edo contorno

Metodos NumericosCIV-317

Ecuaciones diferenciales ordinarias a valores decontorno.

Joaqun Mura

1Ingeniera Civil, Pontificia Universidad Catolica de Valparaso.

Semestre Primavera 2013

Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores de contorno

Estas ecuaciones se diferencian de las anteriormente vistas en que lasincognitas se encuentran definidas en los extremos de un intervalo dado,digamos [a, b]. Un ejemplo clasico es el problema de Poisson:

u(x) = f(x), x (a, b),u(a) = ,

u(b) = .

Notas:

Cuando la condicion en el borde asigna directamente un valor en lavariable, por ejemplo u(a) = , esta se le dice Condicion de Dirichlet(o esencial).En cambio, si la condicion corresponde es en la derivada de lavariable, se le llama Condicion de Newmann (o natural), ej. u(a) = .Una combinacion de las anteriores, es decir, u(a) + u(a) = se ledice Condicion de Robin.

J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 02/2013 2 / 10

Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores de contorno: Aproximacion por diferencias finitas

Si imponemos que la ecuacion diferencial se satisfaga en todos los puntosx (a, b), en particular, se tendra para un cierto xj que

u(xj) = f(xj), j = 1, . . . , N

y en los extremos x0 = a y xN = b: u(x0) = , u(xN ) = .

Por simplicidad, asumiremos una particion regular de [a, b]:h = xj xj1 = cte.. Podemos reemplazar la derivada exacta por unaaproximacion usando diferencias finitas (centradas):

1h2

(uj+1 2uj + uj1) = fj , j = 1, . . . , N 1,

u0 = ,

uN+1 = .

Donde uj u(xj).J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 02/2013 3 / 10


De lo anterior, se encuentra un sistema lineal de ecuaciones para resolveruh = (u1, u2, . . . , uN ):

Auh = h2b,

esto es, para j = 1:

1h2

[u2 2u1 + u0] = f1,

es decir,u2 + 2u1 = h2

[f1 + /h

2].



Para j = N :

1h2

[uN 2uN + uN1] = fN ,

es decir,2uN uN1 = h2

[fN + /h

2].

Mientras que el resto de las ecuaciones son, para 2 j N 1:

uj+1 2uj + uj1 = h2fj .



Finalmente, el sistema lineal a resolver es

2 1 0 01 2 1

. . .. . .

. . ....

. . .. . .

. . .

1 2 10 1 2

u1u2......uN1uN

= h2

f(x1) + /h2

f(x2)......

f(xN1)f(xN ) + /h

2



Una manera equivalente es incorporando explctiamente las condiciones deborde:

1 01 2 1 0 0

1 2 1. . .

. . .. . .

.... . .

. . .. . .

1 2 11 2 1

0 0 1

u0u1u2......uN1uNuN+1

=

h2f(x1)h2f(x2)

...

...h2f(xN1)h2f(xN )

Se puede demostrar que el error de aproximacion es|u(xj) uj | h2/96 maxx[a,b] |f (x)|.J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 02/2013 7 / 10


Otra manera es simplemente reemplazar sobre la diagonal asociada a unacondicion Dirichlet un factor p >> 1 (ej. p = 1030). El truco es

1v1 + pv2 pv2.

p 1 01 2 1 0 0

1 2 1. . .

. . .. . .

.... . .

. . .. . .

1 2 11 2 1

0 0 1 p

u0u1u2......uN1uNuN+1

=

ph2f(x1)h2f(x1)

...

...h2f(xN1)h2f(xN )p

Con esto, la matriz sigue siendo simetrica y positivo definida.J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 02/2013 8 / 10

Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores de contorno: Condiciones mixtas

Consideremos ahora el siguiente problema con condiciones mixtas(Dirichlet y Neumann):

u(x) + u(x) + u(x) = f(x), x (a, b)u(a) = , u(b) =

Usando diferencias finitas centradas se obtiene el sistema de N ecuaciones

1h2

(uj+1 2uj + uj+1)+

2h(uj+1 uj1)+uj = f(xj), j = 1, . . . , N.

con u0 = . Para aproximar la derivada en x = b, disponemos solo de lospuntos xN y xN+1, por lo tanto podemos usar Euler hacia atras:

u(xN+1) 1

h(u(xN+1) u(xN ))

1

h(uN+1 uN ) = .


Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores de contorno: Condiciones mixtas

Reuniendo los terminos anteriormente vistos, podemos escribir el sistemalineal

1 0a b c 0 0

a b c...

. . .. . .

. . .

a b c0 0 1 1

u0u1......uNuN+1

=

h2f(x1)

...

...h2f(xN )h

con a =

(1 h2

), b = 2 + h2 y c =

(1 + h2

).


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