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Editorial

Predicción de Crecientes usando la distribución Pareto Generalizada ajustada con tres métodos simples

Editorial

Predicción de Crecientes usando la distribución Pareto Generalizada ajustada con tres métodos simples

Revista DigitalTláloc AMH

Vol. 65 - Octubre-Diciembre 2014

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M. en I. Víctor Bourguett OrtizInstituto Mexicano de Tecnología del Agua

Dr. Jaime ColladoConsultor

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Dr. Jürgen MahlknechtCentro del Agua para América Latinay el Caribe (CAALCA), Tecnológico de Monterrey

Dr. Óscar Fuentes MarilesInstituto de Ingeniería de la UNAM

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Ing. Roberto OlivaresAsociación Nacional de Empresas de Agua y Saneamiento

Dr. Aldo Iván Ramírez OrozcoCentro del Agua para América Latina y el Caribe (CAALCA)

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Dr. Miguel Ángel VergaraEscuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Unidad PetatencoInstituto Politécnico Nacional

XXX Consejo Directivo

PresidenteIng. Raúl Antonio Iglesias Benítez VicepresidenteIng. Marco Alfredo Murillo Ruiz Primer SecretarioIng. Oscar Froylán Martínez Villalba Segundo SecretarioDr. Enrique Mejía Saenz TesoreroIng. Héctor Francisco Fernández Esparza Primer VocalJosé María Campos López Segundo VocalIng. Daniel Galdino González Covarrubias

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Ing. Raúl AntonioIglesias BenítezEditor en Jefe- Revista Tláloc AMHDirector GeneralHidroAmbientecIngeniería Hidráulica-SanitariaAmbientalAurelio L. Gallardo 750Ladrón de GuevaraC.P. 44600, GuadalajaraJalisco, MéxicoE-mail: [email protected]

Dr. Víctor Alcocer YamanakaCoordinador EditorialCoordinador Editorial - Revista Tláloc AMHCoordinador - Coordinación de HidráulicaInstituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA)Profesor de asignatura - PosgradoFacultad de IngenieríaUniversidad Nacional Autónoma de MéxicoTel: 52 777 3293678 (secretaria) 52 777 3293600 ext. 816 (directo)[email protected] [email protected]

Tláloc AMH. Es una publicación trimestral de la Asociación Mexicana de Hidráu-lica, A.C. Para otros intereses dirigirse a Camino Santa Teresa 187, Colonia Parques del Pedregal, C.P. 14010, México, D.F. Tel. y fax (55) 5666 0835. Certificado de licitud de título núm. 12217 y de contenido núm. 8872. Reserva de derechos al uso exclusi-vo en trámite. El contenido de los artículos firmados es responsabilidad de los auto-res y no necesariamente representa la opinión de la Asociación Mexicana de Hidráu-lica. Ninguna parte de esta revista puede ser reproducida en medio alguno, incluso electrónico, ni traducida a otros idiomas sin autorización escrita de sus editores. Colaboradora editorial: Martha Patricia Hansen Rodríguez. Concepto gráfico, diseño y diagramación: M.A.M. Gema Alín Martínez Ocampo, Fotos de entrada de capítulos y portada: Pixabay.com. Foto de página 52: Conagua, foto página 53: Daniel Murillo. Foto de portada: https://programadestinosmexico.com/que-hacer/aventura-y-ecoturismo/campeche.html.

Contenido

Editorial 5

1. Predicción de Crecientes usando la distribución Pareto Generalizada ajustada con tres métodos simples 7 1.1. Resumen 7 1.2. Introducción 8 1.3. Resumen de la teoría 9 1.4. Aplicaciones numéricas 16 1.5. Conclusiones 23 1.6. REFERENCIAS 23

5

El pasado 29 de mayo el XXX Consejo Directivo Nacional de nuestra Asociación Mexicana de Hidráulica terminó su gestión de dos años, y su presidente rindió su informe final,

en donde destacó ampliamente los logros de nuestra revista digital Tláloc.

Es importante mencionar que durante este proceso en formato digital, se han publicado 16 números con temas que reflejan claramente cuál es la política hidráulica de nuestro país y las áreas de investigación en que trabajan los institutos y centros académicos de México. Los artí-culos fueron sancionados por un Comité Editorial integrado por: Dr. Gabriel Echávez Aldape, Dr. Moisés Berezowsky, M.I. Víctor Bourguett Ortíz, Dr. Jaime Collado, Dr. Jürgen Mahlknecht, Dr. Polioptro Martí-nez Austria, Ing. Efraín Muñoz Martín, Dr. Aldo Iván Ramírez Orozco, Ing. Roberto Olivares, Dr. Miguel Ángel Vergara, Ing. Luis Athié Mora-les, Ing. Juan Carlos Valencia Vargas y al Dr. Óscar Fuentes Mariles, a quienes queremos agradecer todo el tiempo y conocimientos que dedicaron a revisar estrictamente los trabajos que debían publicarse; prueba de la exigencia en la calidad de los artículos publicados es que se rechazaron el 40 % de ellos, durante este periodo. Nuestro reconocimiento a todos ellos, y a la vez agradecimiento por ser parte de este proceso de consolidación de un verdadero Consejo Editorial.

