1 Ttulo:A1:ECUACIONESENDIFERENCIASCONAPLICACIONESA MODELOS EN SISTEMAS DINMICOS Profesores: Lic. Gustavo Adolfo Juarez Lic. Silvia Ins Navarro Universidad: Nacional de Catamarca Propsito general del curso:Con ste curso se pretende exponer en forma sencillay didctica el cuerpo terico que rodea la formulacin, resolucin y aplicacin de las Ecuaciones en Diferencias. Elpropsitoesestudiarunaherramientabsicadelanlisisdelosmodelos dinmicosdiscretos,conaplicacionesalasCienciasFsica,CienciasNaturales, CienciasSociales,CienciasEconmicas,entreotras,yfortalecidaenelAnlisis Numrico mediante la simulacin de modelos de la programacin matemtica. Se pretende dar un enfoque formal de las Ecuaciones en Diferencias, considerando quesonunapoderosaherramientadelaMatemticaDiscreta,ensuafnde construir modelos en la Dinmica de Sistemas. Prerrequisitos: Algebra elemental e intermedia. Preclculo. Conceptos de Algebra Lineal. Listado de temas:Primera Clase:1.EcuacionesenDiferencias:clasificacin,orden,solucin.Ecuacionesen Diferenciasdeprimerorden.EcuacinenDiferenciadeprimerordenlineal con coeficiente constante. Diferencia finita. Segunda Clase: 2.EcuacionesenDiferenciasLinealesdesegundoordenconcoeficientes constantes. Ecuaciones en Diferencias Lineales de orden superior. 3.Condiciones iniciales. Problemas con valores iniciales.Tercera Clase: 4.Sistemasdeecuacionesendiferenciaslineales.Mtododeeliminacinde sucesionesincgnitas.Sistemasdeecuacionesendiferenciaslineales homogneos y no homogneos. 5.Ecuaciones en Diferencias como Modelos Matemticos Dinmicos Discretos. 2 Primera Clase: Ecuaciones en Diferencias: clasificacin, orden, solucin. Dadaunasucesin{ }nx cuyosprimerostrminosson,..... , ,2 1 0x x x ,presentamoscomo Ecuacin en Diferencias a toda ecuacin que relaciona trminos de esa sucesin. Ejemplo Ilustrativo 1.1: Las siguientes son ecuaciones en diferencias: 2 521 2= + ++ + n n nx n x n x [1.1] 0 4 5 31 2 3= + ++ + + n n n nx x x x [1.2] n x xn n2 ) cos(2= ++[1.3] ( )2131= ++ n nx x [1.4] Definicin1.1:Seaelnmeronaturaln,talqueelterminon-simodeunasucesines funcinden,esdecir) (n x xn= ,dondelostrminossiguientes,... ,2 1 + + n nx x existen, entonces llamamos Ecuacin en Diferencias a toda ecuacin que relaciona al trmino nx de lasucesin,lasucesinincgnita) (n x xn= ytrminossiguientesdelasucesin, representada por la forma 0 ,....) , , , (2 1=+ + n n nx x x n F [1.5] Definicin 1.2: El orden de una ecuacin en diferencias es la diferencia entre el argumento n ms grande y el ms pequeo que aparece en ella. EjemploIlustrativo1.2:Lasecuaciones[1.1]y[1.2]sondeordendosytres respectivamente.Laecuacin[1.3]esdesegundoorden,obsrvesequenotieneeltrmino correspondiente 1 + nx. Adems la ecuacin [1.4] representa a una ecuacin de primer orden. Definicin 1.3: Una ecuacin en diferencias se dice lineal de orden k, sii tiene la forma: ) ( ) ( ) ( ... ) (0 1 1n R x n a x n a x n an n k n k= + + ++ + [1.6] dondeloscoeficientes) ( ), (0n a n aksonnonulos,yR(n)esunafuncinden.Cuandola sucesin incgnita se encuentra en una funcin no lineal, la ecuacin se llama no lineal. EjemploIlustrativo1.3:Delasecuacionesendiferenciasdadasenelejemplo1.1,son lineales las dos primeras. Definicin 1.4: Una ecuacin en diferenciaslinealdeorden ksedicehomognea sii R(n) es nula. Caso contrario se dice no homognea. Ejemplo Ilustrativo 1.4: De lasecuacionesen diferenciasdel ejemplo1.1, slola ecuacin [1.2] dada es homognea. As,dadaunaecuacinendiferencias,laincgnitaeslasucesinsolucinque satisface tal igualdad, o sea: Definicin1.5:Unasolucindeunaecuacinendiferenciasserunasucesindevalores para los cules se satisface la ecuacin.3 Ecuaciones en Diferencias de primer orden. Definicin 1.6: Sean) ( ), (2 1n A n Ay) (n B funciones conocidas tal que ) (n Ainunca se anulan en el dominio de la variable n. Entonces se llama ecuacin en diferencias de primer orden lineal de nxa la expresin: ) ( ) ( ) (2 1 1n B x n A x n An n= ++ [1.7] Sienparticular) (n B esidnticamentecero,entoncessedicequelaecuacines homognea.Sitanto) (1 n A como) (2n A sonconstantes,sellamaecuacinendiferencias lineal con coeficientes constantes. Alsuponerseque0 ) (1 n A ,podemosdividirporlambosmiembrosdelaecuacin [1.7], quedando ) () () (12n An An A =, ) () () (1n Rn An B= la ecuacin [1.7] se convierte en) ( ) (1n R x n A xn n= +[1.8] siendostalaformageneralreducidadelasecuacionesendiferenciasdeprimerorden lineales.Enstetrabajosloseestudiarnecuacionesendiferenciaslinealesconcoeficiente constante,porloqueusaremoscomonotacinparalasecuacionesdeprimerordenla siguiente expresin: ) (1n R ax xn n= + con0 a [1.9] Unasucesinsolucindeunaecuacinendiferenciassedicegeneralsicontienela constantearbitrariaC.Paracadavalordelaconstantearbitrarialasucesinqueda determinadadeformanica,entalcasolasucesinsolucinsedicequeessolucin particular de la ecuacin en diferencias. Sucesiones aritmtica y geomtrica Definicin1.7:Unasucesinsellamaprogresinaritmticasiiuntrminocualquieraes igual al anterior ms una constante, llamada diferencia de la progresin. En smbolos:d x xn n+ =+1 ,0 n [1.10] Definicin1.8:Unasucesinsellamaprogresingeomtricasiiuntrminocualquieraes igual al anterior multiplicado por una constante llamada razn. En smbolos:n nx r x .1=+ ,0 n[1.11] En forma recurrente, podemos expresar a un cierto trmino de una sucesin aritmtica o geomtrica en funcin del primer trminoC x =0. En efecto, consideremos primero una sucesin aritmtica: b x x + =0 1 b x b x x 20 1 2+ = + =4 b x b x x 30 2 3+ = + =... .... ...................... En general para el (n+1)-simo trmino, tenemos: bn x xn+ =0 [1.12] En forma anloga para una sucesin geomtrica resulta: 0 1ax x = 021 2x a ax x = = 032 3x a ax x = = .......................... Para el (n+1)-simo trmino se tiene:0x a xnn=[1.13] Luegolassucesionespuedenexpresarseparauntrminoarbitrarioenfuncindel primero segn la siguiente notacin, donde C es el trmino inicial 0x : Sucesin aritmtica: { } bn C + [1.14] Sucesin geomtrica: { }nCa [1.15] As los trminos nxde estos tipos de sucesiones son soluciones de dos ecuaciones en diferenciasmuyparticulares,dondeladiferenciaylarazndelasprogresionesse representarn por a y b, respectivamente: Ecuaciones en DiferenciasSolucin b x xn n+ =+1,,... 2 , 1 , 0 = n sucesin aritmtica [1.16]

n nax x =+1 ,0 ,.....; 2 , 1 , 0 = a n sucesin geomtrica[1.17] Teorema1.1:Lasolucingeneraldelaecuacinendiferenciaslinealdeprimerorden homogneaconcoeficienteconstante01= + n nax x ,n = 0 1 2 , , ,....,estdadapor nna C x . = donde a y C son constantes, con0 a . Teorema1.2:Lasolucingeneraldelaecuacinendiferenciaslinealdeprimerordencon coeficiente constanteb x xn n= +1,n = 012 , , ,...est dada porbn C xn+ = , donde b y C son constantes. Si0 = b , la sucesin solucin es constante. Ejemplo Ilustrativo 1.6: Hallar la solucin de las siguientes ecuaciones en diferencias: a)0 51= + n nx x b)0 31= ++ n nx x c)0 5 41= + n nx x 5 Solucin: Responden al teorema 1.1, por lo que debemos distinguir el valor del coeficiente a en cada caso: a)La sucesin solucin esnnC x 5 =b)La sucesin solucin es nnC x ) 3 ( =c)Reescribiendo la ecuacin: 0451= + n nx x, as la sucesin solucin es nnC x ||

