ejemplo

COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE

Martha C. Moreno

10 de octubre de 2011

Martha C. Moreno COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE

Coordenadas

Sean: V un espacio vectorial de dimension n , B = {v1, v2, · · · , vn}una base ordenada de V y v ∈ V , entonces:


Coordenadas


v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn


Coordenadas


v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

Definicion

El vector cuyas componentes son los valores de los coeficientes de

la c.l, se denomina vector de coordenadas de v respecto a la

base B


Coordenadas


v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

Definicion



base B

[v ]B =

α1

α2

...

αn


Coordenadas


v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

Definicion



base B

[v ]B =

α1

α2

...

αn

El vector de coordenadas depende del orden de los vectores de la base B .


Ejemplo

1. Consideremos V = R2 y B = {(1, 0), (0, 1)} su base canonica.


Ejemplo


Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =


Ejemplo


Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =

(

34

)


Ejemplo


Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =

(

34

)

Sea B ′ = {(1, 1), (−1, 1)} otra base de R2


Ejemplo


Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =

(

34

)

Sea B ′ = {(1, 1), (−1, 1)} otra base de R2 Porque?


Ejemplo


Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =

(

34

)


[(3, 4)]B′ =

(

α1

α2

)

, donde α1 y α2 se obtienen al resolver el

sistema de ecuaciones que resulta de:


Ejemplo


Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =

(

34

)


[(3, 4)]B′ =

(

α1

α2

)



(3, 4) = α1(1, 1) + α2(−1, 1)


Ejemplo


Sea v = (3, 4), entonces [(3, 4)]B =

(

34

)


[(3, 4)]B′ =

(

α1

α2

)



(3, 4) = α1(1, 1) + α2(−1, 1)

[(3, 4)]B′ =

(

7

21

2

)


�

3

4


�

3

4

7

2

1

2


2. B = {

(

1 10 0

)

,

(

0 01 1

)

,

(

1 00 1

)

,

(

0 11 1

)

} es una

base de M2×2.


2. B = {

(

1 10 0

)

,

(

0 01 1

)

,

(

1 00 1

)

,

(

0 11 1

)

} es una

base de M2×2.

Si [v ]B =

3−102

, entonces:


2. B = {

(

1 10 0

)

,

(

0 01 1

)

,

(

1 00 1

)

,

(

0 11 1

)

} es una

base de M2×2.

Si [v ]B =

3−102

, entonces:

v =


2. B = {

(

1 10 0

)

,

(

0 01 1

)

,

(

1 00 1

)

,

(

0 11 1

)

} es una

base de M2×2.

Si [v ]B =

3−102

, entonces:

v = 3

(

1 10 0

)

− 1

(

0 01 1

)

+ 0

(

1 00 1

)

+ 2

(

0 11 1

)


2. B = {

(

1 10 0

)

,

(

0 01 1

)

,

(

1 00 1

)

,

(

0 11 1

)

} es una

base de M2×2.

Si [v ]B =

3−102

, entonces:

v = 3

(

1 10 0

)

− 1

(

0 01 1

)

+ 0

(

1 00 1

)

+ 2

(

0 11 1

)

v =

(

3 51 1

)


Propiedad


Propiedad

Sean V un espacio vectorial, B una base de V y v ,w ∈ V ,entonces:


Propiedad


[v + w ]B = [v ]B + [w ]B


Propiedad


[v + w ]B = [v ]B + [w ]B

Si α ∈ R, [αv ]B = α[v ]B


Matriz de transicion

Si un elemento v de un espacio vectorial V se puede representar demaneras diferentes dependiendo de la base escogida,las posiblespreguntas que surgen de manera natural son por ejemplo:




¿Que relacion existe entre sus diferentes representaciones?




¿Que relacion existe entre sus diferentes representaciones?

¿Es posible pasar de una a otra representacion de maneradirecta?


