6

La ecuación de onda

1. Consideremos una cuerda elástica de longitud L y se ubica en el eje x, sobre el

segmento de extremos 0 y L con sus extremos fijos. Se quiere describir el proceso de

oscilación de la cuerda, en el plano xu , para ello habrá que dar la posición de cada punto

de la cuerda en distintos instantes de tiempo. La posición de reposo de la cuerda es el eje x.

Para resolver el problema se harán los siguientes supuestos

1) La cuerda es homogénea, es decir de densidad constante.

2) La amplitud de vibración de la cuerda es pequeña.

3) Las fuerzas de fricción se desprecian.

4) La masa de la cuerda es, por unidad de longitud es pequeña comparada con la

tensión de la misma, se desprecia la fuerza de gravedad.

5) La posición de la cuerda en reposo coincide con el eje X.

Sea ),( txu la posición del punto x de la cuerda en el instante t

.

Consideremos una pequeña porción de la cuerda entre x y xx ∆+

Sean T y T’ las fuerzas de tensión que actúan en sus extremos. la cuerda se mueve sólo en

sentido vertical la componente horizontal es constante y esta última es

kkTT ,'cos'cos == αα constante

La componente vertical en cada extremo es

u

T'

'α

7

αα sen,'sen' TT

La fuerza total que actúa es

αα sen'sen' TT −

Utilizando la segunda ley de Newton

naceleraciómasafuerza ×=

La masa es xm ∆= ρ , siendo ρ masa por unidad de longitud

La aceleración es ttut

u=

∂

∂2

2

, segunda derivada de la posición respecto del tiempo.

Entonces

ttxuTT ∆=− ραα sen'sen'

ttuk

x

T

T

T

T ∆=−

ρ

α

α

α

α

cos

sen

'cos'

'sen'

ttuk

xtantan

∆=−

ραα '

pero xxx

utan

∆+∂

∂='α y

xx

utan

∂

∂=α

ttuk

xx

x

uxx

x

u ∆=

∂

∂−∆+

∂

∂ ρ)()(

ttukx

xx

uxx

x

u

ρ=

∆∂

∂−∆+

∂

∂)()(

si 0→∆x

ttxx uk

uρ

=

0>k

ρ, sea 2c

k=

ρ

La ecuación que describe el comportamiento de la cuerda en esas condiciones es

ttxx ucu2=

8

Llamada ecuación unidimensional de ondas.

Las condiciones se eligen entre las siguientes

Longitud de la cuerda es L, un extremo en el origen, es decir [ ]Lx ,0∈ .

Conocer la posición y la velocidad inicial, es decir )0,(),0,( xuxu t .

Los extremos están fijos, es decir 0),(,0),0( == tLutu .

Condición de extremo libre 0),( =tAux , siendo A , Lxx == ,0 , la cuerda

puede moverse en dirección vertical A , pero está forzada de modo que siempre permanece

horizontal.

En Ax = el desplazamiento de la cuerda es proporcional a su pendiente, esto

es ),(1

),( tAuh

tAu x= , h es una constante.

La ecuación unidimensional de onda es del tipo hiperbólico.

Resolución de la ecuación unidimensional de ondas

Se tiene una cuerda de longitud L fija en los extremos, sobre la que no actúa ninguna fuerza

externa y en el instante inicial tiene una forma dada por la función )(xf y cada uno de sus

puntos tiene una velocidad representada por )(xg , y las condiciones descritas al deducir la

ecuación se tiene el PVI y el problema con condiciones de frontera siguiente

<<==

>==

><<=

Lxxgxuxfxu

ttLutu

tLxucu

t

xxtt

0),()0,(),()0,(

0,0),(),0(

0,0,2

el método de separación de variables nos conduce a

)()0(')()()0,(

)()0()()()0,(

0)(0)()(0),(

0)0(0)()0(0),0(

)()(),(

xgVxUxgxu

xfVxUxfxu

LUtVLUtLu

UtVUtu

tVxUtxu

t =⇒=

=⇒=

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

=

9

Y a el problema de valor en la frontera

=

=

−=

0)(

0)0(

)()(''

