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La ecuación de onda
1. Consideremos una cuerda elástica de longitud L y se ubica en el eje x, sobre el
segmento de extremos 0 y L con sus extremos fijos. Se quiere describir el proceso de
oscilación de la cuerda, en el plano xu , para ello habrá que dar la posición de cada punto
de la cuerda en distintos instantes de tiempo. La posición de reposo de la cuerda es el eje x.
Para resolver el problema se harán los siguientes supuestos
1) La cuerda es homogénea, es decir de densidad constante.
2) La amplitud de vibración de la cuerda es pequeña.
3) Las fuerzas de fricción se desprecian.
4) La masa de la cuerda es, por unidad de longitud es pequeña comparada con la
tensión de la misma, se desprecia la fuerza de gravedad.
5) La posición de la cuerda en reposo coincide con el eje X.
Sea ),( txu la posición del punto x de la cuerda en el instante t
.
Consideremos una pequeña porción de la cuerda entre x y xx ∆+
Sean T y T’ las fuerzas de tensión que actúan en sus extremos. la cuerda se mueve sólo en
sentido vertical la componente horizontal es constante y esta última es
kkTT ,'cos'cos == αα constante
La componente vertical en cada extremo es
u
T'
'α
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αα sen,'sen' TT
La fuerza total que actúa es
αα sen'sen' TT −
Utilizando la segunda ley de Newton
naceleraciómasafuerza ×=
La masa es xm ∆= ρ , siendo ρ masa por unidad de longitud
La aceleración es ttut
u=
∂
∂2
2
, segunda derivada de la posición respecto del tiempo.
Entonces
ttxuTT ∆=− ραα sen'sen'
ttuk
x
T
T
T
T ∆=−
ρ
α
α
α
α
cos
sen
'cos'
'sen'
ttuk
xtantan
∆=−
ραα '
pero xxx
utan
∆+∂
∂='α y
xx
utan
∂
∂=α
ttuk
xx
x
uxx
x
u ∆=
∂
∂−∆+
∂
∂ ρ)()(
ttukx
xx
uxx
x
u
ρ=
∆∂
∂−∆+
∂
∂)()(
si 0→∆x
ttxx uk
uρ
=
0>k
ρ, sea 2c
k=
ρ
La ecuación que describe el comportamiento de la cuerda en esas condiciones es
ttxx ucu2=
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Llamada ecuación unidimensional de ondas.
Las condiciones se eligen entre las siguientes
Longitud de la cuerda es L, un extremo en el origen, es decir [ ]Lx ,0∈ .
Conocer la posición y la velocidad inicial, es decir )0,(),0,( xuxu t .
Los extremos están fijos, es decir 0),(,0),0( == tLutu .
Condición de extremo libre 0),( =tAux , siendo A , Lxx == ,0 , la cuerda
puede moverse en dirección vertical A , pero está forzada de modo que siempre permanece
horizontal.
En Ax = el desplazamiento de la cuerda es proporcional a su pendiente, esto
es ),(1
),( tAuh
tAu x= , h es una constante.
La ecuación unidimensional de onda es del tipo hiperbólico.
Resolución de la ecuación unidimensional de ondas
Se tiene una cuerda de longitud L fija en los extremos, sobre la que no actúa ninguna fuerza
externa y en el instante inicial tiene una forma dada por la función )(xf y cada uno de sus
puntos tiene una velocidad representada por )(xg , y las condiciones descritas al deducir la
ecuación se tiene el PVI y el problema con condiciones de frontera siguiente
<<==
>==
><<=
Lxxgxuxfxu
ttLutu
tLxucu
t
xxtt
0),()0,(),()0,(
0,0),(),0(
0,0,2
el método de separación de variables nos conduce a
)()0(')()()0,(
)()0()()()0,(
0)(0)()(0),(
0)0(0)()0(0),0(
)()(),(
xgVxUxgxu
xfVxUxfxu
LUtVLUtLu
UtVUtu
tVxUtxu
t =⇒=
=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=
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Y a el problema de valor en la frontera
=
=
−=
0)(
0)0(
)()(''
LU
U
xUxU λ
Y al PVI
=
=
−=
)()0(')(
)()0()(
)()('' 2
xgVxU
xfVxU
xVcxV λ
Para hallar )(tV que tiene condiciones iniciales, es necesario conocer )(xU
Así se resuelve primero
=
=
−=
0)(
0)0(
)()(''
LU
U
xUxU λ
Es el problema1, ya resuelto
Valores propios: 2
22
L
nn
πλ = , funciones propias: xnUn πsen=
Reemplazando los valores propios en la ecuación para )(tV )()('' 2 tVctV λ−=
se tiene que
0)()('',2
222
=+∈∀ tVL
cntVINn nn
π
para cada valor de n hay una solución
tL
cnsenDt
L
cnCtV nnn
ππ+= cos)(
donde nn DC , son constantes
Los productos )()(),( tVxUtxu nnn = son todas soluciones de la EDP, entonces la solución
de la EDP es una serie con sumandos, estos productos, según el principio de superposición.
