resolucion de ecuaciones diferenciales no-lineales´ …

RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO-LINEALESCON UN ALGORITMO RESIDUAL

WILLIAM LA CRUZ ∗

Departamento de Electronica, Computacion y ControlUniversidad Central de Venezuela

Caracas, Venezuelaemail: [email protected]

RESUMENSe presenta la aplicacion de un nuevo metodo li-bre de derivadas para sistemas de ecuaciones no-lineales, en la resolucion numerica de ecuacionesdiferenciales no-lineales. Se incluyen algunosexperimentos numericos preliminares donde secomprueba que el metodo propuesto y su versionprecondicionada, son efectivos y compiten favo-rablemente con el metodo de Newton de puntosinteriores-reflexivo, implementado en la funcionfsolve del Toolbox de optimizacion de MAT-LAB.

PALABRAS CLAVEEcuaciones diferenciales no-lineales, Metodo dediferencias finitas, Sistema de ecuaciones no-lineales, Metodo de Newton, Algoritmo libre dederivadas.

1 Introducci on

En este artıculo consideramos el problema de en-contrar una funcion v : Σ 7→ R que satisfaga laecuacion en derivadas parciales no-lineal

−∇2v + p(v) = h(x, y) (1)

con condiciones de borde, donde

Σ = [a1, b1]× [a2, b2] ⊂ R2,

p : R 7→ R,

a1 < a2, y b1 < b2.

∗El autor esta soportado por el proyecto No. PI-08-14-5463-2006 del CDCH-UCV.

Muchos problemas fısicos se pueden mo-delar usando ecuaciones en derivadas parcialesde la forma (1). Por ejemplo, problemas re-lacionados con el estudio de procesos de con-veccion-difusion: ignicion termica y combustion,reaccion quımica, y crecimiento de poblacio-nes ([1, 8, 13]).

Con frecuencia no es posible encontrar lasolucion exacta de (1). En los casos que no sepuede hallar explıcitamente la solucion exacta, seutiliza un metodo numerico para aproximar el va-lor de la funcion v(x, y) en un numero finito depuntos(xi, yi) ∈ Σ. Generalmente el metodo uti-lizado para este proceso es elmetodo de diferen-cias finitas.

Si se aplica a la ecuacion en derivadas par-ciales (1) el metodo de diferencias finitas, consi-derando diferencias centrales enn = N2 puntosinternos deΣ, se obtiene una ecuacion en dife-rencias de la forma

F (u) ≡ Au + G(u) = 0, (2)

dondeA es una matriz real de ordenn, G : Rn 7→Rn es una funcion continuamente diferenciable,u = (u1, u2, . . . , un)T es un vector deRn, y ui

es el valor aproximado dev(x, y) en un punto in-terno (xi, yi) ∈ Σ. La ecuacion (2) representaun sistema de ecuaciones no-lineales conn ecua-ciones yn incognitas. De esta forma, una so-lucion del sistema de ecuaciones no-lineales (2)representa una solucion aproximada de (1) en unnumero finito de puntos internos deΣ.

Normalmente, para la resolucion del sis-tema de ecuaciones (2) se utilizan metodos tipo

FARAUTE Ciens. y Tec., 2(1): 73-81, 2007 ISSN 1698-7418Depósito Legal PP200402CA1617

73

Newton o Casi-Newton ([14, 6, 7]). El inconve-niente de estos metodos es que se tornan compu-tacionalmente costosos cuando la dimension delsistema es muy grande.

Recientemente La Cruz [9] presenta el al-goritmo NDF-SANE que es una variante de losmetodos SANE [12] y DF-SANE [11] para siste-mas de ecuaciones no-lineales. El metodo NDF-SANE es un algoritmo libre de derivadas que em-plea sistematicamente el vector residual∓F (uk)como direccion de busqueda. Estos metodos li-bre de derivadas han demostrado ser efectivos ycompetitivos en comparacion con los bien cono-cidos metodos Newton-Krylov [2, 3, 7].

