Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 1

EDUCACIÓ SECUNDÀRIA 3

MATEMÀTIQUES

UNITAT 3

EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

a) Presentació b) Avaluació Inicial c) Competències d) Activitats e) Autoavaluació f) Altres recursos: bibliografia i recursos en xarxa g) Reforços Educatius h) Ampliacions / Proposta d’ investigació

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 2

A/ PRESENTACIÓ

Pèrsia i l'Islam (650 - 1500) Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi

El Califat Islàmic es va establir arreu del Pròxim Orient, nord d'Àfrica, Península Ibèrica i en zones de l'Índia (a Pakistan). El segle VIII va conservar i traduir del grec a l'àrab molts dels treballs de matemàtiques oblidats a Europa. Les traduccions a l'àrab de diversos texts indis encara va tenir un impacte més gran en les matemàtiques islàmiques i inclou la numeració aràbiga quan als voltants del 766 es van traduir els treballs de Brahmagupta. Els treballs hel·lenístics i indis van establir els fonaments de les importants contribucions posteriors del món islàmic a les matemàtiques. Igual que els matemàtics indis contemporanis, les matemàtiques islàmiques van tenir especial interès en l'astronomia.

Tot i que la majoria de textos islàmics sobre matemàtiques estaven escrits en àrab, no tots van ser escrits per àrabs, sinó que d'una manera similar a les matemàtiques gregues, els erudits del món islàmic utilitzaven l'àrab com a llengua de cultura. Alguns dels matemàtics més importants eren de Pèrsia.

El segle IX, Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi, l'astrònom persa del califa de Bagdad va escriure diversos llibres importants sobre numerals aràbics i mètodes de resolució d'equacions. La paraula algorsime prové del seu nom i la paraula àlgebra del títol d'un dels seus llibres Al-Jabr wa-al-Muqabilah. Al-Khwarizmi és considerat el pare de l'àlgebra moderna i dels algorismes moderns.

Abu Bakr al-Karaji (953-1029) va continuar el desenvolupament de l'àlgebra en el seu tractat al-Fakhri, on extén la metodologia per calcular potències i arrels de quantitats desconegudes. El segle X, Abul Wafa va traduir els treballs de Diofant d'Alexandria a l'àrab i va desenvolupar la funció tangent.

El poeta del segle XII Omar Khayyam, que també era matemàtic, va escriure Disquisicions de les dificultats sobre Euclides, un llibre crític amb els Elements d'Euclides. Va donar una solució geomètrica a les equacions de tercer grau, un dels desenvolupaments més originals de les matemàtiques de l'Islam. També va influir enormement en la reforma del calendari. La trigonometria esfèrica va ser desenvolupada extensament pel matemàtic persa Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) el segle XIII. La seva obra també va tractar el postulat de les paral·leles d'Euclides.

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 3

B/AVALUACIÓ INICIAL

Amb les activitats que et proposem a continuació pretenem que comprovis el que en saps del coneixements que en el decurs d’aquesta unitat aprendràs. No t’amoïnis si no et surten bé les activitats. El que és important és que t’adonis on t’equivoques per poder-ho repassar o bé aprendre-ho a les pàgines següents. 1.- El valor numèric del polinomi: P(x) = x4 – 3x3 + 2x – 1 per a x = -2 és: a) –5 b) –2 c) –13 d) –53 2.- Les expressions algebraiques que expressen la meva edat i la del meu germà respectivament si tinc el triple de l’edat del meu germà i x és la meva edat són:

a) x i x3

1 b) x i 3x c) x

3

1 i x d) 3x i x

3.- La suma dels polinomis P(x) = 3x2 – 2x + 4 i Q(x) = -3x2 + 3x – 7 és: a) 6x2 + 5x + 11 b) –6x2 + x – 3 c) x2 + 5x – 7 d) x – 3 4.- La diferència dels polinomis P(x) = 3x2 – 2x + 4 i Q(x) = -3x2 + 3x – 7 és: a) 9x2 + 5x + 11 b) –6x2 – 5x – 11 c) 6x2 – 5x2 + 11 d) 6x2 + 5x + 11 5.- El grau del polinomi que resulta en multiplicar P(x) = x2 per Q(x) = x5 és: a) 5 b) 7 c) 10 d) 3 6.- El polinomi R(x) = 8

a) No és un polinomi. b) Té grau 1. c) Té grau 0. d) Cap de les anteriors.