\|=45 Ejemplo Ilustrativo 1.7: Hallar la solucin de las siguientes ecuaciones en diferencias: a)21= + n nx x b)5 3 31= + n nx x c)01= + n nx x Solucin: Aplicando el teorema 1.2, las soluciones son: a) n C xn2 + =b) n C xn35+ = c) K xn= Sucesin geomtrica modificada Seconsideraahoralasiguienteecuacinendiferencias,queseinterpretacomouna generalizacindelaspresentadasenelpargrafoanterior,ysedenominaSucesin Geomtrica Modificada, la mencionada es: b ax xn n= +1 ,,.... 2 , 1 , 0 , 0 = n a [1.18] Aligualquecuandohallamoscomosolucionesalassucesionesaritmticasy geomtricas procediendo en forma recurrente, buscaremos la forma general de la solucin de [1.18]. Entonces tenemos: b ax x + =0 1 b a x a b ax x ) 1 (021 2+ + = + =b a a x a b ax x ) 1 (2032 3+ + + = + =.... .................................. En general para el (n+1)-simo trmino, tenemos: b a a a x a xn nn). .... 1 (1 20+ + + + + = [1.19] El coeficiente de b se reduce a: == + + + +1111.... 11 2a si na siaaa a ann Por lo que la solucin de [1.18] se expresa como: = + +=110110a si bn xa si b x axaannn[1.20] Si a=1, esta concuerda con el Teorema 1.2,siempre que el valor inicial sea C. Siendo distinto de 1 el valor de a se puede escribir ababx a xnn+)` =1 10[1.21] 6 HaciendoCabx =10 entonces abCa xnn+ =1,1 aReescribiendo [1.20] nos queda = + +=1101a si bn xa si Caxab nn [1.22] Se verifica que la expresin [1.22] es solucin general de [1.18] con una constante arbitraria C. Ejemplo Ilustrativo 1.8: Resolver la ecuacin5 31= + n nx x Solucin: De acuerdo a la expresin [1.22], reconociendo las constantes resulta: 253 =nnC x Ecuacin en Diferencia de primer orden lineal con coeficiente constante. ) (1n R ax xn n= + con0 a [1.23] En efecto si) (n Res constante estoconcuerda con la ecuacin [1.18]. Por otro lado, siendo pnx unasolucinparticulardelaecuacin[1.23],entoncesunasolucingeneraldela ecuacin [1.23] es pnnnx Ca x + = [1.24] Segn la ecuacin [1.24], el problema de resolver laecuacin [1.23] se reduceal de encontrarunasolucinparticulardelaecuacindada.Existeunmtodoparaobtener soluciones particulares llamado mtodo de los coeficientes indeterminados. En ste mtodo, sesupone primeramente una formaapropiada de lasolucin, sugeridapor laformade) (n Ren la ecuacin [1.23]. Ilustremos ste mtodo con un par de ejemplos. Ejemplo Ilustrativo 1.9: Resolver la ecuacin en diferencias1 3 21+ = +n x xn n

Solucin:Lasucesinsolucin nx seexpresacomolasumadelaecuacinhomognea asociada,0 21= + n nx x ,cuyasolucines n hnC x 2 = ,mslasolucinparticular pnx quese sugieremedianteelmtododeloscoeficientesindeterminadoscomounpolinomiolineal 2 1k n k xpn+ = , segn el segundo miembro de la ecuacin. Entonces ( )2 1 2 1 12 ) 1 ( 2 k n k k n k x xpnpn+ + + = + 2 1 2 1 12 2 k n k k k n k + + = 2 1 1k k n k + = Comparando el coeficiente de n y el trmino independiente de esta expresin con los correspondientes de 3n+1, se tiene = = 132 11k kk 7 Conloculsetiene31 = k y42 = k .Porlotanto4 3 = n xpnessolucin particular. Una solucin general es 4 3 2 = n C xnn Ejemplo Ilustrativo 1.10:Resolver3 41+ = +n x xn n Solucin: Una solucin general esn n C xn+ + =22 Por lo tanto si R(n) es un polinomio en n de grado r, es decir) ( ) ( n P n Rr= , al aplicar el mtodo de coeficientes indeterminados formamos otro polinomio ) (n Qr de igual grado con coeficientes desconocidos, que va ha determinar una solucin particular de la ecuacin [1.24] reemplazando pnx :

==1 ) ( .1 ) (a si n Q na si n Qxrr pn[1.25] en el primer miembro de [1.23] y comparando los coeficientes de esta expresin con los del polinomio dado. Seaahora R(n) de la forma 0 ; ) ( n Prn. Haciendo nnnx y= , entonces: { }nannn ny y x a x = +++ 111

Dividiendo luego por n+1 se obtiene:) (11n P y yr nan = + SepuedeobtenerunasolucinparticulardeestaecuacinmedianteelMtodode Coeficientes Indeterminados. Por consiguiente el mtodo de solucin para la sucesin original nx , se resume como sigue: Una solucin particular de ) (1n P ax xrnn n = + [1.26] se puede determinar resolviendo ==a si n Q na si n Qxrnrnpn ) () ([1.27] con lo cul resulta = + +=a si n Q n Caa si n Q Caxrn nrn nn ) () ([1.28] Estareglaesunageneralizacindelovistohastaahora.Sienparticular ) ( , 1 n R = se reduce a) (n Pry si) ( , 0 n R r= se reduce a nk . Ejemplo Ilustrativo 1.11:Resolver nn nx x 3 51= + Solucin: Resultando n pnx 321 =, entonces la sucesin solucin esn nnC x 3215 =

8 Ejemplo Ilustrativo 1.12:Resolver( ) 4 2 3 51+ = +n x xnn n Solucin: la sucesin solucin es((

+ =273 5 n C xn nn

Diferencia finita. Laexpresinecuacinendiferenciashacesuponerunaecuacinenlacul intervienendiferencias,porloculhastaaquparecepocojustificadostenombre.Sin embargodelasecuacionesendiferenciasqueseidentificanatravsdelassucesiones aritmticas y geomtricas respectivamente, resulta que ellas se pueden reescribir como: b x xn n= +1[2.1] n n nx a x x ) 1 (1 = + [2.2] donde los primeros miembros son iguales. Esta es una funcin que representa la variacin de nx cuando la variable n aumenta en 1, y se le llama diferencia diferencia finita de nx . Definicin 2.1: Se llama diferencia o diferencia finita de una sucesin nx , a la funcin que evala la variacin entre dos trminos consecutivos de dicha sucesin. Se denota por nx , y por lo tanto: n n nx x x = +1[2.3] Las sucesiones aritmticas y geomtricas dadas en las ecuaciones [2.1] y [2.2] se reescriben en trminos de la diferencia finita como: b xn= [2.4] n nx a x ) 1 ( = [2.5] Estas ecuaciones representan a dos modelos fundamentales de crecimiento, cuando sus trminos son no negativos. Esos modelos se denominan crecimiento aritmtico y geomtrico y los presentaremos en detalle en los pargrafos 7.2 y 7.3. Ejemplo Ilustrativo 2.1: Sea la sucesin2 5 32+ + = n n xn, hallar su diferencia finita. Solucin: n n nx x x = +1 ( ) ( ) { } { } 8 6 2 5 3 2 1 5 1 32 2+ = + + + + + + = n n n n n De la definicin 2.1 se deduce: Teorema 2.1: i) C = 0 , si Ces constante. ii)n = 1 iii) a a an n= ( ) 1 Demostracin:i)Siendo la sucesin constante C xn= , entonces01= = = +C C x x xn n n 9 ii)Para la sucesinn xn=se tiene:1 11= + = = +n n x x xn n n iii)Siendo la sucesin nna x = entonces resulta n n nn n na a a a x x x ) 1 (11 = = = ++ De las identidades anteriores y de la definicin 2.1, se presentan algunas Reglas para Calcular Diferencias: 1.-La diferencia de un mltiplo constante de una sucesin es igual al mltiplo constante de la diferencia de tal sucesin:( )n nx a ax = 2.-La diferencia de la suma (o diferencia) de dos sucesiones es igual a la suma (o diferencia) de la diferencia de tales sucesiones:( )n n n ny x y x = 3.-La diferencia de la combinacin lineal de dos sucesiones es igual a la combinacin lineal de las diferencia de esas sucesiones: ( )n n n ny b x a by ax + = + 4.-La diferencia del producto de dos sucesiones es igual a la suma del producto de una sucesin por la diferencia de la segunda ms el trmino n+1-simode la otra sucesin multiplicado por la diferencia de la primera sucesin: ( )n n n n n n n n n nx y y x x y y x y x + = + = + + 1 1 5.-La diferencia del cociente de una sucesin por otra no nula est dada por: 1 + =|||

\|n nn n n nnny yy x x yyx Ejemplo Ilustrativo 2.2: Usando el teorema 2.1 y las Reglas de Clculo de Diferencias, hallar las diferencias finitas de las siguientes sucesiones: a) 2 5 4 . 3 + + = n xnnb) nnn z 5 = c)1 3) 2 (=nznn Solucin:a) ( ) 5 4 . 9 0 1 . 5 4 . 3 . 3 ) 2 ( ) ( 5 ) 4 ( 3 2 5 4 . 3 + = + + = + + = + + = n n n nnn n x b)( )n n n nnn n n z 5 ) 5 4 ( 1 . 5 5 . 4 . 51+ = + = = + c) ( )2 3 9) 2 ( 9) 2 3 )( 1 3 () 1 3 ( . ) 2 ( ) 2 )( 3 )( 1 3 (1 322 + =+ =|||

\| = n nnn nn nnzn n n nn 10 Segunda Clase: EcuacionesenDiferenciasLinealesdesegundoordenconcoeficientes constantes. Definicin 3.1: Laformageneraldeunaecuacinendiferenciaslinealhomogneade segundo orden con coeficientes constantes a y b , este ltimo no nulo, es: 01 2= + ++ + n n nbx ax x ,0 b [3.1] Suponiendo que las soluciones que tienen la forma de potencias n-simas de base no nulas,dondeunadeellases: nnx = con0 ,encontraremoslasolucingeneral correspondiente de [3.1].