El objetivo principal de este artıculo es laaplicacion del metodo NDF-SANE en la reso-lucion del sistema de ecuaciones no-lineales (2)asociado a la ecuacion diferencial no-lineal (1).

El artıculo esta estructurado de la siguienteforma. En la Seccion 2 se describe el algorit-mo NDF-SANE y su version precondicionada.En esta seccion tambien se dan algunos deta-lles de su convergencia e implementacion. Enla Seccion 3 se presentan algunas experienciasnumericas en la resolucion de ecuaciones dife-renciales no-lineales, donde se compara el com-portamiento de los metodos NDF-SANE y suversion predondicionada, con el metodo de New-ton de puntos interiores-reflexivo implementadoen la funcion fsolve del Toolbox de optimi-zacion de MATLAB ([5], [4]). Finalmente, enla Seccion 4 se dan algunos comentarios finales.

Utilizamos la siguiente notacion. La normaEuclideana la denotamos por‖ · ‖. Dada unafuncion H : Rn 7→ Rm, escribimosH ′(u) parael Jacobiano deH enu (si H es diferenciable).

2 Algoritmo Libre de Derivadas

En esta seccion describimos el Algoritmo NDF-SANE y su version precondicionada. Luego da-mos algunos detalles de la implementacion deNDF-SANE.

SeaF : Rn 7→ Rn una funcion continua-mente diferenciable enRn. Se define la funcion

merito asociada aF como

f(u) = ‖F (u)‖2. (3)

El algoritmo NDF-SANE, igual que losmetodos SANE [12] y DF-SANE [11], puedeconsiderarse como un metodo Casi-Newtondonde un multiplo de la matriz identidadαkI seutiliza como aproximacion del JacobianoF ′(x).El numero realαk puede interpretarse como unaaproximacion del inverso de un cociente de Ray-leigh de la matriz Jacobiana promedio

∫ 1

0

F ′(xk−1 + t(xk − xk−1))dt.

En el esquema de NDF-SANE se usan lossiguientes parametros:

• una sucesion de numeros positivosηk talque

∞∑

k=0

ηk < η, (4)

• α0 > 0,

• αmax lo suficientemente grande yαmin losuficientemente pequeno tales que

αmax > αmin > 0,

• γ ∈ (0, 1) lo suficientemente pequeno,

• 0 < σmin < σmax < 1 (parametros del pro-ceso de “Backtracking”).

El metodo NDF-SANE emplea sistemati-camente el vector residual∓αkF (uk) como di-reccion de busqueda. De esta forma, NDF-SANEcomienza conu0 ∈ Rn y genera los iterados

uk+1 = uk + λd− o uk+1 = uk + λd+,

dondeλ ∈ (0, 1), d− = −αkF (uk), y d+ =αkF (uk), satisfacen alguna de las siguientes de-sigualdades:

f(uk + λd−) ≤ f(uk) + ηk − λ2‖d−‖2 (5)

o

f(uk + λd+) ≤ f(uk) + ηk − λ2‖d+‖2, (6)

Resolución de ecuaciones diferenciales no-lineales con un algoritmo residual

74 FARAUTE Ciens. y Tec., 2(1). 2007

Las condiciones (5) y (6) conforman unabusqueda lineal no-monotona necesaria para ga-rantizar la convergencia de NDF-SANE.

En el Algoritmo 2.1 se describe el metodoNDF-SANE. Aquı se muestra como se generanlos iteradosuk+1 y cuando termina el proceso.

Algoritmo 2.1 (Algoritmo NDF-SANE).

Paso 0. Escogeru0 ∈ Rn, ηk, 0 < γ < 1,0 < αmin < αmax < ∞, y 0 < σmin <σmax < 1. Asignark := 0.

