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Electricidad y Magnetismo Modelo de Maxwell

07/01/2009 EyM 2-1

Ecuaciones Generales:Modelo de Maxwell

Contenido

• Introducción.• Modelo macroscópico y densidad de carga.• Carga puntual y densidades superficiales y lineales de carga.• Intensidad de corriente. • Densidades volumétricas y superficiales de corriente.• Conservación de la carga. Ecuación de continuidad.• Ecuaciones de Maxwell. Fuentes rotacionales del campo EM.• Fuentes de tipo divergencia del campo EM.• Forma integral de las ecuaciones de Maxwell.• Relaciones constitutivas de los medios. • Conductividad. Ley de Ohm. Relajación.• Unidades y dimensiones. Sistema Internacional de unidades.• Definición de los campos. Energía EM. Teorema de Poynting.• Condiciones de discontinuidad o de salto.• Ejercicios.


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Ecuaciones Generales

• En este tema se va a tratar del estudio del campo electromagnético.• En el capítulo anterior se ha definido el concepto de campo y se ha

visto algunos ejemplos: campo de temperaturas, de velocidades, etc. en los que cierta característica física (la temperatura, la velocidad....) se expresa como función de las coordenadas y posiblemente también del tiempo.

• En los casos de campos de temperatura, presión, velocidad, etc. el concepto de campo es una herramienta matemática útil pero de la que se puede prescindir sin alterar el contenido físico de los fenómenos.

• Sin embargo en el caso del campo electromagnético, además de ser una herramienta útil, posee también contenido físico del que no se puede prescindir si se quiere comprender bien la naturaleza de los fenómenos involucrados

Ecuaciones Generales

• Para comprender la anterior afirmación imaginemos dos antenas, una emisora y otra receptora situadas en el vacío.

• Supóngase que una antena emite energía electromagnética durante un breve instante de tiempo de forma que el tiempo que tarda la energía en llegar al receptor es mucho mayor que el tiempo de emisión.

• De esta forma, cabe plantearse ¿quién es el portador de esta energía durante el tiempo de "vuelo" de una antena a la otra?

• La respuesta es que la energía la transporta el campo electromagnético, y por tanto, dicho campo tiene entidad física y la noción del campo electromagnético es la base de la teoría moderna del electromagnetismo.


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Principio de Acción Próxima y a Distancia

A finales del siglo XVIII Coulomb formuló su conocida ley sobre la interacción eléctrica. La Ley de Coulomb, y otras que surgieron posteriormente en relación con la interacción magnética y que eran muy parecidas a dicha ley, eran a su vez iguales en esencia a la ley de la gravitación de Newton y por tanto sujetas a la misma interpretación que se daba a ésta en el siglo XVIII. A saber que "la interacción entre objetos a distancia se produce instantáneamente y sin participación alguna del medio", lo que se conoce como principio de acción a distancia.

Ahora bien, de acuerdo con la Física moderna no existen interacciones instantáneas; el papel del medio auxiliar no puede ser ignorado ya que es el medio el que contiene precisamente la energía. La participación del medio en la transmisión de interacciones electromagnéticas se conoce como "principio de acción próxima".

M. Faraday fue el primero que sugirió la idea de la existencia de un campo electro- magnético (y por tanto en acuerdo con el principio de acción próxima). Finalmente fue J.C. Maxwell quien formuló las leyes fundamentales del electromagnetismo que se conocen como Ecuaciones de Maxwell.

Contenido



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Modelo Macroscópico y Carga

En los sucesivos apartados se va a desarrollar el modelo de Maxwell de las interacciones electromagnéticas desde el punto de vista macroscópico, es decir, que los objetos materiales considerados contienen un número prácticamente infinito de partículas en cuyo caso no se considera la estructura microscópica de la materia y ésta se supone como un medio continuo.

La carga es una propiedad fundamental de las partículas elementales que forman la materia.

De hecho toda materia está compuesta fundamentalmente de protones, neutrones y electrones, y dos de estas partículas tienen carga.

Sin embargo, aunque a escala microscópica la materia se componga de gran número de partículas cargadas, las potentes fuerzas asociadas con estas partículas quedan bastante ocultas a una observación macroscópica.

El motivo es que hay dos clases de carga: positiva y negativa, y un pedazo ordinario de materia contiene aproximadamente cantidades iguales de cada clase de carga.

Cuantificación y Conservación de la Carga

Desde el punto de vista macroscópico la carga se refiere a la carga neta, o al exceso de un tipo de carga sobre el otro. Así que cuando decimos que un objeto está cargado, lo que queremos decir es que tiene un exceso de carga, ya sea un exceso de electrones (negativos) o un exceso de protones (positivos). La unidad de carga es el Coulombio [Coul] en el sistema MKS. El símbolo utilizado para representar la carga es "Q" o "q".Una importante observación experimental en relación con la carga es que ésta no puede crearse ni destruirse. Dicho con otras palabras: la carga total de un sistema cerrado no puede cambiar. Desde el punto de vista macroscópico las cargas pueden reagruparse y combinarse en distintas formas, sin embargo "la carga neta en un sistema cerrado se conserva ". Este enunciado se conoce como el Principio de conservación de la carga y le veremos con más detalle en un próximo apartado.Es bien sabido que la carga esta cuantificada: se encuentra en múltiplos de una carga básica que es la del electrón. En otras palabras si se examina una carga con detalle, se verá que su magnitud es un múltiplo entero de la magnitud de la carga electrónica.


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Densidad de Carga

Para los fines de la física macroscópica, el que la carga sea discreta no plantea problemas, simplemente porque la carga electrónica tiene una magnitud de 1.6019x10-19 Coul. que es extremadamente pequeña. De esta forma las cargas macroscópicas están compuestas de un número muy grande de cargas electrónicas.Esto a su vez significa que cualquier volumen de una distribución de carga

macroscópica, por pequeño que sea, contiene una infinidad de electrones. Entonces a efectos macroscópicos una distribución de carga se puede describir en términos de una densidad de carga, definida como el límite de la carga por unidad de volumen a medida que el volumen se vuelve infinitesimal.

Desde luego este límite tiene sentido pues el volumen infinitesimal es muy pequeño desde el punto de vista macroscópico pero aún muy grande desde el punto de vista microscópico, conteniendo así gran número de partículas y, por tanto, la naturaleza discreta de la carga no se percibe.

( )vd

dqVqr

V ′=′∆

∆=′

→′∆ 0limrρ

dv’

dqr′r

O

Contenido



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Carga en una región. Carga Puntual

Conocida la densidad de carga en una región podemos calcular la carga contenida en un cierto volumen V de la misma como:

( )∫∫∫∫∫∫ ′′′′==

VVvdrdqq rρ

dv’dq

r ′rO V’

Cualquier distribución de cargas finita, observada desde puntos muy alejados de la misma, se “ve” como si fuera puntual. Aparentemente solo hay carga en un punto rq . Por tanto la densidad de carga será nula en todos los puntos salvo en rq y la carga total en un volumen que contenga al punto deberá ser el valor de la carga de la distribución: q. La densidad de carga deberá manejarse matemáticamente usando la función δde Dirac como: ( ) ( )qrrqr rrr

−′=′ δρ

( ) ( ) ( ) qvdrrqvdrrqvdrV qV qV

=′−′=′−′=′′ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ′′′ 44 344 21

rrrrr

1

δδρrrq

O V

q

Función δ de Dirac

Se define la función δ de Dirac en una dimensión δ(x-x´), como el ente matemático que cumple:

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

∈′′∉′

=′−∫ CxxfCx

dxxxxfC ,,

,,0δ

donde f(x) es cualquier función.

Una propiedad importante de la de δ Dirac es que: ( )⎩⎨⎧

∈′∉′

=′−∫ CxCx

dxxxC ,,1

,,0δ

que puede obtenerse haciendo f(x)=1 en la definición de la δ.Aunque δ(x) no es una función en sentido ordinario y sólo tiene sentido bajo el signo integral se la puede imaginar como límite de una sucesión de funciones rectángulo Π de base cada vez más estrecha y altura cada vez mayor pero conservando el área unidad.

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=∏

2,,12,,0

εε

εε

x

x( ) ( )∏

→

= εδεlim

0x

ε1

2ε

2ε−


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Función δ de Dirac

La generalización a tres dimensiones conducirá a δ(r) cumpliendo:

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

∈′′∉′

=′−∫∫∫ VrrfVr

vdrrrfV

rr

rrrr

,,,,0

δ

Finalmente como ejemplos de aplicación de la función se tiene la representación de funciones singulares como cargas puntuales, densidades superficiales, lineales, etc.

