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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS “Año de la unión nacional frente la crisis externa”

Tema: Ecuaciones diferenciales y ecuaciones en

diferencias: “Modelo de la telaraña” Curso: Matemática III Profesor: Castañeda Yaya, Carlos Alumnos: Carrasco Villanueva, Marco Falcón Vargas, Dante García Montalvo, Juan Pezo Hualpa, Gustavo Silva Suárez, Christian

Lima, 8 de julio del 2009.

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ÍNDICE Introducción

I. Modelo Lineal Estático

1. Generalización

2. Consecuencias

II. Modelo lineal Continuo

1. Generalización

2. Consecuencias

III. Modelo Lineal Discreto: “Modelo de la Telaraña

1. Generalización

2. Consecuencias

3. Tipos

A. Modelo de la Telaraña AMORTIGUADO o CONVERGENTE

B. Modelo de la Telaraña EXPLOSIVO O DIVERGENTE

C. Modelo de la Telaraña CONSTANTE

IV. Conclusiones

V. Bibliografía

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Introducción El presente trabajo trata de recoger los principios del análisis dinámico en la economía enfocándonos en el modelo lineal discreto (con variación discreta del tiempo) más conocido como “modelo de la telaraña”. Por ser este un modelo de uso muy recurrente en economía se ha ido explicando su surgimiento a partir de los conceptos básicos del modelo lineal estático y modelo lineal continuo que también hemos definido de manera significativa. A finales de los años cincuenta y principios de los sesenta surgieron dos escuelas de pensamiento divergentes en lo que a los criterios económicos se refieren, una de ellas enfatizaba la limitada capacidad de cálculo del hombre a la hora de tomar decisiones, y la otra (liderada por los trabajos de John F. Muth) desarrollaba el concepto de las expectativas racionales. Ambas corrientes trataban de explicar, a su manera, lo racional o no de los agentes económicos a la hora de formar sus expectativas con respecto a posibles eventos económicos, o ante futuros cambios en variables macroeconómicas que pudieran afectar sus beneficios y por lo tanto su bienestar. Las variaciones en el nivel de precios de la economía era una de los principales factores que podían afectar el normal funcionamiento de la economía en su conjunto, esto junto con las expectativas que los agentes económicos se formaban con respecto al futuro comportamiento de esta variable, podían alterar radicalmente la dinámica de los precios del mercado. Éste era un tipo de problema que podía denominarse como la interacción entre las expectativas y la realidad. Esto generaba que en el largo plazo - luego de un proceso de ensayo y error entre las expectativas generadas en la economía y el real comportamiento de los precios - los agentes económicos se fueran ajustando continuamente a las desviaciones existentes entre la realidad económica y dichas expectativas. Por lo tanto si los agentes económicos basan sus expectativas de precios en el comportamiento pasado de dicha variable, o mejor aún, basan sus expectativas de precios en el periodo inmediatamente anterior surgirá la posibilidad de una fuerte inestabilidad de la producción y de los precios, que luego se podría ir disipando con el tiempo cuando la información pueda fluir corrientemente entre la mayoría de los agentes económicos. Este proceso de interacción entre las expectativas y la realidad, es lo que se conoce hoy en día como “Modelo de la Telaraña” y es el motivo del presente trabajo. Debido a la gran importancia que tiene el conocimiento de dicha formulación económico-matemática, para la aplicación teórica en modelos de economía cerrada, se hará en el presente documento un análisis teórico-práctico del mismo, abordando su definición como modelo económico y enfocándonos principalmente en la parte matemática y dando ejemplos para hacer notar la relación entre el precio y las cantidades, la demanda y la oferta, entre otros temas relacionados con el teorema.

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Gráfico 1:

S

D

Q

P

Q *

p *

I. Modelo Lineal Estático 1) Generalización: El modelo estático representa el modelo base de análisis económico, al no ser dinámico no depende del tiempo y por tanto todas sus variables pueden hallarse con ecuaciones simples. El modelo lineal estático se puede generalizar matemáticamente con las siguientes funciones:

Función de demanda:

Función de oferta:

Condición de equilibrio:

2) Consecuencias: A partir de las cuales podemos hallar matemáticamente el punto de equilibrio, lo que nos da la información de precio de equilibrio y cantidad de equilibrio.

