EJEMPLOS SOLUCIONADOS DE DISEÑO EXPERIMENTAL

EJERCICIOS.

1. Se pide a un laboratorio de prueba independiente que compare la durabilidad de cuatro diferentes marcas de pelotas de golf. El laboratorio propone un experimento en el que se seleccionan, en forma aleatoria ocho pelotas por cada fabricante y se ponen en una máquina que golpea cada pelota con una fuerza constante. La medición de interés es el número de veces que la maquina golpea la pelota antes de que su recubrimiento externo se rompa. En la tabla 12.19 se encuentra la información que se obtuvo al llevar a cabo el experimento.TABLA 12.19 Datos de muestra.

a. ¿Existe una razón para creer que la durabilidad promedio es diferente para cada una de las cuatro marcas? Úsese ∝=0.05b. ¿Existe alguna razón para dudar de la suposición de que las varianzas de los errores son iguales?

a. Solución. Una vez se tengan las observaciones tomadas como en este caso la

tabla, teniendo en cuenta que estas se deben tomar de forma aleatoria, utilizando la utilidad que nos presentan programas de diseño para aleatorizar los diseños.

Damos la hipótesis nula que es μ1=μ2=μ3=μ4

Utilizando un método de regresión, pasamos a llenar la tabla ANOVA, para hacer el análisis y aceptar o rechazar la hipótesis nula y tomar las decisiones al respecto.

Realizando análisis por medio de Stat Graphipcs.Primer paso.Se llenan los datos en el programa.

MARCAA B C D

205 242 237 212229 253 259 244238 226 265 229214 219 229 272242 251 218 255225 212 262 233209 224 242 224204 247 234 245

El segundo paso es realizar todos los cálculos de pertinentes a través del programa.Tabla ANOVA para Numero de Golpes por MarcasFuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-PEntre grupos 2305,5 3 768,5 2,75 0,0617Intra grupos 7838,0 28 279,929Total (Corr.) 10143,5 31

El StatAdvisorLa tabla ANOVA descompone la varianza de Numero de Golpes en dos componentes: un componente entre-grupos y un componente dentro-de-grupos. La razón-F, que en este caso es igual a 2,74534, es el cociente entre el estimado entre-grupos y el estimado dentro-de-grupos. Puesto que el valor-P de la razón-F es mayor o igual que 0,05, no existe una diferencia estadísticamente significativa entre la media de Numero de Golpes entre un nivel de Marcas y otro, con un nivel del 95,0% de confianza.

A B C D

Dispersión por Código de Nivel

200

220

240

260

280

Num

ero

de G

olpe

s

Marcas

Luego de ver la tabla ANOVA vemos que el valor de P>∝ , por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula, lo que quiere decir que la durabilidad de las cuatro

marcas es similar.b. Ahora miraremos las varianzas. Aquí suponemos que el diseño se hizo de

forma aleatoria para evitar errores por descalibración de la máquina.

Verificación de VarianzaPrueba Valor-P

de Bartlett 1,01617 0,935251

El StatAdvisorEl estadístico mostrado en esta tabla evalúa la hipótesis de que la desviación estándar de Número de Golpes dentro de cada uno de los 4 niveles de Marcas es la misma. De particular interés es el valor-P. Puesto que el valor-P es mayor o igual que 0,05, no existe una diferencia estadísticamente significativa entre las desviaciones estándar, con un nivel del 95,0% de confianza.

Pruebas de Múltiple Rangos para Número de Golpes por Marcas

Método: 95,0 porcentaje LSDMarcas Casos Media Grupos HomogéneosA 8 220,75 XB 8 234,25 XXD 8 239,25 XC 8 243,25 X

Contraste Sig. Diferencia +/- LímitesA - B -13,5 17,1361A - C * -22,5 17,1361A - D * -18,5 17,1361B - C -9,0 17,1361B - D -5,0 17,1361C - D 4,0 17,1361* indica una diferencia significativa.

ANOVA Gráfico para Numero de Golpes

-45 -25 -5 15 35Residuos

Marcas P = 0,0617A B D C

El StatAdvisorEsta tabla aplica un procedimiento de comparación múltiple para determinar cuáles medias son significativamente diferentes de otras. La mitad inferior de la salida muestra las diferencias estimadas entre cada par de medias. El asterisco que se encuentra al lado de los 2 pares indica que estos pares muestran diferencias estadísticamente significativas con un nivel del 95,0% de confianza. En la parte superior de la página, se han identificado 2 grupos homogéneos según la alineación de las X's en columnas. No existen diferencias estadísticamente significativas entre aquellos niveles que compartan una misma columna de X's. El método empleado actualmente para discriminar entre las medias es el procedimiento de diferencia mínima significativa (LSD) de Fisher. Con este método hay un riesgo del 5,0% al decir que cada par de medias es significativamente diferente, cuando la diferencia real es igual a 0.

Bueno como nos damos cuenta no existe ninguna razón para creer que las varianzas son iguales, aquí por medio de la prueba de Bartlett, nos damos cuenta que estas varianzas son similares puesto que P>∝, y a la vez notamos que existen diferencias en los procesos como muestra la LSD, son homogéneos. Y a su vez notamos que no hay diferencias significativas en los niveles, en la prueba similar a la TUKEY.

4. Desde el incremento en los precios de la gasolina se han desarrollado varios dispositivos, los cuales se colocan en los carburadores de los automóviles, con el propósito de aumentar el rendimiento de estos. Una empresa selecciona tres de los dispositivos más populares para someterlos a prueba. La empresa desea compararlos con los carburadores estándar, con el propósito de determinar si existe un incremento apreciable de millas por galón de gasolina con el uso de estos dispositivos. La compañía selecciona cinco tipos de automóviles para el experimento. Para controlar la variación, se planea utilizar el mismo conductor para todo el experimento.