∑∑
+==
∞
=
xL
nsent
L
cnsenDt
L
cnCtxutxu nc
n
n
πππcos),(),(
1
Ahora se imponen las condiciones iniciales
10
∑=
==1
)()0,(n
n xL
nsenCxfxu
π , ∑
=
==1
)()0,(n
nt xL
nsen
t
cnDxgxu
ππ
y nn DC , son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier generalizada de
)(),( xgxf respectivamente.
La cuerda vibrante amortiguada.
En este caso, se puede suponer que la cuerda está inmersa en un fluido (el aire, por
ejemplo), el cual opone una resistencia al movimiento. Esto significa que existe una fuerza
externa h(x, t) que depende de la velocidad, esto es h(x, t)= -but(x, t), con b>0. El signo
negativo se explica porque ella es una fuerza de resistencia al movimiento. En general, esta
fuerza de amortiguamiento depende de manera no lineal de la velocidad, caso que cae fuera
de los alcances de este curso de introducción a las EDP.
Se resuelve el siguiente PVC-I con constante b=1.
<<
==
>==
><<−=
π
π
π
xx
kxutu
ttuxu
txuuu
tx
txxtt
0,2
3cos)0,(,0),0(
0,0),()0,(
0,0,
Solución
)()(),( tVxUtxu =
λ−==+
⇒−=⇒−=U
U
V
VV
V
V
U
U
V
VUVVUVU
'''''''''''''''
( ) 00)()(),( =⇒== πππ UtVUtu
0)0('0)()0('),0( =⇒== UtVUtu x
Se resuelve el problema de valor en la frontera
( )
=
=
=+
0
0)0('
0''
π
λ
U
U
UU
Este problema corresponde al problema 4
Valores propios ( )
4
122
+=
nλ , n = 0, 1, 2,….
Funciones propias
+=
2
)12(cos)(
xnxU n
,
Ahora se resuelve para V, con λ−=+
V
VV '''
11
( )4
12'''2
+−=
+ n
V
VV
n
nn
( )0
4
12'''
2
=+
++ nnn Vn
VV
Con ecuación característica ( )
04
122
2 =+
++n
pp
Raíces ( )
2
441
2
1211 22nnin
pn
+±−=
+−±−=
Luego, ( ) ( )( )nntsenbnntaetV nn
t
n +++=−
222 cos)( n= 0, 1, 2,…..
Según principio de superposición la solución general es
( ) ( ) ( )( )
++++=∑
∞
=
−
xn
nntsenbnntaetxun
nn
t
2
12coscos,
0
222
Ahora, se aplican las condiciones iniciales u(x, 0) = 0, ( )
=
2
3cos0,
xkxut
( ) ( )( ) 02
12coscos0,
0
2 =
++=∑
∞
=
xn
nntaxun
n
Entonces, an =0, para todo n
( ) ( )( ) ( )
++++
++−= ∑∑
∞
=
−∞
=
−
xn
nntnnbexn
nntsenbetxun
n
t
n
n
t
t2
12coscos
2
12cos
2
1,
0
222
0
22
( )
=
++=∑
∞
= 2
3cos
2
12cos0,
0
2 xkx
nnnbxu
n
nt
Luego, 2
2
2
3cos
2
3cos2 11
kb
xk
xb =⇒
=
, y bn = 0, para n >1
La solución del problema es
( ) ( )
=
−
2
3cos2
2, 2
xtsene
ktxu
t