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EIE-340/IEE-447 “CAMPOS Y OEM”/ “PROPAGACION DE OEM”

CAPÍTULO 3: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM.

Prof. Gmo. Fernández S. Ariel E. Leiva L.

EIE - 340 / IEE - 447“CAMPOS Y OEM”/ “PROPAGACION DE OEM”




1.- Ecuaciones de Maxwell y Condiciones de Frontera.2.- OEM en Medios No Confinados.3.- Reflexión y Refracción de OEM en Obstáculos Ideales.4.- Líneas de Transmisión Electromagnéticas.5.- Ondas Guiadas.6.- Guías de Ondas.7.- Propagación en Fibras Ópticas.8.- Radiación.9.- Propagación de OEM en el Entorno Terrestre.

CAPÍTULOS




3.1. Incidencia Normal en un Conductor Perfecto.

3.2. Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto.

3.3. Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto.

3.4. Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto.

3.5. Incidencia en un Medio Conductivo.

CAPÍTULO 3

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE OEM.




Toda la energía que incide en un conductor perfecto se refleja.

La onda incidente tiene un campo eléctrico dado por:

La onda reflejada desde el conductor está dada por:

xji eE

xjr eE

3.1 Incidencia Normal en un Conductor Perfecto .




Por condiciones de borde en la superficie del conductor perfecto (x=0), la suma de los campos eléctricos debe ser 0 (debido a que la magnitud de campo eléctrico dentro es igual a 0 y por la continuidad de éste).

Por lo tanto, en x=0: ir EE En general, el campo total está dado por:

xsinjE2

eeE

eEeEE~

i

xjxji

xjr

xjitot





tsinxsinE2E

exsinjE2ReE

itot

tjitot

El factor “sinβx” establece distintas amplitudes de Etot vs la posición “x”. En otras palabras, se produce una Onda Estacionaria.

Por lo tanto:





En relación al campo magnético, la reflexión no invierte su fase (al contrario del campo eléctrico). En este caso, para que exista propagación en el sentido contrario (onda reflejada) según E x H, la fase de Hr es la misma que la de Hi en la superficie de reflexión.

Así,

xcosH2

eeH

eHeHH~

i

xjxji

xjr

xjitot





tcosxcosH2H

eH~

ReH

itot

tjtottot

Por lo tanto:





Resumiendo,

tcosxcosH2)x,t(H itot

2tcosxsinE2)x,t(E itot

Se aprecia el desfasaje de 90º, ya no existe el plano equifase de la OPU entre Etot y Htot, lo cual indica que no existe flujo de Densidad de Potencia.










CAPÍTULO 3





Se considerarán dos casos especiales:

• El campo Eléctrico E es paralelo a la superficie de frontera o perpendicular al plano de incidencia (El plano de incidencia es el plano que contiene al rayo incidente y la normal de la superficie). Este caso es llamado, a veces, Polarización Horizontal.

• El campo Eléctrico E es paralelo al plano de incidencia. Este caso es llamado Polarización Vertical.

Note que en el caso de Polarización Vertical, el campo E tiene componente horizontal, por lo que estrictamente no es una polarización vertical. Deberían llamarse polarización Perpendicular y Paralela al plano de incidencia, respectivamente.

3.2 Incidencia Oblicua en un Conductor Perfecto.





Caso 1 Caso 2





La onda incidente tiene ángulo θi = θr = θ con el eje z.

CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA




•Debido a que las dos ondas tienen igual y opuestas direcciones a lo largo del eje “z”, se producirá una onda estacionaria en ese eje.

•En la dirección “y”, las ondas incidente y reflejada viajan hacia la derecha y por lo tanto, se formará una onda viajera.


CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA (2)




La expresión de la onda reflejada está dada por:

En este caso:

Por lo tanto:

r'n̂jrref eEE

~

)CcoszBcosyAcosx(jr eE

coszsinycosz2

cosy2

cosxr'n̂

)coszsiny(jr eE






Para la onda incidente se tiene que:

En este caso:

coszsiny)cos(z2

cosy2

cosxrn̂

)coszsiny(jiinc eEE

~






De las condiciones de frontera, se tiene que:

Por lo tanto, el campo E total es la suma de las dos contribuciones:

ir EE

)coszsiny(j)coszsiny(jitot eeEE

~

sinyjitot e)coszsin(jE2E

~







En este caso, Er y Ei tienen las direcciones mostradas debido a las condiciones de frontera con un conductor perfecto, o sea, las componentes tangenciales deben ser iguales y opuestas en la frontera.

CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA




En este caso, H será reflejado sin inversión de fase para que se cumpla la dirección de propagación de la onda.

Se tiene además, que:

Para el H incidente y reflejado, respectivamente, se tiene que:

r

r

i

i

H

E

H

E

)coszsiny(jiinc eHH

~

)coszsiny(jrref eHH

~


CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA (2)




Debido a que Hi=Hr, el campo magnético total está dado por:

Se formará una onda estacionaria en la dirección “z”.

sinyjitot e)coszcos(H2H

~






Ahora, para determinar las componentes de E es necesario analizarlas por “y” y “z”, separadamente.

Para la onda incidente:

Para la onda reflejada:


ii HE sinHE iz cosHE iy

ir HH sinHE rz cosHE ry





De este modo, la componente total de E en la dirección “z” es:

Y la componente “y” es:

sinyjiz e)coszcos(sinH2E

~

sinyjiy e)coszsin(cosHj2E

~











CAPÍTULO 3





En este caso, σ=0 lo que implica que no existe pérdida de energía en el medio.

Consideremos una OPU viajando en sentido “x” y en x=0 se encuentra la frontera entre dos medios.

11 22 0x

Medio 1 Medio 2

3.3 Incidencia Normal en un Dieléctrico Perfecto.




Sea:

Ei= E incidente que viaja por el medio 1.

Er= E reflejado desde x=0 hacia el medio 1.

Etx= E transmitido desde x=0 hacia el medio 2.

Las impedancias de los medios, debido a que no son conductivos σ=0 están dadas por:

111 222





Son válidas las siguientes relaciones:

i1i HE

r1r HE Porque se propaga en sentido “-x”.

tx2tx HE

Por continuidad de las componentes tangenciales de E y H en una superficie dieléctrica se tiene que:

txri HHH txri EEE





De esta forma:

ri2

txri1

ri EE1

HEE1

HH

En otras palabras:

12r12i EE





Se define el coeficiente de Reflexión Γ:

12

12

i

r

E

E

Se define el coeficiente de Transmisión α:

12

2

i

tx 2

E

E





ÍNDICE DE REFRACCIÓN “n” DE MEDIOS DIELÉCTRICOS:

Este parámetro es muy usado en materiales ópticos y en nuestro caso, para fibras ópticas.

Se define el índice de refracción de un medio como la razón de las velocidades de fase de la OEM en el vacío con respecto al medio. Generalmente, en los dieléctricos μ≈μ0 lo que implica μr≈1. Para el medio 1:

·

1

·

1

V

V n 1r1r1r

11

oo

1

o1





Para el medio 2:

·

1

·

1

V

V n 2r2r2r

22

oo

2

o2

Se puede demostrar entonces que:

21

21

i

r

nn

nn

E

E

21

1

i

tx

nn

n2

E

E

ÍNDICE DE REFRACCIÓN “n” DE MEDIOS DIELÉCTRICOS (2)










CAPÍTULO 3





En este caso, las condiciones de borde no son más complejas.

