ed2 practicas tema 1

TEMA 1

SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE

PRCTICAS

Dr. Alberto Gutirrez B.

Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica

Departamento de Matemticas

2 Dr. A. Gutierrez Borda Departamento de Matemticas - UNSLG

Ecuaciones Diferenciales

TRANSFORMADA DE LAPLACE

PRCTICA 1

------------------------------------------------------------------------------- Alberto Gutirrez Borda Email: [email protected]

Web: http://www.sabermatematica.blogdiario.com

1. Dadas las siguientes funciones, estudie cuales son continuas en [ . Justifica tu

respuesta.

a) ( b) ( ( c) (

d) (

e) (

En los problemas del 2 al 21, encontrar { ( } para cada una de las funciones:

2. 1 si 0 1

( )1 si 1

tf t

t

R.:

2 1( ) sF s e

s s

3. t si 0 1

( )1 si 1

tf t

t

R.: 2 2

1 1( ) sF s e

s s

4. ( ) tf t e sent R.: 2

1( )

2 2F s

s s

5. 2( ) 6 3f t t t

R.: 3 22 6 3

( )F sss s

6. (

.

7. (

8. ( | |

9. (

10. ( {

11. ( ,

12. ( ) tf t e senht R.:

1 1( )

2 2 2F s

s s

13. ( ( .

14. ( ) (2 ).cos(2 )f t sen t t R.: 22

( )16

F ss

15. 2 5( ) 3 ( 3 )tf t e t sen t

16. 2( ) cos (2 ) , nf t t t n Z



17. (

. R.:

, s > 0

18. ( ) ( )btf t ae msen nt c

19. 3( ) cos(3 ) (2 ) 1f t t t tsen t

20. 5( ) 3tf t e senh t R.:

2

3( )

5 9F s

s

21. 2( ) (6 )tf t te sen t

R.:

22

12 24( )

2 36

sF s

s

Determine la transformada de Laplace dada:

22. ,

-. R.: (

[( ]

23. ,

-. R.: (

(

24. { }. R.: (

25. { }. R.: (

( [( ]

26. Halle la transformada de Laplace de:

a) ( { (

b) ( {

c) ( {

d) Figura 1.

Figura 1.

e) Figura 2.

Figura 2.

f) ( ( ) g) ( (



h) ( ( ( ( (

27. Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones peridicas:

a)

Figura 3.

b)

Figura 4

c)

Figura 4.

d)

Figura 5.



28. La funcin gama de x se define como, 1

0

( ) , 0t xx e t dt x

: Demuestre que,

1( 1)n

n

nL t

s

, n > -1.

Sugerencia: El resultado se obtiene cuando se hace u = st en 0

n n stL t t e dt

.

29. Sea ( , evaluar { ( }.

R.: 3 3

2 2

1 1

2 2( )

2

F s

s s

30. Si ( { ( }, demuestra que { ( }

[ ( ( ].

Sugerencia: El resultado se obtiene de

y del primer teorema de

traslacin.

31. Hallar la transformada de Laplace de la funcin escalera ( , si

, .

32. Demuestre que la funcin 2

1( )f t

t no tiene transformada de Laplace.

Sugerencia: considere 1

0 1

( ) ( ) ( )st stL f t e f t dt e f t dt

. Use la definicin de

integral impropia para demostrar que 1

0

( )ste f t dt no existe. En 0 t 1,

(s > 0)st se e . Por tanto 1 1

2 2

0 0

1 1st se dt e dtt t

, la ltima integral es divergente.

En los problemas del 33 al 36, mediante el teorema de la funcin peridica, encuentra la

transformada de Laplace de la funcin peridica que se indica:

33. De la funcin serpentina, figura 6.

Figura 6. Funcin serpentina

R.:

(



34. De la funcin sierra, figura 7.

Figura 7. Funcin sierra

R.:

(

)

35. Dela funcin de onda sent, figura 8.

Figura 8. Rectificacin completa de la onda de sent.