Así la densidad de carga originada por una carga puntual situada en rq es

( ) ( )qrrqr rrr−= δρ

Densidad Superficial

En muchas situaciones las cargas se distribuyen no en volumen sino sobre unasuperficie. En tales casos conviene definir una función de densidad superficialde carga como:

( )Sd

dqSqr

Ss ′=′∆

∆=′

→′∆ 0limrρ dS’

S’O

dqr ′rDe manera que la carga sobre la superficie es:

( )∫∫∫∫ ′′′′==

S sSSdrdqq rρ

Si la superficie es una superficie coordenada ui’ =cte entonces la densidad superficial puede expresarse como una densidad volumétrica usando la función δ de Dirac: ( ) ( ) ( )

i

iis h

uurr,−′=′

δρρ rr

Ou1

u’2

u3

u2

( )rs ′rρ ( ) ( )=′

−′=′ ∫∫∫∫∫∫ ′′ Vii

sVVd

huurVd

,δρρ r

( ) ( ) ( ) qSdrSdduhh

uurS sS u ii

i

iis

i

=′′=′⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−′= ∫∫∫∫ ∫ ′′

r

44 344 21

r ρδρ

1

,


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Densidad Lineal

En algunas situaciones resulta útil el considerar que la carga se distribuye a lolargo de una línea. En tales casos puede definirse una densidad lineal de cargacomo: ( )

lddq

lqr

l ′=′∆

∆=′

→′∆ 0limrλ dl’

C’Odq

r ′r

De manera que la carga sobre la línea es:( )∫∫ ′′

′′==CC

ldrdqq rλ

Si la línea es una línea coordenada intersección de dos superficies coordenadasui’ =cte, uj’ =cte entonces la densidad lineal puede expresarse como una densidad volumétrica usando la función δ de Dirac: ( ) ( ) ( ) ( )

ji

jjii

hhuuuu

rr,, −−

′=′δδ

λρ rr

u1

u’1

u3

u2

( )r ′rλ

u’3

( ) ( ) ( ) =′−−′=′ ∫∫∫∫∫∫ ′′ V jjiiVVduuuurVd ,, δδλρ r

( ) ( ) ( ) ( ) qldrldduhh

uuduh

huur

CC u jjj

jj

u iii

ii

ji

=′′=′

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−′= ∫∫ ∫∫ ′′

r

444 3444 2144 344 21

r λδδλ

1

,

1

,

Ejercicios

a) Calcular la carga total de una distribución volumétrica de densidad uniforme ρ0 en una esfera de radio R.

( )∫∫∫∫∫∫ ′′′′==

VVvdrdqq rρ ( ) 0ρρ =′rr ϕθθ ′′′′′=′ ddrdsenrvd 2

( ) 03

0 34 ρπρρ Rvdvdrq

VV=′=′′= ∫∫∫∫∫∫ ′′

r

b) Calcular la carga total de una distribución superficial de densidad uniforme σ0 en un disco circular de radio R.

( )∫∫∫∫ ′′′′==

S sSSdrdqq rρ ( ) 0σρ =′rs

r ϕρρ ′′′=′ ddSd

( ) 02

0 σπσρ RSdSdrqSS s =′=′′= ∫∫∫∫ ′′

r


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Ejercicios

c) Calcular la carga total de una distribución lineal carga, de longitud infinita sobre el eje z’, de densidad:

( )21 azo

′+=

λλ

d) Calcular la carga total de una distribución volumétrica indefinida de densidad: ( ) are

aQr ′−−=′ 2

3πρ r

( )( )

aazazd

azldrq

zC

πλλλλ 01

020 tan

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

=′′+

=′′=∞

∞−

−∞

−∞=′′ ∫∫

r

ϕθθ ′′′′′=′ ddrdsenrvd 2

Qararea

aQ

rdreaQddrdsenre

aQq

ar

r

ar

r

ar

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′−−′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

=′′−=′′′′′−=

∞

′−

∞

=′

′−

=′ =′

∞

=′

′− ∫∫ ∫ ∫

0

222

3

0

223

2

0 0 0

223

1222

4

4ππϕθθ

π

π

ϕ

π

θ

Ejercicios

Calcular la densidad volumétrica de carga y la carga total de una distribución superficial uniforme de densidad σ sobre una esfera de radio R

Calcular la densidad volumétrica de carga y la carga total de una distribución lineal uniforme de densidad λ sobre una circunferencia de de radio R en el plano z=0

( ) ( )1=−= rhRrδσρ

( ) ( )( ) σππσϕθθσδρπ

ϕ

π

θ

ε22

2

0 0 0

2 422 RRddrdsenrRrdvqR

rV

==−== ∫ ∫ ∫∫∫∫= =

+

=

( ) ( )( )( )11 ==

−=

zhhzR

ρ

δρδλρ ( ) ( )( ) λππλϕρρρλδρπ

ϕ

ε

ε

ε

ερ

RRdzddRdvqz

R

RV

2122

0

0

0

==−== ∫ ∫ ∫∫∫∫=

+

−=

+

−=

( ) ( )( )rh

Rr=−

−=θ

πθδλδρ 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) λπππλϕθθπθδλδρπ

ϕ

π

θ

ε

ε

RRsenddrdsenrr

RrdvqR

RrV

22222

0 0

2 ==−

−== ∫ ∫ ∫∫∫∫= =

+

−=

Esféricas

Cilíndricas


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Contenido


Intensidad de Corriente

La carga en movimiento constituye una corriente eléctrica y el proceso por el que la carga se transporta se llama conducción. Para ser precisos la intensidad de corriente I se define como la cantidad de carga que se transporta a través de una cierta sección por unidad de tiempo:

dtdqI =

a) En un metal, la corriente es transportada completamente por los electrones mas externos de los átomos, mientras que los iones positivos pesados permanecen fijos en la estructura cristalina. En condiciones de estado estacionario los electrones entran por un lado del metal y salen por el otro produciendo una corriente, pero el metal en conjunto es eléctricamente neutro.

b) En un electrolito la conducción se lleva a cabo tanto por los iones positivos como por los negativos pero predominará la conducción por el ión más rápido. Ya que los iones con carga opuesta se mueven en sentidos opuestos contribuirán a producir corriente en el mismo sentido (como se deduce de la definición de corriente) .

El sentido en el que se mueve el portador positivo se toma como sentido de la corriente.

Sobre la naturaleza de la corriente cabe hacer las siguientes precisiones:


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Conducción en cuerpos metálicos y electrolitos

-

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + + + + +Red iónica fija

- Electrón libre+ +

++

++-

--

-

+

+

Metales Electrolitos

Cálculo de la Intensidad de Corriente

Entonces en el tiempo dt cada portador recorrerá una distancia vdt así que la carga dQ que atraviesa dS’ durante el intervalo dt será q veces el número de portadores en el volumen (v dt)·dS’.

SdvNqdt

SddtvqNdI ′⋅=′⋅

=rr

rr

Y si hubiese más de un tipo de portador de carga:

SdvqNdIi

iii ′⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

rr

La cantidad entre corchetes tiene dimensiones de corriente por unidad de área y se llama densidad (volumétrica) de corriente, se mide en Amperios/metro cuadrado [A/m2] y se escribe: ∑=

iiii vqNJ rr

La corriente a través de cualquier superficie finita S’ que corte a las líneas de flujo de J será: ( )∫∫ ′

′⋅′=S

SdtrJIrrr ,

Vamos a calcular la intensidad de corriente a través de un elemento de área dS’. Sea N el número de portadores por unidad de volumen.

Sea un medio en el que solo hay un tipo de portadores con carga individual q y con velocidad común de desplazamiento v.

+

++

rvdt

Sd ′r

Sddtv ′⋅rr


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Contenido


Densidad Volumétrica de Corriente

Una distribución de corriente se caracteriza pues por un campo vectorial que especifica en cada punto no solo la intensidad del flujo de corriente sino también su dirección.Se define la densidad volumétrica de corriente en un punto como un vector Jdirigido según la línea de flujo de corriente que pasa por el punto, de magnitud igual a la carga que en la unidad de tiempo cruza la unidad de área de la superficie ortogonal a la línea de flujo en un entorno del punto. El sentido es el de movimiento de las cargas positivas.

S’

I dSdI

SI

St

qJ

SS=

∆∆

=∆∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

r

jaJJ ˆrr

=

vector unitario tangente a la trayectoria de lascargas en el sentido de movimiento de laspositivas.

ja

( )∫∫ ′′⋅′=

SSdtrJIrrr ,


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Sdr

Ejercicio

Una corriente de intensidad I se distribuye uniformemente por un hilo conductor cilíndrico de longitud infinita y radio R. Determinar su densidad volumétrica de corriente.

