ecuaciones diferenciales eduardo espinoza ramos

ECUACIONES DIFERENCIALES

Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI INGENIERÍA DE SISTEMAS

“AÑO DE UNION NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA”

UNIVERSIDAD NACIONAL

“HERMILIO VALDIZÁN”

E. A. P. INGENIERÍA DE SISTEMAS

CURSO : ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE : ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR

CICLO : VI

ALUMNOS : CALIXTO CARMEN, Yonel Orlando

ARIAS RICALDI, Guzman Angel

HUANUCO- PERÚ

2009

TRABAJO Nº 1

Resolución Capítulo I



ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA

1. 2

20

d dR

dt dt c

Respuesta: Es de 2º orden y 1º grado

2. 4 53 2

3 20

d y d yy

dx dx

Respuesta: Es de 3º orden y 4º grado

3. 22

2. 0

d y dy dyy

dx dx dx

Respuesta: Es de 2º orden y 1º grado4. cosy y x Respuesta: Es de 1º orden y 1º grado5. 22

42

d y dyy

dx dx

Respuesta: Es de 2º orden y 4º grado6. 3 2. 3 1D Y x Respuesta: Es de 1º orden y 3º grado7. 2 34 2 4

2 3

dy d y d yx x y

dx dx dx Respuesta: Es de 3º orden y 1º grado

8. 3 42 27

2 2

d y d y dyx y cos x

dx dx dx

Respuesta:Es de 2º orden y 3º grado9. 3 40x y y y Respuesta: Es de 2º orden y 3º grado10. 2 4

cos 1x y sen x y Respuesta: Es de 2º orden y 2º grado



EJERCICIOS PROPUESTOS DE DEMOSTRACIÓN

1. Verificar que la función0

sen,

x ty x dt

t satisface a la ecuación diferencial

sendy

x y x xdx

RESOLUCIÓN

0

0 0

0 0

sen

sen sen sen' sen

sen sen: ' sen sen

' sen

x

x x

x x

y

Sea

ty x dt

tt x t

y dt x dt xt x t

t tEntonces xy x dt x x dt x x

t t

xy xy x x Satisface a la ecuación diferencial

Rpta: ' senxy xy x x

2. Comprobar que la función 2

0,

xx t xy e e dt ce satisface a la ecuación diferencial2x xdy

y edx

RESOLUCIÓN

2

2 2 2 2

2 2 2

2

0

0 0

0 0

' .

'

'

xx t x

x xx t x x x x t x x x

x xx t x x x x t x

x x

Sea

y e e dt ce

y e e dt e e ce e e dt ce e

y y e e dt ce e e e dt ce

y y e

Rpta:2

' x xy y e

3. Dada la función 1

21

cos, 0,

1

atdtH a a

t

probar que H(a) satisface a la

ecuación diferencial 1'' ' 0H a H a H a

a

RESOLUCIÓN



1

21

cos

1

atdtH a

t

Cambio de variable.t sen

cosdt d

1 1

1 1

cos .coscos

cos

a sen dH a a sen d

1

1.H a sen a sen sen d

1 2

1cos .H a a sen sen d

Entonces:

1 12

1 1

1cos . 1 ...( )

sen a sen sen dH a H a H a a sen sen d i

a a

Integrado por partes:

1 2

1cos cosa sen d

cosu du sen d

cos cosdv t sen d sen a sen

va

1 112

11 1

cos .cos cos

sen a sen sen a sen sen da sen d

a a

1 12

1 1cos cos ...( )

sen a sen sen da sen d i

a

Reemplazando (ii) en (i):

1 1

1 1

10

sen a sen sen d sen a sen sen dH a H a H a

a a a

1

0...... . .H a H a H a qq dda

4. Verificar que la función arcsen ,y xy satisface a la ecuación diferencial2 2' ' 1xy y y x y

RESOLUCIÓN

2 2

2 2

2 2

arcsen

''

1

' 1 '

' ' 1

Sea

y xy

xy yy

x y

y x y xy y

xy y y x y

Rpta: 2 2' ' 1xy y y x y



5. Comprobar que la función 2

0sen ,

xx y t dt satisface a la ecuación diferencial

2 2' seny xy y x

RESOLUCIÓN

Derivando:

2 2

0

2 2

1x

y sent dt y sen x

y xy y sen x Satisface a la ecuación diferencial

Rpta: 21 2

x xy c e c e

6. Comprobar que la función 1 2 0

sen,

x ty C x C x dt

t satisface a la ecuacióndiferencial sen . '' cos . ' cos 0x x y x x y y x

RESOLUCIÓN

1 2 0

1 2 2 1 2 20 0

2 2

2 2

1 2 2 1 20 0

sen

sen sen sen' sen

sen'' cos

sensen . '' cos . ' cos sen cos

sen sencos sen

sen . '

x

x x

x x

Sea

ty C x C x dt

tt x t

y C C dt C x C C dt C xt x t

xy C C x

xx

x x y x x y y x x x C C xx

t tx x C C dt C x C x C x dt

t t

x x y

' cos . ' cos 0x x y y x Si satisface a la ecuacion diferencial

Rpta: sen . '' cos . ' cos 0x x y x x y y x

7. Sea 1

, 0,z

x eh x dz x

z hallar los valores de “a” tal que la función f definida

por ah xe

f xx

satisface a la ecuación diferencial 2 2 2'' 3 ' 1 3 0xx y x x y x e dy

RESOLUCIÓNDerivando:



3 2

3 2 2

6 4

2

. ...( )

. . . 3 . . . 2

....( )

3

ah x

ah xxah x

x xah x ah x ah xx x x ah x ah x

ey

x

ae ey e i

x x

ae ee e e e x x ae e a e x xex x

y a iix x

Multiplicando a i x x

22

3.3 3

ah xah xx x eae ex x y x

x x

Multiplicando (x2) a (ii) 2

22 2

3 2ah x ah x ah x ah x ah xx x x xe e ae e ae e e e ex y a a

x x x x x

Multiplicando 21 3 xx e a y :