7.- El quadrat d’una suma de dos nombres és:

a) La suma dels quadrats d’aquests nombres. b) La diferència dels quadrats d’aquests nombres. c) El quadrat del primer nombre més el quadrat del segon més el doble del

primer pel segon. d) El quadrat del primer nombre més el quadrat del segon menys el doble

del primer pel segon. 8.- Calcula el quocient i el residu de la divisió: (2x5 – 4x3 + 9x2 – 5x + 2) : (x2 – x + 3). 9.- Calcula el quocient i el residu de la divisió: (8x6 – 7x3 + 2x2 + 8) : (x – 1)

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 4

C/CONTINGUTS

Objectius

Operar amb monomis. Reconèixer els polinomis com una suma algebraica de monomis. Determinar el grau d’un polinomi. Reconèixer el terme independent i els coeficients d’un polinomi. Reduir i ordenar polinomis. Calcular el polinomi oposat a un polinomi donat. Obtenir el valor numèric d’un polinomi. Sumar, restar i multiplicar polinomis. Dividir polinomis amb l’algoritme usual. Desenvolupar les igualtats notables: quadrat d’una suma, quadrat d’una

diferència i producte de suma per diferència. Simplificar fraccions algebraiques senzilles. Continguts Monomis. Suma i resta de monomis semblants. Multiplicació i divisió de monomis. Polinomis: grau, terme independent i coeficients. Determinació del polinomi oposat d’un polinomi donat. Valor numèric d’un polinomi. Operacions amb polinomis. Suma i resta de polinomis. Multiplicació i divisió de

polinomis. Igualtats notables. Desenvolupament de les igualtats notables. Utilització de les igualtats notables per simplificar diverses expressions. Fraccions algebraiques. Simplificació de fraccions algebraiques. Treball amb competències Tractament de la informació i competència digital

• Valorar el llenguatge algebraic com un llenguatge concís i útil per expressar resultats.

• Representar relacions i patrons numèrics mitjançant expressions algebraiques senzilles.

• Utilitzar d’una manera comprensiva el llenguatge algebraic per expressar situacions, i relacionar aquest llenguatge amb d’altres: tabular, gràfic, descriptiu,

Competència per a l’autonomia i la iniciativa personal

• Operar amb polinomis d’una manera precisa i curosa.etc.

• Conèixer, valorar i utilitzar sistemàticament conductes associades a l’activitat matemàtica, com ara l’ordre, el contrast, la precisió i la revisió sistemàtica i crítica dels resultats.

Competència social i ciutadana

• Respectar les solucions i els plantejaments dels altres.

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 5

D/ACTIVITATS BÀSIQUES, APRENDRE A APRENDRE

Recorda que si tens cap dubte has de recórrer al teu llibre de text i als apunts donats pel professors pel que fa a aquest tema.

Exercici 1. Anomena n a un nombre qualsevol i expressa: a) El doble del nombre. b) El terci del nombre. c) El quadrat del nombre. d) Que el nombre és més gran que 8. e) La suma del nombre i el seu quadrat.

Exercici 2 En una fruiteria, 1kg de peres costa el doble que 1kg de pomes; 1kg de prunes costa la meitat que 1kg de pomes; 1kg de taronges costa el mateix que 1kg de peres més 1kg de prunes. Anomena p al preu del kilogram de pomes i expressa amb p el preu per kilogram de les peres, les prunes i les taronges.