El impacto de una revista digital es muy grande, pues puede ser consultada aún por aquellos lectores que no son socios. Nos llena

Editorial

R E V I S T A D I G I T A L T L Á L O C A M H6

de orgullo que los jóvenes se acerquen a nuestra publicación, pues alumnos de universidades muy prestigiadas en el mundo nos hicieron consultas sobre temas tratados en la revista. Seguimos convencidos de que las revistas digita-les son el mejor camino para comunicar a la AMH con la sociedad, sin agredir al medio ambiente, sin altos costos de impresión y de envío, otorgando flexibi-lidad en la extensión de los artículos a los autores y poniendo a la disposición de todos su contenido.

Relacionada con la revista (a través de ella se ingresa) destaca la Biblioteca Virtual, que incluye TODOS los números de la revista a partir de 1994, TODAS las publicaciones de la AMH y más de 20 memorias de los Congresos Nacionales y Latinoamericanos de Hidráulica organizados por nuestra Asociación, incluido el primero de ellos celebrado en Oaxtepec, Morelos, en el año 1970. Asimismo como parte del trabajo editorial de la revista Tláloc, fueron seleccionados 11 de los 346 trabajos presentados en el pasado XXII Congreso Nacional de Hidráulica celebrado en Acapulco. Dichos trabajos fueron seleccionados por el Consejo Editorial, el Presidente de la Asociación Mexicana de Hidráulica y el Coordi-nador Técnico de la Revista Tláloc. Los artículos ganadores de esta distinción, conformaron los números 57 y 58 de nuestra publicación electrónica.

Expresamos nuestro más amplio reconocimiento al Comité Editorial, XXX al Consejo Directivo Nacional, pero sobre todo a nuestros lectores, que con su apoyo han hecho crecer a nuestra revista, así como a los patrocinadores que confiaron en nosotros al exponer su empresa en este espacio electrónico.Los retos son grandes, es importante ampliar la difusión de la >> revista, así como lograr el reconocimiento de revista mexicana de divulgación científica y tecnológica del CONACYT.

Deseamos el mejor de los éxitos al XXXI Consejo Nacional de nuestra Asocia-ción Mexicana de Hidráulica.

ATENTAMENTEIng. Raúl Antonio Iglesias Benítez

Dr. Víctor Alcocer Yamanaka

7P R E D I C C I Ó N D E C R E C I E N T E S U S A N D O L A D I S T R I B U C I Ó N P A R E T O G E N E R A L I Z A D A A J U S T A D A C O N T R E S M É T O D O S S I M P L E S

1.1. Resumen

La estimación de las crecientes de diseño es un proceso hidroló-gico aproximado, debido a la limitación de información disponible (gastos máximos anuales) y a una selección obligada de un modelo

probabilístico que será utilizado para realizar las predicciones buscadas. Para aminorar el error de modelo se prueban varios y se selecciona el de mejor comportamiento con respecto a los datos; lo anterior, utilizando indicadores de calidad estadística del ajuste. Actualmente, existen tres modelos probabilísticos que deben ser aplicados bajo precepto y otros que han mostrado ser muy versátiles debido a que tienen más de tres pará-metros de ajuste. Por otra parte, el método de ajuste por momentos L se ha popularizado debido a su sencillez, exactitud y consistencia y con ello la distribución Pareto Generalizada (PAG) se ha vuelto una opción a probar cuando la muestra o serie tiene cocientes τ3 y τ4 bajos y se ubica en el Diagrama de Momentos L en su porción inferior izquierda. El propósito de este trabajo abarca citar con detalle las propiedades estadísticas de la distribución PAG y describir tres métodos simples de ajuste y sus dos variantes de cada uno. Por lo anterior, se presentan seis grupos de resul-tados en cada aplicación, que fueron 10 y que incluyen: parámetros de ajuste, indicadores de calidad estadística del ajuste y predicciones en siete periodos de retorno que variaron de 10 a 10,000 años. Como resultado del

1 Predicción de Crecientes usando la distribución Pareto Generalizada ajustada con tres métodos simplesDaniel Francisco Campos ArandaProfesor Jubilado de la [email protected]

R E V I S T A D I G I T A L T L Á L O C A M H8

contraste de predicciones realiza-do en 10 registros de crecientes, se recomienda la aplicación sistemática de la distribución PAG, ya que condu-ce a valores similares en los perio-dos de retorno bajos (< 50 años) y del orden de magnitud hasta el intervalo de recurrencia de 1000 años.

Palabras clave: método de momen-tos, momentos L, error estándar de ajuste, error absoluto medio, error absoluto escalado medio, optimi-zación numérica, función objetivo, algoritmo de Rosenbrock.

1.2. Introducción

La estimación de las crecientes de diseño de un río es un proceso orien-tado a determinar la relación entre la magnitud de sus gastos máximos instantáneos y su correspondien-te probabilidad de ocurrencia. En la Ingeniería Hidrológica, la rela-ción citada se denomina análisis de frecuencia de crecientes (AFC). Usual-mente expresa la probabilidad de que el gasto de un río, en un sitio especí-fico, exceda a un cierto valor umbral, o contrariamente, el valor del gasto que es excedido con una determina-da probabilidad. Frecuentemente, la probabilidad se expresa en términos

del periodo de retorno en años.

La relación buscada en el AFC es siempre una estimación, basada en información limitada. Por ello, inva-riablemente existe una incertidumbre respecto al valor del gasto estimado o del periodo de retorno calculado. Las causas que originan tal incertidum-bre son dos: (1) la longitud reducida de los registros de gasto instantáneo máximo anual y las imprecisiones involucradas en su medición, lo cual da origen a los errores de muestreo y (2) las suposiciones realizadas en relación con el modelo probabilístico del que proceden los gastos del río, o con el cual se pueden representar. Si el modelo seleccionado no captura completamente el comportamiento real de los gastos del río, ocurre un error de modelo (Kjeldsen et al., 2014).