Reemplazando en la ecuacin:01 2= + ++ + n n nb a Dividiendo por n nos queda: 02= + + b a [3.2] sta nueva ecuacin es algebraica de segundo grado por lo que tiene dos races, sean stas, 1y 2 , luego haciendo cada una de ellas igual ase verifica que es una solucin de [3.2]. Recprocamente, sisatisface ser solucin particular entonces es la solucin de [3.1]. Laecuacin [3.2] se llama Ecuacin Caracterstica de la ecuacin [3.1] y las races de [3.2] se llaman races caractersticas. Las dos races caractersticas 1y 2determinan las solucionesparticularesde[3.1],stasson n1 y n2 .Lacombinacinlinealdeellases solucingeneraldelaecuacindada.Enefectosilasracescaractersticassonracesreales distintas de [3.2] la solucin general es: n nnC C x2 2 1 1 + = [3.3] Loanteriorpuedeverificarseporsimplereemplazoenlaecuacin[3.1],yen consecuencia se prueba el siguiente enunciado. Teorema 3.1: Dada la ecuacin en diferencias01 2= + ++ + n n nbx ax x con0 b , y aybconstantes,donde 1 y 2 sonlasracescaractersticasdistintasdelaecuacin caractersticaasociadaalaecuacinendiferenciasdada,esdecir, ni sonsoluciones particulares, entonces n nnC C x2 2 1 1 + = con icconstante es solucin general de la ecuacin en diferencias dadas. Ejemplo Ilustrativo 3.1: Resolver la ecuacin0 10 71 2= + + + n n nx x x Solucin: la sucesin solucin es: n nnC C x 5 22 1+ = Por otro lado si son races reales iguales hacemos 2 1 = = , y en tal caso el par de soluciones particulares son ny nn , resultando la solucin general dada por:11 ( )nnn C C x 2 1 + = [3.4] En consecuencia podemos decir: Teorema3.2:Silasracesdelaecuacincaractersticaasociadaalaecuacinlineal homognea de segundo orden con coeficientes constantes01 2= + ++ + n n nbx ax xson reales e iguales entonces la solucin general de tal ecuacin es: ( )nnn C C x 2 1 + =donde 2 1 = =y ic constante. Ejemplo Ilustrativo 3.2: Resolver la ecuacin0 16 81 2= + + + n n nx x x Solucin: la sucesin solucin es:( )nnn C C x 42 1 + = Seprobquelasecuaciones[3.3]y[3.4]sonsolucionesgeneralescuandolasraces caractersticasson reales, pero ahora resta considerarel casoenque las racescaractersticas soncomplejas.Enestecaso nx puedeserdevalorcomplejo,obiensalvarestohaciendo complejas a las constantes. Seanentonces 1 y 2 lasracescaractersticascomplejasconjugadas,deformatal queid c + =1 ,id c =2Siendo el mdulo de ambos iguales, llamemos a ste2 2d c r + = . Adems,paradeterminaraunnmerocomplejodebeconsiderarsetambinel argumento, sea ste , el cul define a las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente mediantelosvaloresc,dyr,mencionados.Constoselementos,losnmeroscomplejosen tratamiento se escriben: ( ) sen cos i r id c + = +( ) sen cos i r id c = Los segundos miembros de stas expresiones se llaman forma polar o trigonomtrica delnmerocomplejo,asreescribiendolasracescaractersticasalaformapolarsiguiente, ubicando en el plano a tales nmeros complejos segn se ve en la figura 3.1: ( ) sen cos1i r + =( ) sen cos2i r = De sta manera una solucin general est dada por: n nnC C x2 2 1 1 + =12 Figura 3.1: Representacin grfica de los nmeros complejos1y 2 Usando la forma polar y el teorema de De Moivre: ( ) { } ( ) { }n nnsen i r C sen i r C x cos cos2 1 + + = ( ) ( ) n sen i r C C n r C Cn ncos2 1 2 1 + + = O bien: { } * cos n sen C n C r xnn+ = [3.5] donde 2 1C C C + =y ) ( *2 1C C i C = Siendo [3.5] la solucin general de la ecuacin en diferencias cuando las races de la ecuacin caractersticas son complejas. Ejemplo Ilustrativo 3.3: Resolver la ecuacin0 4 21 2= + + + n n nx x x Solucin:Laecuacincaractersticaes:0 4 22= + ,cuyasracessoncomplejas conjugadas: 3 11i + = y3 12i = Resultandor =2 y o60 = , denotamos a las races caractersticas: ) 60 sen 60 (cos 2) 60 sen 60 (cos 221 = + =ii En consecuencia la sucesin solucin es: r d -d c i 13 ( ) [ ][ ] ) 60 ( ) 60 cos( 2) 60 60 (cos 60 60 cos 22 1n sen C n C xn isen n C n isen n C xnnnn + = + + = Ejemplo Ilustrativo 3.4: Resolver la ecuacin0 92= ++ n nx x Solucin: En consecuencia la sucesin solucin es: )) 90 sen( ) 90 cos( ( 3 n C n C xnn + = Obsrvesequeenelltimoejerciciopodramosusarlaexpresin[3.5]paradenotarla solucin en cuyo caso es: n nni C i C x ) 3 ( ) 3 (2 1 + = Porotroladotambinpodemosrecurriralaspotenciasdelaunidadimaginaria,as,la solucin resulta ser: + + + + +=3 4 3 ) (2 4 3 ) (1 4 3 ) (4 3 ) (2 12 12 12 1n si i C Cn si C Cn si i C Cn si C Cxnnnnn Definicin3.2:Laformageneraldeunaecuacinendiferenciaslinealnohomogneade segundo orden con coeficiente constante a y b no nulo es: ) (1 2n R bx ax xn n n= + ++ + , 0 b[3.6] Una solucin general de la ecuacin no homognea [3.6] es la suma de una solucin general de lacorrespondiente ecuacin homognea asociada hnxy unasolucin particular de la ecuacin [3.6] denotada por pnx . En forma anloga a lo presentado en el pargrafo anterior se tiene los conceptos de ecuacin caracterstica y races caractersticas para [3.6]. Para encontrar una solucin particular de [3.6] es tambin apropiado el mtodo de los coeficientesindeterminados,suponiendoaligualqueparalasdeprimerorden,unaforma supuestadeunasolucinparticular.Sean 1 y 2 lasracescaractersticasdelaecuacin [3.6] y) (n Pk y) (n Qk dos polinomios en n de grado k. En este caso, si) ( ) ( n P n Rkn = se puede encontrar una solucin particular pnxde [3.6] haciendo: = == == =2 122 1) () (2 , 1 ; ) ( si n Q nsi n nQi si n Qxknkni knpn[3.7] Ejemplo Ilustrativo 3.5: Resolver la ecuacin nn n nx x x 3 10 71 2= + + + 14 Solucin: la solucin de la ecuacin dada es: n n nnC C x 3215 22 1 + = Ejemplo Ilustrativo 3.6: Resolver la ecuacin nn n nx x x 5 10 71 2= + + + Solucin: la solucin es: n n nnC C x 51515 22 1+ + = Ejemplo Ilustrativo 3.7: Resolver la ecuacin121 2+ + = + ++ +n n x x xn n n Solucin: la solucin homognea: ) 120 sen( ) 120 cos( n C n C xhn + = Para buscar la solucin particular observemos que: 3 221 2) ( h n h n h n Q + + = ademsi =1 , por lo tanto: 3 221h n h n h xpn+ + = Reemplazando en la ecuacin dada setiene: ) 4 ( ) 2 (3 2 1 2 121 1 2h h h n h h n h x x xpnpnpn+ + + + + = + ++ + Comparando con el segundo miembro de la ecuacin dada: = + += +=1 41 213 2 12 11h h hh hh Resolviendo el sistema nos queda:22 = n n xpn Y por lo tanto la solucin buscada es: 2 ) 120 ( ) 120 cos(2 + + =n n n sen C n C xn Ecuaciones en Diferencias Lineales de orden superior. Una ecuacin en diferencias lineal homognea de orden k con coeficientes constantes toma la forma 0 ...1 1 2 2 1 1= + + + + ++ + + + n k n k n k k n k nx a x a x a x a xcon0 ka Suponiendo que la solucin es de la forma n , se reemplaza en la ecuacin dada, y se tiene la siguiente ecuacincaracterstica: 15 0 ...112211= + + + + +++ + + nknknkk n k na a a a silaskracescaractersticassonrealesydistintas,ylasdenotamospor: k ,...., ,2 1,la solucin es la sucesin es:nk kn nnC C C x + + + = ...2 2 1 1 [4.3] Porotroladosupongamosquelashprimerasracescaractersticassoniguales, decimos que tienen multiplicidadh, y expresamos a la sucesin solucin por: nk knh hn hh nC C n C n C n C C x + + + + + + + =+ +... ) ... (1 11 23 2 1[4.4] con i =y h i ,..., 1 =. Finalmente,siexistenracescomplejas,reconocemosqueaparecendeapares,pues estn cada unaconsuconjugada. En tal casoseconsiderasiaparecensoluciones distintas o iguales con cierta multiplicidad, y se expresan trigonomtricamente en funcin del argumento y del modulo.Sealasdosprimerasracessolucionescomplejasconjugadas,esdecir: 1 2 = , entonces la solucin se expresa como: nk kn nnC C n C n C r x + + + + = ... ] sen cos [3 3*[4.5] siendo r el mdulo y el argumento de 1 . Ilustremos cada caso con ejemplos a fin de analizar lo antes mencionado. EjemploIlustrativo4.1:Resolverlaecuacinendiferenciaslineal0 6 5 21 2 3= + + + + n n n nx x x x Solucin: la sucesin solucin es: n n nnC C C x 3 ) 2 ( 13 2 1+ + = Ejemplo Ilustrativo 4.2: Resolver la ecuacin en diferencias lineal siguiente 0 18 3 13 71 2 3 4= + + + + + + n n n n nx x x x x Solucin: la sucesin solucin toma la forma: n n nnn C C C C x 3 ) ( 2 ) 1 (4 3 2 1+ + + = Ejemplo Ilustrativo 4.3: Resolver la ecuacin en diferencias lineal siguiente 0 6 5 7 51 2 3 4= + + + + + + n n n n nx x x x xSolucin:Lasracescaractersticassoni,-i,2y3,aquaplicaremoslaexpresin[4.5].Las primeras permiten denotar: + = 90 sen 90 cos1i y = 90 sen 90 cos2i 16 Por lo tanto la sucesin solucin es n nnC C n C n C x 3 2 ) 90 sen( ) 90 cos(4 3*+ + + = Solucin de ecuaciones en diferencias no homogneas de orden superior Ejemplo Ilustrativo 4.4: Resolver la ecuacin en diferencias lineal1 24+ = ++n x xn n Solucin: Vamos a comenzar a resolver la ecuacin homognea asociada, siendo la ecuacin caracterstica: 0 14= + cuyas races son: + = 45 sen 45 cos1i = 45 sen 45 cos2i + = 45 sen 45 cos3i = 45 sen 45 cos4i Formandolaspotenciasensimasyagrupandoconstantesnosquedalasucesin solucin homognea: ) 45 sen( ) 45 cos(*n C n C xhn + = Ahora buscamos la forma de la solucin particular:k hn xpn+ = Reemplazando se tiene:) 2 4 ( 2 ) 4 (4k h hn k hn k n h x xpnpn+ + = + + + + = ++ Comparando coeficientes resulta: 23; 1 = = k h Por lo tanto 23 = n xpn , en consecuencia 23) 45 sen( ) 45 cos(* + + = n n C n C xn. EjemploIlustrativo4.5:Resolverlaecuacinendiferenciaslineal4 6 5 21 2 3= + + + + n n n nx x x x Solucin: n n hnC C C x 3 ) 2 (3 2 1+ + =Hacemosh xpn=la solucin general de la ecuacin no homognea dada es: 323 ) 2 (3 2 1 + + =n nnC C C x Ejemplo Ilustrativo 4.6: Resolver la ecuacin en diferencias lineal siguiente ) 3 ( 265562521 2 3 4+ = + + + + +n x x x x xnn n n n n Solucin:17 4 3 2 123123C C C C xnn nhn+ +||