R.: (

)

.

36. ( ( ( .

R.:

.

Escriba las funciones dadas en trmino de funciones escaln unitario. Encuentre la

transformada de Laplace de cada funcin:

37. 2 , 0 3

( )2 , 3

tf t

t

. R.: f (t) = 2 4U(t 3)

38. ( {

.

39. ( ,

40. ( ,

41. ( ,

.

R.: ( ( ( ( ( ( (

42. Figura 9.



Figura 9: Pulso rectangular

R.: f(t) = U(t a) u(t b)

Use la transformada de Laplace de las funciones descritas por las grficas:

43. Figura 10

Figura 10.

R.:

, .

44. Figura 11:

Figura 11.

Halle la transformada de Laplace de las funciones:

45. (

.

46. ( ( ( .

47. ( ( .cos(3t). R.:

48. ( . R.:

*

+

49. La funcin escalonada se define de la siguiente forma: ( si

:

a) Bosqueje la grfica de f

b) Demuestre que ( ( para todo t > 0.

c) Suponga que la transformada de Laplace de la serie que aparece en (b) se puede

aplicar trmino a trmino. Aplique la serie geomtrica para obtener el resultado

{ ( }

( .

50. En la figura 12, se muestra la grfica de la funcin f.



a) Demuestre que f puede expresarse en la forma ( ( ( para

todo t > 0.

b) Demuestre que { ( }

(

Figura 12.

51. Demuestre que .

52. Cul es la transformada de Laplace de la funcin que a cada nmero real le asigna su

parte entera?

53. Las siguientes funciones se definen sobre un intervalo y se extienden peridicamente.

Calcule su transformada de Laplace.

a) La funcin de onda cuadrada ( ,

.

b) La funcin de onda dentada (

,

c) La funcin de onda triangular ( {

.

d) La funcin de onda sinusoidal rectificada ( (

) .

54. Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) ( ( ( .

b) ( ( ( .

c) ( ( ( .

d) ( ( .

e) (

( ( .

55. Usando las propiedades de la transformada de Laplace, calcule las siguientes

integrales:

a) (

; .

b)

; .

c) (

.

56. Demuestre que { ( }

( .



TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

PRCTICA 2

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Encuentre { ( } de las sifuientes funciones:

1. 2

3 2

7 9 1( )

3 2

s sF s

s s s

. R.: 2

11 1( )

2 2

x xf x e e

2. 2

1( )

6 10F s

s s

. R.: 3( ) tf t e sent

3. 2

( )4 5

sF s

s s

. R.: 2( ) costf t e t

4.

32

2 1( )

1

sF s

s s

. R.: 2

3( ) 5 5 4

2

t t tf t t e te t e

5. 2

3( )

seF s

s

. R.: 21

( ) 2 ( 2)2

f t t U t

6. (

(

7. ( )( 1)

seF s

s s

. R.: ( 1)( ) ( 1) ( 1)tf t u t e u t

8. 2

2

1( )

2 2

s sF s

s s

.

9. (

( .

10. (

(

11. (

( ( , a y b constantes.

12. (

.

13. (

( .

14. (

.

15. (

.

16. (

( .

17.

2

4

1( )

sF s

s

. R.: 2 3

3 1( ) 1 3

2 6f t t t t

18. 2

1 1 1( )

2F s

s ss

. R.: 2( ) 1 tf t t e

19. (

.



20. 2

4( )

4 1

sF s

s

. R.: ( ) cos

2

tf t

21. 2

( )2 3

sF s

s s

. R.:

33 1( )4 4

t tf t e e

22. 2

2 4( )

2 4 3

sF s

s s s

. R.: 2 3

1 8 1( )

3 15 5

t t tf t e e e

23. 2

( )4 2

sF s

s s

R.: 2

1 1 1( ) cos(2 ) (2 )

4 4 4

tf t e t sen t

Usar el teorema de convolucin para encontrar f(t), si:

24.