Con la idea fundamental de abatir el error de modelo, se emplean indica-dores de calidad estadística de ajuste y se prueban diversos modelos proba-bilísticos. Actualmente, en el AFC se tienen tres distribuciones de proba-bilidad que deben ser aplicadas bajo precepto, son: la Log–Pearson tipo III, la General de Valores Extremos y la Logística Generalizada. También se dispone de modelos muy versáti-les o flexibles, por tener más de tres

9P R E D I C C I Ó N D E C R E C I E N T E S U S A N D O L A D I S T R I B U C I Ó N P A R E T O G E N E R A L I Z A D A A J U S T A D A C O N T R E S M É T O D O S S I M P L E S

Este modelo probabilístico fue propuesto por Pickands (1975) como una distribución límite de los exce-sos escalados obtenidos para un umbral superior denominado u; su modelo planteado resultó ser una clase de funciones de distribución perteneciente a la ya conocida familia Pareto. Por su génesis, es adecuada para describir probabilísticamente las crecientes superiores a un valor u, o bien los gastos diarios mayores de cero. Como existe una distribu-ción límite para los valores máximos de épocas, por ejemplo, los gastos máximos instantáneos de cada año, entonces las excedencias o serie de duración parcial, también tienen su modelo límite cuya aproxima-ción puede ser la distribución PAG (Tallaksen et al., 2004). Su formu-lación matemática es (Hosking y Wallis, 1997):

Ecuación 1.1

Ecuación 1.2

si

Ecuación 1.3

parámetros de ajuste, por ejemplo las distribuciones Wakeby y Kappa. Recientemente, con la adopción del método de los momentos L, debido a su sencillez, exactitud y consistencia de resultados, ha aparecido la Distri-bución Pareto Generalizada, por estar recomendada en registros con bajos valores de los cocientes τ3 y τ4, ya que en el diagrama de cocientes de momentos L abarca su zona inferior izquierda (Ver Figura 2).

El objetivo de este trabajo es citar con detalle las características esta-dísticas de la Distribución Pare-to Generalizada, exponiendo tres métodos simples de ajuste y sus dos variantes de cada uno. Por lo ante-rior, se exponen seis resultados en cada aplicación, que fueron 10 y que incluyen: parámetros de ajuste (ξ, ξ y k), indicadores de calidad estadís-tica del ajuste (EEA, EAM y EAEM) y predicciones (xTr) en siete periodos de retorno, variando de 10 a 10,000 años.

1.3. Resumen de la teoría

1.3.1. Distribución Pareto Generalizada (PAG)

R E V I S T A D I G I T A L T L Á L O C A M H1 0

si k = 0

Ecuación 1.4

si

Ecuación 1.5

si k = 0

Ecuación 1.6

siendo, f(x) es la función de densidad de probabilidad, F(x) es la función de distribución de probabilidades acumuladas, x(F) es la solución inversa, la cual permite estimar las predicciones relativas a las probabi-lidades de no excedencia F, y es la variable reducida, e es la base de los logaritmos naturales y ξ, α y k sus parámetros de ubicación, escala y forma. El intervalo variación de x es: ξ ≤ x ≤ ξ + α/k si k > 0 y si ξ < ∞ w

si k ≤ 0. Tiene dos casos especiales: cuando k = 0 define la distribución exponencial y con k =1 la distribución uniforme en el intervalo ξ ≤ x ≤ ξ + α.

2.1.1. Relación con la distribución Wakeby

Una variable aleatoria x sigue una distribución Wakeby si su forma inversa es la siguiente (Houghton, 1978):

x(F)=a + b[1 (1-F)c] - d[1 -(1=F) -e]

Ecuación 1.7

en la cual, F es la probabilidad de no excedencia y a, b, c, d y e sus cinco parámetros de ajuste. La distri-bución Wakeby es sumamente útil para modelar probabilísticamente crecientes dada su enorme flexibili-dad y su capacidad para reproducir separadamente el comportamiento de los valores bajos y el de las magni-tudes altas o extremas (Campos, 2001b). Rao y Hamed (2000) exponen esta modificación ligera de la para-metrización del modelo Wakeby:

x(F) = ξ + (α/β)[1-(1=F)β]-(γ/δ)

[1-(1-F)-δ]

Ecuación 1.8

Haciendo γ = 0 y β = k se obtiene la ecuación 5, lo cual indica que la distribución PAG es un caso especial del modelo Wakeby.

1.3.2. Similitud y relación entre las distribuciones GVE y PAG

Igual que la distribución General de Valores Extremos (GVE), el modelo PAG también tiene tres diferentes familias de distribuciones, depen-diendo del signo del parámetro de

1 1P R E D I C C I Ó N D E C R E C I E N T E S U S A N D O L A D I S T R I B U C I Ó N P A R E T O G E N E R A L I Z A D A A J U S T A D A C O N T R E S M É T O D O S S I M P L E S

forma k. Cuando k = 0 se reduce a una distribución exponencial con parámetro de ubicación ξ arbitra-rio, para k < 0 la distribución PAG no tiene límite superior y presenta una cola espesa o gruesa (Stedin-ger et al., 1993); finalmente para k > 0 si tiene límite superior, similar al modelo Weibull perteneciente a la distribución GVE.