R

z

Jr

zJJ ˆ=r

2ˆˆ RJdSzzJSdJISS

π=⋅=⋅= ∫∫∫∫rr

zRIJ ˆ2π

=r

Corriente Superficial

Imaginemos ahora una densidad de corriente cuyas líneas de flujo no estén distribuidas en un volumen sino sobre una superficie laminar. Por tanto, al igual que se definían densidades superficiales de carga, se podrá definir una densidad superficial de corriente JS .Se define la densidad superficial de corriente en un punto como un vector JSdirigido según la línea de flujo de corriente que pasa por el punto, de magnitud igual a la carga que en la unidad de tiempo cruza la unidad de longitud de la línea ortogonal a la línea de flujo en un entorno del punto. El sentido es el de movimiento de las cargas positivas.

lddI

lI

lt

qJ

llS ′=′∆

∆=

′∆∆

∆=

→′∆→′∆ 00limlim

r

( ) ( ) ( ),iiS uurJrJ −′=′ δrrrrSi la corriente superficial circula por la superficie u´i puededefinirse una densidad volumétrica como

La corriente total será

( ) ( )

( )∫

∫ ∫∫∫

′

′

′⋅′=

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′−=′⋅′=

C S

jju iiui

iiSS

ldnrJ

duhnduhh

uuJSdrJIj i

ˆ

ˆ

rr

rrrr δC’S’

$n

dl’


07/01/2009 EyM 2-14

Ejercicio

Sobre una semiesfera (r=a, z>0) se tiene una distribución volumétrica de carga ρ constante. Si a dicha distribución se le hace girar a una velocidad angular ω constante alrededor del eje z, determinar: a) la densidad de corriente generada, b) la corriente total.

a) Aparecerá una densidad volumétrica de corriente J. La corriente total serápor lo que la densidad superficial de corriente en módulo será:∫ ∫ ⋅=

rl l rdldlJIθ

φθ ˆr

vdtdl

dldtdldldldl

dldtdldV

dldldt

dQ

dldldIJ

r

r

rrr

ρρρρ ϕ

θ

ϕθ

θθθ

======r

ϕθρωϕρρ ˆsinˆ rvvJ ===rr

b) La corriente total será:

( )

( )3

cos3

ˆˆsinˆ3

0

30 00 0

2

22

aa

drrdrdldlJIa

r

a

r r

ρωθρω

θϕϕθρωϕ

π

ππ

θθ θ

=−=

=⋅=⋅= ∫ ∫∫ ∫ = == =

r

x

ϕ

θ

vr

z

ry

ω

Ejercicio

Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un anillo de carga superficial ρs cul/m2 con radio a y altura h, que rota a una velocidad angular ω0rad/s

mAavJ sss /ˆ0ϕωρρ ==rr

AhadzJn

cteSuperficiednJI s

h

sC s 00ˆˆ:

ˆ ωρϕϕ

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

=⋅= ∫∫ lr

ρs cul/m2

ω0 rad/sz

ah


07/01/2009 EyM 2-15

Ejercicio

( )θθ ˆJJ =r

( ) ( ) ( ) ( )θπθθπθ sin2sin2 RIJIRJ =⇒=

Calcule la densidad de corriente en régimen estacionario que aparece sobre la superficie de una esfera de radio R centrada en el origen del sistema de la figura cuando por el hilo situado en el eje z de la figura circula una corriente I que intersecta a la superficie esférica.

Para que la corriente total sea I

Por la simetría esférica de la figura, la densidad de corriente en la superficie de la esfera debe ser de la forma

R

z

x

y

I

Ejercicio

La figura muestra una corriente estacionaria de intensidad I0 que primero circula por un hilo de espesor despreciable y después por la superficie lateral de un cono conductor cuyo eje coincide con el hilo. El ángulo del eje con la generatriz es α. Calcule cuánto vale el módulo de la densidad de corriente superficial en el cono en función de z.


07/01/2009 EyM 2-16

Contenido


Ecuación de Continuidad

La densidad de corriente J y la densidad de carga ρ no son cantidades independientes, sino que están relacionadas en cada punto por una ecuación diferencial llamada ecuación de continuidad.

La ecuación de continuidad expresa la ley de conservación de la carga, o sea, el hecho de que la carga ni se crea ni se destruye a nivel macroscópico.

Consideremos una superficie S’ cerrada. Tomemos el convenio habitual de que el sentido de la normal es hacia el exterior del volumen V’ encerrado por S’.

El flujo de J a través de S’ mide la disminución de la carga en el interior de S’. Por tanto puede escribirse:

( ) ( )∫∫∫∫∫ ′′′′−=−=′⋅′

VSVdtr

dtd

dtdQSdtrJ ,, rrrr ρ

dV

dqrr

O V’S’

$n

rJ

Si S’ no cambia con t entonces:

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫ ′′′

−=−=⋅VVS

dVt

trdVtrdtdSdtrJ

∂∂ρρ ,,,

rrrrr


07/01/2009 EyM 2-17

Ecuación de Continuidad

Si aplicamos el teorema de Gauss podemos reescribir el primer miembro de laecuación anterior como:

( ) ( )∫∫∫∫∫ ′′′′⋅∇=′⋅′

VGaussSVdtrJSdtrJ ,, rrrrr

Por tanto podrá reescribirse la ecuación como:

( ) ( ) 0,, =′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅∇∫∫∫ ′V

Vdt

trtrJ∂

∂ρ rrr

Dado que el volumen V’ es arbitrario la ecuación anterior implica que la funciónsubintegral sea idénticamente nula. Por tanto:

( ) ( ) 0,, =+⋅∇t

trtrJ∂

∂ρ rrr

Contenido



07/01/2009 EyM 2-18

Ecuaciones de Maxwell

Se denomina punto ordinario del espacio a todo aquel en un entorno del cual laspropiedades físicas del medio son continuas.

En una región del espacio existe un campo electromagnético cuando las acciones y efectos mutuos entre una ρ y una J, en todo punto ordinario del mismo, estén descritos por cuatro campos vectoriales:

E (Intensidad de campo Eléctrico), D (Inducción Eléctrica), B (Inducción Magnética) y H (Intensidad de campo Magnético)

tales que cumplen las siguientes relaciones, denominadas ecuaciones de Maxwell:

( ) ( )

( ) ( ) ( )t

trDtrJtrH

ttrBtrE

∂∂

∂∂

,,,

,,rr

rrrr

rrrr

+=×∇

−=×∇

Las ecuaciones anteriores establecen las fuentes de tipo rotacional del campo E-M.

Contenido



07/01/2009 EyM 2-19

Divergencia de los vectores de Campo

Las fuentes tipo divergencia del campo pueden obtenerse de las ecuaciones de Maxwell (fuentes rotacionales).

Se ha visto en los ejercicios que la divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es idénticamente cero. Calculamos la divergencia de los dos miembros de la primera ecuación de Maxwell:

( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−∇=×∇⋅∇

ttrBtrE

∂∂ ,,

rrrr ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−∇=

ttrB

∂∂ ,0

rr

En los puntos ordinarios B y sus derivadas son continuas por lo que podemos aplicar el teorema de Schwarz e intercambiar el orden de derivación respecto al espacio y al tiempo. Por tanto: ( ) 0=⋅∇− B

tr

∂∂

E integrando respecto al tiempo: tiempoelencteB =⋅∇r

La evidencia experimental indica que el valor de la constante en el tiempo es nula (las líneas de B son cerradas y no hay fuentes ni sumideros) por lo que:

0=⋅∇ Br

Divergencia de los vectores de Campo

Aplicando la divergencia a los dos miembros de la segunda ecuación se obtiene:

( )( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇+⋅∇=×∇⋅∇

ttrDtrJtrH

∂∂ ,,,

rrrrrr ( )D

tJ

rr⋅∇+⋅∇=

∂∂0

Si se tiene en cuenta la ecuación de continuidad:t

J∂∂ρ

−=⋅∇r

( ) 0=−⋅∇ ρ∂∂ Dt

r

Integrando respecto al tiempo: tiempoelencteD =−⋅∇ ρr

La evidencia experimental indica que la cte en el tiempo es nula (Las líneas de D salen de las cargas) por lo que:

ρ=⋅∇ Dr

Por tanto no existen fuentes de tipo divergencia de la Inducción magnética, ésta es solenoidal y sus líneas de campo son cerradas.

Las fuentes tipo divergencia de la Inducción eléctrica son las densidades volumétricas de carga, por lo que las líneas de inducción eléctrica son abiertas, empezando y terminando en las cargas.


07/01/2009 EyM 2-20

Contenido


Forma Integral de las Ec. de Maxwell

Considerando una superficie regular S apoyada sobre un contorno cerrado C, puede calcularse el flujo sobre S de los dos miembros de la primera ecuación:

dSS

C

$n ( ) SdtBSdE

SS

rr

rr⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅×∇ ∫∫∫∫ ∂∂

Aplicando el teorema de Stokes al primermiembro: ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇

CSldESdErrrr

En el caso de que la superficie S no se mueva (no cambie con el tiempo) puedereescribirse el segundo miembro como:

tSdB

tSd

tB B

SS ∂∂

∂∂

∂∂ Φ

=⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫∫∫

rrrr

Por tanto:t

SdBt

ldE BSC ∂

∂∂∂ Φ

−=⋅−=⋅ ∫∫∫rrrr

que es la Ley de Inducción de Faraday:

tmef B

∂∂Φ

−=...


07/01/2009 EyM 2-21


Considerando de nuevo una superficie regular S apoyada sobre un contorno cerrado C, puede calcularse el flujo sobre S de los dos miembros de la segunda ecuación:

dSS

C

$n ( ) SdtDSdJSdH

SSS

rr

rrrr⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⋅×∇ ∫∫∫∫∫∫ ∂

∂

Aplicando el teorema de Stokes al primermiembro: ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇

CSldHSdHrrrr

En el caso de que la superficie S no se mueva (no cambie con el tiempo) puedereescribirse el segundo término del segundo miembro como:

∫∫∫∫ ⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛SS

SdDt

SdtD rrrr

∂∂

∂∂

Por tanto: ∫∫∫ ⋅+=⋅SC

SdDt

IldHrrrr

∂∂ que es la Ley de Ampere generalizada.