2

2 31 3

ah x ah xxah xx e e e

x e y ex x

Sumando los nuevos valores: 2 2 2 2

2 2 2

3 3 30

ah x ah x ah x ah x ah xx x x x xa e e a e e ae e ae e e e

x x x x x

2 23 33 0

xxa a e a

a ex x x

Rpta:2 23 3

3 0x

xa a e aa e

x x x

8. Verificar ln ,x y y satisface a la ecuación diferencial 3 2'' ' ' 0yy y y

RESOLUCIÓN

2

3 2

3 22

3 2

ln

'1

'''

1

''' ' '

1 11

'' ' ' 0

Sea

y x y

yy

y

yy

y

yy y yyy y y

y yy

yy y y

Rpta: 3 2'' ' ' 0yy y y




21

sen, 0,

1

atdtH a a

t

probar que H(a) satisface a la

ecuación diferencial 1'' ' 0H a H a H a

a

RESOLUCIÓNDerivando:

1

21 1

sen atdtH a

t

Cambio de variable: t sen cosdt d

1 1

1 1

1

1

1 2

1

.cos

cos

cos .

. .

sen a sen dH a sen a sen d

H a a sen sen d

H a sen a sen sen d

Entonces:

1 12

1 1

cos .1. 1 . ....( )

a sen sen dH a H a H a sen a sen sen d i

a a

Integrado por partes:

1 2

1cossen a sen d

cosu .du sen d

cos .dv sen a sen d cos a sen

va

1 12

1 1

cos .cos 0 0 ....( )

a sen sen dsen a sen d ii

a

Reemplazando (i) en (i):

1 1

1 1

cos . cos .1 a sen sen d a sen sen dH a H a H a

a a a

Respuesta: 1

0.... . .H a H a H a qq dda

Rpta: 10H a H a H a

a

10. Si 0

,t t s sx t t s e e ds calcular el valor de '' 2 'x t x t x t

RESOLUCIÓNDerivando: . t t tx t t t e e

0x t



0

2 .t t s sx t x t x t t s e e ds

Rpta: 2x t x t x t

11. Probar que la función 0

1senh ,

xy R t k x t dt

k satisface a la ecuacióndiferencial 2''y k y R x

RESOLUCIÓN

Rpta: 21 2

x xy c e c e


1 2 , 0t

x

ey C x C x dt x

t satisface a la ecuacióndiferencial 2 2'' ' 1 0x y x x y x y

RESOLUCIÓN

2

1 2

.. ...( )

t x

x

e x ey c c dt i

t x

2 ...( )x

xey c e ii

x

Multiplicando por 2 ( )x x a i : 22 2 2 2

1 2

tx

x

ex x y c x x c x x dt x x e

t

Multiplicando por (x2) a (ii):

2 22

x xx y c xe x e También: 2 2 1 0..... . .x y x x y x y qq dd

Rpta: 2 2 1 0x y x x y x y

13. Dada la función 1 2ln , 1,ln

e

x

dty C x C x x

t satisface a la ecuación diferencial 2 2ln . '' ln , ' ln 1 0x x y x x y x y

RESOLUCIÓN

1

2

1...( )

e

x

c dty c x i

x n t n x



1

22 2

11

...( )n x x

c xy c ii

x n tx n x

Multiplicando: x n x a (i)2

1 2

e

x

dty x n x c n x c x n x x

nt

También: 2

1 1 21 1e

x

dtn x y c n x c nx c x nx

n t

Sumando: 2 2 2 22 2. 1 2

e

x

dtx n x y x nxy nx y c x nx x c x

nt

No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial

Rpta: No satisface a la ecuación diferencial

14. Demostrar que la función 1

01 , 0,x u

xu e du

x x e para x

satisface a la ecuacióndiferencial 2 2 2'' 3 ' 1 0xx x x x x x e x

RESOLUCIÓN

1 1

0 0. . . .

2 2

1 1.

x xu u

x xu e du u e du

xx e e ex x

1 1. .xx x e x

x x

2 2

1 1. .

x x xe e ex x x

x x x x x

2 1 0x x xx x x xe x e xe x No satisface a la ecuación diferencial



0ln ,

x ty y x e dt satisface a la ecuación diferencial 221 ln '' ' 2 . xy y y xy e

RESOLUCIÓN

2

1 xy n y y e 21

2 xy n y y y y xey

221 2 . ..... . .xy n y y y xy e qq dd



Rpta: 221 2 . xy n y y y xy e

16. Demostrar que la función 2 1k

y x x , satisface a la ecuación diferencial

2 21 0x y xy k y

RESOLUCIÓN

12

2

1 21 . 1

2 1

k xy k x x

x

21

2

2

11 .

1

k x xy k x x

x

2 1

kyy

x

2

2

2

1 21

2 11

k xky x y

xyx

17. Probar que la función x (t) definida por :

1

20 2 2

dxx t

x t

, satisface a la

ecuación diferencial 22

13 0

1t x x t

t

RESOLUCIÓN

1

20 2 2

2 42

1

2 2 2 24 02 2 2 2 2

22

1 1'

1

1 1 1 1' 3 3

1 1 1

1' 3

1

Sea

dxx t

x t

x ttt

dxtx t x t t

tt t x t t

tx t x t No satisface a la ecuación diferencialt




18. Demostrar que la función 3 2

0( , ) ,ax bxf a b e dx

satisface a la ecuacióndiferencial 22

23 3 2 1

f f fab a b

b b a

RESOLUCIÓN

Rpta:

19. Probar que 1

2

0cos( )cosn ny

mx sen dx

, satisface a la ecuación diferencial2 2 2 2 0ny m n x y

RESOLUCIÓN

1

2

0

1 1 1

2

0

1

2

0

12 2 2 2 2 2 2 2 2

0

cos( )cos

' cos( )cos cos( 90)cos 90 cos( 0)cos 0 20

' cos( )cos

'' 1

1 cos( )cos

n n

n n nn n n

n n

n n n n

Sea

y x mx sen d

y mx sen d x mx sen mx sen

y mx sen d x

y

y m n x y m n x x mx sen d

2 2 2 2ny m n x y No satisface a la ecuación diferencial

Rpta:

20. Probar que0

cos,

asenz b zy dz

x z

satisface a la ecuación diferencial2

2 2

d y a by

dx x x

RESOLUCIÓN

0

cos

' 0

Sea

asenz b zy dz

x zy

'' 0y



2

2 0

2

2

cosd y asenz b zy dz

dx x z

d yy No satisface a la ecuacón diferencial

dx


21. Verificar que las funciones 1 2

1, , 0y x y x

x , satisface a la ecuacióndiferencial 22 3 0x y xy y

RESOLUCIÓN

1

1

1 3

2

2 23

2

2

1'

21

''

4

1 1'' 3 ' 5

24

'' 5 ' 0

Sea

y x

yx

y

x

x y xy y x x xx

x

x y xy y No satisface a la ecuación diferencial


22. Verificar que las funciones 21 2 2

ln, , 0

xy x y x

x , satisfacen a la ecuacióndiferencial 2 5 4 0x y xy y

RESOLUCIÓN

21

1

1

2 2 2

2

' 2

'' 2

5 4 2 5 2 4

5 4 0

Sea

y x

y x

y

x y xy y x x x x

x y xy y No satisface a la ecuación diferencial




23. Demostrar que la función 2 2 22

0log cosy sen x d

, satisface a la ecuacióndiferencial 2 11 1 log

2

xx y x y y

RESOLUCIÓN

2 2 22

0

2 2

2

2 2 2

2 2 22

0

2

log cos

' ln sen 90 cos90 ln sen 0 cos 0

' ln 1 ln

2''

21 1 1 1 ln 1 ln

log cos

11 1 log

2

Sea

y sen x d

y x x

y x

yx

x y x y y x x xx

y sen x d

xx y x y y No satisface a la ecuación

diferencial

24. Dada la función cos 2

0logqxu e A B x sen d

satisface a la ecuacióndiferencial 22

20

d u dux q xu

dx dx

RESOLUCIÓN

Rpta:

25. Demuestre que la función 10 21

xz

n

e dzy

z

, satisface a la ecuación diferencial2 1xy ny xy

RESOLUCIÓN

Rpta:

26. Si 2

0cosxH t e tx dx

, para todo , probar que 10

2H t H t

RESOLUCIÓN



2

0cos

' cos 1

'' cos sen

10

2

x

Sea

H t e tx dx

H t e

H t e e

H t H t Si satisface a la ecuacion diferencial

27. Si 2

2

0

tx

xG t e dx , probar que : 2 0G t G t

RESOLUCIÓN

2

2

0

tx

xG t e dx

2

2

20.2

tx

x t xG t e dx

x x

2

2

2 02 . 0

tx

xtG t e dx

x

Respuesta:No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial

28. Verificar si la función 1 2barc sen x barc sen xy c e c e es la solución de la ecuacióndiferencial 2 21 0x y xy b y

RESOLUCIÓN

1 2

barc sen xbarc sen xy c e c e

1 2

2 2. .

1 1

barc sen xbarc sen xbc c by e e

x x

1 22.

1

barc sen xbarc sen xby c e c e

x

1 21 22 2 2 2

2 ..

2 1 1 1 1

barc sen x

barc sen xbarc sen x

barc sen xb x bc e bc eby c e c e

x x x x

2

21

by xy y

x

Respuesta: 2 3 21 0x y x x y b y No se cumple la ecuación diferencial

29. Verificar que 32 2

1y y es la solución diferencial de las circunferenciasde radio r = 1



RESOLUCIÓN

Rpta:

30. Demostrar que : 2 2

1 2( )x xy e c c e dx es la solución de la ecuación diferencial2 2 0y xy y

RESOLUCIÓN

2 2

1 2x xy e c c e dx 2 2 2 2

1 2 22 .x x x xy xe c c e dx e c e 22 2 2y xy c y y xy Respuesta:

2 2 0.... . .y xy y qq dd


ty t sen t s f s ds es una solución en I de

y t y t f t que satisface 0 0 0y y , donde f es una función continúasobre el intervalo I, el cual contiene cero.RESOLUCIÓN

0

ty t sen t s t s ds Según la regla de Leibnitz:

, , ,

h y

yg yF y Dy D f x y dx f h y y h y f g y y g y

00 0 0

t

ty t D sen t s f s ds sen t t f t sen t f

0 0cos cos

t ty t t s f s ds y t t s f s ds Recordemos: 0f t t

0 0 0f o y y Respuesta: .... . .y t y t f t qq dd

32. Demostrar que

1

0 1 !

nt t s

y t f s dsn

es la solución de ny t f t con 10 0 ... 0 0ny y y donde f es continúa sobre un intervalo I quecontiene al cero.

RESOLUCIÓN



1

0 1 !

nt t s

y t f s dsn

1 1

0

. . 0 . 0 0

1 ! 1 ! 1 !

n nt

t

t s f s t t f t t fy t D ds

n n n

2 1

0

1 .

1 2 !

n nt n t s f s f s t s

y tn n

0 0 0 0y t y t y y f Respuesta: ... . .ny t f t qq dd

33. Comprobar que 2

02

x sy e ds c es la solución de xdy e

dx x

RESOLUCIÓN

2

02

x xy e ds c 2 1

0 2. . 02

xdye

dx x Respuesta.