LU

U

xUxU λ

Y al PVI

=

=

−=

)()0(')(

)()0()(

)()('' 2

xgVxU

xfVxU

xVcxV λ

Para hallar )(tV que tiene condiciones iniciales, es necesario conocer )(xU

Así se resuelve primero

=

=

−=

0)(

0)0(

)()(''

LU

U

xUxU λ

Es el problema1, ya resuelto

Valores propios: 2

22

L

nn

πλ = , funciones propias: xnUn πsen=

Reemplazando los valores propios en la ecuación para )(tV )()('' 2 tVctV λ−=

se tiene que

0)()('',2

222

=+∈∀ tVL

cntVINn nn

π

para cada valor de n hay una solución

tL

cnsenDt

L

cnCtV nnn

ππ+= cos)(

donde nn DC , son constantes

Los productos )()(),( tVxUtxu nnn = son todas soluciones de la EDP, entonces la solución

de la EDP es una serie con sumandos, estos productos, según el principio de superposición.

∑∑

+==

∞

=

xL

nsent

L

cnsenDt

L

cnCtxutxu nc

n

n

πππcos),(),(

1

Ahora se imponen las condiciones iniciales

10

∑=

==1

)()0,(n

n xL

nsenCxfxu

π , ∑

=

==1

)()0,(n

nt xL

nsen

t

cnDxgxu

ππ

y nn DC , son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier generalizada de

)(),( xgxf respectivamente.

La cuerda vibrante amortiguada.

En este caso, se puede suponer que la cuerda está inmersa en un fluido (el aire, por

ejemplo), el cual opone una resistencia al movimiento. Esto significa que existe una fuerza

externa h(x, t) que depende de la velocidad, esto es h(x, t)= -but(x, t), con b>0. El signo

negativo se explica porque ella es una fuerza de resistencia al movimiento. En general, esta

fuerza de amortiguamiento depende de manera no lineal de la velocidad, caso que cae fuera

de los alcances de este curso de introducción a las EDP.

Se resuelve el siguiente PVC-I con constante b=1.

<<

==

>==

><<−=

π

π

π

xx

kxutu

ttuxu

txuuu

tx

txxtt

0,2

3cos)0,(,0),0(

0,0),()0,(

0,0,

Solución

)()(),( tVxUtxu =

λ−==+

⇒−=⇒−=U

U

V

VV

V

V

U

U

V

VUVVUVU

'''''''''''''''

( ) 00)()(),( =⇒== πππ UtVUtu

0)0('0)()0('),0( =⇒== UtVUtu x

Se resuelve el problema de valor en la frontera

( )

=

=

=+

0

0)0('

0''

π

λ

U

U

UU

Este problema corresponde al problema 4

Valores propios ( )

4

122

+=

nλ , n = 0, 1, 2,….

Funciones propias

+=

2

)12(cos)(

xnxU n

,

Ahora se resuelve para V, con λ−=+

V

VV '''

11

( )4

12'''2

+−=

+ n

V

VV

n

nn

( )0

4

12'''

2

=+

++ nnn Vn

VV

Con ecuación característica ( )

04

122

2 =+

++n

pp

Raíces ( )

2

441

2

1211 22nnin

pn

+±−=

+−±−=

Luego, ( ) ( )( )nntsenbnntaetV nn

t

n +++=−

222 cos)( n= 0, 1, 2,…..

Según principio de superposición la solución general es

( ) ( ) ( )( )

++++=∑

∞

=

−

xn

nntsenbnntaetxun

nn

t

2

12coscos,

0

222

Ahora, se aplican las condiciones iniciales u(x, 0) = 0, ( )

=

2

3cos0,

xkxut

( ) ( )( ) 02

12coscos0,

0

2 =

++=∑

∞

=

xn

nntaxun

n

Entonces, an =0, para todo n

( ) ( )( ) ( )

++++

++−= ∑∑

∞

=

−∞

=

−

xn

nntnnbexn

nntsenbetxun

n

t

n

n

t

t2

12coscos

2

12cos

2

1,

0

222

0

22

( )

=

++=∑

∞

= 2

3cos

2

12cos0,

0

2 xkx

nnnbxu

n

nt

Luego, 2

2

2

3cos

2

3cos2 11

kb

xk

xb =⇒

=

, y bn = 0, para n >1

La solución del problema es

( ) ( )

=

−

2

3cos2

2, 2

xtsene

ktxu

t