Paso 1. Si F (uk) = 0 parar el proceso;Paso 2. escogerαk tal que|αk| ∈ [αmin, αmax];Paso 3. asignard := −αkF (uk);Paso 4. asignarλ := 1;Paso 5. si f(uk +λd) ≤ f(uk)+ ηk− γλ2‖d‖2,

definirdk = d, e ir al Paso 8;Paso 6. si f(uk−λd) ≤ f(uk)+ ηk− γλ2‖d‖2,

definirdk = −d, e ir al Paso 8;Paso 7. (Proceso de Backtracking)

escogerλnew ∈ [σminλ, σmaxλ], asignarλ := λnew, e ir al Paso 5;

Paso 8. definir λk = λ, uk+1 = uk + λkdk,asignark := k + 1, e ir al Paso 1.

Comentarios.

(i) El Algoritmo 2.1 esta bien definido. Enefecto, por la continuidad def y dado queηk > 0, las condiciones de los Pasos 5 o 6se satisfacen con finitas reducciones deλ.

(ii) La sucesion uk generada por el Algo-ritmo 2.1 esta contenida en el conjunto ce-rrado

Ω0 = u ∈ Rn : 0 ≤ f(u) ≤ f(u0) + η .

(iii) En el Algoritmo 2.1 no es necesario almace-nar el Jacobiano deF o una aproximaciondel mismo.

(iv) Se observa que no es necesario la reso-lucion de un sistema de ecuaciones linea-les en cada iteracion para generar una di-reccion de busqueda, que es lo tıpico en losmetodos tipo Newton o Casi-Newton. Estacaracterıstica de NDF-SANE puede ser degran utilidad en la resolucion de sistemasde gran escala.

(v) En la practica, los parametros asociados conla estrategia de busqueda lineal se escogenpara reducir el numero de backtrackingstanto como sea posible, garantizando laspropiedades de convergencia del metodo.Por ejemplo, el parametroγ > 0 se escogecomo un numero muy pequeno (γ ≈ 10−4),y ηk se escoge lo suficientemente grandecuandok = 0 y se va reduciendo lenta-mente asegurando que se cumpla (4) (porejemplo,ηk = 104(1− 10−2)). Finalmente,0 < σmin < σmax son parametros clasicosen los procesos de busquedas lineales (porejemplo,σmin = 0.1 y σmax = 0.5).

Los siguientes resultados de convergenciase encuentran en La Cruz [9, Capıtulo 3].

Teorema 2.1. Asumamos queΩ0 es acotado,F es continuamente diferenciable sobre un con-junto abiertoO que contiene aΩ0, y uk es lasucesion generada por el Algoritmo 2.1. Enton-ces todos los puntos lımitesu∗ deuk satisfacen

F (u∗)T F ′(u∗)F (u∗) = 0.

Corolario 2.1. Asumamos queΩ0 es acotado,F es continuamente diferenciable sobre un con-junto abiertoO que contiene aΩ0, y uk es lasucesion generada por el Algoritmo 2.1. Supon-gamos queu∗ es un punto lımite deuk tal quepara todov ∈ Rn, v 6= 0,

vT F ′(u∗)v 6= 0.

Entonces,F (u∗) = 0.

Definicion 2.1. Si F ′(u) es definida positiva paratodo u ∈ Rn decimos que el mapeoF esestrictamente monotono. Si F es estrictamentemonotono o−F es estrictamente monotono, de-cimos que el mapeoF esestricto. Si un mapeoes estricto y admite una solucion, esta esunica(ver [14], Capıtulo 5).

Corolario 2.2. Asumamos queΩ0 es acotado,F es continuamente diferenciable sobre un con-junto abiertoO que contiene aΩ0, y uk es lasucesion generada por el Algoritmo 2.1. Si el ma-peo F is estricto, entoncesuk converge a lasolucion deF (u) = 0.