Sean: V espacio vectorial de dimension n



B = {u1, u2, · · · , un} y D = {v1, v2, · · · , vn}dos bases ordenadas de V , y w ∈ V , entonces:




w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun




w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

[w ]B =

α1

α2

...αn




w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

[w ]B =

α1

α2

...αn

La idea es establecer la relacion entre la representacion de w en labase B y la base D.




w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

[w ]B =

α1

α2

...αn


[w ]D = [α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun]D




w = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

[w ]B =

α1

α2

...αn


[w ]D = [α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun]D

[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D


[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D


[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D

[w ]D = α1

a11a21...

an1

+ α2

a12a22...

an2

+ · · · + αn

a1na2n...

ann


[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D

[w ]D = α1

a11a21...

an1

+ α2

a12a22...

an2

+ · · · + αn

a1na2n...

ann

[w ]D =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

an1 an2 · · · ann

α1

α2

...αn


[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D

[w ]D = α1

a11a21...

an1

+ α2

a12a22...

an2

+ · · · + αn

a1na2n...

ann

[w ]D =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...


α1

α2

...αn

[w ]D = PD←B [w ]B


[w ]D = α1[u1]D + α2[u2]D + · · ·+ αn[un]D

[w ]D = α1

a11a21...

an1

+ α2

a12a22...

an2

+ · · · + αn

a1na2n...

ann

[w ]D =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...


α1

α2

...αn

[w ]D = PD←B [w ]B

PD←B se denomina La matriz de transicion de la base B a la

base D


Nota

En la matriz PD←B es de resaltar que la columna i corresponde a

las coordenadas en la base D del i-esimo vector de la base B


Nota



Teorema

Sea V un espacio vectorial de dimension n y B, D, y E tres bases

ordenadas de V , entonces:


Nota



Teorema



1. PB←B = I


Nota



Teorema



1. PB←B = I

2. PE←DPD←B = PE←B


Nota



Teorema



1. PB←B = I


3. PD←B es no singular y (PD←B)−1 = PB←D


Nota



Teorema



1. PB←B = I


3. PD←B es no singular y (PD←B)−1 = PB←D

Para 3. considerar en 2. E = B y aplicar 1.


Ejemplo

Sean V = P2, B = {x2, x , 1} y D = {x2 + x + 1,−x + 1, x2 − 1}y v = 3x2 + 3x


Ejemplo


1. [v ]B =


Ejemplo


1. [v ]B =

330


Ejemplo


1. [v ]B =

330

2. [v ]D


Ejemplo


1. [v ]B =

330

2. [v ]D =

2−11


Ejemplo


1. [v ]B =

330

2. [v ]D =

2−11

3. PD←B =


Ejemplo


1. [v ]B =

330

2. [v ]D =

2−11

3. PD←B =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33


Donde:

x2 = a11(x2 + x + 1) + a21(−x + 1) + a31(x

2 − 1)x = a12(x

2 + x + 1) + a22(−x + 1) + a32(x2 − 1)

1 = a13(x2 + x + 1) + a23(−x + 1) + a33(x

2 − 1)

Resolviendo simultaneamente los tres sistemas, tenemos:


Donde:

x2 = a11(x2 + x + 1) + a21(−x + 1) + a31(x

2 − 1)x = a12(x

2 + x + 1) + a22(−x + 1) + a32(x2 − 1)

1 = a13(x2 + x + 1) + a23(−x + 1) + a33(x

2 − 1)

Resolviendo simultaneamente los tres sistemas, tenemos:

1 0 1 | 1 | 0 | 01 −1 0 | 0 | 1 | 01 1 −1 | 0 | 0 | 1

∼ · · · ∼

1 0 0 | 1

3| 1

3| 1

3

0 1 0 | 1

3| −2

3| 1

3

0 0 1 | 2

3| −1

3| −1

3


Luego:

PD←B =

1

3

1

3

1

31

3

−2

3

1

32

3

−1

3

−1

3


Luego:

PD←B =

1

3

1

3

1

31

3

−2

3

1

32

3

−1

3

−1

3

4. [v ]D = PD←B [v ]B


Luego:

PD←B =

1

3

1

3

1

31

3

−2

3

1

32

3

−1

3

−1

3

4. [v ]D = PD←B [v ]B

[v ]D =

1

3

1

3

1

31

3

−2

3

1

32

3

−1

3

−1

3

330

=

2−11


Ejercicio

Sean B = {x + 2, 2x − 1} y D = {v1, v2} dos bases de P1. Si La

matriz de transicion de la base D a la base B es

(

3 −12 1

)

,

determinar los vectores de la base D.


ejemplo

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