Para poder realizar una compara-ción directa y consistente entre dos

distribuciones en un papel de proba-bilidad, la misma variable reduci-da debe ser aplicada. Una variable reducida (y) está relacionada lineal-mente a la variable x y la puede sustituir en la expresión de F(x). Por ejemplo, para poder comparar las distribuciones Fréchet, Gumbel y Weibull del modelo GVE (Campos, 2001a), se usa la variable reducida y =-ln[-ln(F(x))]. De la ecuación 2 se deduce que y =-ln(1-F(x)) para la distribución PAG. En la Figura 1.1

Figura 1.1. Familias de modelos probabilísticos en las distribuciones GVE y PAG, de acuerdo a sus variables reducidas.


(Tallaksen et al., 2004) se ilustran los modelos probabilísticos disponibles con las distribuciones GVE y PAG.

La relación entre las distribuciones GVE y PAG se obtiene al buscar la equivalencia entre la probabilidad resultante del análisis de las series anuales de máximos (SAM) y de las llamadas series de duración parcial (SDP), lo cual conduce al mode-lo Poisson–Pareto, para el análisis probabilístico de excedencias, con la propiedad siguiente: la estimación regional del parámetro de forma k de la distribución GVE con SAM, puede ser utilizado en el análisis de SDP y viceversa (Stedinger et al., 1993; Metcalfe, 1997; Campos, 2000).

1.3.3. Parámetros de ajuste con el método de Momentos

En general, el primer momento respecto del origen es la media ( ) y el segundo y tercer momentos centrales (μ2, μ3) muestrales inses-gados son (Yevjevich, 1972):

Ecuación 1.9

Ecuación 1.10

Ecuación 1.11

Las expresiones de los momentos citados correspondientes a la distri-bución PAG son (Rao y Hamed, 2000):

Ecuación 1.12

Ecuación 1.13

Ecuación 1.14

La última ecuación corresponde al coeficiente de asimetría, igual al cociente entre el tercer momento central y cubo de la desviación están-dar ( ); el cual, es únicamente función del parámetro de forma k. En una gráfica con el Cs en las absci-sas y el valor de k en las ordenadas, se observa que la curva que define la Ecuación 1.14 cruza el eje de las abscisas en k = 0 y Cs = 2 y el de las


ordenadas en Cs = 0 y k = 1. Se ajus-taron dos polinomios a cada tramo de la curva con ajuste excelente (R2 > 0.9999), uno para Cs > 0 y el otro para Cs < 0, sus expresiones son:

Ecuación 1.15

Ecuación 1.16

El procedimiento de solución consis-te en calcular el valor del Cs mues-tral y en función de su signo, común-mente positivo, aplicar la Ecuación 1.15 o Ecuación 1.16 para obtener el parámetro de forma k. Los otros dos parámetros se despejan de la Ecua-ción 1.12 y Ecuación 1.13, esto es:

Ecuación 1.17

Ecuación 1.18

Rao y Hamed (2000) obtienen el parámetro k mediante el método del Newton–Raphson aplicado a la Ecuación 1.14.

1.3.4. Parámetros de ajuste con el método de Momentos modificado

Rao y Hamed (2000) exponen que de acuerdo a Hogg y Tanis (1988), el valor menor de la muestra denomi-nado x1 tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

f(x1) = n[1 – F(x)]n–1·f(x)

Ecuación 1.19

sustituyendo la Ecuación 1.1, Ecua-ción 1.2 y Ecuación 1.3 y reduciendo se obtiene:

Ecuación 1.20

Esta ecuación es una función de densidad de probabilidad de la distri-bución PAG con parámetros k* =

k/n y α* = α/n, cuya expresión de E(x1), según la Ecuación 1.12, será:

Ecuación 1.21

Al sustituir en la expresión anterior la Ecuación 1.12 y Ecuación 1.13


y remplazar , μ2 y E(x1) por x, y x1, como la única observación dispo-nible, se puede estimar ξ con las expresiones siguientes:

Ecuación 1.22

Ecuación 1.23

Ecuación 1.24

los otros dos parámetros se calculan con estas ecuaciones:

Ecuación 1.25

Ecuación 1.26

1.3.5. Parámetros de ajuste con el método de Momentos L

Los momentos L son un sistema alternativo reciente que permite describir las ecuaciones de las funcio-

nes de distribución de probabilidades [F(x)]. Históricamente aparecen como modificaciones de los “momentos de probabilidad pesada (MPP)” desarro-llados por Greenwood et al. (1979). Los momentos L son combinaciones lineales de los MPP, definidos como: (Hosking & Wallis, 1997).

λ1 = β0

Ecuación 1.27

λ2 = 2∙β1 – β0

Ecuación 1.28

λ3 = 6∙β2 – 6∙β1 + β0

Ecuación 1.29

λ4 = 20∙β3 – 30∙β2 + 12∙β1 – β0

Ecuación 1.30

También se definen los cocientes (τ) de momentos L, comenzando con L–

Cv que es análogo al coeficiente de variación y después los de similitud con los coeficientes de asimetría (Cs) y de curtosis (Ck):

τ = λ2/λ1

Ecuación 1.31

τ 3 = λ3/λ

Ecuación 1.32


τ 4 = λ4/λ2

Ecuación 1.33

En una muestra de tamaño n, con sus elementos arreglados en orden ascendente ( ) los estimadores insesgados de βr son:

Ecuación 1.34

Ecuación 1.35

Ecuación 1.36

Ecuación 1.37

Los estimadores muestrales de λr serán l

r estando definidos por

las ecuaciones 27 a 30 y los de los cocientes serán t, t3 y t4, según la Ecuación 1.31 a la Ecuación 1.33. Las expresiones de los momentos λ1, λ2 y del cociente τ3 de la distri-bución PAG, permiten despejar sus parámetros ajuste con las ecuacio-

nes siguientes (Hoskins y Wallis, 1997; Rao y Hamed, 2000):