Si se considera ahora una superficie regular cerrada S que encierra un volumen V y se integra en dicho volumen la ecuación de la divergencia de la inducción eléctrica D se obtiene: ∫∫∫∫∫∫ =⋅∇

VVdVdVD ρ

r

que es la Ley de Gauss que indica que el flujo total de D sobre una superficie cerrada S es igual a la carga total encerrada por dicha superficie.

dV

V S

$n

Dr

dS

y aplicando el teorema de Gauss:QdVSdD

VS==⋅ ∫∫∫∫∫ ρ

rr

De forma análoga, considerando la ecuación de la divergencia de la inducción magnética B se obtiene:

0=⋅=⋅∇ ∫∫∫∫∫ SGaussVSdBdVBrrr

que indica que el flujo total de B sobre una superficie cerrada es cero, o lo que es lo mismo, que no existen cargas magnéticas que puedan crear el campo.


07/01/2009 EyM 2-22

Contenido


Relaciones constitutivas de los medios

Las ecuaciones de Maxwell establecen dos relaciones independientes entre los vectores del campo electromagnético.

Las relaciones adicionales del modelo expresan la influencia del medio en las relaciones entre los campos y se denominan relaciones constitutivas del medio.La forma general de estas relaciones es:

( )( )BEHH

BEDDrrrr

rrrr

,

,

=

=

Cuando los campos no son muy intensos estas relaciones se simplifican de forma que D es solo función de E y H solo de B.

( )( )BHH

EDDrrr

rrr

=

=

Para tener un sistema de ecuaciones que permitan obtener los campos se requieren dos ecuaciones adicionales entre los vectores de campo.


07/01/2009 EyM 2-23


La naturaleza de estas relaciones depende de las características del medio. A este respecto los medios se clasifican en:

• isótropos o anisótropos, • homogéneos o inhomogéneos•lineales o no lineales.

Un medio es isótropo si las propiedades físicas del mismo son iguales en todas las direcciones de observación.

Un medio es homogéneo si sus propiedades físicas son iguales en todos sus puntos.

El medio es lineal si las relaciones constitutivas correspondientes lo son.

Esto último implica p.e. que D sea función de E pero no de E2, E3 etc.


Espacio Vacío (lineal, isótropo y homogéneo): Los vectores solo difieren en una constante

BH

EDrr

rr

0

0

1µ

ε

=

=

Los valores de las constantes dependen del sistema de unidades adoptado. Se denominan permitivad dieléctrica y permeabilidad magnética del vacío respectivamente.

Medios Isótropos: D es paralelo a E y H es paralelo a B siempre.

Homogéneos: las relaciones entre los vectores son constantes en todos los puntos.

BH

EDrr

rr

µ

ε1

=

=

Las relaciones ke = εr= ε / ε0 y km =µr=µ / µ0 son independientes del sistema de unidades empleado y se denominan permitividad dieléctrica relativa y permeabilidad magnética relativa. Dependen solo del medio

Inhomogeneos: las relaciones entre los vectores, la permitivad y permeabilidad, son función del punto considerado.

( )

( )Br

H

ErDr

rr

rrr

µ

ε1

=

=


07/01/2009 EyM 2-24


Medios Anisótropos: Los vectores D y E y B y H son solo paralelos a lo largode ciertas direcciones. Puede en general suponerse que cada componentede D es función de las componentes de E.

zyxz

zyxy

zyxx

EEEDEEEDEEED

333231

232221

131211

εεεεεεεεε

++=++=++=

Las componentes εjk lo son de un tensor.

Homogéneos: los tensores ε y µ son constantes.

HB

EDrr

rr

µ

ε

=

=

Inhomogéneos: las componentes de los tensores son función del punto considerado. ( )

( )HrB

ErDrrr

rrr

µ

ε

=

=

Polarización y Magnetización

En general los procesos electromagnéticos internos en los medios materiales están tan equilibrados que de por si no crean campo, a nivel macroscópico. La excepción son los materiales ferromagnéticos cuyos campos se generan precisamente por procesos internos espontáneos.Bajo la acción de campos externos se altera el equilibrio de los campos internos. Se produce una reorientación de los átomos y moléculas lo que produce un campo adicional que se superpone al exterior aplicado.

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

Er

+-

electron

nucleo

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

Br

Un proceso análogo en el campo magnético exterior se denomina magnetización.Este fenómeno se denomina polarización del medio.


07/01/2009 EyM 2-25

Polarización y Magnetización

Sea E la intensidad de campo eléctrico. La inducción eléctrica en el vacío será:

EDrr

00 ε=

Pero en un medio material se observa una inducción distinta D de manera que se define la polarizabilidad o polarización eléctrica del medio P como:

0DDPrrr

−=Por tanto la polarizabilidad tiene la misma dimensión que la inducción eléctrica.

Del mismo modo se introduce el concepto de magnetización o polarización magnética. Si para una intensidad H la inducción en el vacío es

HBrr

00 µ=

y en el medio material es B, llamamos magnetización a la diferencia

0BBMrrr

−=La magnetización tiene pues la misma dimensión que la inducción magnética.

Susceptibilidad

En general los procesos de polarización y magnetización transcurren independientemente, es decir el primero no depende del campo magnético ni el segundo del campo eléctrico, por lo que:

( )( )BMM

EPPrrr

rrr

=

=

En los medios isótropos los vectores P, E y D (asi como los M, H y B) son colineales (paralelos) por lo que se puede escribir

BM

EPm

e

rr

rr

0

0

µχ

εχ

=

=

donde los coeficientes adimensionales χe y χm se denominan susceptibilidad eléctrica y susceptibilidad magnética del medio.

Pueden escribirse por tanto las relaciones:

( )( ) 00

00

1

1

µµχµµ

εεχεε

rm

re

=+=

=+=


07/01/2009 EyM 2-26

Contenido


Ley de Ohm. Conductividad

Si hay cargas libres en el seno del campo electromagnético existirá una corriente de conducción que en cada punto se caracterizará por el vector densidad de corriente J.

Experimentalmente se observa que la densidad de corriente que se establece en un cierto medio material como resultado de un campo eléctrico es proporcional al propio campo eléctrico. Esto se expresa mediante la relación:

EJrr

σ=que se conoce como Ley de Ohm.

A σ se le conoce como conductividad del medio.

Esa es la razón por la cual a la ley de Ohm junto con las ecuaciones D = D(E) y B = B(H) se les llame ecuaciones constitutivas o de estado.

Formalmente la conductividad σ del medio material caracteriza a éste frente a los fenómenos de conducción al igual que ε y µ lo caracterizan frente a fenómenos de polarización y magnetización respectivamente.


07/01/2009 EyM 2-27

Relajación

Teorema: En una región del espacio con una conductividad no nula ni infinita no puede existir una distribución de carga permanentemente.Este teorema es consecuencia de las leyes de Ohm y de conservación de carga.A partir de la ecuación de continuidad y teniendo en cuenta la ley de Ohm:

( ) 00

=+⋅∇⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=+⋅∇t

EEJt

J∂∂ρσ

σ∂∂ρ r

rr

r

Si el medio es homogéneo σ y ε serán constantes por lo que:

00

=+⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=⋅∇=⋅∇

=+⋅∇ρ

εσ

∂∂ρ

ρε∂∂ρσ

tEDt

Err

r

Integrando respecto al tiempo se obtiene:

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

τρ

εσρρ trtrtr expexp, 00

rrr

donde ρ0 es la densidad de carga en t=0 y τ = ε/σ se denomina tiempo de relajación.

Caracterización de los Materiales

Las constantes ε, µ y σ de los materiales dependen generalmente de la temperatura y de la frecuencia de los campos alternos con los que se trabaje. También pueden depender de la presión, especialmente si se trata de gases.

Siendo εr y µr las permitividades y permeabilidades relativas de las sustancias, para el vacío se tiene que εr = 1 mientras que para el aire εr =1,0006 ≅ 1. Ocurre que para cualquier material εr > 1 siempre. El rango de variación de la mayoría de los materiales con aplicaciones electromagnéticas varía entre 1 < εr < 10. En los buenos conductores εr = 1 al igual que en el vacío.

Según el valor de µr los medios se dividen en diamagnéticos (µr < 1) o paramagnéticos (µr > 1) pero en ambas clases de materiales con valores muy cercanos a la unidad. Si µr >> 1 el material se llama ferromagnético. Los materiales ferromagnéticos, además, no son lineales.

La carga disminuye en el interior de la región, apareciendo en la superficie que limita esta con un medio con σ = 0, donde τ = ∞ .

El tiempo de relajación es el tiempo transcurrido hasta que la densidad de carga cae a 1/e su valor inicial.


07/01/2009 EyM 2-28


Para los conductores se cumple que τ << 1 o bien que σ >> ε lo que quiere decir que las cargas se difunden rápidamente hacia la superficie.