Exercici 3 Anomena a i b a dos nombres qualssevol i expressa amb a i b cadascun dels següents enunciats.

a) La suma de a i el triple de b. b) La suma del doble de a menys la meitat de b. c) El quadrat de la seva suma. d) El quadrat de la seva diferència. e) La suma dels seus quadrats. f) La diferència dels seus quadrats.

Exercici 4 Escriu l’expressió algebraica que indiqui l’àrea de cadascuna de les següents figures.

b) Calcula l’àrea de les figures anteriors en el cas de x = 8cm, y = 2cm, a = 4cm i b = 7cm.

a

y

x + 1

x - 3

x

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 6

Exercici 5 Calcula, en cada una de les següents expressiones algebraiques, el valor numèric per a n = 1, n = 2, n = -1.

a) 2n + 5 b) n(n + 3) c) n2 – 1 d) n2 + n

Exercici 6 Donats els polinomis P(x) = -3x2 – 4x + 8; Q(x) = 5x2 + 6x – 9; R(x)

= x3 – 5x2 + x – – 8; S(x) = x3 – 6x2 – 9x + 13, calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – R(x) c) R(x) + S(x) d) Q(x) – S(x)

Exercici 7 Quadrat màgic de monomis. Completa els monomis que falten en aquest quadrat màgic, sabent que la suma dels monomis de cada fila, columna o diagonal és 22x2.

10x2 1x2 4x2

3x2 8x2

5x2 8x2

4x2 1x2

Exercici 8 Donat P(x) = 5x2 – 3x + 1, calcula els següents productes i indica el seu grau.

a) P(x) · x b) P(x) · 3x c) P(x) · x2 d) P(x) · 4x2 e) P(x) · (-x) f) P(x) · (-5x) g) P(x) · (-x2) h) P(x) · (-4x2)

Exercici 9 Fes els següents productes i indica el grau del resultat.

a) 32 xx

b) 23

4

1

4

1xxx

c) xxx 63

15 3

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 7

d) 23

4

1

4

1xxx

Exercici 10 Aplica les regles per eliminar parèntesi i troba la forma reduïda de cada polinomi.

a) 4x – (2x + 8) + (-5x2 – 3x) b) x – (-3x2 – 8x) – (4 – x) c) 7 – (x + 3) – (-x3 – 6x) d) 4 + (3x3 – x2) – (4 – x2)

Exercici 11 Troba el valor numèric que s’indica en cada cas. a) 4x3 – 2x + 6 per a x = 1 b) 4x3 – 2x + 6 per a x = -1 c) 2x2 + 7x + 2 per a x = 2 d) 2x2 + 7x + 2 per a x = -2

Exercici 12 Fes els següents productes i indica el grau dels factors i el del resultat. a) 3x2 – 7x + 8 b) - x2 – 2x + 9 c) 2x2 – 4x + 16

x – 5 2x + 1 2

1

2

1x

Exercici 13 Desenvolupa els següents productes. a) x2 (x – 8) b) 8x (-3x2 + x + 11) c) – x (5x + 6) d) (x + 4) (x + 6) e) – 4x2 (3x – 7) f) (x + 1) (x2 – 2)

Exercici 14 Treu factor comú en cadascuna de les següents expressions. a) x2 + 3x b) 5x2 – 10x c) x(x + 2) – 6(x + 2) d) x2(x – 1) + x(x – 1) e) 2x2 – x4 f) 6n + 15n2

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 8

Exercici 15 Expressa l’àrea de cadascuna de les següents figures. I desprès resol les expressions que et quedin mitjançant les fòrmules de les identitats notables: a) b) c) d) e) f)

Exercici 16 Calcula. a) (x + 6)2 b) (x – 6)(x + 6) c) (5 – x)2 d) (x + 10)(x – 10) e) (2x + 1)2 f) (2 – a)(2 + a) g) (2x – 2)2 h) (2x – 3)2