Ecuación 1.38

Ecuación 1.39

Ecuación 1.40

1.3.6. Parámetros de ajuste con el método de Momentos L modificado

Rao y Hamed (2000) exponen un méto-do alternativo desarrollado y expuesto por Hosking (1986), para los paráme-tros de ajuste de la distribución PAG, basado en su relación con la distri-bución Wakeby, el cual utiliza el dato menor (x1), sus expresiones son:

Ecuación 1.41

Ecuación 1.42


Ecuación 1.43

1.3.7. Otros métodos de obtención de los parámetros de ajuste

Existen otros dos métodos para estimación de los parámetros de ajuste de la distribución PAG, los cuales pueden ser considerados más complicados computacionalmente y por ello no fueron aplicados en este trabajo, son el de máxima verosi-militud (Hosking y Wallis, 1987; Rao y Hamed, 2000) y el del principio de máxima entropía (Singh y Guo, 1995).

1.4. Aplicaciones numéricas

1.4.1. Registros utilizados

Los 31 registros de eventos máxi-mos anuales que se procesaron fueron integrados por Campos (2001a), exponiendo sus referencias de procedencia, así como sus pará-metros estadísticos. Recientemente, tal grupo de registros fue nuevamen-te procesado (Campos, 2013), citan-do en este trabajo sus momentos y cocientes L, así como modelo proba-bilístico más conveniente según el diagrama de momentos τ3 contra τ4; el cual se expone en la Figura 1.2. En

Figura 1.2. Ubicación de los 31 registros históricos procesadps en el Diagrama de cocientes de momentos L.


tal figura se observa que los regis-tros, cuyos puntos definidos por los cocientes τ3 y τ4 que más se aproxi-man a la distribución PAG son: 31, 2, 8, 9, 5, 12, 17, 25, 19 y 10.

1.4.2. Modelo probabilístico utilizado de la distribución PAG

En el trabajo de Campos (2001a) rela-tivo al contraste de la distribución GVE, se observa que 21 registros de los 31 procesados siguen la distri-bución Fréchet, 6 al modelo Gumbel y únicamente 4 series se ajustan a la función Weibull, que tiene fron-tera. Lo anterior, demuestra que la mayoría de los registros de crecien-tes siguen un modelo probabilístico no acotado en su extremo derecho, donde ocurren los eventos grandes.

Tomando en cuenta que las otras dos distribuciones que han sido estable-cidas bajo precepto, la Log–Pearson tipo III (WRC, 1977; Bobée y Ashkar, 1991) y la Logística Generalizada (Mansell, 2003; Shaw et al., 2012; Campos, 2013), no tienen frontera en su extremo derecho o no están acota-das, la distribución PAG que será aplicada en la predicción de crecien-tes será exclusivamente la que defina un parámetro de forma k negativo, es decir que no está acotada.

1.4.3. Medidas de la calidad estadística del ajuste

Desde mediados de la década de los años setenta se estableció el error estándar de ajuste (EEA) como una medida cuantitativa que estima la calidad estadística del ajuste y que además permite la comparación objetiva entre las diversas distribu-ciones de probabilidad que se prue-ban o ajustan. Su expresión es la siguiente (Kite, 1977):

Ecuación 1.44

en donde, n es el número de datos de la muestra, xi son los datos orde-nados de menor a mayor, son los valores estimados con la Ecuación 1.5 utilizando las ternas de paráme-tros de ajuste que se prueban, para una probabilidad de no excedencia P(X < x) estimada con la fórmula de Weibull (Benson, 1962):

Ecuación 1.45

en la cual, m es el número de orden del dato, con 1 para el menor y n para el mayor.


Por último, np es el número de parámetros de ajuste, como ya indicó, son tres.

Otro indicador cuantitativo que también se ha generalizado es el error absoluto medio (EAM), cuya expresión es (Singh y Singh, 1988):

Ecuación 1.46

Todas sus variables tienen igual significado que en la ecuación ante-rior. El EEA y el EAM tienen las unidades de la variable x. Finalmente un indicador que ha sido introducido recientemente es el error absoluto escalado medio (EAEM), con la expre-sión siguiente (Castillo et al., 2005):

Ecuación 1.47

donde, xn y x1 son los datos máximo y mínimo; tiene como ventaja funda-mental ser adimensional.

1.4.4. Ajuste de la distribución PAG con optimización numérica

Campos (2001b) desarrolló un proce-dimiento para el ajuste de la distri-

bución Wakeby por medio de opti-mización numérica con variables acotadas, que utiliza como función objetivo (FO) el EEA. Este mismo planteamiento lo aplicó a las distri-buciones GVE y Logística Generaliza-da (Campos, 2001a, 2013), utilizan-do el algoritmo de Rosenbrock de múltiples variables no restringidas (Rosenbrock, 1960; Kuester y Mize, 1973; Campos, 2003) y empleando como FO tanto el EEA como el EAM.

Ahora este mismo procedimiento se utilizó para ajustar la distribución PAG, empleando como valores iniciales del proceso de optimización numérica, los parámetros ξ, α y k del método que condujo al menor EEA y mínimo EAM, de entre los cuatro aplicados: [1] méto-do de momentos original (MOO), según ecuaciones 9 a 11 y 15 a 18; [2] método de momentos modificado (MOM), con ecua-ciones 22 a 26; [3] método de los momen-tos L (MOL), mediante ecuaciones 27 a 40 y [4] método de momentos L modificado (MLM), a través de la Ecuación 1.41 a la Ecuación 1.43. Este ajuste de la distribu-ción PAG a través de optimización numé-rica se designó OPEE y OPEA.