\| +||

\|= [ ] n k n k n k h xn pn 322312 + + = En tal caso nos queda al reemplazar: = + + + + +pnpnpnpnpnx x x x x1 2 3 4655625 ( ) ( ) [ ]3 2 1 2 1217 103 847 14 309 21 231k k k n k k n k hn+ + + + + = Por lo tanto la sucesin solucin es: ((

+ + + + ||

\| + ||

\|= n n n C C C C xn nn nn205820851981032112 . 3 231232 34 3 2 1 Condiciones iniciales. Problemas con valores iniciales. Vimoscomoresolverunaecuacinendiferenciaslinealconcoeficientesconstantes de orden arbitrario k, y en todos los casos la sucesin solucin se expres en trminos de una constante,otantasconstantescomoordendelaecuacin.Talessolucionessellaman solucionesgenerales,yporcadavalorqueseasigneatalesconstantessetieneunallamada solucin particular, la cul determina en forma nica a esa sucesin. Enefecto,delaecuacinendiferencialinealdeprimerorden3 21= + n nx x ,la solucin general es3 2 =nnC x . Para cada valor de C tendremos una solucin particular de la ecuacin dada. Siencambioescribimoslaecuacincomo3 21+ =+ n nx x ,paracadavalorque asignemosa uncierto trmino, el siguiente trmino quedaunvocamente determinado, ypor recurrencia toda la sucesin. Es ms, si el trmino conocido es el primero de la sucesin, o sea 0x , la sucesin queda determinada en su totalidad. Esta solucin particular es nica y responde a una condicin inicial dada, tal valor de la sucesin definida por una condicin inicial se llama valor inicial.Acontinuacinsemuestranenlafigura5.1algunassolucionesdelaecuacinen diferencias3 21= + n nx x , donde cada una de ellas responde a un valor inicial distinto. Veremoslaunicidaddeunasolucinbajounacondicininicialdada.Supongamos ahora que se cumplen las siguientes condiciones: i)El valor inicial 0xest dado. ii)Dadosvaloresarbitrariosdelavariableny nx quedadeterminado 1 + nx de manera nica mediante la ecuacin en diferencias. Las condiciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera: 18 i)El valor0xde nxen n=0 es nico. ii)Sielvalorde kx paran=kestdeterminadodemaneranica,entoncesel valor de 1 + kx , para n=k+1 tambin est determinado de manera nica. Reiterando este procedimiento para todo n del dominio de la sucesin, resulta nica la determinacindetalsucesin.EstemtododedemostracinesllamadodeInduccin Completa. De sta manera, para las ecuaciones en diferencias que satisfacen la condicin ii), laexistenciaylaunicidaddelassolucionesbajolascondicionesinicialesdadas,quedan probadas. Mencionamosenelpargrafo1.5,queparaunaecuacindeprimerordenuna solucin general de la ecuacin no homognea es igual a la suma de la solucin general de la ecuacinhomogneaasociadamsunasolucinparticulardelaecuacinnohomognea dada. Esto se generaliza para toda ecuacin en diferencias lineal, y resulta de una importante propiedad de la diferencia denominada linealidad. Teorema5.1:(Linealidaddesolucionesdeecuacionesendiferencias)Sea *nx una sucesin solucin de la ecuacin en diferencias lineal de orden k) ( ) ( ) ( .... ) (0 1 1n R x n a x n a x n an n k n k= + + ++ +