3.4 Incidencia Oblicua en un Dieléctrico Perfecto.

Caso 1 Caso 2




Por “Ley de Snell”, en esta figura:

Además, es posible demostrar que:

1

2

2

1

2

1

v

v

sen

sen

31





En secciones anteriores, la densidad de potencia de una OEM estaba dada por:

Pero en este caso, se cumple la siguiente relación:

2E

22t

21

2r

11

2i

1cosE

1cosE

1cosE

1






Reordenando, podemos llegar a:

12i2

22t1

2i

2r

cosE

cosE1

E

E

12i1

22t2

2i

2r

cosE

cosE1

E

E





CASO 1: “E” PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA

Tomaremos Ei en la dirección positiva de “x”. Asumiremos, la misma dirección para Er y Et.

Tomando en cuenta que las componentes tangenciales de E debe ser continua por condiciones de frontera:

tri EEE

i

r

i

t

E

E1

E

E






Insertando este resultado en la expresión:

12i1

22t2

2i

2r

cosE

cosE1

E

E

2211

2211

i

r

coscos

coscos

E

E

Y reduciendo, nos queda:




CASO 2: “E” PARALELO AL PLANO DE INCIDENCIA


Por condiciones de borde, se tiene:

2t1ri cosEcos)EE(

2

1

i

r

i

t

cos

cos

E

E1

E

E




Insertando este resultado en la expresión:

12i1

22t2

2i

2r

cosE

cosE1

E

E

2

2112

22

112

i

r

sin1cos

sin1cos

E

E

Y reduciendo, nos queda:







ÁNGULO DE BREWSTER

De particular interés, es la posibilidad que en la última ecuación (Polarización Paralela) se dé la posibilidad que no ocurra reflexión para un ángulo en particular. Esto ocurre cuando el numerador es cero:

2

2112

22

112

i

r

sin1cos

sin1cos

E

E




12

12

11

2

12

12

11

2

i

r

sincos

sincos

E

E


Tomado en cuenta que:

12

12

22 sensen

ÁNGULO DE BREWSTER (2)




De este modo, para que el numerador sea cero, se debe cumplir que:

12

12

11

2 sincos

12

12

12

2

12

2

12 sinsen








De aquí, podemos llegar a que:

21

11

2cos

21

21

2sen






De este modo, se tiene que:

En este ángulo de incidencia, el cual se denomina “Ángulo de Brewster”, no se produce rayo reflejado cuando la onda incidente está polarizada paralela.

1

21tan





REFLEXIÓN INTERNA TOTAL

Por la ley de Snell:

1

2

1

2

2

1

n

n

sen

sen

n2

n1

θ1 θ1

θ2





REFLEXIÓN INTERNA TOTAL (2)

Pero, si el ángulo θ1 es grande, o sea, la onda incidente es rasante a la superficie del medio 2, entonces el valor de senθ1 será cercano a 1. Si además, n1>n2, el producto siguiente podría ser mayor que 1:

En este caso, no existiría solución para θ2.

1sen1senn

n21

2

1






Como conclusión, no existe Onda Transmitida hacia el medio 2 cuando se cumpla la condición antes mencionada para θ1:

Siempre y cuando se cumpla que n2<n1. A este valor, se le llama “Ángulo Crítico” y si θ1 excede ese valor, la Onda no se propaga hacia el medio 2, permanece dentro del medio 1. Por esto, se habla de “Reflexión Interna Total”.

121

112

1n

nsen1senn

n






n2

n1θc θc









CAPÍTULO 3





3.5 Incidencia en un Medio Conductivo.

Supongamos, ahora que una onda plana uniforme en un medio con constantes ε1, μ1, σ1 incide normal a un medio con constantes ε2, μ2, σ2.

Se deben cumplir las condiciones de frontera:

tri EEE

tri HHH





Estas ecuaciones pueden ser modificadas sabiendo que:

Se supone que se conocerá Ei. De este modo:

i1i HE r1r HE t2t HE

itr EEE 1

i

2

t

1

r EEE




Estos resultados nos llevan a que:

12

12

i

rE E

E

12

2

i

tE

2

E

E





Estos resultados nos llevan a que:

12

21

i

rH H

H

12

1

i

tH

2

H

H


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