1.4.5. Resumen de resultados

La aplicación del modelo PAG se realizó a los 31 registros integrados


Tabla 1.1. Resultados de los cuatro métodos simples de ajuste de la distribución Pareto Ge-neralizada (PAG) y del método de optimización numérica que minimiza el EEA y el EAM, en

los modelos PAG y GVE.

NR MAParámetros de ajuste: EEA

(m3/s)EAM

(m3/s)EAEM

(ne) eval

Periodos de retorno en años

ξ α k 10 25 50 100 500 1000 10000

3 MOO 129.1 188.2 –0.0569 71.6 32.6 0.0311 592 794 954 1120 1532 1721 2407

3 MOM 71.4 318.0 0.2364 84.2 52.4 0.0500 636 788 883 964 1107 1154 1264

3 MOL 134.1 177.2 –0.0887 71.1 32.5 0.0309 587 795 963 1142 1604 1824 2659

3 MLM 68.3 405.9 0.5588 106.4 60.6 0.0578 594 674 713 739 772 779 790

3 OPEE 159.1 107.2 –0.5133 36.3 – (20) 164 631 1040 1506 2170 5021 7188 23546

3 OPEA 143.7 176.5 –0.1173 – 27.3 (4) 74 610 834 1020 1222 1758 2023 3071

3 OPGE 222.6 103.2 –0.4872 34.4 – (5) 35 645 1017 1429 2003 4384 6142 18836

3 OPGA 229.7 114.8 –0.3433 – 25.5 (2) 11 619 898 1172 1517 2718 3477 7791

5 MOO 238.0 596.6 –0.0073 155.5 62.5 0.0219 1623 2181 2605 3032 4031 4464 5921

5 MOM 238.5 595.8 –0.0080 155.5 62.5 0.0219 1623 2181 2606 3033 4034 4469 5932

5 MOL 249.6 552.8 –0.0621 147.2 64.8 0.0227 1618 2219 2697 3197 4442 5018 7119

5 MLM 238.8 584.2 –0.0266 150.9 62.7 0.0220 1626 2202 2648 3101 4187 4670 6337

5 OPEE 296.2 43308 –0.2981 91.3 – (16) 149 1732 2640 3512 4584 8119 10249 21499

5 OPEA 229.1 622.6 –0.0132 – 59.4 (4) 39 1685 2276 2728 3185 4261 4732 6326

5 OPGE 531.0 307.9 –0.4298 83.1 – (7) 85 1699 2647 3647 4988 10165 13760 37329

5 OPGA 527.5 324.1 –0.4331 – 47.6 (5) 69 1763 2770 3835 5267 10815 14683 40174

10 MOO –67.6 209.1 –0.1935 176.2 85.6 0.0425 539 867 1156 1486 2449 2965 5274

10 MOM 5.8 122.2 –0.3425 186.8 44.7 0.0222 434 724 1012 1377 2647 3451 8013

10 MOL 18.3 88.0 –0.4925 182.1 42.7 0.0212 395 712 1067 1566 3655 5207 16522

10 MLM 6.1 113.9 –0.3864 182.4 43.1 0.0214 429 734 1048 1459 2966 3965 10066

10 OPEE –9.4 109.7 –0.6355 108.8 – (5) 38 564 977 1154 1893 8782 13744 59977

10 OPEA 16.2 90.9 –0.5977 – 39.0 (5) 61 467 906 1441 2250 6107 9311 37271

y procesados por Campos (2001a, 2013) y tales resultados se pueden obtener con el autor. En la Tabla 1.1 se han concentrado los resul-tados obtenidos exclusivamente en los 10 registros en que se obtuvo un parámetro de forma negativo (k < 0); tales resultados corresponden

a cada uno de los cuatro métodos simples de ajuste de la distribución PAG, así como de los dos procedi-mientos de optimización numérica. Lo anterior, justificado por el objetivo del trabajo, orientado a contrastar la distribución PAG para predicción de crecientes.