y sea nxsucesin solucin de la ecuacin en diferencias lineal de orden k siguiente ) ( ) ( ) ( .... ) (0 1 1n S x n a x n a x n an n k n k= + + ++ +,entonces la combinacin lineal +n nx C x C2*1 es solucin de la ecuacin en diferencias lineal de orden k: ) ( ) ( ) ( ) ( .... ) (2 1 0 1 1n S C n R C x n a x n a x n an n k n k+ = + + ++ +[5.1] Porotrolado,reconociendoqueunaecuacinendiferenciastieneunasolucin general y otra particular correspondiente a cada valor de las constantes arbitrarias, y que una sucesin solucin de una ecuacin en diferencias se puede construir por recurrencia a partir de valores arbitrarios asignados a cada trmino de la sucesin, denominados valores iniciales, se tienequeparaunaecuacinlinealdeordenk,elk+1-simotrminosepuededeterminara partir de los k trminos anteriores. As cualquier solucin particular obtenida de esa forma se dice que satisface condiciones iniciales. Ademssi *nx esunasolucingeneral,contienekconstantesarbitrariasypuede satisfacerunacondicininicialdada.Si nx esunasolucinparticular, + =n n nx C x C x2 1, contiene tambin k constantes arbitrarias y puede satisfacer una condicin inicial, ya que nx eslasumade *nx yunasucesintotalmentedeterminada.Porlotanto, nx esunasolucin general de la ecuacin [5.1]. Siendo nxtambin solucin general, ms an lo es nx . Por otro lado si se eligen0 ) ( = n Sy12 1= = C C , resulta que una solucin general delaecuacinlinealendiferencias[5.1],eslasumadeunasolucinparticular delapropia ecuacinyunasolucingeneraldelaecuacinlinealendiferenciashomogneaobtenida haciendo igual a 0 el segundo miembro de [5.1], llamada ecuacin homognea asociada. 19 Aselproblemaderesolver[5.1]sehaseparadoendos.Sellamasolucin homogneadelaecuacin[5.1],aunasolucindelaecuacinendiferenciaslineal homognea asociada y que denotamos con hnx . Cuando se resuelve una ecuacin de ste tipo se tiene en cuenta que si dos sucesiones son soluciones de una ecuacin en diferencias lineal homognealoescualquiercombinacinlinealdeellasconcualquierpardecoeficientes constantes. Unareiteradaaplicacindeestosenunciadospermitegeneralizarloquesecumple para el caso en que el nmero de soluciones sea ms de dos. Problemas con Valores Iniciales El problema de resolver una ecuacinendiferenciascon condiciones iniciales dadas se llama problema con valor inicial, y en tal caso la solucin es una sucesin nica. Ejemplo Ilustrativo 5.1: Resolver el siguiente problema con valor inicial: == +13 201xx xn n Solucin: Segn dijimos antes, la solucin de la ecuacin dada es:3 2 =nnC x Ahoratomandoelvalorinicialdadoparalasolucinobtenidaresulta: 1 3 3 200= = = C C xEn consecuencia,4 = C , con lo cul la sucesin queda determinada en forma nica como: 3 2 . 4 =nnx Elrazonamientousadohastaaquparaecuacionesendiferenciasdeprimerorden, puedeextenderseaecuacionesendiferenciasdeordensuperior,conladiferenciadeque aumentaelnmerodecondicionesinicialesydeconstantesarbitrariasdadas,justificndose esto a travs de las variantes del mtodo de induccin completa. En efecto, si tenemos una ecuacin en diferencias de orden arbitrario k, una forma de determinar una solucin particular es despejar de la ecuacin el trmino k nx+ de manera que dependadelostrminosanteriores.As,apartirdekvaloresarbitrariosparaesosprimeros trminosdelasucesinelk+1-simotrminosedeterminaenformanica.Conloculla sucesin se construye por recurrencia. Adems,silosvalorescorrespondenalosprimerosktrminosdelasucesin, 1 1 0,..., , kx x x ,lasucesinquedadeterminadaensutotalidad.Elproblemadevalorinicial tendr tantas condiciones iniciales como es el orden de la ecuacin en diferencia. Asignar k valores iniciales a una sucesin que responde a una ecuacin en diferencias deordenk,implicatambinunicidadentalsolucin,laculnosllevaamodificarla condicin i) citada en el pargrafo anterior. As para poder asignar los valores arbitrarios, una solucingeneraldebecontenerkconstantes.Destamaneralacondicindeunicidadii)se generaliza diciendo: ii) Si se asigna a la variable n y a los trminos 1 1,...., , + + k n n nx x xvalores arbitrarios, entonces k nx+ se determina de manera nica. 20 Estacondicinsesatisfacesiemprequetodosloscoeficientesseanfunciones unvocasenn.Laformaqueadquierelainduccinmatemticaestadadaporunadesus variantes que dice: i)Para un nmero natural k , estn dados 1 1 0,..., , kx x xii)Sea h un nmero natural no menor que k. Si 1 1,..., ,+ k h h hx x xson nicos, entonces 1 + hx queda determinada de manera nica. Ejemplo Ilustrativo 5.2: Resolver el siguiente problema con valor inicial: === + + +410 4 4101 2xxx x xn n n Solucin: La raz caracterstica dos es doble, por los que la solucin general de la ecuacin en diferencias dada es: nnn C C x 2 ) (2 1+ = Reemplazando para los valores iniciales dados se tiene: 1 2 ) 0 . (102 1 0= = + = C C C x4 2 2 2 2 2 ) 1 . (2 2 112 1 1= + = + = + = C C C C C x Es decir:12= C . La sucesin buscada es nnn x 2 ) 1 ( + = 21 Tercera Clase: Sistemas de ecuaciones en diferencias lineales. Mtodo de eliminacin de sucesiones incgnitas. Lasecuacionesendiferenciastratadashastaahoraconsistenenunasolaecuacinenuna sucesinincgnita.Unconjuntodenecuacionesendiferenciassimultneasdensucesiones incgnitas se llama sistema de ecuaciones en diferencias. Ejemplo Ilustrativo 6.1: Supongamos el sistema siguiente: x yy xn nn n++ = =1109 0 Solucin:Laprimeraecuacinsepuedeescribircomox yn n + + =2 10.Sustituyendoyn+1 segnlasegundaecuacin,setienex xn n + =29 0;staesyaunaecuacinenunasola sucesin. Luegosereemplaza,porejemplo,lasegundaecuacindelsistemaconlaecuacinen diferencias dexn obtenida y resulta el sistema x yx xn nn n++ = =1209 0 Lasegundaecuacindelnuevosistemaeslaecuacinendiferenciaslinealde segundo orden cuyas races caractersticas son 3 y -3. Por consiguiente, una solucin general de la ecuacin esx C Cnn n= + 1 23 3 ( ) Luegoseobtieney x C Cn nn n= = + ++ +1 11213 3 ( ) delaprimeraecuacincomolasegunda sucesin. Por lo tanto las soluciones generales del sistema est dado por las sucesiones: x C Cnn n= + 1 23 3 ( ) y C Cnn n= + + +11213 3 ( ) Siadems,tenemoslosvaloresinicialesx0yy0,setienex C C0 1 2= + yy C C0 1 23 3 = . De estas ecuaciones, se determinanC1 y 2C . Comox1 se determina por 0y , la condicin de unicidadparaxnsecumple.Porconsiguienteynresultadeterminadademaneranicadela primera ecuacin del sistema. De esta manera dicho par de sucesiones es una solucin general del sistema. Consideremosqueelnmerodesucesionesincgnitasesdos,peroahoracadaunadeellas tomalaformamsgeneral.As,seconsideraunsistemadeecuacionesendiferenciasdela forma: x ax by Rny cx dy Snn n nn n n++= + += + +11( )( ) [6.1] llamadosistemadeecuacionesendiferenciasdeprimerordenlinealesconcoeficientes constantes. Siendo no nulosRn ( )oSn ( ) cada ecuacin es no homognea y por lo tanto el sistematambin.Siambossonnulos,elsistemaeshomogneo.Encuantoalosprimeros miembros, en generalxn+1 eyn+1 pueden estar multiplicadas por constantes. 22 Adems,sib=c=0entoncesxn+1eyn+1satisfacenseparadamentedosecuaciones independientes. Por lo tanto se supone provisoriamente que b 0. Si se reemplaza n con (n+1) en la primera ecuacin del sistema [6.1], entonces x ax by Rnn n n + + += + + +2 1 11 ( ) [6.2] Sustituyendoyn+1 de [6.2] segn la segunda ecuacin del sistema, se tiene x ax bcx bdy Rn bSnn n n n + += + + + + +2 11 ( ) ( ) Adems de la primera ecuacin se tiene queby x ax R nn n n= +1( ) , con lo cul resulta luego de agrupar trminos: x a dx ad bcx Rn dRn bSnn n n + + + + = + +2 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[6.3] Estaesunaecuacinendiferenciasdesegundoordenlinealconcoeficientes constantes enxn, siempre quead bc , pues si se verifica la igualdad la ecuacin se reduce a una de primer orden. Si se obtiene una solucin generalxn de la ecuacin [6.3] entoncesyn se determina de la primera ecuacin del sistema. Ejemplo Ilustrativo 6.2: Resolver el sistema x x yy x yn n nn n n++= += 117 4 26 3 Solucin: De la primera se tiene:x x yn n n + + += +2 1 17 4 2. Tomando la segunda ecuacin y sustituyendo nos queda:x x x yn n n n + += + +2 17 24 12 2 y aplicando la primera ecuacin:x x xn n n + + + =2 14 3 8 Esta es una ecuacin de segundo orden enxn, no homognea, cuya solucin es x C C nnn= + 1 23 4 De la primera ecuacin despejandoyn , y del resultado anterior nos queda: y C C nnn= + +323 6321 2 Ejemplo Ilustrativo 6.3: Resolver el sistema x x yy x yn n nn n n++= = 1123 6 Solucin: Al realizar la eliminacin de la sucesinyn resulta la ecuacin de primer orden en xn siguiente:x xn n ++ =15 0, cuya solucin esx Cnn= ( ) 5Buscamos ahora la segunda sucesin y resultay Cnn= 3 5 ( ) Ejemplo Ilustrativo 6.4: Resolver el sistema 23 =+ + =+ =+++n n n nn n n nn n nz y x zz y x yy x x1643111 Solucin: n n nnC C C x ) 2 ( 3 23 2 1 + + = n nnC C y ) 2 ( 5 23 1 = n n nnC C C z ) 2 ( 11 3 4 2 53 2 1 + = Sistemas de ecuaciones en diferencias lineales homogneos. Vimosatravsdelmtododeeliminacinqueunsistemadeecuacionesen diferenciaslinealesesequivalenteaunaecuacinenunasolasucesinincgnitadegrado mayor o igual a las ecuaciones del sistema, por lo que podemos suponer ahora la forma de las sucesiones soluciones tal como lo hicimos en las ecuaciones lineales, es decir, dado el sistema de dos ecuaciones en diferencias lineales de dos incgnitas homogneas siguiente. x ax byy cx dyn n nn n n++= += +11[6.4] suponemosquelassucesionessolucionestienenlaformax Cnn= yy Cnn= ,donde 0siendoalmenosunadelasconstantesCyCnoesnula.Sustituyendoestas expresiones en [6.4] Eliminando C y C de este sistema se obtiene : ( )( ) = a d bc 0 la solucin del sistema es: x C Cnn n= +1 1 2 2 y C Cnn n= + 1 1 2 2 cuando las races son distintasy x C C nn in= + ( )1 2 y C C nn in= + ( )1 2 cuando las races son iguales. Ejemplo Ilustrativo 6.6: Resolver el sistema x x yy x yn n nn n n++= = 1123 2