Los aislantes o (dieléctricos) son sustancias en que los electrones están fuertemente ligados a las moléculas constituyentes de forma que el proceso de conducción está muy restringido (y predomina mas bien el proceso de polarización).

En los aislantes resulta que τ >> 1 o bien que ε >> σ, y las cargas se difunden con mucha lentitud.

Aún hay otros materiales en que ε y σ son comparables y por tanto τ ≅ 1, tal es el caso de los semiconductores y los electrolitos. En estos materiales las propiedades son intermedias entre conductores y aislantes.

El tiempo de relajación nos sirve para caracterizar a los materiales frente al proceso de conducción. Según esto la materia se divide en conductores de electricidad y aislantes. Los conductores son sustancias que, como los metales, contienen gran cantidad de carga libre (electrones) que son los responsables del proceso de conducción.


Agua destilada 1 81 10-6 sTierra arenosa 1 3.45Cuarzo fundido 1 3.8 10 díasPolietileno 1 2.26Teflon 1 2.04Mica 1 7Cobre 0.9999 1 1.5 10-19 sPlata 0.9999 1 1.3 10-19 sAluminio 1.0002 1 2.5 10-19 sHierro 5.5 1Ferrita Ni-Zn 2.5 1Mumetal 100 1

MATERIAL µr εr τ

A título comparativo se da la siguiente tabla de valores de σ, ε, µ para algunos materiales.

Se puede ver que µr ≅ 1 para todos los materiales excepto los ferromagnéticos y que εr = 1 para los buenos conductores.


07/01/2009 EyM 2-29

Ejercicio

La figura muestra la variación con el tiempo de la densidad volumétrica de carga para diversos valores de σ. Escriba los valores extremos de σcorrespondientes

t

ρ0

σ

σ =

σ =t

ρ0

σ

σ =

σ =

0

∞

Contenido



07/01/2009 EyM 2-30

Unidades y Dimensiones

La realización de medidas exige la necesidad de fijar unidades para realizarlas. La dificultad del establecimiento de unidades y dimensiones en Electromagnetismo surge del hecho, a diferencia de lo que ocurre p.e. en Mecánica, de que en la formulación de las leyes aparecen constantes fundamentales con dimensiones. Así de las ecuaciones de Maxwell se deduce que las magnitudes ε0 y µ0 están relacionadas como:

segmvacioluzvelocidad 8

00 1031 ×≅=εµPor tanto no solo existe una relación numérica entre µ0 y ε0 sino también dimensional ya que ha de tener dimensiones de velocidad. El valor de esta velocidad que hemos adelantado es precisamente el de la luz en el vacío. Las primeras medidas realizadas para determinar esta relación lo fueron por Weber y Kohlrausch y significaron un puente de unión entre la luz y el electromagnetismo.

001 εµ

Los fenómenos electromagnéticos van ligados a efectos mecánicos y térmicos tales como fuerzas, disipación de potencia, etc. A este respecto son bien conocidas las fuerzas entre dos cargas q1 y q2 y por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas I1 e I2, separadas r en el vacío:

221

041

rqqF

πε=

rII

lF 210

2πµ

=


En vista a las relaciones anteriores pueden seguirse dos caminos:

1) Se escoge un valor cómodo y sin dimensiones para ε0 o para µ0. El otro se obtiene de . Y de las expresiones de la fuerza se obtienen las dimensiones de q o I según los casos. Con esta forma de proceder se originaron los sistemas de unidades electrostático y electromagnético según se escogiese el valor fácil para ε0 o µ0 respectivamente.

001 εµ=c

2) Se escogen dimensiones para ε0 y µ0 con lo que queda un grado de libertad para elegir una magnitud electromagnética q o I como fundamental, junto con las magnitudes mecánicas.

El segundo camino es el adoptado internacionalmente por acuerdo de la Comisión Electrotécnica Internacional de 1935. Allí se adoptó la carga como magnitud fundamental y el Culombio como unidad para medirla. Con ello se adopta en definitiva el sistema MKSQ.

Además no suelen referirse las unidades directamente a las fundamentales sino que se van definiendo unidades prácticas de utilización técnica con referencia a otras ya derivadas.


07/01/2009 EyM 2-31


La relación entre las unidades de carga y de corriente es inmediata ya que:

dtdQI =Por tanto:segundo

CulombioAmperio1

11 =

Para µ0 se ha adoptado el valor µ0 = 4π 10-7 , siendo sus unidades:

[ ][ ][ ][ ] 2

22

2

20 culmKg

segcul

segmKg

I

rrF ⋅

=⋅

==µ

Inmediatamente se obtiene para ε0 :9

7160

20 1036

1104109

11 −− =

⋅⋅⋅==

ππµε

c

[ ] [ ][ ] 3

22

2

20

2011

mKgsegcul

culmKg

segmc ⋅

⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

µε

De la ecuación obtenemos:RIW 2= [ ] [ ][ ] 22 1

11AmpWat

IWR =Ω⇒=

De la ecuación obtenemos:SlR

σ1

= Siemensm

mhommunidad ==

Ω= 2

11 σ


De la ecuación V = IR se obtiene: VoltioAmpVunidad =Ω⋅=1

De se deduce:( )∫∫ ⋅=S

SdrJIrrr

21 mAmpJunidad =

r

De la ley de Ohm :EJrr

σ=m

Voltmm

AmpEunidad =⋅Ω= 21r

De la ley de inducción de Faraday :dt

dimef BΦ−=....

WebersegVoltunidad B =⋅=Φ1

Por tanto como :∫∫ ⋅=ΦSB SdB

rr

21m

WeberBunidad =r

De la ley de Ampere :IldHC

=⋅∫rr

mAmpHunidad =

r1

De la ley de Gauss :QSdDS

=⋅∫∫rr

21mCulDunidad =

r


07/01/2009 EyM 2-32


Teniendo en cuenta la expresión de la capacidad : VQC =

FaradioVoltCulCunidad ==1

2

22222

1mKgsegCul

mNewtonCul

JulioCul

segWatCul

AmpAmp

VoltCulFaradio

⋅⋅

=⋅

==⋅

==

Y las unidades de ε0 : [ ]m

FaradiomKgsegcul

=⋅⋅

= 3

22

0ε

Análogamente de la ecuación :LIB =Φ HenrioAmp

WeberLunidad ==1

2

2

2

2

2 CulmKg

CulsegJulio

AmpsegWat

AmpsegVolt

AmpWeberHenrio ⋅

=⋅

=⋅

=⋅

==

Y las unidades de µ0 : [ ]m

HenrioCul

mKg=

⋅= 20µ

Contenido



07/01/2009 EyM 2-33

Definición de los Campos E y B

Al postular las ecuaciones de Maxwell no se ha dado una definición de los vectores sino que solo se han establecido las relaciones entre ellos.

Las relaciones entre E y D por una parte y entre H y B por otra han sido fijadascompletamente al determinar los valores y dimensiones de ε0 y µ0. Ello permitetener que definir solo dos de los vectores, que van a ser E y B.

La naturaleza física de E y B se determina a través de experimentos que permitan su medida en relación con efectos mecánicos (en particular fuerzas).

Es fácil comprobar que las dimensiones de ρE son las de una fuerza por unidad de volumen:

[ ] 34443 mNewton

mJulios

msegWat

mVoltsegAmp

mVolt

mCulE ==

⋅=

⋅⋅==

rρ

Por tanto si se introduce una densidad de carga ρ, distribuida en un volumen V, en el seno de un campo E sobre la carga se ejercerá una fuerza:

∫∫∫=V

dVEFrr

ρ


Así, si se introduce una carga q en el seno de un campo E sobre aquella aparece una fuerza F de manera que se define E como:

qFE

q

rr

0lim→

=

donde el límite indica que la carga de prueba debe ser lo más pequeña posible para que no altere el campo que se desea medir.

Por tanto, al introducir una carga puntual q en el seno de un campo E la fuerza sobre dicha carga será: ( ) ( )qV q rEqdVErrqF rrrrrr

=−= ∫∫∫ δ

Análogamente se puede comprobar que las dimensiones de JxB son de fuerza por unidad de volumen:

[ ] 3422 mNewton

msegVoltAmp

mWeber

mAmpBJ =

⋅⋅==×

rr

Por tanto si consideramos una distribución de corriente J en el seno de un campo B este ejercerá una fuerza sobre la distribución:

[ ]∫∫∫ ×=V

dVBJFrrr


07/01/2009 EyM 2-34


Si consideramos una carga puntual q que se mueve con velocidad v en el seno del campo aparecerá una fuerza sobre la carga de valor:

( )[ ] ( )qV q rBvqdVBvrrqF rrrrrrrr×=×−= ∫∫∫ δ

y se puede definir B como el vector que satisface la anterior ecuación. Es por tanto la fuerza que actúa sobre la unidad de carga debida al movimiento de la misma.