Precio de equilibrio:

Cantidad de equilibrio:

De manera gráfica se puede observar el equilibrio en la intersección de las rectas S (oferta) y D (demanda), intersección que nos da el precio de equilibrio (Pe) y la cantidad de equilibrio q tratamos de hallar (Qe). Sin embargo, no sabemos nada sobre el comportamiento de las variables en el tiempo.

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II. Modelo Lineal Continuo

1) Generalización: En este modelo se considera como variable explícita al tiempo; las relaciones que tienen entre sí las variables del modelo al variar el tiempo y su comportamiento a través del tiempo puede deducirse partiendo de las siguientes funciones:

Función de demanda:

Función de oferta:

Ecuación de ajuste del precio:

2) Consecuencias: Se obtiene de manera inmediata la ecuación diferencial con incógnita :

Esta ecuación nos indica la relación que hay en cada instante t entre el precio y su derivada. Al considerar un precio de equilibrio constante, al que seguimos llamando p*, tal que deberá satisfacer también la ecuación diferencia, así tenemos:

De donde:

, Resolviendo la primera ecuación diferencial obtenemos:

Y así obtenemos D y S, a los que posteriormente podemos insertar los valores D* y S*:

Se observa según:

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Y teniendo en cuenta , que al tomar t valores arbitrariamente grandes, tanto como

y se aproximan a sus valores de equilibrio, es decir:

Y siendo (como el método estático).

En el grafico 2 se observa claramente el comportamiento del precio a través del tiempo según

y considerando que .

Otra manera de tener una visión grafica del comportamiento de , según las relaciones que se

resumen en la ecuación diferencial primera ecuación diferencial es mediante el diagrama de fase,

aprovechando que podemos expresar como una función de :

Gráfico 3:

P(t)

dt

dp

f

T

P

p*

P(0)

Gráfico 2:

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Es claro que f es una función lineal afín de con pendiente negativa. Considerando un sistema de

coordenadas con en el eje horizontal y en el vertical, podemos representar la curva de fase

correspondiente a f, como en la figura 3.

Las fechas indican como los valores de tiende hacia el valor que corresponde a , es decir, a

dado por

. El sentido de la s flechas se explica al observar que ira tomando valores crecientes –hacia la

derecha- mientras sea positivo (la curva de fase se encuentra sobre el eje horizontal) e ira tomando

valores decrecientes –hacia a la izquierda- mientras sea negativo. En este caso específico es fácil

advertir que tendremos cuando y vemos la coherencia del gráfico 2 con las flechas

hacia la derecha del gráfico 3. Así concluimos que en el modelo propuesto, el precio de equilibrio es estable; por tanto si el precio inicial

no es el de equilibrio se dará una mecanismo de ajuste que llevara el precio hacia .

III. Modelo Lineal Discreto: “Modelo de la Telaraña” 1) Generalización: Para ilustrar el uso de las ecuaciones en diferencia de primer orden en el estudio económico,

mostraremos el uso de este modelo de mercado para un solo artículo.

Suponemos, ahora, que el precio no varía de manera continua con el tiempo y que los arreglos ocurren

en un conjunto discreto de intervalo de tiempo.

En la línea temporal consideraremos puntos igualmente espaciados 0, k, 2k,… y al precio de cada uno de

estos puntos llamaremos P0, P1, P2,…, ó en general pt = p(t k) para t = 0, 1,2,…

Análogamente:

Qt = Q( th )

St = S( th ) t = 0,1,2,…

Consideramos la circunstancia en la cual el productor toma decisiones con un periodo de anticipación de

la venta. Supongamos que la decisión del productor en el periodo t se basa en el precio Pt prevaleciente

entonces. Como este productor no va a estar disponible para la venta hasta el periodo (t +1), sin

embargo, Pt va a determinar St +1 , al retrasar un periodo nos queda de la siguiente manera:

Función de demanda:

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D t = a + bpt , b < 0

Función de oferta:

S t = c + dpt-1, d > 0

Condición de equilibrio:

D t = S t

2) Consecuencias:

De todas las ecuaciones obtenemos una forma reducida a una ecuación en diferencias de primer orden

cuya incógnita es la función p = pt:

bpt – dpt-1 = c – a (1)

Esta ecuación nos dice la relación que hay entre el precio en cualquier periodo t y el precio en el periodo

anterior t -1. Podemos considerar un precio de equilibrio al que continuamos llamando p*, el que deberá

satisfacer (1) y entonces

bp* - dp* = c – a,

De donde:

bd

cap*

Y en consecuencia:

D* = a + bp*, y S* = c + dp*, (2)

Al resolver (1) obtenemos

** pb

dppp

t

ot (3)

Y así:

** pb

dppbaD

t

ot (4)

** pb

dppdcS

t

ot (5)

O teniendo en cuenta (2)

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t

otb

dppbDD ** (6)

1

**

t

otb

dppdSS (7)

De (3), (6) y (7) y según las propiedades de ecuaciones en diferencia no podemos inferir que el precio, la

demanda y la oferta convergerán a sus valores de equilibrio, pues eso depende del valor de d / b. Por los

supuestos del modelo este cociente es de signo negativo, lo cual nos dice que al variar, (d / b)t irá

tomando valores alternados positivos y negativos; pero la convergencia al equilibrio depende de la

convergencia de {(d / b)t} hacia cero, lo cual ocurre cuando 1b

d

En el gráfico 4, se ilustra el movimiento del precio a través de varios períodos – según (3) – partiendo de

un valor inicial P0, mayor que el precio de equilibrio P* , en el caso 1b

d

P0

P1

P*

1 2 3 4 5

p

t

Gráfico 4

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Los casos 1b

d y 1

b

d se muestran gráficamente en la figuras 5 y 6 respectivamente.

Otra forma de tener una visión gráfica del movimiento del precio es mediante el diagrama de fase,

aprovechando que podemos expresar Pt como una función de Pt-1 :

Pt = b

d Pt-1 +

b

ac (8)

= : f (Pt-1)

Consideremos el caso 1b

d: la función f es una lineal de pendiente d / b, tal que

-1 <b

d< 0

Consideraremos un sistema de coordenadas con Pt-1 en el eje horizontal y Pt en el vertical, podemos

representar la curva de fase correspondiente a f, como en el gráfico 7, en la cual se ha trazado, además,

la recta a 45º (bisectriz del cuadrante) que nos servirá para mostrar, por iteración, los valores de p.

P* P*

P1 P1

P0 P0

P

t

P

t 1 2 3 4 1 2 3 4

Gráfico 5 Gráfico 6

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Las flechas y las líneas punteadas en el gráfico 7 nos muestran como a interactuado el precio, partiendo

de un valor inicial P0, que lo hemos tomado mayor que el punto de equilibrio P* (donde P* se determina

con el punto de intersección de ambas rectas, pues satisface (1) por lo tanto es un punto fijo en f ).

Veamos:

Dado P0, obtenemos f(Po) = P1 y para obtener P2, llevamos P1 al eje horizontal a través de la recta 45º ; así

P2 = f(P1) y el procedimiento lo repetimos sucesivamente.

En el caso que acabamos de ilustrar ( 1b

d) vemos una trayectoria de convergencia al equilibrio,

coherente con el gráfico 4.