2

.... . .xdy e

qq dddx x



ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1. Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia decircunferencias 2 2 2( ) ( )x a y b r , en el plano xy, siendo a, b y r constantesarbitrarias.RESOLUCIÓN

Rpta: 2 2'''(1 ' ) 3 '' ' 0y y y y

2. Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la cisoides,3

2 xy

a x

RESOLUCIÓN

32

3

2

2 2 3

4

3 2 2

3 2 '1

2 ' ( 3 )

xy despejamosa

a x

xa x derivamos

y

x y x yy

y

x y y y x

Rpta: 3 2 22 ' ( 3 )x y y y x

3. Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las rectas con pendiente y laintercepción con el eje x iguales.RESOLUCIÓN

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

. circunferencia: (x ) +(y ) =r

: 2(x ) 2( ) '=0

: 1+y' +yy'' '' 0

1+y' +yy'' k=

y''

: 0=(2y'y''+y'y''+yy''')y'' '''(1+y' +yy'')

'''(1 ' ) 3 '' ' 0

x

x

x

EC h k

D h y k y

D ky

D y

y y y y



2 2

2

. recta: y=mx+b dado que x=m

donde la pendiente: y'=m=x.

se observa que para:

y=0 x=y' b= x '

' '

EC

y

y mx b

y y x y

Rpta: 2' 'y xy y

4. Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuyas pendiente y susintercepciones con el eje y son iguales.RESOLUCIÓN

. recta: y=mx+b dado que y=m

donde la pendiente: y'=m=y.

se observa que para:

x=0 =y .

' '

( 1) 0

EC

b

y mx b

y y x y

ydy x dy

Rpta: ( 1) 6ydy x dy

5. Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuya suma lagebraica de lasintercepciones con los ejes coordenados es igual a k.RESOLUCIÓN

. ...................................(a)

: ' : .

( ,0) :

' .

( ,0) :

( ) : '

' . '( ).......( )R

R R

EC recta y mx b

se sabe que y m del enunciado x y k

para A x

b y x

para B y

b y

remplazando en a y y x y

y y x y y k y b

re

( ) :

' ' ( ' )

( ' )(1 ') ' 0

Rmplazando y en b

y x y y k y x y

xy y y ky

Rpta: ( ' )(1 ') ' 0xy y y ky



6. Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las estrofoides,2

2 ( )x a xy

a x

RESOLUCIÓN

22

2 2 2 3

2 2 3 2

3 2

2 2

2 2 2 2 3 2

2 2

4 2 2 4 3

( )

( )

(3 2 ')( ) 2( )( ' )0

( 4 ) 4 0

x a xy despejandoa

a x

ay xy x a x

a y x x xy

x xya derivando

y x

x y xyy y x x xy yy x

y x

x x y y dx x ydy

Rpta: 4 2 2 4 3( 4 ) 4 0x x y y dx x ydy

7. Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia decircunferencias 2 2 2( ) ( )x a y b r , de radios fijos r en el plano xy siendo a yb constantes.RESOLUCIÓN

2 2 2

2 2


r (x )

EC h k

y k derivandoh

2 2

( )'

r (x )

x hy derivando

h



22 2

2 2

2 2

3 3

3/ 22 2 2 2

2

( ) r (x )

r (x )'' (x h)

r (x )

( ) ( ) ' '''

r (x ) r (x )

'' '(1 ' )...............................................(1)(x )

:

x hh

hy multiplicando por

h

x h x h y yy

x hh h

y y yh

por otro lado

2 2 2

2

2 2 2

(x ) +(y ) =r derivando

2(x )+2(y )y'=0 derivando

(y )y''= y' 1................................................(2)

(1) y (2) al cuadrado y sumando se tiene:

(x ) +(y ) '' '

h k

h k

k

Elevando

h k y y

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 3 2 2

(1 ' ) (1 ' )

'' (1 ' ) (1 ' )

(1 ' ) ''

y y

r y y y

y r y

Rpta: 2 3 2 2(1 ' ) ''y r y

8. Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es dada:a) 2 2

1 2x xy x C e C e

RESOLUCIÓN

2 21 2

21 2

21 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2

2 2 21 2 1 2

2

' 2 2

'' 2 4

'' ' 2 2 4 2 2 2

'' ' 2 2 2 2 2 2 2 2

'' ' 2 2 1

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x

Sea

y x C e C e

y x C e C e

y C e C e

y y y C e C e x C e C e x C e C e

y y y C e C e x x C e C e

y y y x x

Rpta: 2'' ' 2 2 1y y y x x

b) 1 2xy C x C e

RESOLUCIÓN



1 2

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

'

''