(m3/s)EAM

(m3/s)EAEM

(ne) eval


ξ α k 10 25 50 100 500 1000 10000

10 OPGE 64.6 28.1 –1.1958 62.7 – (10) 94 387 1117 2536 5791 39629 90785 1.42·106

10 OPGA 71.2 69.6 –0.7305 – 36.7 (4) 48 469 962 1624 2721 8898 14784 79579

11 MOO 244.5 714.8 –0.1891 494.5 175.3 0.0264 2307 3412 4385 5495 8708 10422 18038

11 MOM 324.7 606.4 –0.2432 503.2 139.5 0.0210 2196 3286 4287 5473 9133 11208 21246

11 MOL 373.6 506.1 –0.3274 493.6 135.8 0.0204 2113 3262 4392 5809 10653 13665 30358

11 MLM 324.2 627.1 –0.2178 514.6 142.3 0.0214 2199 3249 4195 5295 8591 15848 18845

11 OPEE 411.0 556.7 –0.3601 372.2 – (2) 12 2408 3792 5190 6983 13358 17468 41493

11 OPEA 373.6 504.2 –0.3896 – 127.2 (4) 99 2253 3615 5021 6863 13651 18169 45890

11 OPGE 647.1 217.3 –0.8629 239.4 – (24) 197 2151 4374 7696 13730 54049 98018 712207

11 OPGA 638.9 351.0 –0.6127 – 109.8 (7) 108 2340 4132 6322 9661 25850 39505 161712

12 MOO 64.5 643.9 –0.1257 326.3 129.7 0.0258 1784 2619 3318 4081 6130 7148 11246

12 MOM 33.1 696.4 –0.0931 327.3 134.5 0.0268 1821 2647 3320 4037 5894 6783 10185

12 MOL 83.8 618.1 –0.1381 329.0 127.0 0.0253 1759 2589 3291 4062 6166 7227 11576

12 MLM 31.5 767.6 –0.0023 354.5 139.0 0.0277 1804 2512 3048 3586 4837 5377 7179

12 OPEE –7.2 673.0 –0.2168 290.3 – (9) 100 2003 3126 4138 5313 8831 10767 19751

12 OPEA 91.6 610.3 –0.1736 – 125.3 (5) 91 1819 2723 3509 4396 6917 8239 13970

12 OPGE 443.2 288.9 –0.5807 245.1 – (16) 164 1784 3133 4742 7140 18305 27412 104528

12 OPGA 399.6 365.4 –0.5479 – 122.3 (4) 74 2021 5389 8025 29088 103381

14 MOO 20.5 28.0 –0.0487 7.5 3.1 0.0186 89 118 141 165 224 251 346

14 MOM 19.2 30.5 –0.0076 7.7 3.5 0.0211 90 119 140 162 214 236 311

14 MOL 21.7 25.4 –0.1024 7.1 2.9 0.0172 88 119 144 171 243 277 411

14 MLM 19.2 32.7 0.0630 8.9 3.8 0.0231 89 115 133 150 188 203 248

14 OPEE 19.4 26.5 –0.1835 4.8 – (5) 58 95 136 171 211 326 388 657

14 OPEA 22.1 25.1 –0.1593 – 2.5 (4) 50 92 128 158 193 288 338 547

14 OPGE 34.8 13.9 –0.4537 3.0 – (7) 74 89 135 184 251 518 708 2005

14 OPGA 34.6 14.7 –0.4181 – 1.8 (7) 72 90 133 179 240 472 631 1654

17 MOO 96.2 2936.0 –0.0469 919.2 654.3 0.0454 7235 10297 12702 15186 21276 24044 33910

17 MOM 551.8 2175.8 –0.1710 923.3 500.8 0.0348 6691 9891 12667 15794 24654 29288 49292

17 MOL 775.3 1564.3 –0.3485 875.5 402.1 0.0279 6301 10069 13834 18629 35436 46133 107487

17 MLM 553.0 2110.2 –0.1956 886.9 476.7 0.0331 6691 10014 12954 16321 26149 31432 55140

17 OPEE 551.8 1886.8 –0.3521 604.8 – (11) 121 7248 11837 16437 22309 42980 56188 132385

17 OPEA 832.1 1516.1 –0.4652 – 338.5 (7) 112 7086 12142 17686 25340 56283 78625 234143

17 OPGE 1616.9 1421.4 –0.4451 675.4 – (20) 276 7118 11683 16557 23166 49158 67510 190924

Tabla 1.1. Resultados de los cuatro métodos simples de ajuste de la distribución Pareto Generalizada (PAG) y del método de optimización numérica que minimiza el EEA y el EAM, en los modelos PAG y GVE.

(Continuación)