Solucin: x C Cnn= + 1 21 ( ) yy C Cnn= + 1 21 ( ) Finalmente la solucin se denota por el par x C Cnn= + 1 21 ( )y C Cnn= + 1 23 1 ( ) 24 Ejemplo Ilustrativo 6.7: Resolver el sistema x x yy x yn n nn n n++= += +113 Solucin: x C C nnn= + ( )1 22y C Cnnn= + ( )1 22o bien expresando en trminos de las mismas constantes, la segunda sucesin es( ) [ ]nn n nn C C x x y 2 22 1 1+ + = =+

Observacin:cuandolasracescaractersticassonigualesnopuedeaplicarselarelacin entre las constantes. Enefecto, al verificarse la solucin se ve que no se obtiene la ecuacin dada. Ejemplo Ilustrativo 6.8: Resolver el sistema x x yy x yn n nn n n++= = 1123 6 Solucin: Las races caractersticas son 0 y 5. Por lo tanto se toma la nica raz no nula y la ecuacin se reduce al primer orden, sta es: nnnnC y C x 5 ; 5 = = Tambin lospodemosexpresar en trminos de lamismaconstante,encuyocaso la segunda sucesin es: nn n nC x x y 5 2 ) (211= + =+ Sistemas de Ecuaciones en Diferencias Lineales No Homogneos Ejemplo Ilustrativo6.9: Consideremos el siguiente sistema no homogneo de ecuaciones en diferencias lineales, cuyo sistema asociado est dado en el ejemplo ilustrativo 6.1.

=+ =++n nn nx yn y x911 Solucin: Utilizando los resultados ya conocidos por el ejemplo 6.1, donde las soluciones del sistema homogneo asociado son: n n hnC C x ) 3 ( 32 1 + = y C Cnh n n= + + +11213 3 ( ) Adems sabemos que las races caractersticas son distintas de 1, entonces podemos hacer x k k nnp= +1 2y y h hnnp= +1 2 Sustituyendo estas expresiones en cada ecuacin del sistema, se tiene: x y k k n h hn nnpnp+ = + + =1 1 2 1 21 ( ) y x h h n k k nnpnp+ = + + =1 1 2 1 29 1 9 9 0 ( ) 25 Comparandoloscoeficientesdelaspotenciasden,setieneelsistemaalgebraicode cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas: k hk k hk hk h h2 21 2 12 21 1 2109 09 0 =+ = + = + + = resultando: 89;329;81;3252 1 2 1 = = = = h h k k Por lo tanto una solucin general es: x C C nnn n= + +1 23 31325 4 ( ) ( ) y C C nnn n= + ++ +11213 39321 4 ( ) ( ) Ejemplo Ilustrativo 6.10: Resolver el sistema + ==++nn nn nx yy x2 911 Solucin: x knp n= 2 y y hnp n= 2 Al reemplazar y desarrollar se tiene: x y k hnpnp n+ = =12 2 0 ( ) y x h knpnp n n+ = =19 2 2 9 2 ( ) Finalmente se tiene:n n nnC C x 251) 3 ( 32 1 + = n n nnC C y 252) 3 ( 31211 + =+ + Ejemplo Ilustrativo 6.11: Resolver el sistema + =+ =++nn nn nx yn y x2 911 Solucin: x k n k knp n= + +1 2 32 y h n h hnp n= + +1 2 32 Finalmente las sucesiones soluciones son: x C C nnn n n= + + +1 223 3181152 ( ) ( ) y C C nnn n n= + + + + +1121 13 3982152 ( ) ( ) 26 Ecuaciones en Diferencias como Modelos Matemticos Dinmicos Discretos. UnadelasaplicacionesmsimportantesquetienenactualmentelasMatemticasessu utilizacinenelestudiodefenmenosquepuedenocurrirenlosdistintosmbitosdelas diferentescienciasodisciplinas,yquepretendenserdescriptosmediantealgunaexpresin matemtica,seastadeterminsticaoprobabilstica,estoes,representartalfenmeno medianteunmodelomatemtico.Losmodelosmatemticossonunarepresentacindelos resultadosqueseproducenmediantelaaplicacindeunfenmeno,msan,la representacin paso a paso de la ocurrencia del fenmeno, lleva a la representacin dinmica conocida como simulacin. Demos formalmente algunas definiciones y conceptos: Definicin 7.1: Un Modelo Matemtico es una representacin matemtica simplificada de un cierto tipo de fenmenos reales. Enlacreacindeunmodelomatemticohayunprocesodeconceptualizacin.Separtede unaideaintuitivayseintroduceelconceptoinspiradodetalidea,mediantealgunasdesus propiedades bsicas, prescindiendo despus del punto de partida intuitivo. Elconjuntodepropiedades,entreellosteoremas,quesededucenmedianterazonamientos lgicosdelosaxiomas,constituyelaCienciaMatemticaaquenosreferimos:Teorade Probabilidades,TeoradeJuegos,ProgramacinLineal,AnlisisVariacionalContinuoo Discreto, etc. Paralaaplicacindelateoraconstruida,hayunsegundoprocesodedesconceptualizacin, queconsisteentraducirlosresultadoslogradosalarealidadconcretadepartidaenforma aproximada. En que medida se adapta un modelo a la realidad?, esto es una cuestin de carcter intuitivo para lo cual no se pueden dar reglas. Es ms fcil decir cuando un modelo no se adapta bien a larealidad,quedarunanormargidaparaaceptarlo.Enefecto,enelprocesode conceptualizacinreconocemosvariablequeintervieneneinfluyensobreelfenmeno,pero segnseaelnumerodetalesvariables,olaformadeintervenirenelmodelo,estassevan clasificandoencualessonmssignificativas,asescomodescartamosalgunasdelas variables,haciendomsfcilelmodelodesdeelpuntodevistaoperativo,perocorriendoel riesgo de la precisin de los resultados de acuerdo al fenmeno real. As es como se reconoce que un modelo matemtico es una caricatura de la realidad. Segn sea el fenmeno a describir podemos tener alguna herramienta matemtica asociada, es ms, un mismo fenmeno puede estar representado por modelos que usen distintas reas de la matemtica, aqu hacemos referencia a aquellos que varan con el tiempo, y como las distintas variables que participan en los resultados del fenmeno, definen un sistema, as pues se tiene la siguiente definicin: Definicin7.2:Unmodelomatemticoesunsistemadinmicocuandoelconjuntode variables que determinan el comportamientodel fenmeno formanun sistema que dependen de una variable independiente dada por el tiempo. Debemosreconocerqueunsistemaesunconjuntodeelementosrelacionadosentres;en nuestro caso son variables que determinan el fenmeno. Tales variables se dice que forman un sistemasi existeuna relacin de dependenciaentre ellas, de manera que lavariacin de una deellasinfluyeenlavariacindelasrestantes,estoseinterpretaconelconceptode retroalimentacinentrelasvariables.Talconceptoesmuytilporquenospermitepartir desde la estructura del sistema que analizamos y llegar hasta su comportamiento dinmico. Losmodelostratadosbajosistemasdinmicosrequierendedosherramientasmatemticas muyimportantes,yquesegnsealavariableindependientecontinuaonolosmodelos matemticosserncontinuosodiscretos.Lasherramientasalaquehacemosreferenciason 27 lasecuacionesdiferencialesylasecuacionesendiferencias.Aqunosabocaremosalos modelosmatemticosdiscretosbajosistemasdinmicos,esdeciraaquellosquese representan mediante ecuaciones en diferencias o sistemas de ecuaciones en diferencias. Enefecto,lasecuacionesendiferenciassonunaherramientafundamentalparalossistemas dinmicos,puessiendounasucesindedatosdelexperimentoaestudiar,dependientedel tiempo, se trata de establecer ecuaciones que representen la relacin entre distintos estados de la variable a lo largo del tiempo, as surgen expresiones que representan al fenmeno, es decir el modelo matemtico. Tal vez un primer e inmediato ejemplo esta en lavariacin de una cantidad quevare con el tiempo,talcomoeltamaodeunapoblacin,enefecto,siendoeltiemponuestravariable independienteyademsconsiderndoladiscreta,afindedeterminareltamaodela poblacin para un tiempo dado, iniciaremos nuestra representacin de mediante ecuaciones en diferencias del fenmeno de crecimiento.