1 '' ' 1

1 '' ' 0

x

x

x

x x x

Sea

y C x C e

y C x C e

y C x C e

x y xy y x C x C e x C x C e C x C e

x y xy y

Rpta: 1 '' ' 0x y xy y

c) 31 2

x xy x C e C e

RESOLUCIÓN

31 2

31 2

31 2

3 3 31 2 1 2 1 2

3 3 31 2 1 2 1 2

' 1 3

'' 9

'' 4 ' 3 9 4 1 3 3

'' 4 ' 3 9 4 12 3 3 3

'' 4 ' 3 3 4

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x x x

Sea

y x C e C e

y C e C e

y C e C e

y y y C e C e C e C e x C e C e

y y y C e C e C e C e x C e C e

y y y x

Rpta: '' 4 ' 3 3 4y y y x

d) 2 21 2cos3 sen 3x xy C e x C e x

RESOLUCIÓN

2 21 2

2 2 2 21 1 2 2

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 22 2 2 2

21

cos3 sen 3

' 2 cos3 3 sen 3 2 sen 3 3 cos3

'' 4 cos3 6 sen 3 6 sen 3 9 cos3

4 sen 3 6 cos3 6 cos3 9 sen 3

'' 4 ' 3 4 cos3 6

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

Sea

y C e x C e x

y C e x C e x C e x C e x

y C e x C e x C e x C e x

C e x C e x C e x C e x

y y y C e x C

2 2 21 1 1

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

2 21 2

sen 3 6 sen 3 9 cos3

4 sen 3 6 cos3 6 cos3 9 sen 3

4 2 cos3 3 sen 3 2 sen 3 3 cos3

cos3 sen 3

'' 4 ' 3 0

x x x

x x x x

x x x x

x x

e x C e x C e x



C e x C e x

y y y

Rpta: '' 4 ' 3 0y y y

e) 2 2x xy Ae Bxe RESOLUCIÓN



2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

' 2 2

'' 4 4 4

'' 4 ' 4 4 4 4 4 2 2 4

'' 4 ' 4 0

x x

x x x

x x x

x x x x x x x x

Sea

y Ae Bxe

y Ae Bxe Be

y Ae Bxe Be

y y y Ae Bxe Be Ae Bxe Be Ae Bxe

y y y

Rpta: '' 4 ' 4 0y y y

f) 2 2

1 2x xy e C C e dx

RESOLUCIÓN

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 2 2 2

2 22

' 2 2 1

' 2 2

'' 4 2 ' 2 4 2 2 2

'' 2 ' 2 0

x x x

x x x

x x x x

y

x x x x x x x

Sea

y C e C e e dx

y xC e C xe e dx

y xe C C e e dx C xe y C

y x e y xe y e y x e y xe xe y C e y

y xy y

Rpta: '' 2 ' 2 0y xy y

g)1 1

x xy Ae Be

RESOLUCIÓN

Rpta: 3 24 '' 6 ' 0x y x y y

h)

2

3

1 22.

xey C x dx C x

x

RESOLUCIÓN

Rpta: 2'' ' 0y x y xy i) , , ,ax b ay b c a b c constantes arbitrarias

RESOLUCIÓN

Rpta:j) 1 2cos sen , ,ax axy C e bx C e bx a b parámetros

RESOLUCIÓN



1 2

1 1 2 2

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

2 2

cos sen

' cos sen sen cos

'' cos sen sen cos

sen cos cos sen

'' 2 ' 0

ax ax

ax ax ax ax

ax ax ax ax

ax ax ax ax

Sea

y C e bx C e bx

y aC e bx bC e bx aC e bx bC e bx

y a C e bx abC e bx abC e bx b C e bx

a C e bx abC e bx abC e bx b C e bx

y ay a b y

Rpta: 2 2'' 2 ' 0y ay a b y

k) cos sen sen cos , ,y A x x x B x x x A B constantes RESOLUCIÓN

cos sen sen cos

' sen sen cos cos cos sen

' cos sen

'' cos sen sen cos

'' 2 ' 2 cos sen sen cos 2 cos sen

cos sen sen cos

''

Sea

y A x Ax x B x Bx x

y A x A x Ax x B x B x Bx x

y Ax x Bx x

y A x Ax x B x Bx x

xy y xy x A x Ax x B x Bx x Ax x Bx x

A x Ax x B x Bx x

xy

2 ' 2 0y xy

Rpta: '' 2 ' 2 0xy y xy

l) senx A wt b RESOLUCIÓN

22

2

22 2 2

2

22

2

sen

cos

sen

sen sen

0

x A wt b

dxA wt b w

dt

dxA wt b w

dt

dxw x A wt b w w A wt b

dt

dxw x

dt

Rpta:2

22

0d x

w xdt

9. Encontrar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias quepasan por el origen.RESOLUCIÓN



2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

. circunferencia: (x ) +(y ) =r ..................(1)

(0,0) (1) :

(x ) +(y ) =r

(0 ) +(0 ) =r

(x ) +(y ) = ............

EC h k

como tiene centros en el origen entonces O en

h k

h k h k r

h k h k

2

2

............................(2)

(1):

: 2( ) 2( ) '=0 .......................................(3)

:1 ( ) '' ' 0

' 1.......................................................(4

''

x

x

derivando

D x h y k y

D y k y y

yy k

y

2

2

2

)

' 1

''

(3) (4) ( )

'( ' 1)....................................................(5)

''

'( ' 1)

''

(4), (5), (2) :

'(

yk y

y

remplazando en y despejando x h

y yx h

y

y yh x

y

remplazando h y k en se tiene

y y

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2

' 1) ' 1 '( ' 1) ' 1

'' '' '' ''

( ) '' 2( ' 1)( ') 0

y y y yx y

y y y y

x y y y y xy

Rpta: 2 2 2( ) '' 2( ' 1)( ') 0x y y y y xy



10. Encontrar la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasa por el origen.RESOLUCIÓN

Rpta: ' 0xy y

11. Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasanpor el origen y cuyos centros están en el eje x.RESOLUCIÓN

Rpta: 2 22 'xyy y x

12. Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centrosestán en el eje y.RESOLUCIÓN

. : ......................(1)

: '.

O(0,0) :

0

(1) :

' 0

' 0

EC recta y mx b

se sabe que m y

para el punto comunes para todos

b

remplazando en

y y x

y y x

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

2


se c :

0

(x ) +(y 0) =r

x 2 =r

2 .........

(2 2 ') ( ) 0

2 '

EC h k

como pasa por el origen umple que

h r k

r

xr r y

x yr derivando

x

x yy x x y

x

xyy x y

2 0



2 2 2

2 2 2


y :

0

(x 0) +(y ) =r .........

2x 2( ) '=0 ..........

despejando k se tiene :

...'

EC h k

como sus centros estan en el eje se cumple que

h

k derivando

y k y derivando

xy k

y

2

3

....................

' '''

'

y ' '' ' 0

derivando

y xyy

y

xy y

Rpta: 3y ' '' ' 0xy y

13. Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con vértice en elorigen y cuyos focos están en el eje x.RESOLUCIÓN

2

2

2

2

2

. parabola: (y ) =4p(x )

tiene vertices en se c :

0 0

y =Cx

y =C .........

2 ' 0

2 '

EC k h

como el origen umple que

h k

derivandox

yyx y

xxy y

Rpta: 2 'xy y

14. Halle la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola 2 2y x .RESOLUCIÓN

0

0

0 ( ) 0

2

2( ) 0 0

0

: ' ( )......................(1)

2 .

1: 2 ' 2 ' ..........................(2)

1' 2 (1) :

T x

x

x

L y y y x x

donde y x

D yy yy

y y x remplazando eny



2(0)

0 00

0

2

1( ) .