Exercici 17 Raona perquè quan dividim dos monomis tals que el grau del dividend és més petit que el grau del divisor el quocient és zero i el residu és el dividend. (24) Calcula el quocient i el residu en els següents cassos de divisió de monomis:

a) (4x6) : (x2) b) (6x7) : (x5) c) (5x3) : (2x2) d) (4x6) : (x4) e) (7x6) : (7x6) f) (ax6) : (4x2) g) (ax7) : (bx3) (amb b 0) h) (axm) : (bx3) (amb m 3 i b 0) i) (axm) : (bxn) (amb m n i b 0)

Exercici 18 Completa la definició següent de divisió de monomis: La divisió de monomis és un altre monomi de grau ......................... i de coeficient .............................

n

m

bx

ax= ......... (amb m n i b 0)

x - 1

x + 1

x - 5

x + 5

x - 2

x + 2

x + 3 x - 2

x + 1

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 9

Exercici 19 Fes la divisió dels polinomis següents: a) (3x6 + 2x5 – x3 + x – 7) : (x3) b) (-6x3 + 4x2 + 8) : (-2x) c) (12x6 + 8x4 +x3 – x2 + x) : (4x2)

Exercici 19 Fes la divisió entre els polinomis següents:

a) (x5 + 5x4 – 6x2 – 4) : (x3 +3x2 – 1) b) (6x6 – x5 – 12x4 + 8x3 – x2) : (x4 – 2x2 + x)

Exercici 20 Troba un polinomi tal que, en ser dividit per x + 2, doni de quocient 2x2 – x + 4 i residu 3.

Exercici 21 Troba un nombre k tal que el residu de la divisió de 8x3 + 6x + k entre 2x – 1 sigui 3.

Exercici 22 Calcula, per la regla de Ruffini, el quocient i el residu de les divisions de polinomis següents:

a) (x6 – 3x5 + 9x3 – x2 + 1) : (x – 1) b) (2x4 - 3x3 + x2 – 8x + 1) : (x – 3) c) (3x4 – x2 + x – 5) : (x) d) (2x4 - 3x3 + 6x + 2) : (x + 3)

Exercici 23: Una fàbrica produeix taules fetes a mà. L’amo s’ha fixat en que els costos de fabricació per unitat de volum varien massa en funció del nombre de taules produïedes. S’ha fet un estudi i han arribat a la conclusió de que els costos totals en euros, de la fabricació de les taules està donat per la següent expressió: C(X)= x3 +5x +16000

a) Quin és el cost total de produir 40 taules? En funció d’aquesta quantitat quant constaria produir-ne una?

b) I de 20 taules? I en aquest cas el cost unitari quin seria?

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 10

Suposant que tenim la següent oferta: Quins serien els beneficis en cada cas? Quina és l’opció que li suposarà uns beneficis més alts?

Exercici 24:Una fàbrica de embalatges i caixes té tres tipus de caixes i cada client pot demanar i triar el format i les dimensions de les caixes en funció de les seves dimensions entre les següents:

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 11

Totes les mides estan expressades en centímetres i, per exigències de la producció i de la resistència del cartró, els valors de la variable tenen algunes restriccions segons el model. A més, han de ser més grans de 10 cm i més petites de 50cm.

a) Expressa en forma de polinomi la quantitat de cartró necessària per fer cada embalatge?

b) Si el preu del cartró és de 0,02 euros/metre quadrat, quin serà el preu necessari per fabricar 200caixes d’embalatge tradicional de 30 per 60 per 80 cm?

c) Quins tipus de caixes serien necessàries per embalar una esfera?

E/AUTOAVALUACIÓ

1.- Calcula el valor de les següents expressions: (1, punts)

a) (-2) + [ -3 + (-2)·(-1) –(-1)·(+3) ]

b) 34 - (+7)·(-2)

c) | a | -3 =0 troba raonadament quin ha de ser el número a.