1( )

1F s

s s

R.: ( ) 1 tf t e

25. 2

1( )

1F s

s s

.

26.

1( )

1 2F s

s s

. R.: 2

1 1( )

3 3

t tf t e e

27.

2

2( )

4

sF s

s

. R.:

1( ) . (2 )

4f t t sen t

28. Calcule:

a) ,

- b) ,

(

- c) ,

-

29. Use convolucin para calcular:

a) ,

( - b) ,

( - c) ,

( -, .

30. Determinar f(t) cuando ( { ( } es dada por:

a) (

) b) (

) c) (

)

31. Calcule las antitransformada de Laplace de las siguientes funciones:

a)

b) (

) c)

------------------------------------------ Dr. Alberto Gutirrez Borda Docente Principal

Universidad San Luis Gonzaga

Facultad de Ciencias

Email: [email protected]




SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

PRCTICA 3

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Utilizar la transformada de Laplace para resolver cada uno de los problemas de valores

iniciales de los problemas de 1 a 19.

1. 2tdx

x edt

, x(0) = 2.

2. 44 tdx

x edt

, x(0) = 2. R: 4 4( ) 2t tx t te e

3. 5 4 0x x x , x(0) = 1, x(0) = 0. R: 44 1

( )3 3

t tx t e e

4. 6 9x x x t , x(0) = 0, x(0) = 1. R.: 3 31 2 2 10

( )9 27 27 9

t tx t t e te

5. 2

2

d xx sent

dt , x(0) = 1, x(0) = - 1. R.:

1 1( ) cos cos

2 2x t t sent t t

6. 2

25 6 0

d x dxx

dtdt , x(0) =1, x(0) = - 2.

7. , ( ( . R.: (

)

8. costx x e t , x(0) = 0, x(0) = 0. R.: 1 1 1

( ) cos2 2 2

t tx t e t e sent

9. 2

22 2 (3 )t

d x dxx e sen t

dtdt

, x(0) = 0, x(0) = 2.

10. 3 2

3 25 7 3 3

d x d x dxx sent

dtdt dt , x(0) = 0, x(0) = 0, x(0) = -1.

11. x + 4x + x = 6x 12; x(0) = 1, x(0) = 4, x(0) = - 2.

12. x - 4x + 4x = e2t , x (0) = 0, x (0) = 0.

13. 4

40

d xx

dt , x(0) = 1; x(0) = 0 ; x(0) = -1 ; x(0) = 0. R.: ( ) cosx t t

14. 2 3 3 2 tx x x x e , x(0) = 0; x(0) = 0, x = 1.

R.: 228 1 5 1

( )9 9 18 2

t

t t tx t e e e e

15. 2

23 2 ( )

d x dxx G t

dtdt , en donde:

1 , 0 4( )

0 , 4

tG t

t

; x(0) = 0, x(0) = 0.



16. 2 ( )x x f t , en donde , 0 1

( )0 , 1

t tf t

t

, x(0) = 0.

R.: 2 2( 1)1 1 1 1 1 1

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)4 2 4 4 2 4

t tx t t e U t t U t e U t

17. 2

25 6 ( )

d x dxx F t

dtdt , donde:

2 , 0 1( )

0 , 1

tF t

t

; x(0) = 1, x(0) = 0.

18. 2

24 ( )

d xx f t

dt , en dnde ( ) . ( 2 )f t sentU t ; x(0) = 1; x(0) = 0.

R.: 1 1

( ) cos 2 2( 2 ) ( 2 ) 2 26 3

x t t sen t U t sen t U t

19. 2

2( )

d xx f t

dt , en dnde

0, 0

( ) 1, 2

0, 2

t

f t t

t

; x(0) = 0, x(0) = 1.

R.: ( ) 1 cos . ( ) 1 cos 2 . ( 2 )x t sent t U t t U t

En los problemas de 20 a 24, resuelva la ecuacin integral o integro diferencial dada.