2

1: ..........................................(3)

'

(3) (2) :

1 1 '( )

' 2 '

2y'(y xy') 1 0

x

yy y x y constante

y

D yy

remplaando en

y y xy y

Rpta: 2 'xy y

15. Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tiene su centrosobre el eje x.RESOLUCIÓN

2 2 2

2 2 2

2


: 0

(x ) +(y 0) =r .........

2(x ) 2 '=0 .........

1 '' ' 0

EC h k

como sus centros estan en el eje x se

cumple que k

h derivando

h yy derivando

yy y

Rpta: 2' '' 1 0y yy

16. Halle la ecuación diferencial de la familia de parábolas con el eje focal paraleloal eje x.RESOLUCIÓN

2. parabola: (y ) =4p(x ) .................................(1)EC k h

0 x

y

,F h p k ,V h k



2 2

tiene 3 constantes drivamos tres veces la ecuación (1) :

2( ) ' 4 ................................................................(2)

2( ) '' 2 ' 0 ( ) '' ' 0.....................(3)

( )

como

y k y p

y k y y y k y y

y k y

2 2

''' ' '' 2 ' '' 0 ( ) ''' 3 ' '' 0....(4)

(3) (4) :

' ''' 3 ' '' 0

y y y y y k y y y

de y

y y y y

Rpta: 2 2' ''' 3 ' '' 0y y y y

17. Obtenga la ecuación diferencial de l familia de parábolas cuyos vértices y focosestán en el eje x.RESOLUCIÓN

Rpta: 2'' ' 0yy y

18. Obtenga la ecuación diferencial de l familia de circunferencias que pasan por(0,-3) y (0,3), y cuyos centros están en el eje x.RESOLUCIÓN

2 2 2. circunferencia: (x ) +(y ) =r ........(1)

x :

0....................................................................(2)

g

EC h k

como sus centros estan en el eje se cumple que

k

del rafico para el punto

2 2 2

2 2

(0, 3)

(0 ) +(-3 0) =r

9=r ....................................................(3)

A

h

h

0 x

y

,F h p k ,V h k

2

2

2

2

2

2

2

. parabola: (y ) =4p(x )

:

0

y =C(x )

y =C .........

2( ) ' 0

( )

2( ) .........'

y' '' 2=

'

EC k h

con vertices en el eje x se cumple que

k

h

derivandox h

h yyx y

x h

yh derivandox

y

yy

y

2 ' '' 0y yy



2 2 2

2 2 2

(2) y (3) en (1)

( ) 9......................................(4)

: 2( ) 2 ' 0

' ' .........................(5)

(5) (4) :

( ') ( ') 9

2xy '

x

x h y h

D x h yy

x h yy h yy x

remplazando en

yy y x yy

y x

2 2 9 0y Rpta: 2 22xy ' 9 0y x y

19. Halle la ecuación diferencial de todas las circunferencias que pasan por lospuntos (2,2) y (-2,2).RESOLUCIÓN

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

. circunferencia: (x ) +(y ) =r ..............(1)

(2, 2) :

(2 ) +(2 ) =r

4( ) 8 ......................................(2)

( 2, 2) :

( 2 ) ( 2 )

EC h k

para el punto A

h k

h k h k r

para el punto B

h k r

2

2 2 2

2 2 2

4( ) 8 ......................................(3)

(1) (2) : .

(3) (1).

4( ) 8 2 8..................................................

h k h k r

de y se obtiene que h k

remplazando h en y en

r k k k k

2 2 2

...( )

(x+k) +(y ) =r ...................................

2(x+k) 2( ) '=0

a

k derivando

y k y



2 2 2 2

2

' ..............................................................(4)

' ' 1

h y (4) (1) :

( ) ( ) 2 8'

''

(x+ ) (' 1

x k x yyy k k

y y

remplazando en se tiene

x kx k r k remplazando k

y

x yyx

x yy

y

2 2

2 2 2 2

'' 1) 2( ) 8 :

' ' 1

( 2 8) ' ( 2 8) 0

x yyysimplificando

y y

x y xy y x y xy

Rpta: 2 2 2 2( 2 8) ( 2 8) 0dy

x y xy x y xydx

20. Halle la ecuación diferencial de todas las líneas tangentes a la curva 2y x

RESOLUCIÓN

00 ( ) 0

2 20 0

: ' ( ).............................(1)

......................(2)

1: 2 ' 1 '

2

T x

x

L y y y x x

donde y x y x

D yy yy

0( )0

20 0

0

1 ' ..........................(3)

2

(2) (3) (1) :

1( )................................( )

2

xyy

y en

y y x y ay

2 20 0 0 0

0

0

2

2 2 ...... , :

: 2 ' 0 1 0

1............................................(5)

2 '

(5) ( ) :

1 1'( ( ) )...........

2 ' 2 '

2y'(2y

x

y y y x y se sabe que y constante

D y y

yy

en a

y y x simplificandoy y

4 ' 1) 1xy Rpta: 2y'(2y 4 ' 1) 1xy

21. Halle la ecuación diferencial de todas las circunferencias tangentes a la rectay x .

RESOLUCIÓN



2 2 2

( , ), 2 2

circunferencia: (x ) +(y ) =r .............(a).

C(h,k) :

. L ; 0.

.....................2(1) (1)

h k L

h kEC

su centro

si EC recta es y x

seadlñadistaciadelcentrodelacircunferenciaalarectaL

h k h kd r

.....( )b

2

2 2 2

x

22 2

2

( ) ( ) :

: (x ) +(y ) =r ..................(*)2

D : 2(x ) 2(y )y'=0 ( ) ' ....( )

1 'D 1 ' ( ) '' =0 .....( )

''

( ) ( ) :

(1 ' )' .......