(m3/s)EAM

(m3/s)EAEM

(ne) eval


ξ α k 10 25 50 100 500 1000 10000

17 OPGA 1610.2 1104.0 –0.6505 – 348.2 (4) 83 7250 13508 21397 33748 96563 151683 678628

19 MOO –169.1 454.9 –0.0844 198.9 145.3 0.0612 987 1514 1940 2392 3549 4097 6169

19 MOM 3.1 220.0 –0.3225 233.7 110.2 0.0464 754 1247 1730 2333 4383 5651 12622

19 MOL –11.7 175.5 –0.4831 205.5 78.3 0.0330 730 1345 2029 2985 6940 9845 30705

19 MLM 4.5 143.8 –0.5552 221.1 84.5 0.0356 676 1293 2019 3086 7908 11739 42803

19 OPEE –213.2 452.4 –0.1918 175.6 – (9) 98 1096 1801 2423 3133 5195 6299 11223

19 OPEA –14.6 168.8 –0.6128 – 67.9 (12) 146 839 1690 2738 4340 12124 18694 77529

19 OPGE 78.1 197.7 –0.5283 152.5 – (30) 257 933 1732 2644 3956 9676 14089 48253

19 OPGA 78.6 138.4 –0.7061 – 73.8 (5) 78 843 1759 2965 4929 15651 25618 130681

21 MOO 746.6 784.0 0.0535 115.7 67.4 0.0204 2445 3065 3514 3946 4891 5274 6447

21 MOM 662.8 981.1 0.1851 142.2 94.2 0.0285 2502 3042 3394 3703 4286 4488 5000

21 MOL 772.3 711.0 –0.0102 104.5 62.2 0.0188 2429 3099 3610 4125 5335 5862 7640

21 MLM 661.2 1076.3 0.2975 183.3 115.4 0.0349 2455 2890 3149 3360 3709 3815 4045

21 OPEE 733.7 782.1 –0.0098 85.5 – (2) 20 2555 3291 3853 4418 5746 6324 8273

21 OPEA 772.3 724.6 –0.0434 – 55.2 (4) 87 2527 3276 3862 4466 5942 6610 8978

21 OPGE 1138.4 425.8 –0.2556 83.6 – (1) 9 2434 3246 3989 4872 7628 9210 17014

21 OPGA 1138.4 425.8 –0.2556 – 55.7 (1) 9 2434 3246 3989 4872 7628 9210 17014

25 MOO –208.5 1205.9 –0.1054 432.2 260.7 0.0315 2934 4413 5631 6941 10378 12048 18559

25 MOM 21.3 862.8 –0.2285 438.6 172.4 0.0208 2636 4124 5476 7060 11866 14547 27216

25 MOL 76.2 673.5 –0.3666 368.5 139.8 0.0169 2512 4218 5948 8178 16170 21357 52007

25 MLM 22.2 800.4 –0.2836 388.1 151.0 0.0182 2623 4232 5760 7619 13647 17220 35666

25 OPEE 39.9 702.7 –0.4446 174.7 – (22) 207 2859 5071 7457 10704 23502 32540 93308

25 OPEA 44.8 701.0 –0.4270 – 88.9 (5) 50 2792 4893 7128 10134 21726 29759 82212

25 OPGE 501.8 501.4 –0.5554 206.3 – (7) 92 2750 4934 7484 11219 28068 41450 149945

25 OPGA 444.5 481.8 –0.5912 – 102.4 (7) 90 2712 5029 7813 11995 31725 47996 188297

Simbología:NR Número de registro. MOL Método de momentos L.MA Método aplicado en la distribución PAG. MLM Método de momentos L modificado.

(ne) Número de etapas del algoritmo de Rosenbrock.

OPEE Optimización numérica de la PAG con EEA.

eval Número de evaluaciones del algoritmo de Rosenbrock.

OPEA Optimización numérica de la PAG con EAM.

MOO Método de momentos original. OPGE Optimización numérica de la GVE con EEA.MOM Método de momentos modificado. OPGA Optimización numérica de la GVE con EAM.

Tabla 1.1. Resultados de los cuatro métodos simples de ajuste de la distribución Pareto Generalizada (PAG) y del método de optimización numérica que minimiza el EEA y el EAM, en los modelos PAG y GVE.

(Continuación)


1.4.6. Análisis global de los resultados

Con respecto a los cuatro métodos de ajuste de tipo estadístico, en general el método de los momentos L conduce a los valores menores de EEA y EAM, pues únicamente en el registro 12 el método de momentos origina un EEA menor, pero no hace mínimos ambos indicadores de calidad del ajuste. En los registros 5, 10, 17, 19 y 25 el méto-do de momentos L modificado aporta los segundos valores más bajos de EEA y EAM. Por otra parte, en relación con el método de ajuste por optimi-zación numérica, siempre conduce al menor EEA o mínimo EAM; en algunos casos con diferencias severas, como en los registros 3, 17 y 25. El EAEM reporta que en 9 de los 10 registros procesados, el método simple de los momentos L conduce al mejor ajuste, la excepción ocurre en el registro 5.

1.4.7. Contraste con el modelo GVE

Campos (2001a) encontró que el ajus-te de la distribución GVE mediante optimización numérica conduce a los valores más bajos de los indicadores EEA y EAM. Por ello, tales resulta-dos serán usados para el contraste de las predicciones obtenidas con los

seis métodos de ajuste aplicados a la distribución PAG, ya que también en este modelo tal procedimiento numérico reportó los mejores ajus-tes. En la Tabla 1.1, los resultados del modelo GVE ajustado con opti-mización numérica se indican en los renglones séptimo y octavo de cada registro y se designan por OPGE y OPGA.

1.4.8. Predicción de crecientes con el modelo PAG

En general, los dos mejores métodos simples de ajuste (< EAEM) y los de optimización numérica, conducen a predicciones similares en los perio-dos de retorno bajos (< 50 años) y en algunos registros esto se cumple hasta el intervalo de recurrencia de 100 años. Resulta común, una gran dispersión en las predicciones en los periodos de retorno mayores de 500 años, lo cual se acentúa en el inter-valo de recurrencia de 10,000 años.

Exclusivamente, en los registros 3 y 17 la distribución PAG, ajustada por optimización numérica reporta predicciones mayores que el modelo GVE en los periodos de retorno altos (> 500 años). Conviene destacar que la minimización del EEA y del EAM con optimización numérica en la


distribución PAG, en general condu-ce a predicciones similares en los intervalos de recurrencia elevados; ello quizás debido a su cola gruesa (thick tail) que destacan Stedinger et al., (1993).

1.5. Conclusiones

El ajuste de la distribución Pare-to Generalizada (PAG) mediante los tres métodos simples expuestos (momentos, momentos L y minimi-zación de una función objetivo) y sus dos variantes en cada uno, cons-tituyen un procedimiento operati-vo muy sencillo. Las predicciones que reporta la distribución PAG son similares con las obtenidas con los otros modelos, cuya aplicación ha sido establecida bajo precepto, en los periodos de retorno bajos (< 50 años) y consistentes o dentro del orden de magnitud en los intervalos de recurrencia de hasta 1,000 años. Por ello, se recomienda su aplica-ción sistemática en los análisis de frecuencia de crecientes.

Una versión más simplificada en relación con la aplicación de la distribución PAG para predicción de crecientes de diseño, puede ser su ajuste exclusivo con el método de

momentos L, que resultó ser el más exacto y su posterior minimización de los errores estándar y absoluto medio (EEA y EAM), mediante opti-mización numérica con el algoritmo de Rosenbrock, para seleccionar las predicciones del ajuste con menor EAEM.

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