ecuaciones de reynolds

UNIVERSIDAD DE CHILEDEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

CI 31A, Mecánica de FluidosProf. Aldo Tamburrino

1

ECUACIONES DE REYNOLDS

ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS

Notación Indicial

Para ahorrar escritura, se usará la notación indicial:

)z,y,x()x,x,x(xx i === 321r

)w,v,u()u,u,u(uui === 321r

La repetición de índices repetidos indica suma sobre ese índice. De este modo, laecuación de continuidad para un fluido incompresible se escribe como:

0=i

i

x

u

∂∂

Al sumar sobre el índice i = 1, 2, 3 se tiene:

03

3

2

2

1

1zw

yv

xu

x

u

x

u

x

u

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂++=++

La ecuación del movimiento de un fluido newtoniano, incompresible en un campogravitacional está dada por la ecuación de Navier-Stokes:

2

21

j

i

ij

ij

i

x

u

xp̂

x

uu

t

u

∂

∂ν

∂∂

ρ∂∂

∂∂

+−=+

En la deducción de la ecuación anterior no hubo restricción respecto al régimen deflujo, por lo que puede ser aplicada tanto a flujos laminares como a turbulentos.

Descomposición de Reynolds

Si en un punto del flujo se mide cualquier variable e de un flujo turbulento enfunción del tiempo, el registro que se obtiene es como el que se muestra acontinuación:



2

Osborne Reynolds propuso descomponer la variable e en dos componentes: unamedia temporal, ç, y una fluctuación en torno a la media, e’. De este modo, sepuede escribir:

)t,x('e)x(e)t,x(e iii +=

donde el promedio temporal se define como:

dt)t,x(eTT

lim)x(e i

T

i ∫∞→=

0

1

De la definición, es fácil ver que se cumple:

∫∫ =

∂∂=

∂∂

==

ii

ii

dxeedx

x

e

x

e

ee

'e 0

Consideremos un flujo turbulento en el que sus propiedades estadísticas no varíanen el tiempo, en particular su valor medio temporal, su desviación estándar y otrosmomentos de orden superior.

La descomposición de Reynolds aplicada a la ecuación de continuidad se traduceen:

e

t

çe’



3

0=′

+=′+

i

i

i

i

i

ii

x

u

x

u

x

)uu(

∂∂

∂∂

∂∂

Promediando en el tiempo la ecuación anterior:

0=′

+i

i

i

i

x

u

x

u

∂∂

∂∂

De donde resulta:

00 =′

=i

i

i

i

x

u

x

u

∂∂

∂∂

O sea, la ecuación de continuidad se satisface tanto para las componentes mediascomo para las fluctuaciones de la velocidad.

Las ecuación de continuidad instantánea podemos escribirla indistintamente conel subíndice i o j, ya que ambos cubren (1, 2, 3), o sea:

0=j

j

x

u

∂

∂

Multiplicando la ecuación anterior (que es un escalar) por el vector ui :

0=j

ji x

uu

∂

∂

Sumando esta ecuación a la de momentum, resulta:

2

21

j

i

ij

jii

x

u

xp̂

x

uu

t

u

∂

∂ν

∂∂

ρ∂

∂

∂∂

+−=+

Aplicando la descomposición de Reynolds:

2

21

j

ii

ij

jjiiii

x

)uu(

x

´)p̂p̂(

x

)uu)(uu(

t

uu

∂

∂ν

∂∂

ρ∂

∂

∂∂ ′+

++

−=′+′+

+′+

Tomando promedio temporal de esta ecuación:



4

2

21

j

ii

ij

jjiiii

x

)uu(

x

)'p̂p̂(

x

)uu)(uu(

t

uu

∂

∂ν

∂∂

ρ∂

∂

∂∂ ′+

++

−=′+′+

+′+

O sea,

′++

′+−=

′′+

′+

′++

′+ 2

2

2

21

j

i

j

i

iij

ji

j

ji

j

ji

j

jiii

x

u

x

u

xp̂

xp̂

x

uu

x

uu

x

uu

x

uu

t

u

t

u

∂

∂

∂

∂ν

∂∂

∂∂

ρ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

Varios de los términos de la ecuación anterior son nulos. Por ejemplo:

0===j

ji

j

ji

j

ji

x

'uu

x

'uu

x

'uu

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Considerando, además, que las propiedades estadísticas del flujo no varían en eltiempo, la ecuación de momentum se reduce a:

2

21

j

i

ij

ji

j

ji

x

u

xp̂

x

uu

x

uu

∂

∂ν

∂∂

ρ∂

∂

∂

∂+−=

′′+

Expandiendo la derivada del producto, el primer término del lado izquierdo queda:

j

ij

j

ji

j

ji

x

uu

x

uu

x

uu

∂∂

∂

∂

∂

∂+=

Como se está considerando un fluido incompresible, la derivada del producto sereduce a:

j

ij

j

ji

x

uu

x

uu

∂∂

∂

∂=

por lo que la ecuación de momentum se escribe como:

2

21

j

i

ij

ji

j

ij

x

u

xp̂

x

uu

x

uu

∂

∂ν

∂∂

ρ∂

∂

∂∂

+−=′′

+



5

Con el objeto de dar a la expresión anterior la forma de la segunda ley de Newton,por unidad de masa, pero aplicada a cantidades medias temporales, o sea:

fa ∑=

el segundo término del lado izquierdo lo pasamos al lado derecho:

j

ji

j

i

ij

ij x

uu

x

u

xp̂

x

uu

∂

∂

∂

∂ν

∂∂

ρ∂∂ ′′

−+−= 2

21

El efecto que tiene este simple paso algebraico no es menor, ya que podemos

interpretar de otra manera al término j

ji

x

uu

∂

∂ ′′. Este término no es más que un

flujo de momentum de las fluctuaciones turbulentas, pero al pasarlo al ladoderecho, podemos interpretarlo como una fuerza, resultante de la turbulencia delflujo. Insisto, no es una fuerza turbulenta, lo interpretamos así ya que simplifica elentendimiento de las ecuaciones y fenómenos turbulentos.

Siguiendo con el álgebra:

j

ji

j

j

ij

ji

x

uu

x

u

xp

x

uu

∂

∂

∂

∂ν

∂∂

ρ∂

∂ ′′−+−= 2

21

′′−+−= jij

i

jij

ji uux

u

xx

p̂

x

uu

∂∂

ν∂∂

∂∂

ρ∂

∂ 1

Multiplicando la ecuación de continuidad por la viscosidad:

0=j

j

x

u

∂

∂ν

y derivando respecto a xi :

0=∂

∂=∂∂

i

j

jj

j

i x

u

xx

u

x ∂

∂ν

∂

∂ν

sumando a la ecuación de momentum:



6

i

j

jji

j

i

jij

ji

x

u

xuu

x

u

xx

p̂

x

uu

∂

∂

ρµρ

∂∂

µ∂∂

ρ∂∂

ρ∂

∂

∂∂+

′′−+−= 11

agrupando términos:

′′−

++−= ji

i

j

j

i

jij

jiuu

x

u

x

u

xx

p̂

x

uuρ

∂

∂

∂∂

µ∂∂

ρ∂∂

ρ∂

∂ 11

el término en paréntesis que multiplica la viscosidad dinámica es la tasa dedeformación, εij, y µεij corresponde a los esfuerzos de origen viscoso, los quedenotaremos como τvij. El subíndice v es para enfatizar el origen viscoso de estosesfuerzos.

De este modo, la ecuación de momentum queda:

′′−+−= jivij

jij

ji uuxx

p̂

x

uuρτ

∂∂

ρ∂∂

ρ∂

∂ 11

El término ′′− jivij uuρτ lo interpretamos como el esfuerzo total actuando en unflujo turbulento, cuando éste se representa en términos de sus cantidades mediastemporales. Tiene dos componentes, una de origen viscoso, τvij , y otra de origen

turbulento, ′′− ji uuρ , por lo que podemos escribir un esfuerzo total τij :

tijvijij τττ +=

donde ′′−= jitij uuρτ corresponde al efecto turbulento y se denomina esfuerzosaparentes de Reynolds o, simplemente, esfuerzos de Reynolds o esfuerzosturbulentos.

Luego, las ecuaciones que rigen las propiedades medias temporales de un flujoturbulento den un fluido newtoniano incompresible son:

Continuidad:

0=j

j

x

u

∂

∂



7

Cantidad de movimiento:

′′−+−= jivij

jij

ji uuxx

p̂

x

uuρτ

∂∂

ρ∂∂

ρ∂

∂ 11

El sistema de ecuaciones anteriores se conoce como ecuaciones de Reynolds.

Siendo más preciso en la definición del promedio temporal, o sea considerando unT lo suficientemente grande para eliminar las fluctuaciones turbulentas, pero notan grande como para eliminar la variación de la dependencia que puedan tenerlas características medias, es posible incluir la dependencia de las cantidadesmedias con el tiempo, resultando:

′′−+−=+

∂∂

jivijjij

jii uuxx

p̂

x

uu

t

u ρτ∂∂

ρ∂∂

ρ∂

∂ 11

Las ecuaciones de Reynolds presentan un gran avance para el estudio de losfenómenos turbulentos, pero no resuelve el problema, ya que τtij sigue siendodesconocido. Considerando la simetría de los esfuerzos turbulentos, τtij = τtji,resulta que tenemos 4 ecuaciones (una de continuidad y tres de momentum) y 10incógnitas: 'w'v,'w'u,'v'u,'w,'v,'u,p̂,w,v,u 222 . Esto es lo que se conoce como elproblema del cierre de la turbulencia y consiste en el hecho de tener más incógnitasque ecuaciones. Luego, el próximo problema a resolver es determinar los esfuerzosturbulentos τtij, pero esa es materia de la próxima clase.

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