7.1.Crecimiento Aritmtico Un caso muy particular de variacin poblacional ocurre con las abejas, en donde, de toda una poblacin slo la abeja reina da origen a una nueva camada. Mencionemos esto en trminos de una sucesin, y consideremos que a partir de una poblacin inicial el nmero de abejas crece sumando el nmero de cras en cada eclosin, al cul lo supondremos constante. Esto se traduce en frmula de la siguiente manera: Sea 0x el nmero inicial de abejas y sea N el nmero de cras que se obtiene de la abeja reina en cada eclosin, el cul lo vamos a considerar constante; y que despus de cada eclosin se inicia un nuevo periodo, en donde el tamao de la poblacin en cada periodo los indicaremos con,... , ,3 2 1x x x , por lo que al inicio de cada uno de dichos periodos la cantidad de abejas est dada por: N x xi i+ =+1 Es decir, que la diferencia entre el nmero de abejas en dos periodos consecutivos es constante, o sea N.Podemos escribir esto como: N x xi i= +1 la cul es una ecuacin en diferencia de primer orden lineal de la forma [1.10] dada en el pargrafo 1.3, es decir, es una progresin aritmtica. Este modelo de crecimiento se conoce como crecimiento aritmtico. As podemos establecer condiciones que determinan el citado crecimiento: i)Hay una abeja reina en una poblacin inicial de tamao 0x. ii)De la reina se obtiene una nueva camada de cras en cada perodo, sea ste nmero una constante N. Entonces para llegar a conocer el nmero de abejas al finalizar un determinado periodo i-simo, se lo obtiene con la formula de la sucesin solucin, es decir,iN x xi+ =0. 28 7.3.Crecimiento Geomtrico Laecuacindemogrficaexpresaeltamaodeunapoblacinparauntiempo determinado,apartirdeltamaodedichapoblacinenuntiempoanterior,ydesus variacionesdadasdurantetalintervalodetiempo,yasea,debidoalcrecimientonatural (nacimientos y defunciones) opor movimientos migratorios (emigracioneseinmigraciones). As pues: h h h h t h tE I D B P P + + =+ donde h tP+eseltamaodelapoblacineneltiempo t+h,siendoheltiempotranscurridoa partirdeunaoconocidot,consideradocomobase,siendoeltamaodelapoblacinel indicado con tP y a partir del cul se ve modificada durante ese tiempo h transcurrido por los nacimientosB,lasdefuncionesD,lasinmigracionesIylasemigracionesE,llevadasacabo durante ese periodo de tiempo h. Silasdosltimasvariablesocomponentesdelaecuacinsonnulas,sedicequela poblacin es cerrada, en tal caso solo depende de un crecimiento natural. Estascuatrocomponentesdelaecuacindemogrfica:B,D,IyE,engeneralson expresionesquedependendeltamaodelapoblacin,estoes,sonproporcionalesyse conocencomondicesotasadenatalidad(b),mortalidad(d),inmigracin(i)yemigracin (e), y se suelen expresar en por mil. As se tiene: t hbP B =t hdP D =t hiP I = t heP E = por lo que la ecuacin demogrfica puede escribirse:( )t h tP e i d b P + + =+1 llamandoalaexpresinentreparntesis ,setiene: t h tP P =+,queesunaecuacinen diferencia homognea de primer orden. Unproblemadeprogresingeomtricapresentadoenunlibrodetextode matemticastitulado"Jinkoki",quefueampliamenteutilizadoenJapnenelsigloXVII,y sobre el cul hace mencin T. Takahashi, dice: A principios de ao nuevo aparece una pareja de ratones, quienes tienen luego una camada de 12cras.Elnmeroderatonesesahora14.Enfebreronosolamentelaparejainicial,sino tambincadaunadelasnuevasparejas,dalugara12cras.Elnmerototalderoedoresse convierteen98.Enestaforma,unavezpormescadaparejaderatonesdecadaunadelas generacionestieneunacamadade12cras.Culeselnmerototalderatonesalfinalde diciembre?. Realizandolascuentasparacadaunodelosdocemesessellegaa27.682.574.402, que es el resultado correcto. Pero podremos analizar este problema de la siguiente forma, ya que primeramente las condiciones del problema se resumen en: i) Hay dos ratones a principios de enero. ii) Cada pareja tiene 12 cras en cada mes, o sea, el incremento del nmero de ratones es de 6 por 1. Parallegaralnmeroderatonespresentesalfinaldediciembre,deacuerdoalas condicionesanteriores,formularemosecuacionescuyasincgnitasseanlascantidadesde ratones al finalizar cada uno de los meses de enero a diciembre. 29 Denotemospor 12 3 2 1,..., , , x x x x alnmeroderatonesenenero,febrero,marzo,..., diciembre,respectivamente.Inicialmentehaydosratonesyafinesdeeneroelnmerode ratones llega a ser 1x .Por lo tanto el incremento de dicho nmero es21 x ,que esiguala 62 por la condicin ii).Es decir:2 . 6 21= x [7.1] Como 1xes tambin el nmero de ratones al principio de febrero, el incremento del nmero en dicho mes es igual a 1 2x x , que es igual a 16xpor la condicin ii), es decir: 1 1 26x x x = [7.2] Delmismo modo, por la condicinii),el incremento del nmero de ratonesencada uno de los meses restantes est dado por las siguientes ecuaciones: i i ix x x 61= + [7.3] Las expresiones [7.1], [7.2] y [7.3] forman un sistema de ecuaciones simultneas con doceincgnitas 12 3 2 1,..., , , x x x x .Pararesolverlas,despejemoslaincgnitade[7.2]y resolvamos: 14 2 2 61= + = x Reemplazando ste valor en [7.3], se tiene una sola incgnita ahora, que al despejarla queda: 98 61 1 2= + = x x x Reiterando ste procedimiento, se tiene: 686 72 3= = x x4802 73 4= = x x............................ Parapoderobservarlaregularidad,esmejorrepresentarestosvaloresenformade exponentes, esto es, 227 . 2 = x 337 . 2 = x 447 . 2 = x............ Por lo que : 12127 . 2 = x Sibienelproblemaestresuelto,eneldesarrolloseescribimuchasfrmulas semejantes, con el propsito de resumirlas realizaremos lo siguiente: Representemoslosmesesdelprimeroalltimomediantelavariablen. Anlogamente,sea nx laformaderepresentara 12 3 2 1,..., , , x x x x .Denotemoscon nx el nmeroderatonespresentesalfinaldeln-simomes.Sibienlasecuaciones[7.1]y[7.2] relacionanelnmeroexistentederatonesdeunmesdeterminadoydelanterioraese,la 30 ecuacin[7.3]parecetenerunaformadiferente,laculsepuedereformularestableciendo para n=0, 0x , a lo que llamaremos de aqu en adelante, valor inicial, entonces tendremos: 0 0 16x x x = que es una forma de escribir [7.1] en forma idntica a [7.2] y [7.3]. Por lo tanto, el nmero de ratones al principio del n-simo meses, 1 nx , de donde las ecuaciones [7.1], [7.2] y [7.3] se resumen en la frmula 1 16 = n n nx x x [7.4] Considerando stanuevaexpresin, lassoluciones para losdistintos mesesse puede expresar con la frmula nnx 7 . 2 = [7.5] donde la variable puede tomar ahora valores desde cero. Reacomodandotrminosen[7.4]yaplicandoladefinicindeunaecuacinen diferencia lineal de primer orden homognea, nos queda: 0 71= + n nx x