W. La Cruz

FARAUTE Ciens. y Tec., 2(1). 2007 75

Teorema 2.2. Asumamos queΩ0 es acotado,F es continuamente diferenciable sobre un con-junto abiertoO que contiene aΩ0, y uk es lasucesion generada por el Algoritmo 2.1. Supon-gamos que existe un punto lımiteu∗ deuk talqueF (u∗) = 0. Entonces las siguientes condi-ciones se cumplen:

(i) La sucesion F (uk) converge a 0.Ademas, todo punto lımite de uk essolucion deF (u) = 0.

(ii) Si existeδ > 0 tal queF (u) 6= 0 siempreque0 < ‖u−u∗‖ ≤ δ, entonces la sucesionuk converge au∗.

2.1 Version Precondicionada

A continuacion presentamos la version pre-condicionada de NDF-SANE que denominamosPNDF-SANE.

La diferencia entre los algoritmos NDF-SANE y PNDF-SANE es que en PNDF-SANEse definen las direcciones de busqueda comod = ∓αkM

−1F (uk), dondeM es una matrizsimetrica definida positiva (SDP) de ordenn.Para revisar las propiedades de convergencia dePNDF-SANE se recomienda [10].

Algoritmo 2.2 (Algoritmo PNDF-SANE).

Paso 0. Escogeru0 ∈ Rn, ηk, 0 < γ < 1,0 < αmin < αmax < ∞, 0 < σmin <σmax < 1, y una matriz SDPM de ordenn. Asignark := 0.

Paso 1. Si F (uk) = 0 parar el proceso;Paso 2. escogerαk tal que|αk| ∈ [αmin, αmax];Paso 3. asignard := −αkM

−1F (uk);Paso 4. asignarλ := 1;Paso 5. si f(uk +λd) ≤ f(uk)+ ηk− γλ2‖d‖2,

definirdk = d, e ir al Paso 8;Paso 6. si f(uk−λd) ≤ f(uk)+ ηk− γλ2‖d‖2,

definirdk = −d, e ir al Paso 8;Paso 7. (Proceso de Backtracking)

escogerλnew ∈ [σminλ, σmaxλ], asignarλ := λnew, e ir al Paso 5;

Paso 8. definir λk = λ, uk+1 = uk + λkdk,asignark := k + 1, e ir al Paso 1.

Comentarios.

(i) Con la incorporacion de la matrizM en elAlgoritmo 2.2 se pretende que la direccionde NDF-SANE se aproxime a la direccionde Newtond = −F ′(uk)

−1F (uk).

(ii) En la practica para determinar la direcciond = −αkM

−1F (uk), no se calcula la in-versa deM . Simplemented se obtiene re-solviendo el sistema de ecuaciones linealesMd = −αkF (uk).

2.2 Implementacion

Implementamos los Algoritmo 2.1 y 2.2 con lossiguientes parametros:

• ηk = θ(1− 10−2)k, donde

θ =

‖F (u0)‖2, ‖F (u0)‖2 ≤ 1,104, ‖F (u0)‖2 > 1.

• α0 = 1

• αmin = 10−10

• αmax = 1010

• γ = 10−4

• σmin = 0.1

• σmax = 0.5

El coeficiente espectral normalmente se de-fine a traves de la formula:

αk =

(st

kyk

stksk

)−1

parak ≥ 1, (7)

dondesk = uk − uk−1 y yk = F (uk)− F (uk−1).Esta expresion no es muy eficiente para calcularal coeficiente espectral. De (7) y de las definicio-nes desk, yk, y uk, podemos escribir:

stkyk

stksk

= ∓(

F (uk−1)T F (uk)− f(uk−1)

λk−1αk−1f(uk−1)

),

donde los signos “−” o “ +” se toman respectiva-mente si la direccion esdk−1 = −αk−1F (uk−1)



o si esdk−1 = αk−1F (uk−1). Por tanto, el coefi-ciente espectral se puede definir como:

αk = ∓(

F (uk−1)T F (uk)− f(uk−1)

λk−1αk−1f(uk−1)

)−1

. (8)

En el calculo deαk utilizando la ecuacion(8) se realiza un producto interno; en cambio, enla ecuacion (7) se necesitan dos productos inter-nos. Por ello, la obtencion deαk a traves de (8)es mas eficiente. En consecuencia, calculamos elcoeficiente espectral empleando (8).

