Ecuaciones de la parbola

De lo anterior resulta: (trazo PD igual al trazo PF)El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, y) y podemos usar la frmula para calcular distancia entre dos puntos: El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y tambin podemos usar la frmula para calcular la distancia entre ellos: Sustituyendo en la expresin de distancias resulta: Elevando ambos miembros de la ecuacin al cuadrado y desarrollando, se tiene:(x + p)2 = (x p)2 + y2x2 + 2px + p2 = x2 2px + p2 + y2x2 + 2px + p2 x2 + 2px p2 = y2Simplificando trminos semejantes y reordenando la expresin, se obtiene:y2 = 4px

que es ecuacin de la parbola en su forma ordinaria o cannica.Esta ecuacin tiene leves variaciones segn sea la orientacin de la parbola (hacia donde se abre).Veamos ahora las cuatro posibilidades:Primera posibilidadLa que ya vimos, cuando la parbola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas X Ecuacin de la parbola y2 = 4pxEcuacin de la directriz x + p = 0

Segunda posibilidadCuando la parbola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas X.Ecuacin de la parbola y2 = 4pxEcuacin de la directriz x p = 0

Tercera posibilidadCuando la parbola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas Y .Ecuacin de la parbola x2 = 4pyEcuacin de la directriz y + p = 0

Cuarta posibilidadCuando la parbola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas Y.Ecuacin de la parbola x2 = 4pyEcuacin de la directriz y p = 0

Resolucin: El punto B (3, 4) nos indica queX = 3Y = 4Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuacin

Entonces la ecuacin serY el Foco estar en el punto 4/3, 0 Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz est a la misma distancia de p respecto al vrtice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz ser: