+

OB. Es decirG = (3,0,0) + (0,2,2) =

(3,2,0).

El puntoD es la cabeza del vectorOC+

OB. Es decirD = (0,0,4) + (0,2,0) =

(0,2,4).

El puntoEes la cabeza del vectorOA+

OC. Es decirE = (3,0,0) + (0,0,4) =

(3,0,4).El puntoFes el puntoGsubido verticalmente 4 unidades del planoxy. Es decirF= (3,2,4).Volver
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Ejercicio 3.Ayuda3b.

Escriba las coordenadas del vector

AD en posicion estandar.

Sol3b


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Solucion Ej3b

AD = [D A] = [3,2,4].Volver
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Ejercicio 3.Ayuda3c.Use la formula para calcular el coseno del angulo entre dos vectores.Ver (8) pagina 24.Sol3c)


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Solucion Ej3c)

Paso 1. Determinamos los vectores

AD yBD. Pero por b)

AD = [3,2,4]

y observamos que el vectorBD no es otro que el vector

OC, es decir,

BD =

[0,0,4].Paso 2. Para calcular el coseno del angulo formado por tales vectores

usamos la formula cos =

AD BD

ADBD

(ver pag. 24). Por lo que

cos = 16

29

16=

1

4

29. De modo que el angulo formado es =arc cos 1

4

29

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Ejercicio 4.Ayuda4a. Los vectores deben estar anclados en el origen.Sol4a


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Solucion Ej 4a.Como los vectores deben estar anclados en el origen, solo debemos ubicar sus

puntos terminales.

x

y

z

b a

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Ejercicio 4.Ayuda4b. Halle las coordenadas del punto inicial de cada vector de modo talque las coordenadas de la cabeza del vector menos las coordenadas de la coladel vector produzcan las entradas del vector.Sol4b


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Solucion Ej 4b.Como los vectores deben estar anclados en el origen, solo debemos ubicar sus

puntos terminales.

x

y

z

a b

(2,5,2)(1,3,2)

(1,3,5)

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Ejercicio 5.Ayuda5a. Ubique el origen de coordenadasO(0,0,0)en el centro del cubo.Sol5a


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Solucion Ej 5a.

xy

z

(1,1, 1)(1,1, 1)

(1,1,1)

(1,1,1)

(1,1,1)

(1,1,1)

(1,1,1)

(1,1,1)

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Ejercicio 5.Ayuda5b. Suponga por ejemplo que las diagonales inician en el punto(1,1,1).Sol 5b


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Solucion Ej 5b.

d2 d1

A(1,1, 1)C(

1,1,1)

B(1,1,1)

Usamos la formula cos =

BA

BCBA

BC

(ver pag. 24).

cos = [0,2, 2] [2,0,2]

8

8=

1

2, es decir, = 3 .Volver
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Ejercicio 5.

Ayuda5c. Tome por ejemplo la diagonal DC.

Sol5c


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Solucion Ej 5c.

d

D(1,1,1)

C(

1,1,1)

En este caso la diagonald es el vectorDC = [

2,2,2], por consiguiente, la longitud

de la diagonald es DC= 12= 23. Ver pag 20.Volver
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Ejercicio 6.Ayuda6a. Coloque los vectores en posicion estandar (punto inicial en el origen).

Sol6a


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Solucion Ej 6a.

B

xA

C

D

E F

O

Observe que el vector

AB es el vector

OB

OA(ver pag. 7, fig. 1.8). Esto esAB = ba.

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Ejercicio 6.

Ayuda6b. El verctor BCes paralelo al vector OA.Sol6b


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Solucion Ej 6b.

B

xA

C

D

E F

O

El vectorBCes el vector

OA, es decir,

BC =

a.

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Ejercicio 6.

Ayuda6c. El verctor AD es paralelo al vector OA.

Sol6c


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Solucion Ej 6c.

B

xA

C

D

E F

O

AD =

2a.

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Ejercicio 6.

Ayuda6d. Escriba los vectores BC, DE y FA en terminos de los vectores a yb, yluego sume.

Sol 6d


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Solucion Ej 6d.

B

xA

C

D

E F

O

Observe queBC =

a,

DE = a

b y que

FA=b. Entonces

BC+ DE+ FA=a+ (ab) +b= 0.Volver
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Solucion Ej 7a.Los vectores uy vseran paralelos si existe un escalarktal que u= kv, es decir, existeun escalarktal que, [9,12] = k[, 4]. Esta igualdad se cumple si 9 = k y 12 = 4(Ver pag. 4), de donde = 3.

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Ejercicio 7.Ayuda7b. Recuerde que: dos vectores son ortogonales sii su producto punto es nulo(Ver pag. 27).

Sol7b


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Solucion Ej 7b.Los vectores uy vseran ortogonales si[9,12] [, 4] = 0, esto es, 9+48 = 0, o sea,=163.

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Ejercicio 7.

Ayuda7c. Utilizar la formula para determinar el angulo entre vectores. (Ver pag.24)Sol 7c


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Solucion Ej 7c.

Se debe despejar de la ecuacion

3

2 =

3+16

52 +16

.

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Ejercicio 8.Ayuda 8a.Recuerde que dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero. (Ver pag.27)Sol 8a


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Solucion Ej 8aLos vectores u+ v y u vseran ortogonales si(u+ v) (u+ v) = 0. Aplicando lapropiedad distributiva se tiene que: (u+ v) (u+ v)=u2 v2, lo cual es cerosi y solo si, u= 0 yv= 0.

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Ejercicio 8.Ayuda 8b.Evalueu+ v2. (Ver pag. 26)Sol 8b


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Solucion Ej 8b

Como u+ v2 =(u+ v) (u+ v)=u2 + 2u v+ v2 =22 + 2+ (

3)2 =9, en-tonces u+ v= 3.Volver
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Ejercicio 8.Ayuda 8c.Calcule el producto punto u (u+ v) . (Ver pag. 26)Sol 8c


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Solucion Ej 8cPor la propiedad distributiva (pag. 25) se tiene: u (u+ v)= su v+tu w= 0 + 0,pues ues ortogonal tanto a vcomo al vector w.Volver
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