Ahora, si |αk| 6∈ [αmin, αmax] reemplaza-mos el coeficiente espectral por

αk =

1 si ‖F (uk)‖ > 1,

‖F (uk)‖−1 si 10−5 ≤ ‖F (uk)‖ ≤ 1,

105 si ‖F (uk)‖ < 10−5.

Para escogerλnew en los Algoritmos 2.1 y2.2, utilizamos el siguiente procedimiento des-crito en [11]: dadoλ > 0, tomamosλnew > 0como

λnew =

σminλ si λc < σminλ,

σmaxλ si λc > σmaxλ,

λc de lo contrario,

donde

λc =λ2fc

fc + (2λ− 1)f(uk),

y

fc = maxf(uk + λd), f(uk − λd).Empleamos el criterio de parada

‖F (uk)‖ ≤ ε‖F (u0)‖, (9)

donde0 < ε << 1.

3 Experiencias Numericas

Comparamos el comportamiento numerico de lasimplementaciones en MATLAB de los algorit-mos NDF-SANE y PNDF-SANE con la funcionfsolve del Toolbox de optimizacion de MAT-LAB, para un conjunto de ecuaciones diferencia-les no-lineales. Todas las corridas se realizaron

en un Computador Pentium IV de 3.0 GHz conepsilon de maquina2× 10−16.

Para la funcion fsolve del Toolbox de op-timizacion de MATLAB empleamos la opcion:

options=optimset(’LargeScale’,’on’,...’MaxFunEvals’,10000,’MaxIter’,2000,...’TolFun’,1.0d-8,’TolX’,1.0d-8) .

La funcion fsolve , con la opcionLargeScale seleccionada conoptimset ,usa un algoritmo de gran-escala. Este algoritmoes un metodo de regiones de confianza, basadoen el metodo de Newton de puntos interiores-reflexivo descrito en [5], [4]. En cada iteracion deNewton se utiliza el metodo gradiente conjugadoprecondicionado para obtener una solucionaproximada de un sistema de ecuaciones linealesde gran-escala.

Para PNDF-SANE usamos la factorizacionLU incompleta deA como estrategia de precon-dicionamiento, es decir, la matriz precondiciona-dora esM = U−1L−1 donde las matricesL y Use obtienen con el comando de MATLAB

[L,U ] = luinc (A, 1.0d-6).

En el estudio numerico consideramos dosecuaciones en derivadas parciales (1) de gran im-portancia en el campo de la fısica (electroma-gnetismo y transporte):Ecuacion de PoissonyEcuacion de Conveccion-Difusion. A continua-cion describimos una familia particular de ecua-ciones de Poisson y otra familia de ecuaciones deConveccion-Difusion.

Problemas de Poisson

−∇2v + βv3

1 + x + y2= g(x, y) (10)

Problemas de Conveccion-Difusion

−∇2v + βv(vx + vy) = g(x, y) (11)

En todas las ecuaciones en derivadas parcia-les tomamosΣ = [0, 1]× [0, 1] y dividimos[0, 1]en N = 32 subintervalos. Consecuentemente,obtuvimos32 × 32 = 1024 puntos de red. Las

W. La Cruz


incognitas del sistema discretizado son los valo-res dev en esos puntos de red. Todas las de-rivadas se aproximaron usando diferencias cen-trales. Sustituyendo en (1) la funciong, las apro-ximaciones de las derivadas y usando las condi-ciones de bordev = 0, obtuvimos un sistemade ecuaciones no-linealesF (u) = Au + G(u),donde el numero de ecuaciones e incognitas esigual al numero de puntos de red internos yAes una matriz de ordenN2 resultante de la dis-cretizacion de la ecuacion de Poisson con el ope-rador de 5 puntos. Las incognitasv(ih, jh) seordenaron lexicograficamente en el vectoru =(u1, u2, . . . , un)T , dondeh = 1/(n + 1).

