ECUACIONES DIFERENCIALES: 1Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (Conceptos Bsicos)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es aquella que contiene una derivada ordinaria de primer orden, la cual se puede expresar en la forma funcional como

( , , ') 0f x y y =O bien en la forma de derivada como

( , )dy f x ydx

=

( , )( . )( , )

dy M x yf x ydx N x y

= =

O bien en la forma de diferenciales como( )dy f x dx=

O bien( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

Donde las funciones ( , )M x y , y ( , )N x y , son los coeficientes funcionales de las diferenciales dx y dy .Ejemplos.

|. cos3dy xdx

= ,

Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de derivada

2. cos3dy xdx=Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de diferencial.

3.23 6'( ) dy xy yy x

dx xy+= =

Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de derivada

4. 2(3 6 )xydy xy y dx= +2(3 6 ) 0xy y dx xydy+ =

Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO ABURTO,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 22/03/2014

ECUACIONES DIFERENCIALES: 2Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (Conceptos Bsicos)

Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de diferencial.

5. '( ) cos5xy x e x=Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de derivada

6 cos5xdy e xdx=Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de diferencial.

SOLUCIN DE LA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN.Solucin General.La ecuacin diferencial ordinaria de primer orden ( , , ') 0f x y y = , o bien

'( ) ( , )y x f x y= , o bien ( , )dy f x ydx

= , o bien ( . ) ( . ) 0M x y dx N x y dy+ = ,

tiene una solucin general 1( ) ( , )y x f x C= que representa a la totalidad de las soluciones de la ecuacin diferencial.Teorema de la existencia de la solucin de la ecuacin diferencial.Esta solucin general est fundamentada en el teorema de existencia de la solucin la cual establece lo siguiente:Si se tiene una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden

'( ) ( , )y x f x y= , y si 1. La funcin ( , )f x y es una funcin continua y definida en todos los

puntos de una regin R de puntos ( , )x y ,

2. Existe la derivada parcial ( , )f x yy

y es continua en todos los pun

tos de la regin R .Entonces existe un nmero infinito de soluciones 1( . , ) 0f x y C = (solucin general), tales que por cada punto de la regin R pase una y solo una de las curvas de la familia 1( . , ) 0f x y C =Solucin particular.

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ECUACIONES DIFERENCIALES: 3Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (Conceptos Bsicos)

La solucin particular ( ) ( )y x f x= , de la ecuacin diferencial ordinaria de

primer orden ( , , ') 0f x y y = , o bien '( ) ( )y x f x= , o bien ( , )dy f x ydx

= , o

bien ( . ) ( . ) 0M x y dx N x y dy+ = .Se obtiene a partir de la solucin general de la ecuacin diferencial, cuando la ecuacin est sujeta a condiciones iniciales o valores en la frontera. Grficamente la solucin particular esta representada por una y solo una de las curvas que integran a la familia de curvas que representan a la solucin general. Esta curva llamada curva integral pasa por un punto ( , )x y de la regin R , cuyas coordenadas son los valores establecido por las citadas condiciones o valores.

Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden.Estas ecuaciones se pueden clasificar en

Directas.E.D.O (1/er. Orden) No Lineales

Lineales.

De Variables Separables. Homogeneas.

E.D.O Primer Orden (No Lineales)ExactasNo Exactas

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ECUACIONES DIFERENCIALES: 4Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (Conceptos Bsicos)

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