La fuerza neta que aparece sobre la carga puntual se debe tanto al campo Ecomo al B , si la carga se mueve, resultando la conocida ecuación de la fuerza de Lorentz:

( ) ( )qqme rBvqrEqFFF rrrrrrr×+=+=

Ejercicio

Calcular la fuerza que ejerce una carga puntual Q en el origen de coordenadas sobre una distribución superficial de carga uniforme de densidad ρs0 sobre un casquete esférico de radio r y θ≤θ0. ¿Para que valor de θ0>0 se anula la fuerza?. Represente su variación con θ0.

Ev

r

Q

dSs0ρEl campo creado por la carga puntual se obtiene aplicando el Teorema de Gauss a una esfera de radio r y centro en la carga

( ) ( ) ( )rErdSrEdSrrrEQSdDEsfEsfEsf

2000 4ˆˆ πεεε ∫∫∫∫∫∫ ==⋅==⋅

rr

( ) rr

QrE ˆ4 2

0πε=

r

La fuerza sobre la carga asociada a la diferencial de superficie será:

( ) rr

ddsenrQdqrEFd s ˆ4 2

0

20

πεϕθθρ

==rr ( ) ∫∫∫∫ ==

Ss

SrddsenQdqrEF ˆ

4 0

0 ϕθθπερrr

Para hacer la integral hay que expresar el vector en componentes cartesianas. Las integrales de las componentes x e y se anulan por simetría (verificar haciendo las integrales). La componente z resulta:


07/01/2009 EyM 2-35

Ejercicio

zsenQsenzQddsenzQF sssz

ˆ42

ˆ2

cosˆ4 0

2

0

0

0

2

0

02

0 00

00

0 θερθ

ερϕθθθ

περ

θπ

ϕ

θ

θ=== ∫ ∫= =

r

La fuerza vale cero para θ0 = π

F

θ0

02θsen

π0

La representación gráfica del módulo de la fuerza es:

0cosˆ4

2

0 0

2

0

0 0

∫ ∫= ===

π

ϕ

θ

θϕθϕθ

περ ddsenxQF s

x

r

0ˆ4

2

0 0

2

0

0 0

∫ ∫= ===

π

ϕ

θ

θϕθϕθ

περ ddsensenyQF s

y

r

Energía Electromagnética

Debe recordarse que los experimentos de Joule pusieron de manifiesto una relación entre la corriente que circula por un conductor, la resistencia del mismo y la potencia que se disipa en forma de calor. El resultado, conocido como ley de Joule, es: RIPd

2=Conviene formular la ley en forma puntual válida para pequeños elementos. Consideraremos elementos de volumen un forma de pequeños cilindros tales que la dirección de la corriente coincida con el eje del cilindro.

Sr

∆l∆

Jr

SlR

SlR

∆∆

=⇒=σσ11 SJSJSJSdJI

S

rrrrrr∆∆=∆⋅=⋅= ∫∫∆ ||,,

Por lo tanto: ( ) VJSlSJPd ∆=

∆∆

∆=σσ

22 1

22

EEJJJJV

Pd σσσ

=⋅=⋅

==∆

rrrr

teniendo en cuenta la ley de Ohm


07/01/2009 EyM 2-36


Para definir la energía electromagnética admitimos como fundamental el principio de conservación de la energía. Aplicado aquí será:

Consideremos un volumen V rodeado por una superficie S. Suponemos que en V hay un campo electromagnético, que el medio tiene una conductividad σy que de acuerdo con la ley de Joule se disipará una potencia:

∫∫∫ ⋅=Vd dVEJP

rr

dV

V S

nσ

dS

Por la 2ª ecuación de Maxwell será: tDHJ∂∂r

rr−×∇=

Y por tanto: ( ) dVEtDdVEHP

VVd

rr

rr∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅×∇=

∂∂

Como además: ( ) HEEHHErrrrrr

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

( ) ( )

( )dVHEdVEtDdVH

tB

dVEtDdVHEdVHEP

VVV

VVVd

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

×⋅∇−⋅−⋅−=

=⋅−×⋅∇−⋅×∇=

rrrr

rr

rr

rrrr

∂∂

∂∂

∂∂

Llamamos vector de Poynting a: HEPrrr

×=

( )EnergiadtdPerdidas −=


Podemos reescribir la ecuación anterior de la potencia disipada como:

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−=⋅+=⋅∇+

VSdVd dVHtBE

tDSdPPdVPP

rr

rr

rrr

∂∂

∂∂

Teniendo en cuenta que: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⋅=⋅=⋅ DE

tEE

ttEE

tDE

rrrrr

rr

r

21

21

∂∂ε

∂∂

∂∂ε

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⋅ BH

ttBH

rrr

r

21

∂∂

∂∂y

( )dt

dWdVBHDEdtdSdPP

VSd −=⋅+⋅−=⋅+ ∫∫∫∫∫rrrrrr

21

donde llamamos energía electromagnética W a: ( )∫∫∫ ⋅+⋅=V

dVBHDEWrrrr

21

denominado teorema de Poynting

El teorema de Poynting expresa la ley de conservación de la energía estableciendo que la disminución de energía electromagnética en un región se debe a disipación de potencia en forma de calor (efecto Joule) y al flujo hacia el exterior del vector de Poynting. Ello implica transferencia de energía hacia el exterior asociada al flujo del vector de Poynting.


07/01/2009 EyM 2-37


Comprobemos que dimensionalmente la definición anterior de energía electromagnética es correcta, así como que las dimensiones del vector de Poynting son de densidad de energía:

[ ] JuliossegWatsegAmpVoltmmCul

mVoltdVDE =⋅=⋅⋅==⋅ 3

2

rr

[ ] JuliossegWatsegVoltAmpmm

Weberm

AmpdVBH =⋅=⋅⋅==⋅ 32

rr

[ ] [ ] 2mWat

mAmp

mVoltHEP ==×=

rrr

Ejercicio

Por el interior de un hilo conductor cilíndrico de radio a y longitud infinita circula una corriente estacionaria I uniformemente distribuida por su sección transversal. Obtenga el valor de la densidad volumétrica de corriente y el de la intensidad de campo eléctrico si la conductividad es σ. Calcule la intensidad de campo magnético sobre la superficie del cilindro. Calcule el flujo del vector de Poynting por unidad de longitud sobre la superficie del cilindro. Compruebe que es igual a las pérdidas que se producen por efecto Joule.

zaIzJJ z ˆˆ 2π

==r

zaIJE ˆ2σπσ

==r

r

ISdtDSdJldH

tt SSC=⋅

∂∂

+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫r

rrrrr

ϕπ

ϕϕϕϕ π

ϕϕ ˆ

2ˆˆ 2

0 aIHIadH

adldHH

=⇒=⇒⎭⎬⎫

==

∫r

r

ra

C

z

( )ρσπσ

ˆ2 32

2

−=×=×=a

IHJHEPr

rrrr

Jr

Er

Hr


07/01/2009 EyM 2-38

Ejercicio

( )

RIa

IaI

dzda

IFlujoInfFlujoSupSdPzS

22

22

2

1

0

2

0 32

2

1100

ˆˆ2

−=−=−+=

=⋅−++=⋅ ∫ ∫∫∫ = =

πσσπ

ϕρρρσπ

π

ϕ

rr

Y la potencia disipada por efecto Joule es

222 11

aIRIPd πσ

==

( )dt

dWdVBHDEdtdSdPP

VSd −=⋅+⋅−==⋅+ ∫∫∫∫∫rrrrrr

210

Ya que E, D, H y B no dependen de t no hay variación de W dentro del cilindro.

Contenido



07/01/2009 EyM 2-39

Condiciones de salto (discontinuidad)

Las ecuaciones de Maxwell se postularon en los puntos ordinarios del espacio. En general se tendrán conductores y dieléctricos de distinta naturaleza por lo que será frecuente tener discontinuidades con el consiguiente cambio de los parámetros que caracterizan al medio. Al haber puntos no ordinarios la validez de las ecuaciones no queda garantizada, cabe esperar que los campos presenten discontinuidades

Se pretende por tanto formular matemáticamente las discontinuidades que pueden presentar los vectores del campo electromagnético.Si bien desde el punto de vista macroscópico cada medio se caracteriza por sus propios parámetros, y por tanto la superficie de separación implica un cambio brusco de los mismos, vamos a imaginar una zona de transición en la que los parámetros cambian rápidamente pero de forma continua. Con esta idea las Ecs.Maxwell serán validas en dicha región y podremos averiguar que ocurre en el límite cuando la hacemos desaparecer al comprimirla.

(1) (2)

222 σµε111 σµε

(1) (2)

222 σµε111 σµε

Condiciones de salto de B

Integramos la ecuación en el volumen diferencial indicado en la figura.0=⋅∇ Br

Aplicando el teorema de Gauss:

LateralFlujoSdBSdBSdBS

+⋅+⋅==⋅∫∫ 22110rrrrrr

( ) ( )ndSndSSdndSndSSd ˆˆ,,ˆˆ 2211 ==−==rr

Por lo tanto: ( ) 0ˆ12 =+⋅− LateralFlujodSnBBrr

Tomando el límite, haciendo tender el volumen tenderá a la superficie de separación.

0→∆h

El flujo lateral tenderá a cero (salvo que B se hiciese infinito).