20. 0

( ) ( )

t

f t t u f u du t . R.. ( )f t sent

21. 0

( ) ( )

t

tf t te uf t u du R.: 21 1 3 1( )

8 8 4 4

t t t tf t e e te t e

22. 0

( ) ( ) 1

t

f t f u du R.: ( )tf t e

23. 3

0

8( ) 1 ( )

3

t

f t t t u f u du R.: 2 23 1 1 1( ) cos 2 2

8 8 2 4

t tf t e e t sen t

24. 0

( ) 1 ( )t

x t sent x u du , x(0) = 0. R.: 1

( )2

x t sent tsent

En los problemas de 25 a 30, mediante transformada de Laplace resolver los problemas

con condiciones iniciales:

25. , ( ( . R.: (

(

26. ; ( ( . R.: (

(

27. ; ( ( . R.: ( (

28.

; ( ( ( ( . R.: (

(

29.

; ( ( ( ( .

R.: ( ( ( ( ( ( donde

.



30. ; ( ( .

R.: (

[( ( ]

Dado los problemas del 31 a 34, transforme la ecuacin diferencial dada para encontrar

una solucin no trivial tal que ( .

31. ( .

R.: ( ( ( ; ( .

32. ( ( .

R.: ( ( ( ; ( .

33. .

R.: ( ( ( ; ( ( .

34. ( ( .

R.: ( (

En los problemas del 35 a 38, deducir la solucin ( de las ecuaciones diferenciales

dadas, con las condiciones iniciales ( ( .

35. ( (

(

.

36. ( ( (

.

37. ( ( (

.

38. Use la ecuacin 0

1( ) ( )

tdi

L Ri i u du E tdt C

, donde i(t) es la corriente, L, R, C son

constantes para determinar la corriente i(t) en un circuito simple L-R-C; si L = 0,005H,

1R , C = 0,02F, E( t ) = 100[ 1 U(t 1)]V e i(0) = 0.

R.: 100 100( 1)( ) 20000 ( 1) ( 1)t ti t te t e U t

39. Recuerde que la ecuacin diferencial para la corriente i(t) en un circuito en serie que

contiene un inductor y un resistor es, ( )di

L Ri E tdt

, donde E(t) es la tensin

aplicada: Use la transformada de Laplace para determinar la corriente i(t) cuando i(0) =

0 y si L = 1 H, 10R , y

3, 0

2( )

30,

2

sent t

F t

t

.

R.:

310

10 21 1 10 10 3( ) cos ( )101 101 101 101 2

tti t e t sent e U t

40. Determinar la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en el cual L = 1 H,

20R , C = 0, 01F, E(t) = 120sen(10t).V, q(0) = 0 e i(0) = 0. Cul es la corriente

estable?



R.: 10 103 3

( ) 6 cos105 5

t tq t e te t , 10( ) 60 6 10ti t te sen t . La corriente del

rgimen estacionario es 6sen10t.

41. Un cuerpo que pesa 4 lbF estira un resorte en 2 pie. El peso se suelta desde un punto

que est 18 plg sobre la posicin de equilibrio a partir del reposo, y el movimiento

resultante se efecta en un medio que opone una fuerza de amortiguamiento

numricamente igual a 7/8 veces la velocidad instantnea. Use la transformada de

Laplace para determinar la ecuacin del movimiento.

R.: 7 7

2 23 15 7 15 15

( ) cos2 2 10 2

t t

x t e t e sen t

42. Use la transformada de Laplace para obtener una solucin de la ecuacin 2 tx x t

con x(0) = 0.

R.: 3 21 1

( )3 2

x t t ct

En cada uno de los problemas del 43 al 47, usando la transformacin de Laplace, hallar

la solucin de los sistemas lineales dados que satisfacen las condiciones iniciales.

43.

23

0

tdx y edt

dyx

dt

, x(0) = 2, y(0) = 0.