Usamos una solucion conocida de los pro-blemas (10) y (11). Esta solucion es

v?(x, y) = xy(x− 1)(y − 1).

En este caso la funcion g(x, y) queda determi-nada, ademas,u? es la discretizacion dev?. Entodos los problemas el iterado inicialu0 es el vec-tor nulo. Empleamos el criterio de parada (9) conε = 10−8.

Para todos los problemas generamos dife-rentes instancias con

β ∈ −60,−50, . . . , 50, 60.En las Tablas 1-6 mostramos en forma de-

tallada los resultados numericos para los algorit-mos NDF-SANE, PNDF-SANE yfsolve . Enestas tablas reportamos el numero de iteraciones(IT), numero de evaluaciones de la funcion (EF),tiempo de CPU en segundos (T), y el errore? = ‖u? − uk‖, dondeuk es la solucion halladapor el algoritmo. Tambien en estas tablas repor-tamos para los algoritmos NDF-SANE y PNDF-SANE, el numero de iteraciones donde se activala busqueda lineal (BL).

En la Figura 1 observamos el comporta-miento de NDF-SANE y PNDF-SANE para elproblema de Conveccion-Difusion conβ = −60.Notamos que NDF-SANE y PNDF-SANE po-seen un comportamiento no-monotono. Ademas,apreciamos que el numero de iteraciones y eva-luaciones de la funcion de NDF-SANE duplicael numero de iteraciones y evaluaciones de lafuncion de PNDF-SANE.

En las Figuras 2, 3 y 4, observamos lasolucion exacta del problema de Conveccion-Difusion con β = −60, y la solucion encon-trada por NDF-SANE, PNDF-SANE yfsolve ,respectivamente. Se observa que las solucioneshalladas por NDF-SANE y MATLAB correspon-den a la solucion con signo contrario de la so-lucion exacta. Mientras que la solucion halladapor PNDF-SANE se aproxima muy bien a la so-lucion exacta. Este mismo hecho se repite paralos problemas de Poisson y Conveccion-Difusioncon todos los valores deβ.

β IT EF BL T e?

-60 527 1071 207 17.031 2.19e0-50 462 924 187 14.719 2.19e0-40 480 926 173 14.672 2.19e0-30 574 1184 239 18.750 2.20e0-20 273 501 84 8.016 2.20e0-10 492 1076 223 17.203 2.20e0

0 456 950 182 15.094 2.20e010 546 1096 211 17.422 2.20e020 466 848 153 13.453 2.20e030 580 1250 261 19.828 2.20e040 418 868 169 13.766 2.21e050 438 940 194 14.953 2.21e060 407 733 121 11.672 2.21e0

Tabla 1. Resultados de NDF-SANE para los pro-blemas de Poisson

β IT EF BL T e?

-60 93 147 26 2.438 8.96e-3-50 89 143 26 2.375 7.53e-3-40 90 144 26 2.391 6.11e-3-30 92 146 26 2.422 4.69e-3-20 98 152 26 2.563 3.32e-3-10 99 153 26 2.563 2.07e-3

0 107 161 26 2.688 1.40e-310 100 154 26 2.531 2.01e-320 103 157 26 2.609 3.25e-330 92 146 26 2.406 4.65e-340 90 144 26 2.375 6.11e-350 89 143 26 2.375 7.59e-360 94 144 24 2.391 9.10e-3

Tabla 2. Resultados de PNDF-SANE para losproblemas de Poisson



β IT EF T e?