3) Tipos: Una vez definido el modelo de la telaraña podemos darnos cuenta de la existencia de tres casos, para:

1b

d Se conoce como Modelo de la Telaraña AMORTIGUADO o CONVERGENTE

1b

d Se conoce como Modelo de la Telaraña EXPLOSIVO o DIVERGENTE

1b

d Se conoce como Modelo de la Telaraña CONSTANTE

f

45º

P1

P2

P0

P3

P4

P*

P1 P2 P3 P4 P*

Pt

Pt -1

Gráfico 7

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A. Modelo de la Telaraña AMORTIGUADO o CONVERGENTE En este caso el nivel de precios y las cantidades tienden al equilibrio, partiendo de una situación en la cual la demanda del producto en su periodo inicial es mucho mayor a la cantidad ofrecida, que luego por presiones de demanda y de oferta, tiende en el mediano o largo plazo al equilibrio.

En este grafico se puede observar mas fácilmente como el precio del producto tiende el largo plazo a estabilizarse e igualarse con el precio de equilibrio.

B. Modelo de la Telaraña EXPLOSIVO O DIVERGENTE

S

D

Q

P

P1

P2

P3

P0

Q1 Q2 Q3 Q4

Q

P

P1

P0

Grafico 8

Grafico 9

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Es llamado de esa manera porque existen fuertes y grandes fluctuaciones en el nivel de precios, lo que va generando la no existencia de un punto de equilibrio, es decir, no va a ver coincidencia entre los productores y los demandantes, gráficamente se puede visualizar lo anterior.

Al contrario del Grafico 2, en este se puede evidenciar como conforme pasa el tiempo el nivel de precio del producto tiende a retirarse paulatinamente del precio de equilibrio.

C. Modelo de la Telaraña CONSTANTE

Q

P

P1

P0

S

D

Q2 Q1 Q3

Q

P

P1

P0

Grafico 11

Grafico 10

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En este caso, debido a que las inversas de las pendientes de las curvas de oferta y demanda son iguales, se presenta una forma de telaraña que se mantiene fuera del equilibrio, pero no se va alejando del mismo, se mantiene en un movimiento constante en el mismo sitio.

Obsérvese como en este caso la evolución del precio del producto se mantiene alrededor del precio de equilibrio y nunca de aleja lo suficiente como para asemejarse al modelo explosivo o nunca se aleja lo demasiado para parecerse al modelo amortiguado.

IV. CONCLUSIONES

Q

P

P1

P0

S

D

Q2 Q1 Q3

Grafico 12

Q

P

P0

Q2 Q1 Q3

Grafico 13

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El teorema de la telaraña ha demostrado ser un modelo económico que puede predecir de una forma algo eficientes ciertos problemas económicos en cuento a expectativas de precios y cantidades ofrecidas y demandadas (existen sectores en los que se desechada su aplicabilidad). Pero los supuestos explícitos que posee dicho modelo incapacitan al mismo, para poder explicar la coyuntura existente hoy en día en ciertos mercados, ya que, en la actualidad la mayoría de estos mercados existen nuevas variables que afectan directamente el precio de los productos además los mismos también se manejan bajo la figura de protecciones arancelarias, mercados abiertos a la competencia internacional, tipo de cambio, problemas socioeconómicos, políticos, entre otros, que hacen al modelo obsoleto para poder explicar el comportamiento de los mismos.

A pesar de lo anteriormente planteado el teorema de la telaraña posee una amplia gama de material teórica y practico necesario para comprender un poco como se manejan los mercados bajo ciertas condiciones (supuestos), lo cual se pudo demostrar en la investigación reseñada. La forma en que el teorema – mediante un modelo dinámico simple- explica el comportamiento de mercados específicos atados a supuestos básicos del mismo, evidencia el aporte del mismo a las ciencias económicas y sociales.

V. Bibliografía

Chiang, Alpha C. y Wainwright, Kewin (2005): Métodos fundamentales de economía matemática; McGraw Hill 2005, México

Espinoza Ramos, Eduardo (2004): Ecuaciones Diferenciales y aplicaciones; Lima, Perú.

Maddala, G. S. y Miller, E. (1989): Microeconomía. Teoría y Aplicaciones; McGraw-Hill, México.

Mochón, F. y Pajuelo, A. (1990): Microeconomía; McGraw-Hill Interamericana, España.

Web de economía: Zona económica, www.zonaeconomica.com http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/estad2/material/e2p_resueltos.pdf