TABLA 12.24 Datos de la muestra para el ejercicio (millas por galon)

Automóvil Carburador Estándar

DispositivoA

DispositivoB

DispositivoC

1 18.2 18.9 19.1 20.42 27.4 27.9 28.1 29.93 35.2 34.9 35.8 38.24 14.8 15.2 14.9 17.35 25.4 24.8 25.6 26.9

a. Hágase un bosquejo del plan específico para realizar este experimento.b. Supóngase que se observan los datos que se encuentran en la tabla 12.24. Escríbase

el modelo y establézcase la hipótesis nula por probar. ¿Puede rechazarse la hipótesis nula para un nivel ∝=0.05.

c. Si se rechaza la hipótesis nula de la parte b, constrúyanse por lo menos dos contrastes relevantes y pruébese su significancia estadística.

SOLUCION.a. b. Se utiliza un modelo de regresión, y tenemos como hipótesis nula μ1=μ2=μ3=μ4.

Ahora se pasa a realizar los cálculos con el Stat Graphics.Primero verifico que sea distribución normal.

NormalMedia=24,945Desv. Est.=7,41843

Cpk = -2,95Ppk = -1,08

Capabilidad de Proceso para Millas por galon LSE = 1,0

0 10 20 30 40 50Millas por galon

0

1

2

3

4

5

6

frec

uenc

ia

Como se ve el diseño sigue una distribución normal por ende se puede pasar a realizar la tabla ANOVA.

Tabla ANOVA para Millas por galón por AutomóvilFuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-PEntre grupos 1026,29 4 256,572 198,97 0,0000Intra grupos 19,3425 15 1,2895Total (Corr.) 1045,63 19

El StatAdvisorLa tabla ANOVA descompone la varianza de Millas por galón en dos componentes: un componente entre-grupos y un componente dentro-de-grupos. La razón-F, que en este caso es igual a 198,97, es el cociente entre el estimado entre-grupos y el estimado dentro-de-grupos. Puesto que el valor-P de la prueba-F es menor que 0,05, existe una diferencia estadísticamente significativa entre la media de Millas por galón entre un nivel de Automóvil y otro, con un nivel del 95,0% de confianza. Para determinar cuáles medias son significativamente diferentes de otras, seleccione Pruebas de Múltiples Rangos, de la lista de Opciones Tabulares.

Nos damos cuenta que P<0.05, entonces se rechaza la hipótesis nula, lo que quiere decir que μ1 ≠ μ2 ≠ μ3≠ μ4, lo cual demuestra que existe una diferencia en los niveles y es normal porque se usan vehículos distintos.

Ahora verificamos la diferencia en los niveles mediante la comparación múltiple de rangos.

Pruebas de Múltiple Rangos para Millas por galón por Automóvil

Método: 95,0 porcentaje LSDAutomóvil Casos Media Grupos Homogéneos4 4 15,55 X1 4 19,15 X5 4 25,675 X2 4 28,325 X3 4 36,025 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Límites1 - 2 * -9,175 1,711481 - 3 * -16,875 1,711481 - 4 * 3,6 1,711481 - 5 * -6,525 1,711482 - 3 * -7,7 1,71148

2 - 4 * 12,775 1,711482 - 5 * 2,65 1,711483 - 4 * 20,475 1,711483 - 5 * 10,35 1,711484 - 5 * -10,125 1,71148* indica una diferencia significativa.

El StatAdvisorEsta tabla aplica un procedimiento de comparación múltiple para determinar cuáles medias son significativamente diferentes de otras. La mitad inferior de la salida muestra las diferencias estimadas entre cada par de medias. El asterisco que se encuentra al lado de los 10 pares indica que estos pares muestran diferencias estadísticamente significativas con un nivel del 95,0% de confianza. En la parte superior de la página, se han identificado 5 grupos homogéneos según la alineación de las X's en columnas. No existen diferencias estadísticamente significativas entre aquellos niveles que compartan una misma columna de X's. El método empleado actualmente para discriminar entre las medias es el procedimiento de diferencia mínima significativa (LSD) de Fisher. Con este método hay un riesgo del 5,0% al decir que cada par de medias es significativamente diferente, cuando la diferencia real es igual a 0.

Como se ve no hay homogeneidad y también en cada uno de los niveles se da una diferencia significativa y esto también lo podemos apreciar en los siguiente graficos.

1 2 3 4 5

Dispersión por Código de Nivel

14

19

24

29

34

39

Mill

as p

or g

alon

Automovil

Automovil 4 5

ANOVA Gráfico para Millas por galon

-22 -12 -2 8 18 28Residuos

P = 0,00001 2 3

Ahora se muestra el análisis de varianza.Verificación de Varianza

Prueba Valor-Pde Bartlett 1,07827 0,910197

El StatAdvisorEl estadístico mostrado en esta tabla evalúa la hipótesis de que la desviación estándar de Millas por galón dentro de cada uno de los 5 niveles de Automóvil es la misma. De particular interés es el valor-P. Puesto que el valor-P es mayor o igual que 0,05, no existe una diferencia estadísticamente significativa entre las desviaciones estándar, con un nivel del 95,0% de confianza.

En esta nos dice que tenemos una hipótesis nula así σ 12=σ2

2=σ32=σ4

2

Como vemos que P>∝ , entonces no se rechaza la hipótesis nula, existiendo homogeneidad en las varianzas.

BIBLIOGRAFIA

Montgomery, Douglas; Runger, George; 2003; Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, Inc;