Por lo tanto: ( ) 0ˆ12 =⋅− dSnBBrr ( ) 0ˆ12 =⋅− nBB

S

rrNN BB 21 =

Las componentes normales de B son continuas a través de la superficie de separación de dos medios.

Por convenio la normal a la superficie se toma desde el medio 1 hacia el medio 2.

n

dSh∆

(2) 222 σµε

(1) 111 σµε1n

2n


07/01/2009 EyM 2-40

Condiciones de salto de D

Aplicando el teorema de Gauss:

qLateralFlujoSdDSdDSdDS

=+⋅+⋅=⋅∫∫ 2211

rrrrrr

( ) ( )ndSndSSdndSndSSd ˆˆ,,ˆˆ 2211 ==−==rr

Por lo tanto: ( ) qLateralFlujodSnDD =+⋅− ˆ12

rr

n

dSh∆

(2) 222 σµε

(1) 111 σµε

Integramos la ecuación en el volumen diferencial indicado en la figura.ρ=⋅∇ Dr

Tomando el límite haciendo tender el volumen tenderá a la superficie de separación. La carga volumétrica encerrada se hará cero. Pero si hubiese una distribución superficial ρs la carga encerrada, en el limite, será ρsdS.

0→∆h

El flujo lateral tenderá a cero (salvo que D se hiciese infinito).

Por lo tanto: ( ) dSdSnDD sρ=⋅− ˆ12

rr ( ) sSnDD ρ=⋅− ˆ12

rrsNN DD ρ=− 12

Las componentes normales de D son continuas a través de la superficie de separación de dos medios, a no ser que en dicha superficie exista una densidad superficial de carga, en cuyo caso dichas componentes son discontinuas en el valor de dicha densidad superficial.

Por convenio la normal a la superficie se toma desde el medio 1 hacia el medio 2.

1n

2n

Condiciones de salto de E

Considérese un camino de integración sobre una espira rectangular infinitesimal como la de la figura. Dos lados dl caen en cada una de las caras de la capa de transición. Los lados que penetran en la capa de transición son iguales en longitud a la anchura ∆h de dicha capa. Como siempre la normal a la superficie de separación se toma del medio 1 hacia el 2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000201 ˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ nhdlndSSddlnndllddlnndlld ∆==×==×−=−=rrr

ττ

h∆( ) 2222 σµε

( ) 1111 σµεdl

n

τ0n

Se toma un sentido de recorrido sobre la espira yacorde con el se define la normal a la espira n0. Eltercer vector del triedro será: nn ˆˆˆ 0 ×=τ

Aplicando a la espira la ecuación: ∫∫∫ ⋅−=⋅SC

SdtBldE

rr

rr

∂∂

SdtBLateralnCirculacióldEldE

rr

rrrr⋅−=+⋅+⋅

∂∂

2211

Por tanto: ( ) ( ) hdlntBLateralnCirculaciódlnnEE ∆⋅−=+×⋅− 0012 ˆˆˆ∂∂r

rr

Tomando el límite haciendo tender la circulación lateral se hará cero. Además el segundo miembro de la ecuación también se hace cero siempre que no se haga infinito

0→∆h

tB∂∂r


07/01/2009 EyM 2-41

Condiciones de salto de E

Quedará por tanto: ( ) ( ) 0ˆˆ012 =×⋅− nnEES

rr

Reordenando el producto mixto: ( ) ( ) ( )[ ] 0ˆˆˆˆ 120012 =−×⋅=×⋅− EEnnnnEErrrr

La orientación de la espira es arbitraria y por tanto lo es la orientación de n0. Enconsecuencia para que la ecuación anterior se verifique cualquiera que sea n0deberá ser: ( ) 0ˆ 12 =−×

SEEnrr

TT EE 21 =

Las componentes tangenciales de E son continuas a través de la superficie de separación de dos medios.

Condiciones de salto de H

Considérese un camino de integración sobre una espira rectangular infinitesimal como la de la figura. Dos lados dl caen en cada una de las caras de la capa de transición. Los lados que penetran en la capa de transición son iguales en longitud a la anchura ∆h de dicha capa. Como siempre la normal a la superficie de separación se toma del medio 1 hacia el 2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000201 ˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ nhdlndSSddlnndllddlnndlld ∆==×−==×−=−=rrr

ττ

h∆( ) 2222 σµε

( ) 1111 σµεdl

n

τ0n

Se toma un sentido de recorrido sobre la espira yacorde con el se define la normal a la espira n0. Eltercer vector del triedro será: nn ˆˆˆ 0 ×=τ

Aplicando a la espira la ecuación: ∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅SSC

SdtDSdJldH

rr

rrrr

∂∂

dSntDdSnJLateralnCirculacióldHldH 002211 ˆˆ ⋅+⋅=+⋅+⋅∂∂r

rrrrr

Por tanto: ( ) ( ) hdlntDnJLateralnCirculaciódlnnHH ∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=+×⋅− 00012 ˆˆˆˆ

∂∂r

rrr

Tomando el límite haciendo tender la circulación lateral se hará cero. Además el segundo término del segundo miembro de la ecuación también se hace cero siempre que no se haga infinito

0→∆h

tD∂∂r


07/01/2009 EyM 2-42

Condiciones de salto de H

Quedará por tanto: ( ) ( ) ( ) hnJnnHHhS

∆⋅=×⋅−→∆ 00012 ˆlimˆˆ

rrr

Reordenando el producto mixto:

La orientación de la espira es arbitraria y por tanto lo es la orientación de n0. En consecuencia para que la ecuación anterior se verifique cualquiera que sea n0 deberá ser:

Las componentes tangenciales de H son continuas a través de la superficie de separación de dos medios salvo en el caso en que exista una densidad superficial de corriente Js.

( )[ ] 0limˆˆ0120 =∆−−×⋅

→∆hJHHnn

h

rrr

( ) 0limˆ012 =∆−−×

→∆hJHHn

h

rrr

Si J es finito resultará: ( ) 0ˆ 12 =−×S

HHnrr

TT HH 21 =

J es infinito en el caso de tener una densidad superficial de corriente Js sobre la superficie de separación. El limite resultará Js

( ) sSJHHnrrr

=−× 12ˆ

Contenido



07/01/2009 EyM 2-43

S

Fuentes de E, D

1) Densidades volumétricas de carga: ( )EDrr

ερ ⋅∇=⋅∇=

2) Densidades superficiales de carga: debe haber cambio discontinuo del campo entre dos regiones (separadas por una superficie S)

( )Ss DDn 12ˆ

rr−⋅=ρ S

3) Cargas puntuales: el campo se hace ∞ en los puntos donde puede haber cargas puntuales. Para averiguar el valor de la carga la rodeamos de una esfera, calculamos el flujo de D y tomamos el límite cuando el radio de la esfera tiende a cero.

(2) 222 σµε

(1) 111 σµε

n

$ndS

∫∫∫∫ ⋅=⋅= →→ EsfrEsf

SdDSdDqr

rrrr0lim

0

q

r

Fuentes de E, D

3) Densidades lineales de carga: el campo se hace ∞ en las líneas donde puede haber densidades lineales de carga. Para averiguar el valor de la densidad lineal de carga la rodeamos de una superficie cerrada, calculamos el flujo de D y tomamos el límite cuando la superficie tienda a la línea.Una vez obtenida la carga Q sobre una longitud L, y si suponemos que se distribuye uniformemente, la densidad será Q/L

∫∫∫∫ ⋅=⋅== →→ CilCil

SdDSdDLQrrrr

0lim0

ρρ

λ

Ejemplo en cillíndricas.

ρ

L


07/01/2009 EyM 2-44

Fuentes de H, B

1) Densidades volumétricas de corriente: HBtDHJ

rrr

rrµ=

∂∂

−×∇= ,,

2) Densidades superficiales de corriente: debe haber cambio discontinuo del campo entre dos regiones (separadas por una superficie S)

( )Ss HHnJ 12ˆ

rrr−×= S

(2) 222 σµε

(1) 111 σµε

n

3) Corrientes filiformes: el campo se hace ∞ en las líneas donde puede haber corrientes filiformes. Para averiguar el valor de la corriente la rodeamos de una curva cerrada, calculamos la circulación de H y tomamos el límite cuando la curva se cierre sobre la línea.

∫ ⋅= →ρ

ρ CldHIrr

0limn

ldr

ρCρ

z

Ejercicio

¿Cual es la densidad de carga que, en un determinado recinto con permitividad dada por ε=4r2, genera un campo dado por: ?

2

ˆrrE =

r

De la ecuación de Maxwell sabemos que:

( ) ( ) =⋅∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅∇=⋅∇=⋅∇= r

rrrED ˆ4ˆ

4 22

rrερ

Densidades volumétricas de carga.

Densidades superficiales de carga:

( ) ( )SSs EEnDDn 112212

rrrrrr εερ −⋅=−⋅= No hay discontinuidades de campo

Densidades lineales de carga y cargas puntuales: ¿se hace E infinito?