''

x

b en a

h kderivando h k

h k x h y k y c

yy y k y y k d

y

d en c

yx h y

y

2

2 2 22 2 2

..............................( )

( ) ( ) :

( ' 1)(1 ' )..................( )

''

( ), ( ) ( ) (*) :

(1 ' ) 1 ' 1 ( ' 1)(1 ' )'

'' '' 2 ''

( ) '' 2 (

e

d e

y yh k x y f

y

rem plazando d e y f en

y y y yy x y

y y y

x y y x y

22) '' 2 ' 1 'y y y

Rpta: 22( ) '' 2 ( ) '' 2 ' 1 'x y y x y y y y

22. Por un punto p(x,y) de un curva que pasa por el origen, se traza 2 rectasparalelas a los ejes coordenados, las que determinan un rectángulo con dichosejes . halar la ecuación diferencial de la curva de modo que esta divida alrectángulo formado en dos regiones, donde el área de la parte derecha sea eltriple del área de la parte izquierda.RESOLUCIÓN

0 x

yy x

r

c

,C h k

,P x y



:

4 4

3 3:

4' :

33 '

del enunciado se tiene

xy A ydx

derivando

xy y y simplificando

xy y

Rpta: 3 ' 1xy y

23. Halle la ecuación diferencial de todas las tangentes a la parábola 2 2 1x y .RESOLUCIÓN

0 0

0 0 0

2

20

0 0 0

2 20 0

0 0 0

( , )

:

: '( ) .............(1)

1: '

2 2

1'( )

2 2

1 1(1) : ( ) ...

2 2 2 2

T

Sea L la recta tangente a la parabola en el punto P x y

luego su ecuacion sera

L y y y x x x

xdonde y y x

xy x x y

x xde y x x x y x x

0

2

..(2)

: ' ...............(3)

(3) (2) :

2 ' ' 2 1 0

xD y x

en

xy y y

Rpta: 22 ' ' 2 1 0xy y y

24. Halle la ecuación diferencial de todas las normales de la parábola 2y x .RESOLUCIÓN



0 0

( , ) :

: ..........................................................(1)

:

N

N N

N

sea L la ecuacion de la recta normal sera en el punto a b

L y y m x x

donde m es la pendiente de la recta normal

: . 1 ...............................................(2)N Tpropiedad m m 2g : .....................................................(3)del rafico b a

2

2

1: . 2 ' 1 ' .

2

1( , ) : ' ......(4)

21

Ree (4) (2) : . 1 2 ...........(5)2

(5) y (3) en (1) :y b= 2b(x b

x

T

N N

D y x yy y Entonces el valor de lay

pendiente enelpunto de tangencia a b es y mb

mplazando en m m bb

).........................................(6)

:

'' 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

2

viene a ser la ecuacion de la familia de rectas normales pedidas

como hay una constante derivamos una vez

yy b b

2

, , , , , , , , , , , , (7)

, (7) (6) :

1 1' '( ' )

2 4

finalmente remplazando en

y y y x y

Rpta: 21 1' '( ' )

2 4y y y x y

25. Determinar la ecuación diferencial de todas las curvas planas y=f(x) tal que laley que incide en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada haciaun segundo punto fijo. Suponer que los puntos fijos son (a,0) y (-a,0).RESOLUCIÓN

0 x

y

NL

0 0,P y x

TL



2

: '.............................................................(1)

: ( 2 )

: 2( ) 2 .................(2)

(2) : ( ) (2 ) 2 ....1 . 1

tenemos tg y

ademas y

luego

tg tg tgde tg tg

tg tg tg

2 2 2 2

.(3)

: ',

(3) :

'2

1 '1 .

:

' ( ) '

y ypero tg y tg ytg

a x a xremplazandoen

y yya x a x

y y ya x a x

simplificando

xyy x y a y xy

Rpta: 2 2 2 2' ( ) 'xyy x y a y xy

26. 2 1 v iiiy y x

RESOLUCIÓN

2 2

:

2 2 '

x y ydx

derivamdo

x yy y

Rpta: 2 ' 2 0yy x y

27. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con lasiguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de una curva de la familia setrazan las rectas tangentes y normal a ella, el área del triangulo formado por



dichas rectas con el eje y es igual a 20

2

x y , donde 0y es la coordenada del puntoen que la tangente corta al eje y.RESOLUCIÓN

0

0

0

0 0

(0, )

1: ( 0)

'

1. ...............(1)

'

(0, )

: '( 0)

' .......................(2)

sec

( ).............(3)

2 2(1) (2) (3) :

N

N N

N

T

N

en el punto A y

L y y xy

y yy

paraelpuntoB y

L y y y x

y y y x

umpleque

xy y y xArea

remplazando y en

set

2' ( 1) ' 1 0

iene

y x yy

Rpta: 2' (1 ) ' 1 0y x yy

28. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condiciónsiguiente: ”si por el punto p(x,y) de un curva, en el primer cuadrante ,se trazalas retas tangentes y normal a ella, siendo T el punto de intersección de latangente con el eje OX y N el punto de intersección de la normal con el eje OY,entonces el área del triangulo TON es igual al xy/2, donde O es el origen de lascoordenadas.RESOLUCIÓN

: 0 '

..................................(1)'

: ' 0

.................................(2)'

T T

T

N N

N

L y y x x

yx x

y

L y y y x

xy y

y

: .......(3)2

(1) (2) (3) :

T N

xydel enunciado A x y

remplazando y en



2 2 2 2

2 2

' '

' ' ' '

:

'

y xxy x y

y y

xyy xyy x y y y xy

simplificando

y x y xy

Rpta: 2 2( ) 'x y y xy

29. Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguientecondición:”si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia setrazan las rectas tangentes y normal a la curva, y si además A es el punto deintersección de la recta normal con la recta y=x y B es la intersección de la rectatangente con la recta y=x, entonces el segmento AB tiene longitud 2 .RESOLUCIÓN

0 0 1 1

2

2 2 21 0 1 0

0 0 1 1

( , ), ( , ), ( , )

: 2 2..................(1)

: ( ) ( ) ......(2)

: ............................(3)

p x y A x y B x y

por dato AB AB

porteoria AB x x y y

pero x y x y

2 2 2 21 0 1 0 1 0

21 0

(3) (2) :

( ) ( ) 2( ) ...(4)

(4) (1) : ( ) 1................(5)

remplazando en

AB x x x x x x

igualando y x x

11 1

1

1

: ' ' '