-60 3 4100 141.594 2.16e0-50 3 4100 140.031 2.16e0-40 3 4100 140.234 2.16e0-30 3 4100 140.094 2.16e0-20 3 4100 136.422 2.17e0-10 3 4100 135.438 2.17e0

0 3 4100 136.563 2.17e010 3 4100 137.469 2.17e020 3 4100 136.078 2.17e030 3 4100 140.500 2.17e040 3 4100 139.969 2.17e050 3 4100 140.141 2.17e060 3 4100 140.734 2.18e0

Tabla 3. Resultados defsolve para los proble-mas de Poisson

β IT EF BL T e?

-60 508 1018 203 14.813 2.20e0-50 634 1330 278 19.344 2.20e0-40 463 977 197 14.234 2.20e0-30 577 1071 194 15.594 2.20e0-20 511 1015 203 14.734 2.20e0-10 483 961 182 14.297 2.20e0

0 456 950 182 13.828 2.20e010 570 1172 230 17.078 2.20e020 544 1084 197 15.797 2.20e030 591 1083 188 15.766 2.20e040 602 1256 255 18.547 2.20e050 656 1328 268 19.344 2.20e060 505 961 177 14.000 2.20e0

Tabla 4. Resultados de NDF-SANE para los pro-blemas de Conveccion-Difusion

β IT EF BL T e?

-60 247 349 50 5.438 1.40e-3-50 195 295 49 4.453 1.40e-3-40 162 253 44 3.844 1.40e-3-30 141 234 45 3.547 1.40e-3-20 122 216 46 3.281 1.40e-3-10 109 173 31 2.703 1.40e-3

0 107 161 26 2.500 1.40e-310 101 140 18 2.125 1.40e-320 99 133 16 2.016 1.40e-330 106 138 15 2.125 1.40e-340 111 129 9 2.000 1.40e-350 111 129 9 1.984 1.40e-360 110 126 8 1.953 1.40e-3

Tabla 5. Resultados de PNDF-SANE para losproblemas de Conveccion-Difusion

β IT EF T e?

-60 6 7175 192.453 2.17e0-50 6 7175 192.469 2.17e0-40 6 7175 195.953 2.17e0-30 6 7175 192.234 2.17e0-20 5 6150 177.547 2.17e0-10 5 6150 178.969 2.17e0

0 3 4100 131.844 2.17e010 5 6150 175.266 2.17e020 5 6150 174.938 2.17e030 6 7175 195.047 2.17e040 6 7175 192.469 2.17e050 6 7175 193.203 2.17e060 6 7175 191.359 2.17e0

Tabla 6. Resultados defsolve para los proble-mas de Conveccion-Difusion

Figura 1. Comportamiento de NDF-SANE yPNDF-SANE para el problema de Conveccion-Difusion conβ = −60.

W. La Cruz


Figura 2. Solucion exacta y solucion encon-trada por NDF-SANE para el problema de Con-veccion-Difusion conβ = −60.

Figura 3. Solucion exacta y solucion encon-trada por PNDF-SANE para el problema de Con-veccion-Difusion conβ = −60.

Figura 4. Solucion exacta y solucion encontradapor fsolve para el problema de Conveccion-Difusion conβ = −60.

Los resultados numericos indican quefsolve siempre realiza menos iteracionesque los algoritmos NDF-SANE y PDF-SANE.Tambien muestran que para todos los problemasresueltos, PDF-SANE posee el menor numerode evaluaciones de la funcion y menor tiempode CPU. El numero de busquedas lineales dePNDF-SANE es menor que el de NDF-SANE.En general, el uso de la estrategia de precondicio-namiento mejora significativamente el comporta-miento de NDF-SANE. En efecto, para todos losproblemas se observo una mejora del orden del77.23% en iteraciones, 82.89% en evaluacionesde la funcion, 85.61% en busquedas lineales y82.06% en tiempo de CPU.