44.

2 4 0

2

dxx y

dt

dyx t

dt

, x(0) = 0, y(0) = 3.

45.

3

4 1

tdx x y edt

dyx y

dt

, x(0) = 1, y(0) = 2.

46.

2

2

t

t

dx dyx y e

dt dt

dx dyx y e

dt dt

; x(0) = 2, y(0) = 1.

47.

2

23 2 0

2 0

d x dx dyx y

dt dtdt

dx dyx y

dt dt

, x(0) = 0, y(0) = -1, x(0) = 0.

En cada uno de los problemas del 47 a 49, utilice la transformada de Laplace para

resolver el problema de valores iniciales.



48. , ( ( .

49. , ( ( .

En cada uno de los problemas del 50 al 55, escriba la funcin f(t) en trminos de la

funcin salto y utilice la transformada de Laplace para resolver el problema de valores

iniciales.

50. ( , ( ( , ( ,

51. ( , ( ( , ( ,

52. ( , ( ( , ( ,

53. ( , ( ( , ( ,

54. ( , ( ( , ( {

55.

,

( ( ( ( .

En cada uno de los problemas del 56 al 63, resuelva el problema de valores iniciales

utilizando la transformada de Laplace.

56. ; ( ( .

57. ; ( ( .

58. ; ( ( .

59. ( ; ( ( .

60.

( , ( .

61.

( (

.

62.

( , ( ( constante,

63.

, ( ( .

En cada uno de los problemas del 64 al 69, resuelva el problema utilizando la

transformada de Laplace.

64. .

65. ; ( ( .

66. ; ( ( .

67. ; ( ( .

68. ( ; ( .

69. ( ; ( ( .

En los problemas de 70 al 74, usando la transformada de Laplace, resuelva los

siguientes problemas de valor inicial:

70. {

( ( .



71. {

( ( .

72. {

( ( .

73. {

( ( ( .

74. {

( ( ( .

En los problemas del 75 al 82, use la transformada de Laplace para resolver los

siguientes problemas de valor inicial:

75. , ( ( .

76. , ( ( .

77. ( ( , ( ( .

78. ( , ( ( ; donde ( ,

.

79. ( , ( ( . Con ( ,

.

80. ( , ( ( .

81. ( , ( ( ( ( .

82. ( ( , ( ( .

83. Resuelva la ecuacin diferencial ( ; ( ( , para una

funcin f(t) general y para ( ( .

84. Resuelva el problema el siguiente problema de valores iniciales con trminos

independientes continuo a trozos,

{ (

; ( ( .

85. Resuelva el problema el siguiente problema de valores iniciales con trminos

independientes continuo a trozos

{

(

(

; ( ( .

86. La corriente de un circuito RLC en series est regida por el problema de valor inicial

( ( ( , ( ( , donde

( {

.

Determine la corriente en funcin del tiempo t.

87. Resuelva el siguiente problema de valores iniciales 0, con (

, ( . (Resonancia en vibraciones mecnicas, caso no forzado).

88. Resuelva el siguiente problema de valores iniciales ( , con

( , ( . Discuta la solucin en trminos de los parmetros positivos m, k,



, , Qu ocurre cuando

? (Resonancia en vibraciones mecnicas, caso

forzado).

89. La ecuacin diferencial , se conoce como la ecuacin de Bessel de

orden 0. Demuestre que Y(t) es la transformada de Laplace de la solucin de esta

ecuacin diferencial con y(0) = 1, demuestre que entonces Y satisface la ecuacin

( ( ( .

90. Mediante la transformada de Laplace resuelva el PVI de las ecuaciones:

a) (

) , ( ( ),

b) (

) ( ) , ( (

)

c) (

) ( ), ( (

)

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Dr. Alberto Gutirrez Borda Docente Principal

Universidad San Luis Gonzaga

Facultad de Ciencias

Email: [email protected]


ed2 practicas tema 1

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