'.....................................(6)

' 1

T

y xpara L y y x y x y x

x x

y x yx

y



00 0

0

1: ' '

'N

y xpara L x x yy x y

y x x

0

2

2 2 2 2 2

'......................................(7)

' 1

(6) (7) (5) :

' '1 :

' 1 ' 1

( ' 1) ( ) ( ' 1)

yy xx

y

remplazando y en se tiene

y x y yy xsimplificando

y y

y x y y

Rpta: 2 2 2 2 2( ' 1) ( ) ( ' 1) 0y x y y

30. Halar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides (1 )r a sen .RESOLUCIÓN

(1 )

cos remplazando :

cos :(1 )

(1 ) cos 0

r a sen

dra a

ddr r

simplificandod sen

sen dr r d

Rpta: (1 ) cos 0sen dr r d

31. Hallar la ecuación diferencial perteneciente a la estrofoides (sec )r a tg .RESOLUCIÓN

2

(sec )

(sec sec )

(sec ).sec

.sec

r a tg derivando

dra tg

ddr

a tgd

drr

d

Rpta: secdr

rd

32. Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales:a) senh cosh, ,

x xy A B A B constantes

x x

b) 3tanh 3 tan ,

4 2 4

x yx C C constante



c) cosh , ,x b

y a a b constantes arbitrariasa

d) 2 2 2

1 2 3 1 2 3, , ,x x xy C e C e C xe C C C constantes

33. Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 concentros en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.RESOLUCIÓN

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2


se :

, .

(x ) +(y ) =1.....

x 2 2 =1

2 2 ( ) ( 1) 0

.

EC h k

como sus centros estan en la recta y x cumple

y x h k

h h desarrollando

hx h y hy h

h h x y x y

resolviendo la EC cuadra

2 2 2

2 2

2 2

2

1/ 2 2 2 2

2( ) 2( ) 4.2.( 1)

2.2

2 ( ) 2 2.......

' '0 1 '

2 2

0 (1 ') 2 ( ) ( )(1 ')

(1 ') 2 ( ) ( ) (1 ')

tica

x y x y x yh

h x y xy x y derivando

y xy x yyy

xy x y

y x y x y y

y x y x y y

Rpta: 1/ 2 2 2 2(1 ') 2 ( ) ( ) (1 ')y x y x y y



34. Hallar la ecuación diferencial de todas las parábolas con eje paralelo al eje y, ytangente a la recta y=x.RESOLUCIÓN

2

2

(3) (4) :

4 4 ( ) ..........(5)

(5) (3) : 2 ....(6)

(6) (1) : ( ) 4( )( )..................(7)

(7) :

remplazando en

p p a k p a k a p k

en p k h p p k h

en x h k h y k

viene a ser la familia de parabolas pedidas

2(x-h)=4(k-h)y'....................................................(8)

12 4( ) '' ...........................(9)

2 ''

' (9) (8) : ..........(10)

''

1 '(10) (9) : .

2 '' ''

k h y k hy

yremplazando en h x

y

yen k x

y y

2

2

.......................(11)

(9), (10) (11) (7) :

' 1 1 '( ) 4( )( ) ) simplificando

'' 2 '' 2 '' ''

' 2 '' 2 ' 2 ' 1

y en

y yy x

y y y y

y yy xy y

Rpta: 2' 2 '' 2 '' 2 ' 1y yy xy y

35. Hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un puntocualquiera M forme un ángulo con el eje OX y que verifique4

siendo

el ángulo que OM forme con el eje OX.RESOLUCIÓN

y x

0 x

y

y x

2. 4 ( )..............(1)

' 1.................................(2)

: 2( ) 4 ' , (2).

2( ) 4 2 .........................(3)

( ,

x a

x

EC parabola x h P y k

propiedad y

D x h py aplicando

a h p a h p

ademas a b

2 2

) ( , ) ( ). (1)

( ) 4 ( ) ...........................................(4)

a a recta y x En

a h p a k



tg ( )4

tg

14 tg =

1 . 1 1.4

'

ytg tg

xy

tg tgx

x yy

x y

Rpta: 'x y

yx y

36. En la práctica, un cuerpo B de masa m que va cayendo (tal como un hombre quedesciende en paracaídas) encuentra un resistencia del aire proporcional a suvelocidad instantánea v(t). Usar la segunda ley de Newton para encontrar laecuación diferencial de la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera.

RESOLUCIÓN

;

se sabe que:

Aplicando la segunda ley de Newton

dvF ma a

dtdv

mg kv ma mdt

dv kg v

dt mdv k

v gdt m

Rpta:dv k

v gdt m

37. Un circuito en serie contiene un resistor y un inductor, tal como se muestra enla figura. Determine la ecuación diferencial de la corriente i(t) si la resistenciaes R, la inductancia es L y la tensión aplicada es E(t).RESOLUCIÓN

( )

( )

:

R L t

R L

t

por la ley de kirchoof

v v E

div iR v

dtremplazando

diL Ri E

dt

AF kv

mg



Rpta: ( )di

L Ri E tdt

38. Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor, tal como se muestra enla figura. encuentre la ecuación diferencial para la carga q(t) del capacitor si laresistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicada es E(t).RESOLUCIÓN

( )

( )

:

1

1

R L t

R C

t

por la ley de kirchhoff

v v E

Qv iR v idt

C Cremplazando

idt Ri EC

Rpta: ( )

1tidt Ri E

C

39. ¿Cuál es la ecuación diferencial e la velocidad v de un cuerpo de masa m quecae verticalmente a través de un medio que opone una resistencia proporcionalal cuadrado de la velocidad instantánea ?.RESOLUCIÓN

2

2

2

;

se sabe que:

Aplicando la segunda ley de Newton

dvF ma a

dtdv

mg kv ma mdt

dv kg v

dt mdv k

v gdt m

Rpta: 2dv kv g

dt m

mg2

AF kv

ecuaciones diferenciales eduardo espinoza ramos

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