2.- Expressa les següents operacions de potències com un única potència i després resol : (1, punts)

a) 535 222 b) (23· 22): 24 c) 23· (24 : 22)2 22· 22· 23

d) 224 ])3[(*3

e) 442 ])27(:9[

3.- Respon a les següents preguntes : (1 punts) a) Representa sobre la mateixa recta numèrica les fraccions: -2/6 ; -3/4 ; 7/6 ; 1/7 b) Calcula una fracció equivalent a 3/7 i indica si ho és la fracció 6/14. c) Compara les següents fraccions de forma numèrica: 1/6 ; 2/13 ; -4/5 ; 4/3 4.- Resol les següents operacions donant el resultat el més simplificat possible: (1, punts)

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 12

a)

)8

5:

3

2(

)5

3

2

1(*)

5

4

3

2(

b) 2)

3

5:

3

2(

)5

3:

2

1()

5

4*

3

1(

5.- Troba la fracció generatriu (més simplificada possible) de: (1, punts) a) 0,125

b) 24'3

c) 47812'3

6.- Expressa en notació científica i calcula: (1, punts)

A) 1234

)325*00012,0(

b) 000234,0

)456,23(:)234,1*055,0(

C) 001,000567,000345,00025,0

D) 0067,0

)0025,0(*)0034,00023,0(

7.- El nombre 1,7746 és un decimal pur: (1, punts)

a) trunca’l a les mil·lèsimes. b) Arrodoneix-lo a les mil·lèsimes. c) Quina és la millor aproximació en funció de l’error relatiu i l’absolut? d) Quant és el mateix, en funció de l’error comés, arrodonir que truncar? 8.- He comprat un fil ferro que m’ha costat 3 euros/metro i n’he comprat 12 metres. 1/3 part del fil l’he pintada i l’he venuda a 0,5 euros el metro. 1/5 del total l’he fet més prim i l’he venut a 1 euro el metro. I la resta a 0,25 euros el metro. ¿Ha estat un bon negoci? (1, punts) 9.-Dos amics estan discutint perquè han mesurat una distància. En Joan diu que la distància és de 17 Km i en Pere diu que són 18 Km .Si la distància real és de 17,74 quin de tots dos està donant un resultat més precís? Raona la resposta des del punt de vista de l’error comés per cadascú. (1, punts)

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 13

10.- Digues si són certes o no les següents afirmacions justificant la resposta: (1, punts)

a) Qualsevol nombre decimal el podem expressar en forma de fracció. b) Un nombre enter sempre el podem expressar con una fracció. c) En un nombre decimal periòdic les xifres decimals es repeteixen

indefinidament després de la coma. d) Si un nombre decimal té període cero és un nombre decimal exacte. e) Una potència d’exponent negatiu és negativa. f) Si comparo dues potències d’exponent negatiu la més gran és la que té

l’exponent més gran. g) Sempre és millor arrodonir que truncar. h) El número 1,7745 arrodonit i truncat a les centèsimes dóna la mateixa

aproximació. i) i) El número 1,7745 arrodonit i truncat a les mil·lèsimes dóna la mateixa

aproximació. j) en l’operació amb potències sempre es compleix que:

010

110

1

0

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 14

F/ALTRES RECURSOS: BIBLIOGRAFIA I RECURSOS EN XARXA

a. Bàsiques: Matemàtiques 3r ESO. Grup Promotor Santillana. Matemàtiques 3t ESO. Ed. S.M b. Complementaries: Apunts i problemes resolts i plantejats pel professor a