Si, en r=0 -> posible carga puntual en el origen:

016limˆˆ4lim. 2

00

2

0

22

20

0

==⋅== →= =

→→

∫ ∫∫∫ RddsenRrRrRSdDq RR

R

πϕθθπ

θ

π

ϕ

rr

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅∇ rr Dr

drd

rrD 2

2

1ˆ

( ) ( )r

rr

rdrd

r88141

22

2 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛


07/01/2009 EyM 2-45

Ejercicio

Un conductor perfecto de forma esférica y radio R está rodeado de una densidad volumétrica de carga ρ(r) en el vacío. Si para r>R el campo eléctrico viene dado por calcule: a) ρ(r); b) ρs en la superficie de la esfera; c) la carga total.

( ) ( ) rer

brarE br ˆ23

−+=

rr

( ) ( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅∇=⋅∇=⋅∇=

−−

−

2223

220

30

222

ˆ2

brb

re

rae

rbrar

drd

r

rer

braED

brbr

br

ε

εερrr

a) ρ(r) será:

R0ε ( )rρ

∞=σ

12

b) Si σ=∞ entonces E1=0 pues sino la potencia disipada σE2

seria ∞. Por tanto ρs será: ( ) ( ) ( ) bR

Rr

brRrNRrNNs e

RbRae

rbraDDD −

=

−==

+=

+=−=−= 3030212

220 εερ

c) La carga total encerrada por cualquier superficie de radio r>R será :

( ) ( ) ( ) brbr

rEsfrEsfe

rbraddre

rbraSdrESdDrQ −

= =

− +=⋅

+=⋅=⋅= ∫ ∫∫∫∫∫

24sin2)( 0

2

0 0

230. 0.

πεφθθεεπ

φ

π

θ

rrrrr

( ) 024 0lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= −

∞→

br

rTotal e

rbraQ πεPor tanto la carga total será:

Ejercicio

Dada la distribución de campo electrostático en el vacío:

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤+

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

br

brarkkr

arrarkk

r

rE

0

ˆ1

0ˆ1

102

4

102

rr

Obtener a) las distribuciones de carga que lo producen, b) la carga total del sistema y c) la energía electrostática en la región a < r < b.

a) Las distribuciones de carga podrán ser volumétricas, superficiales, lineales y/o puntuales. Las volumétricas serán:

rak

ark

rrarkk

rr

rrED 4

014

120

4

1022

2004111 εεεερ =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∂∂

=⋅∇=⋅∇=rr

en la región r <a y valdrán cero en las otras dos regiones.


07/01/2009 EyM 2-46

Ejercicio

Las densidades superficiales en las superficies de separación r=a y r=b serán:

No hay densidades lineales de carga porque el campo no se hace infinito a lo largo de ninguna línea.

El campo se hace infinito en r=0. La posible carga puntual en r=0 se obtiene aplicando la Ley de Gauss:

( )ss DDn 12

rrr−⋅=ρ

( ) 011ˆˆ4

10201020 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+⋅=

=

=

ar

ars arkk

rkk

rrr εερ

( ) 0210

102010ˆˆ εερ

bkkkk

rrr

brbrs

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅=

==

002

4

102000 4ˆˆ1limlim kddsenrrrarkk

rSdDq

rEsfrrEsfr πεϕθθε =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⋅= ∫∫∫∫ →→

rr

Ejercicio

b) La carga total puede obtenerse aplicando la Ley de Gauss en r>b (todas las cargas están encerradas dentro de esta superficie). Como en esta región E es cero D también es cero y su flujo es cero por lo que la carga total es cero. También se puede comprobar calculando las contribuciones y sumando:

( ) 04

4444

444

4

401

10000

2

0 0 0

24

01202

1000

=++−=

=++

−=++= ∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫= = =

aakkkk

ddrdsenrrakb

bkkkdvdSqQ

a

rst

πεπεπε

ϕθθεπεπερρπ

ϕ

π

θ

c) La energía electromagnética, supuesto sólo el campo electrostático, es:

( )

( ) ( ) ( )bapuesba

kkr

kk

ddrdsenrr

kkdvDEW

b

a

b

arE

<>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=+

=⋅= ∫ ∫ ∫∫∫∫= = =

01121421

21

21

2100

2100

2

0 0

24

210

0

πεπε

ϕθθεπ

ϕ

π

θ

rr


07/01/2009 EyM 2-47

Ejercicio

Dado el campo eléctrico , expresado en coordenadas esféricas, localice y calcule las cargas que lo crean.

( ) θθ

ˆsinrkrE =

rr

Por la dirección que tienen las líneas de campo se ve que salen de puntos en el semieje z>0 y que terminan en puntos en el semieje z<0.

El valor del campo en el semieje z>0 (θ=0) y en el semieje z<0 (θ= π ) es ∞. Por tanto en dichos puntos debe existir una distribución lineal de carga.

( ) θθ

ˆsinrkrE =

rr

Aplicando el Teorema de Gauss al volumen encerrado por el cono de ángulo θ y cerrado por el casquete esférico de radio r=L vemos que el flujo sobre el casquete esférico es nulo y por tanto el flujo total es

( ) kLdrsendrrsen

kSdDL

rS

πεϕθθθθ

επ

ϕ

2ˆˆ0

2

0

=⋅=⋅ ∫ ∫∫∫= =

rr

Si la densidad lineal de carga es constante valdrá:

kLkL πελλπε 22 =⇒=

Ejercicio

0ε

ε

a b

rn ˆ≡r

000

≠==

σρDr

En el dieléctrico (r < a) la densidad volumétrica de carga es:

Entre r=a y r=b la densidad volumétrica es:

202

2

02

2

41a

rDarDr

rrD =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⋅∇=r

ρ

En el interior del conductor (r>b) D es cero (sino habría corrientes) y ρ=0.

012

2

02

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⋅∇=raDr

rrDr

ρ

En el interior de una esfera conductora hueca de radio b, existe una esfera concéntrica de material dieléctrico de permitividad ε y radio a en el cual la inducción eléctrica vale . Entre a y b la inducción es Caracterice el tipo y densidad de las distribuciones de carga del problema en situación estática.

( )rarDD ˆ220=

r ( )rraDD ˆ220=

r

En r=a y r=b las densidades superficiales son:

( ) 0ˆˆˆ 2

2

02

2

012 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=−⋅=

===

arararsa r

aDrarDrrDDn

rrrρ 2

2

02

2

0ˆ0ˆbaD

raDrr

brsb −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

=

ρ


07/01/2009 EyM 2-48

Ejercicio

Determinar, usando la ley de Ampere generalizada, si existe corriente de desplazamiento en una región en la que la densidad de corriente de conducción viene dada por:

rr

rJ ˆ2

33

2

+=

r

Dada la ley de Ampere generalizada: calculamos la divergencia.tDJH∂∂r

rr+=×∇

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇+⋅∇=×∇⋅∇

tDJH∂∂r

rrJ

tD rr

⋅−∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇∂∂

En este caso: por lo que 02

313

22

2 ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅=⋅∇

rrr

drd

rJr

0≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇

tD∂∂r

0≠tD∂∂r

O sea que existe corriente de desplazamiento.

Ejercicio

Obtener las fuentes del campo estacionario dado por:⎩⎨⎧

><

=ararkrH

0θr

( ) arkkrrr

r

rkrr

rrsensenrr

krHJ

<=∂∂

++=

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇=×∇=

,,ˆ2ˆ

0ˆ0ˆ

00

ˆˆˆ

ˆ

2

2

ϕϕθ

ϕθ

ϕθ

θθ

θrr

Las fuentes volumétricas serán:

Fuentes superficiales: en r=a hay discontinuidad del campo por lo que

( ) ( ) arkakrrHHnJarss =−=−×=−×=

=,,ˆˆ0ˆˆ 12 ϕθ

rrr


07/01/2009 EyM 2-49

Ejercicio

Obtener las fuentes del campo estacionario dado por:⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

a

aIH

ρ

ρϕπρ0

ˆ2

0r

aIz

Iz

z

HJ <=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇= ρπρρ

πρρ

ϕρ

ρϕ

ρρ

,,02

ˆ

02

0

ˆˆˆ

0

0

rr

Las fuentes volumétricas serán 0 en ρ>a y:

Fuentes superficiales: en ρ=a hay discontinuidad del campo por lo que

( ) aza

IIHHnJa

ss =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×=−×=

=

ρπ

ϕπρ

ρρ

,,ˆ2

ˆ2

0ˆˆ 0012

rrr

Ejercicio

Se sabe que en una región cilíndrica ρ≤R la inducción magnética viene dada por . Si en el exterior de dicha región el campo magnético es nulo, determine el vector densidad de corriente en la superficie cilíndrica ρ=R.

( ) ϕρ ˆ2 0 tBB =r

( )

( ) ( ) ( ) zRtBtB

BHHnJ

R

Rss

ˆ2ˆˆ2

ˆˆ

00

12

µϕρ

µρ

µρ

ρ

ρ

−=×−=

=×−=−×=

=

=

rrrr

Basta con aplicar las condiciones de salto de Hz

x

y

R

ecuaciones generales: modelo de maxwell - gr.ssr.upm.es · pdf fileelectromagnetismo que se...

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