Ecuaciones diferenciales de segundo orden aplicadas a vigas

Javier Buitrón 6120

Resistencia de materiales

0 La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.

0 Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.

0 Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis por elementos finitos.

Curva elástica

La curva elástica o elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano xy sobre la viga.

Pequeñas flexiones.-0 Una viga es un elemento estructural que se somete a cargas

que actúan transversalmente al eje longitudinal. Las cargas originan acciones internas o resultantes de esfuerzo en forma de fuerzas cortantes y momentos flexionantes.

0 Se supone que las cargas actúan en el plano de flexión, en la figura 1, este plano es el plano xy.

0 Antes de que la carga se aplique, el eje longitudinal de la viga es idealmente recto. Después de aplicar la carga, el eje se dobla y su forma se aproxima a la de una curva, lo que se conoce como la curva de flexión o curva elástica de la viga.

v x

P

x dx

O

x

y,v

Viga sin deflectar

Viga deflectada

ds=dO

radio de curvatura

centro de curvatura

curva elástica

+d

v+dv

v

x dx

ds

x

Ecuación de la elásticaLa ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:(1)

Donde:representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas.la abcisa (eje X) sobre la viga.el momento flector sobre la abcisa .el segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal.el módulo de elasticidad del material.Ejemplo2Ejemplo 3

Bibliografía.-0 http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_material

es#mw-head0 http://ricardoavila.org/Documents/AN_Unidad%206

e.pdf0 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotaci

on/viga/viga.htm0 Ecuaciones diferenciales ordinarias, Eduardo Avila,

Unidad 60 http://fi.uaemex.mx/adgc/MM/FLEXION.htm0 http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%A1stica