classe. RECURSOS EN XARXA: PROYECTO E-MATH http://www.uoc.edu/in3/e-math/ Pàgina amb eines tecnològiques. CENTRO NACIONAL DE INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN EDUCATIVA (CNICE) DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE http://www.pntic.mec.es/ PROYECTO DESCARTES http://descartes.cnice.mecd.es/ Pàgina del Ministeri dÈducació i ciència. Conté unitats didàctiques i es pot fer servir en la web o bé descarregar-se arxius. PÁGINA DE LA SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA http://thales.cica.es/ PÁGINA CHILENA DE MATEMÁTICAS http://www.geocities.com/chilemat/principal.htm Pàgina amb recursos lúdics. Història de la Matemàtica i biografies de matemàtics il·lustres. FERMATSI (Fondos en Español & English de Recursos Matemáticos de Secundaria en Internet) http://www.fermatsi.org/index.htm Recursos en anglès i espanyol, llistats de pàgines web d´interés i problemes d’enginy. KALIPEDIA http://www.kalipedia.com/matematicas-aritmetica/?origen=Google Web desenvolupada per l´editorial Santillana. Té una secció organitzada en Quatre continguts: àlgebra, arimètica, estadística i probabilitat i funcions i geometria. Molt exemples d’a plicacions de la matemàtica a la vida quotidiana, problemes, exercicis… HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS http://ciencia.astroseti.org/matematicas/ EL PARAÍSO DE LAS MATEMÁTICAS http://www.matematicas.net/ Aplicacions informàtiques, història de les matemàtiques, jocs, calculadores, descarregues de documents, cursos, …

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 15

G/REFORÇOS EDUCATIUS

1.- Omple els buits adequadament:

a) 7:21

b) 155

c) 26:

d) 162

e) 2:4

f) 25

2.- Omple els buits:

a) 2011 222

b) 36

44:4

c)

66653

d) 217

11

e) 33211

f) 153

3.- Donats els nombres 721 , 245 , 528 i 5225 , posseu en lloc de la

xifra corresponent per què: a) Siguin múltiples de 3. b) Siguin múltiples de 11.

4.- Tants per cent.

a) Com ja saps, 1 de cada 4 s’expressa per 4

1 i 25 de cada 100 s’expressa

per 100

25 o 25%. Comprova que

4

1%25 .

b) Quin nombre és el 25% de 80?

c) Quin nombre és 4

1 de 80?

d) Quin nombre és 8025'0 ?

e) Es pot trobar el 25% de 80 multiplicant 0’25 per 80? f) Quin tant per cent de 420 és 378? g) El 25% d’un nombre és 457. Quin nombre és?

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 3 16

5.- Un escriptor escriu una novel·la en quatre messos. El primer mes escriu els 12

5

de la novel·la, el segon els 24

5 i el tercer els

8

2 de la novel·la. Quina fracció va

escriure el quart mes? 6.- Averigua quantes xifres tenen aquests nombres.

a) 7105'2

b) 121037'2

c) 251078'136

7.- Calcula i dona el resultat en notació científica.

a) 185 105'5104'2

b) 2429 10161057'34

c) 1320 106'3:1056'12

d) 711 102'1:1086'3

H/AMPLIACIONS. PROPOSTAS D’INVESTIGACIÓ.

1.- El nombre de pàgines d’un llibre és més gran que 200 i més petit que 300. Si es compten de 2 en 2 en sobra 1, de 3 en 3 en sobren 2, de 5 en 5 en sobren 4 i de 7 en 7 en sobren 6. Quàntes pàgines té el llibre? 2.- Un amic li pregunta a un altre per les edats dels seus tres fills, rebent la següent resposta: “El producte de les seves edats és 18 i la suma de les edats és 8”. Quines edats tenen? 3.- Respòn a les següents preguntes:

a) Coneixes cap nombre primer de dues xifres que siguin iguals? b) Podrà tenir un nombre primer les seves tres xifres iguals? Raona perquè

111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 i 999 no són nombres primers. c) Creus que un nombre de quatre xifres iguals podrà ser primer?

4.- Un agricultor planta un terç de la seva parcel·la amb enciams i un altre terç amb tomàquets. En la cinquena part de la resta planta mongetes. Si li queden sense plantar 600m2, quina extensió té la seva parcel·la? 5.- L’Ana ha pescat un quart dels peixos que ha pescat en Ruben. Si en Ruben donès 45 peixos a l’Ana, els dos quedarien amb el mateix nombre de peixos. Quants peixos va pescar cadascú?