4 Comentarios Finales

Presentamos la aplicacion de un nuevo metodo,denominado NDF-SANE, para sistemas de ecua-ciones no-lineales, en la resolucion de ecuacionesdiferenciales no-lineales. Por su simplicidad, elmetodo es muy facil de implementar, requiere unmınimo de almacenamiento, y, por eso, es muyatractivo para la resolucion de sistemas de granescala (el codigo en MATLAB escrito por el au-tor esta disponible si es requerido).



Comparamos el comportamiento numerico,en la resolucion de ecuaciones diferenciales no-lineales, de los metodos NDF-SANE y su versionpredondicionada, con el metodo de Newton depuntos interiores-reflexivo implementado en lafuncion fsolve del Toolbox de optimizacion deMATLAB. Nuestros resultados preliminares in-dican que el comportamiento numerico de NDF-SANE y su version predondicionada, es signifi-cativamente mejor que el defsolve .

Por ultimo, constatamos, para los proble-mas estudiados, que la incorporacion de unaestrategia de precondicionamiento a NDF-SANEmejora notablemente su comportamiento. Pero,¿este resultado sera el mismo para todo pro-blema? y ¿que tecnica de precondicionamientose debe utilizar? Estas interrogantes plantean lossiguientes trabajos futuros de gran importancia:

• Disenar estrategias de precondicionamientoque se combinen eficientemente con NDF-SANE.

• Disenar un procedimiento que determine latecnica de precondicionamiento que se de-berıa emplear, segun el problema que se de-sea resolver.

Referencias

[1] R. Aris, The Mathematical Theory of Dif-fusion and Reaction in Permeable Cata-lysts, volume I, II, (Oxford: ClarendonPress, 1975).

[2] P.N. Brown and Y. Saad, Hybrid Krylovmethods for nonlinear systems of equati-ons. SIAM Journal on Scientific Compu-ting, 11, 1990, 450–481.

[3] P.N. Brown and Y. Saad, Convergencetheory of nonlinear Newton-Krylov algo-rithms. SIAM Journal on Optimization, 4,1994, 297–330.

[4] T.F. Coleman and Y. Li, On the con-vergence of reflective newton methods forlarge-scale nonlinear minimization subject

to bounds. Mathematical Programming,67(2), 1994, 189–224.

[5] T.F. Coleman and Y. Li, An interior, trustregion approach for nonlinear minimiza-tion subject to bounds.SIAM Journal onOptimization, 6, 1996, 418–445.

[6] J.E. Dennis and R.B. Schnabel,Numeri-cal Methods for Unconstrained Optimiza-tion and Nonlinear Equations. (Englew-oog Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1983).

[7] C.T. Kelley, Iterative Methods for Linearand Nonlinear Equations. (Philadelphia,PA: SIAM, 1995).

[8] J.P. Kernevez,Enzyme Mathematics. (Am-sterdam: North-Holland, 1980).

[9] W. La Cruz, Algoritmos de Bajo Costopara Minimizacion Irrestricta y Sistemasde Ecuaciones no Lineales. Trabajo deAscenso para Agregado (Caracas: Uni-versidad Central de Venezuela, Noviembre2005).

[10] W. La Cruz, Derivative-Free ResidualAlgorithm for Solving Weakly NonlinearEquations. Sometido enIMA Journal ofNumerical Analysis, 2007.

[11] W. La Cruz, J.M. Martınez, and M. Ray-dan, Spectral residual method without gra-dient information for solving large-scalenonlinear systems.Mathematics of Com-putation, 75, 2006, 1449–1466.

[12] W. La Cruz and M. Raydan, Nonmonotonespectral methods for large-scale nonlinearsystems.Optimization Methods and Soft-ware, 18, 2003, 583–599.

[13] J.D. Murray, Mathematical Biology, vo-lume I, II. (Berlin: Springer-Verlag, 2003).

[14] J.M. Ortega and W.C. Rheinboldt.,Ite-rative Solution of Nonlinear Equations inSeveral Varibles. (New York: AcademicPress, 1970).

W. La Cruz


resolucion de ecuaciones diferenciales no-lineales´ …

Documents