siendosusolucingeneralprogresionesgeomtricas.Asstemodelodecrecimientose conoce como crecimiento geomtrico. 7.4.Crecimiento Geomtrico Modificado Modifiquemosunpocoelproblemadelaprogresingeomtrica.Supongamosque hay dos ratones al principio del ao y que por cada uno de ellos hay 6 cras al cabo de un mes. Supongamos adems que los gatos atrapan 10 ratones al mes. Entonces, en vez de la ecuacin [7.4], la ecuacin en diferencias del nmero de ratones resulta ser 10 61 = + n n nx x x[7.6] con n variando de 0 a 11 y con la condicin inicial,20= x . Estaecuacin[7.6],esunaecuacinendiferenciadeprimerordenconcoeficiente constante,cuyaformageneralesunasucesingeomtricamodificada,quepuedeserescrita como: 10 71 = + n nx xMs an usando la forma recurrente derivada de [7.6] se puede obtener los siguientes valores numricos: 4 10 70 1= = x x18 10 71 2= = x x116 10 72 3= = x x............................... 340 . 762 . 613 . 4 10 711 12= = x x Donde se ve que la cantidad de ratones es mucho menor ahora que en el caso anterior en que no haba gatos, los cuales actan como depredadores.31 El problema en s es un P.V.I., en efecto: ==+2-10 7 -01xx xn n siendo la solucin la sucesin: 35731+ =nnxUn planteo que puede hacerse es que slo nos interesa la cantidad de ratones, y que la cantidaddegatosqueintervienennoafectaanuestroproblema,sinosololaincidenciade estos en la cantidad de ratones, por ello es que lo que se agreg en este nuevo modelo fue slo una constante. Posteriormente veremos en el ltimo pargrafo, como hacer participar a la otra poblacin en un modelo. 7.5.Crecimiento con Retraso: la sucesin de Fibonacci Esposiblequelavariacindeunapoblacinparaunprximoaodependano solamente de la cantidad de individuos de ese ao, sino tambin de la densidad de poblacin en unao anterior.Por ejemplo, lapoblacin herbvora depender de lavegetacin que a la vezpuededependerdelacantidaddevegetacindevoradaporlosherbvorosenelao anterior.Entalcasosielnmerodeesapoblacinparauni-simoaoes ix ,entonces ) , (1 1 +=i i ix x f x ,laculesunaecuacinendiferenciadesegundoorden,yelmodelose conocecomocrecimientoconretardo,extendindoseestenombreparacualquierorden mayor de la ecuacin. Unejemplotpicoeseldelaecuacindesegundoordenlinealquemodelaaun conocido planteo delproblema de losconejos,estudiado por Leonardo de Pisa,el cul dice: se desea conocer el nmero de parejas de conejos adultos resultantes de una pareja durante un aosicadaparejaadultaproducemensualmenteunaparejanuevaylosrecinnacidos alcanzanlaplenamadurezenelcursodeunmes.Enefecto,llamemoscon 0x elnmero inicialdeparejasadultas,con 1x elnmerodeparejasexistentesalcabodefinalizadoel primer mes, con 2x la cantidad de parejas al finalizar el segundo mes, y en general con ix , el nmero de parejas de conejos adultos, al finalizar el i-simo mes, entonces, podemos analizar el problema de la siguiente manera: 10= xla cul es una condicin inicial. Pasadounmes,setendrunanuevaparejadeconejos,quealserrecin nacidos no afectan a nuestro segundo valor de la sucesin, as:11= x . Alfinalizarelsegundomessetienedosparejasdeconejosadultos,eigual cantidadderecinnacidos,losquealcabodelprximomessernadultos, as: 1 0 2x x x + =Estaltimaexpresinseextiendeparalossiguientesmesesconloquese puede escribir la nueva ecuacin como una generalizacin de la anterior: 1 1 ++ =i i ix x xsiendo una ecuacin en diferencias lineal de segundo orden. Debe tenerse cuidado que la ecuacin anterior no es el modelo completo de nuestro problema, pues las condiciones iniciales determinan la sucesin nica dada por el P.V.I. siguiente: 32 + === + 1 11011i i ix x xxx QuedaasdeterminadalasucesinnicaconocidacomoSucesindeFibonacci, nombre con el que pas a la inmortalidad Leonardo de Pisa. 7.6.Variacin de precios segn una cierta depreciacin Elpreciodemercadodeunproductoparaunciertoaot,apartirdesuaparicin sufreunaciertadepreciacind,respectodecadanuevoao.Consideremosqueseaestedel 4%,entoncespodemosdecirquesielprecioparaundeterminadoaotseexpresapor tp , resultar que para el ao siguiente el precio se expresa como: t t tp p p 96 , 0 ) 04 , 0 1 (1= =+ Dehechostaesunaecuacinendiferenciasdeprimerordenquerespondeauna progresin geomtrica. Al igual que antes se trata de un problema con valor inicial, en donde el precio con el que sali al mercado es el valor inicial, es decir: 0pes el valor con el cul sale al mercado. 7.7.Variacin de velocidad en un mvil Supongamosunvehculodevelocidadlibrequeaceleraenunapistarectaconuna velocidadinicialde80km/h,alpasarporelpuntodecontrol,yqueaceleradurantediez segundos de forma tal que a t segundos de pasar por dicho control su velocidad esta dada por tv ,siendo5 31+ + =t v vt t.Destamanerapodemoshallarlasvelocidadesacada segundo segn la ecuacin en diferencias de primer orden dada, con el valor inicial800= v.En efecto, se puede hallar los valores: 88 5 1 3 801= + + = v99 5 2 3 882= + + = v............................ 295 5 30 26010= + + = v Tambin aqu corresponde ver al modelo como un problema con valor inicial. 7.8.Crecimiento en Poblaciones con dos Especies Unmodelomatemticodiscretoquepodemostratarlomatricialmente,abordado mediante potencias de una matriz de transicin en un sistema de ecuaciones lineales de primer ordeneseldepoblacionesencompetencias.Enefecto,seaunapoblacinconcrecimiento constante a proporcional a la cantidad de ejemplares existentes el ao anterior, y siendo 0pla poblacininicial,setieneque i iap p =+1,comosepresentenelmodelogeomtrico.Esto correspondeaunmodelosincompetencia,peroahoratomandoadospoblacionesque compitenentresenunmismohbitat,infinitamentegrandecomoparaquesutamaoeste fueradelalcancedelproblema,aligualquecualquierotradisponibilidad,entonces,cada 33 poblacin depender nicamente del tamao de las dos poblaciones. Aqu merece atencin el signo decadaecuacin, siendolos coeficientes todos positivos,pues depende del problemas en s, las poblaciones luchan entre si, o una prevalece sobre la otra. Tomemoselsiguienteejemplo:Seandospoblaciones,unadezorrosyotrade gallinas,talqueparaunaot,eltamaodeambaspoblacionesserepresentapor tZy tG , respectivamente. Adems eltamaodela poblacin de gallinaspara un nuevoao,depende delacantidadquesobrevivendelaoanterior,loqueseexpresamedianteelcrecimiento natural que depende slo de ellas, menos el nmero de las que fueron alimento de los zorros, siendo esto ltimo, una fraccin en trminos del tamao de zorros.Por otro lado el tamao de la poblacin de zorros, depende del crecimiento natural de ellos, ms el aporte del alimento que significa las gallinas, que proviene de ese tamao. En tal caso llamando a los cuatro coeficientes por a, b, c y d, respectivamente, el modelo es: = += ++11t t tt t tZ dZ cGG bZ aG Por lo tanto si distinguimos al vector de estado y a la matriz de transicin como: |||

\|=tttZGX |||

\| =d cb aA podemos reescribir el modelo mediante la ecuacin matricial: t tAX X =+1 Porltimo,siagregamosanuestroproblemaalgnotronuevofactorcomoserun determinadoalimento,queafectefavorablementesoloaunadelaspoblacionesdebemos agregar un nuevo coeficiente. Supongamos que las gallinas dependen de una cantidad de maz en grano con disponibilidad infinita, representada en un trmino e independiente de su tamao poblacional, por lo cul lo tomamos como constante, entonces el nuevo modelo es: = += + ++11t t tt t tZ dZ cGG e bZ aG

Bibliografa: Juarez,Gustavo;Navarro,Silvia(2005).EcuacionesenDiferenciascon Aplicaciones a Modelos en Sistemas Dinmicos. Ed. Sarquis. Catamarca Takahashi, Takehito (1990). Ecuaciones en Diferencias con aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamrica. Mxico.MartnGarca,Juan(2003).TeorayEjerciciosPrcticosdeDinmicade Sistemas. Edicin del Autor. Barcelona. Goldberg,S.(1964).EcuacionesenDiferenciasFinitas.MarcomboS.A. Barcelona.Haberman,Richard.(1998).MathematicalModelsMechanicalVibrations, PopulationDynamics,andTrafficFlow-AnIntroductionAppliedMathematics. Editorial Siam. Philadelphia. Markushvich,A.I.(1986).SucesionesRecurrentes.3raedicin.EditorialMIR. Mosc.