Ecuaciones LinealesDefinicin ecuacin linealUna ecuacin lineal de primer orden es de la forma

Se dice que es una ecuacin lineal de variable dependiente (y)Se dice que la ecuacin lineal 1 es homognea cuando g(x)=0; si no, es no homognea.Forma estndarAl dividir ambos lados de la ecuacin 1 entre el primer coeficiente a1(x), se obtiene una forma ms til, la forma estndar de una ecuacin lineal.

Donde P(x) es el factor de integracin.El factor de integracin se obtiene de

Le podemos hacer separable

Solucin de una ecuacin lineal de primer ordeni) Ponga la ecuacin lineal de la forma (1) en la forma estndar (2)ii) Identifique la identidad de la forma estndar g(x) y despus determine el factor integrante iii) Multiplique la forma estndar de la ecuacin por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuacin resultante es automticamente la derivada del factor integrante i(y)

iv) Integre ambos lados de esta ltima ecuacinEjemploResuelva

Por lo tanto

Solucin de una ecuacin diferencial lineal No HomogneaResuelva

P(x)=3

Solucin generalResuelva

Solucin

Multiplicando el factor integrantePor la ecuacin en la forma estndar

-

u=xdu=exdxdu=dx u=ex

Ejemplo Solucin generalDetermine la solucin general de

Solucin

Ejemplo un problema con valor inicialResuelva

Aplicando y(0)=4Para x=0 y y=4

5=cSustituyendo c=5 en la solucin

Ejemplo un problema con valores inicialesResuelva

Solucin En la grfica 1 se muestra la grfica de la funcin discontinua f. Resolviendo la E.D. (Ecuacin Diferencial) para y(x) para el intervalo [0,1] y despus en el intervalo (1,).

Para x=0 y y=0

Entonces para x>1

Ecuaciones diferenciales exactas

Es posible determinar C2 as la ltima funcin es continua en x=1

Y esto implica que

Definicin ecuacin exactaUna expresin diferencial M(x,y)dx+N(xy)dy es una diferencial exacta en una regin R del plano xy si esta corresponde a la diferencial de alguna funcin f(x,y) definida en R. Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se dice que es una ecuacin exacta si la expresin del lado izquierdo es una diferencial exacta.Por ejemplo x2y3dx+x3y2dy =0 es una ecuacin exacta

Observe que si hacemos las identificaciones M(x,y)= x2y3 N(x,y)=

Teorema Criterio para una diferencial exactaSean M(x,y) y N(x,y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una regin rectangular R definida por

Entonces una decisin necesaria suficiente para que

Sea una diferencial exacta es:

Mtodo de Solucin Dada una ecuacin en la forma diferencialM(x,y)= x2y3 N(x,y)=Determine si la igualdad de la ecuacin

Es valida, si es as entonces existe una funcin f para la que

Podemos determinar f integrando M(x,y)dx mientras y se mantiene constante

Donde la funcin arbitraria g(y) es la constante de integracin. Ahora derivamos con respecto a y y suponiendo que

Se obtiene

Ya por ltimo, se integra la ecuacin respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuacin 1. La solucin implcita de la ecuacin es

Ejemplo Resolviendo una ecuacin diferencial exactaResuelva Sol N

Entonces existe una funcin

Integrando

Ejemplo Resolviendo una ecuacin diferencial exactaResuelva

Entonces existe una funcin

Ahora para variar, tomamos

Ejemplo Problema con valores inicialesResolver

Tarea La constante dar

Ecuaciones diferenciales no exactas

Algunas veces es posible encontrar un factor integrante de manera que, despus de multiplicar el lado izquierdo de

Es una diferencial exacta la ecuacin 1 es exacta si y solo si

Por regla del producto de derivacin, la ltima ecuacin es la misma que

Agrupando trminos

La hacemos separable

Integrando

Suponga que es funcion de una variable por ejemplo, en este caso,

As la ecuacin 2 se puede escribir como

Tomamos

El factor integrante es pr tanto

Multiplicando la ecuacin diferencial por

Entonces existe una funcion

Integramos

Por tanto

CENLAGE LearningComment by Aldo Castro: Libro que utiliza el profesorEjercicioDeterminar el valor de para la ecuacin en que la ecuacin diferencial es exacta y resulvala

Existe una funcin